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专题04 全等三角形（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·云南红河·统考二模）数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是的角平分线．小敏作图的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD=10，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在中，AD＝BD＝3，AE平分∠CAD，DE垂直AB，”他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确的是（ ）
A．他发现CE＝DE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B．他发现CE＝DE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．他发现AE＝BE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D．他发现AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
4．（2023·河北石家庄·校考二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形是矩形．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①，，
②四边形是矩形，
③，
④，
⑤
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．②⑤③①④ D．③⑤②①④
5．（2023·安徽·九年级专题练习）如图所示，点D在的角平线上，于点E，于点F，连结，于点D，则下列结论中①；②；③；④，其中正确的序号是（ ）
A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
6．（2023上·江苏·八年级校考周测）如图，，的延长线交于，，，，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．（2023上·山东·八年级校联考阶段练习）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①②③④
10．（2023·湖南娄底·校考一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2023上·重庆·八年级万州外国语学校天子湖校区校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F．下列结论：
①∠B＝∠ACG；
②CE＝DF；
③∠CED＝∠CDE；
④S△AEC：S△AEG＝AC：AG．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2022下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝9，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
13．（2022·广东广州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
14．（2023·安徽·校联考二模）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF，BE相交于G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
16．（2022上·山东青岛·九年级校考期末）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为 ．
17．（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图，若，且，则 ．
18．（2023·山东济宁·校考一模）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，如果要使以，，为顶点的三角形与全等（点不与点重合），那么点的坐标是 ．
19．（2022·云南临沧·统考一模）如图，在四边形AOBC中，，．有以下四个结论：①，②，③，④，其中一定正确的结论有 ．（填序号）
20．（2023上·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，已知∠MOS=∠NOS，PA⊥OM，垂足是A，如果AP=5cm，那么点P到ON的距离等于 cm．
21．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，在中，，B在的延长线上，连接，点E在上，连接，平分，，，，则的长为 ．
22．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，B点坐标为，将 沿AC翻折，使B点落在D点位置，AD交y轴于点E，则D点坐标为 ．
23．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为 ．
24．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则正方形的边长为 ．
25．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 ．
三、解答题
26．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中（） ，过点C作并连接，使，在上截取，连接．求证：．
27．（2023上·八年级课时练习）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若，，求的度数．
28．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，已知，AE平分∠BAC，且，．
(1)求证：；
(2)尺规作图：过点E作垂线，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，已知四边形AECD面积为12，，直接写出线段EF的长．
30．（2023·陕西西安·统考一模）如图，，且，连接，在上取点、，使得，连接，．求证：．
31．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，作线段的垂直平分线；
(2)如图2，在上分别取点，使得．
32．（2022·山东济南·统考一模）如图，四边形AOBC是的正方形，D为BC中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标（0，4），过点D的反比例函数y＝(k≠0)的图象与边AC交于E点，F是线段OB上的一动点．
备用图
(1)求k的值并直接写出点E的坐标；
(2)若AD平分∠CAF，求出F点的坐标；
(3)若△AFD的面积为S1，△AFO的面积为S2 ．若S1：S2=3：2，判断四边形AEFO的形状．并说明理由．
33．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．
（1）若，，求的长；
（2）若G是的中点，连接和，求证：．
34．（2023·山东济南·二模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．求证：BE＝DF．
35．（2023上·上海·八年级校考期中）如图，在正方形中，是上的任意一点，是边延长线上的一点，交边于点，．
（1）求证：点在线段的垂直平分线上；
（2）如果交正方形的对角线于点，，求证：．
【能力提升】
36．（2024上·江西赣州·八年级统考期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点为中点，连结并延长到点，使，连接，则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题．
【课例回顾】
（1）如图2，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并说明理由；
【猜想探究】
（2）如图3，在中，是的中点，，猜想线段与有什么数量关系？并证明；
【拓展提升】
（3）如图4，在中，为中线，且，过点作交于点．请求线段的长．（用含的式子表示）
37．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）在图1，图2，图3中，，
(1)问题探索
如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为
(2)问题解决
如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明：
(3)思维拓展
如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程．
38．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，是上的一动点，连接，将沿直线折叠得到．
(1)如图1，若点恰好落在线段上，求证： ．
(2)如图2，若为等边三角形，当点落在线段上时，试探究线段，与之间的数量关系，并给出证明．
(3)如图3，若为直角三角形，，.连接，，，若与的面积相等，且，求的长．
39．（2024上·重庆綦江·八年级统考期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和．
40．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）【概念呈现】：在平面内，如果两个三角形有一条边相等，我们将这两条相等的边拼在一起组成一个四边形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，把这条相等的边叫做这个四边形的“等腰直角线”；若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”，把这条相等的边叫做这个四边形的“真等腰直角线”．
(1)【概念理解】：如图①，若，，则四边形______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形；
(2)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)【拓展提高】：阅读材料：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么，这就是著名的勾股定理．如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且是其中等腰直角三角形的一条直角边，，，，求的长．
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专题04 全等三角形（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·云南红河·统考二模）数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是的角平分线．小敏作图的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】根据SSS证明三角形全等，可得结论．
【详解】解：由作图可知OM=ON，MC=NC，
又∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC，（SSS）
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC平分∠AOB，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD=10，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，CD=10，
∴DE=CD=10，
故选：A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在中，AD＝BD＝3，AE平分∠CAD，DE垂直AB，”他马上得到了如下结论并说明了理由，他发现的结论和理由正确的是（ ）
A．他发现CE＝DE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B．他发现CE＝DE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．他发现AE＝BE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D．他发现AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】由角平分线的性质可判断A，由线段垂直平分线的性质可判断B，C，D，从而可得结论．
【详解】解：由AE平分∠CAD，DE垂直AB，得不到CE＝DE，
所以理由是角平分线上的点到角两边的距离相等错误，故A判断错误；
由题干中没有是的垂直平分线，所以得不到CE＝DE，
所以理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等错误，故B判断错误；
∵AD＝BD＝3，DE垂直AB，
∴AE＝BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；故C错误，D正确.
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键.
4．（2023·河北石家庄·校考二模）如图，证明矩形的对角线相等．
已知：四边形是矩形．
求证：．以下是排乱的证明过程：
①，，
②四边形是矩形，
③，
④，
⑤
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．③①②⑤④ B．②①③⑤④ C．②⑤③①④ D．③⑤②①④
【答案】B
【分析】根据SAS定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD、∠ABC=∠DCB
∵BC=CB
∴ΔABC≌ΔDCB
∴AC=DB
所以正确顺序为②①③⑤④．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，矩形的性质．理清证明过程是排序的关键．
5．（2023·安徽·九年级专题练习）如图所示，点D在的角平线上，于点E，于点F，连结，于点D，则下列结论中①；②；③；④，其中正确的序号是（ ）
A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL” 证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，全等三角形对应角相等可得∠ADE=∠ADF，根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，然后求出∠EDB=∠FDC，再根据等角的余角相等可得∠ABD=∠ACD.
【详解】∵点D在的角平分线上，
，，
∴，故①正确；
在和中，，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，
∴，即，故④正确；
∵，，
∴，故③正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
6．（2023上·江苏·八年级校考周测）如图，，的延长线交于，，，，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用互补的关系求出,再利用字模型及全等性质解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴，，
∴，
由三角形内角和为可知：，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够利用全等的性质求出角度是解题关键．
7．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用正方形的性质得到，，，利用角平分线的定义求得，再证得，利用全等三角形的性质求得，最后利用即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵平分交于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD=DH=1，进而求解．
【详解】解：过点D作DH⊥AB，则DH=1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD=DH=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B=45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD=HD=，
则BC=CD+BD=1+，
故选：C．
【点睛】本题考查的是作图-复杂作图，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
9．（2023上·山东·八年级校联考阶段练习）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①②③④
【答案】A
【分析】由题意易得∠ABC+∠ACB=120°，∠ABE=∠CBE，∠ACD=∠BCD，进而可判断①，由三角形的角平分线交于一点，故可判断②，对于④先在BC上截取BF=BD，连接PF，然后根据三角形全等可求证，由④及根据等面积法可求证．
【详解】解： ，
∠ABC+∠ACB=120°，
分别作的两条角平分线和，和相交于点，
∠ABE=∠CBE，∠ACD=∠BCD，
，故①正确；
过点P分别作PM⊥AC，PN⊥AB，PH⊥BC，分别交AC、AB、BC与点M、N、H，在BC上截取BF=BD，连接PF，如图所示：
PM=PH=PN，
AP平分∠BAC，故②正确；
BP=BP，
△BDP≌△BFP（SAS），
∠DPB=∠EPC=∠PBC+∠PCB=60°，
∠DPB=∠BPF=∠FPC=∠EPC =60°，
PC=PC，
△FPC≌△EPC（ASA），
EC=FC，
，，
故④⑤正确，③错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2023·湖南娄底·校考一模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断⑤；
【详解】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
11．（2023上·重庆·八年级万州外国语学校天子湖校区校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F．下列结论：
①∠B＝∠ACG；
②CE＝DF；
③∠CED＝∠CDE；
④S△AEC：S△AEG＝AC：AG．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】由CG⊥AB于点G得到∠CAB+∠ACG＝90°，然后由∠C＝90°得到∠CAB+∠B＝90°，从而得到∠B＝∠ACG，①正确；由AD平分∠BAC得到∠CAD＝∠BAD，从而得到∠CDE＝90°﹣∠CAD，由CG⊥AB得到∠AEG＝90°﹣∠BAD，从而得到∠AEG＝∠CDE，然后结合对顶角相等得到∠CED＝∠CDE，③正确；然后得到CE＝CD，再由AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB得到CD＝DF，即可得到CE＝DF，②正确；过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG，然后得到S△AEC＝＝，S△AEG＝，从而得到S△AEC：S△AEG＝AC：AG，④正确．
【详解】解：∵CG⊥AB，
∴∠CGA＝90°，
∴∠CAB+∠ACG＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACG，故①正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，∠CGA＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠CAD，∠AEG＝90°﹣∠BAD，
∴∠AEG＝∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE，故③正确；
∴CE＝CD，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF，
∴CE＝DF，故②正确；
如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG，
∴S△AEC＝＝，
∵S△AEG＝，
∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，故④正确；
∴正确的个数是4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形的两个锐角互余．
12．（2022下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝9，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】A
【分析】由角平分线和线段垂直平分线性质可求出，，继而推出，即可得到答案．
【详解】 DE是AB的垂直平分线，
，
，
平分∠CAB，
．
∠C＝90°，
，
，
，
平分∠CAB，，
．
BC＝9，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．（2022·广东广州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，连接BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】作EH⊥BD于H，证得△EBH≌△EBC，可知BC＝BH＝4，EC＝EH，设EC＝EH＝x，则在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2＝12+x2，将方程即可求得CE．
【详解】解：作EH⊥BD于H，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∴BD＝＝5，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC＝∠EBH，
在△EBH和△EBC中，
，
∴△EBH≌△EBC，
∴BC＝BH＝4，EC＝EH，设EC＝EH＝x，
在Rt△DEH中，
∵DE2＝DH2+EH2，
∴（3﹣x）2＝12+x2，
∴x＝，
∴CE＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理求边长，三角形全等判定与性质，矩形的性质，做出合适的辅助线，列出对应的方程是解题的关键．
14．（2023·安徽·校联考二模）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF，BE相交于G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形的边长为2a，则BF=BE=AE=a，AF= 然后说明△ABF≌△DAE得到∠BFA=∠AED,进一步证明△AEG∽△AFB，然后求得AG和GF的长，最后求的值即可．
【详解】解：设正方形的边长为2a，则BF=BE=AE=a，AF=
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴∠BFA=∠AED
在△AEG和△AFB中，
∠AED=∠AFB, ∠BAF=∠BAF,
∴△AEG∽△AFB
∴,即，则AG=
∴GF=AF-AG=
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判断与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
15．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：，从而可判定①；由可得，由正方形的性质可证明，可得，即有，再由可得，从而、分别平分、，即可判定③；连接交于点，由知，点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，即可判断②，由知，点的运动速度是点的运动速度的倍，即可判断④，因而可确定答案．
【详解】解：四边形是正方形，是对角线，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故①正确；
、都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，即点E在线段上，
故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
、分别平分、，
故③正确；
如图，连接交于点，
，
当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，
点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，
，且点与点的运动时间相同，
，
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键．确定点E的运动路径是本题的难点所在．
二、填空题
16．（2022上·山东青岛·九年级校考期末）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可求出，，则有点为的中点，是的中线，再证，根据三角形相似的性质可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：∵正方形中，为的中点，为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵为的中点，即，，，
∴，
∴，
∴点为的中点，
在，中，是的中线，
∴，
∵，即，，
∴，且，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的相似的判定和性质，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17．（2023上·福建福州·八年级校考期中）如图，若，且，则 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
18．（2023·山东济宁·校考一模）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，如果要使以，，为顶点的三角形与全等（点不与点重合），那么点的坐标是 ．
【答案】或或
【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴D1的坐标是（-2，-1），D2的坐标是（4，-1），D3的坐标是（4，3），
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．
19．（2022·云南临沧·统考一模）如图，在四边形AOBC中，，．有以下四个结论：①，②，③，④，其中一定正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据直角三角形的全等判定证明，再利用全等的性质进行判断即可．
【详解】解：由题意得，在和中
，
，
，，，
所以①②④正确，
当时，才有．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质，本题解题关键是证出．
20．（2023上·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，已知∠MOS=∠NOS，PA⊥OM，垂足是A，如果AP=5cm，那么点P到ON的距离等于 cm．
【答案】5
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质求解即可．
【详解】如图，过点作于点，
∠MOS=∠NOS，PA⊥OM，
点P到ON的距离等于5
故答案为：5
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）是解题的关键．
21．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，在中，，B在的延长线上，连接，点E在上，连接，平分，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图，过作于，证明，，可得，设，则，由勾股定理可得：，证明，可得，由可得：，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵ ，
∴由勾股定理可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴由可得：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形与相似三角形是解本题的关键．
22．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，B点坐标为，将 沿AC翻折，使B点落在D点位置，AD交y轴于点E，则D点坐标为 ．
【答案】
【分析】过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=2-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，在△CDE中利用面积法可求得OF的长，再利用勾股定理求出DF的长，也就求出了D的坐标．
【详解】作轴于F点，
由折叠的性质可知，，，
在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
23．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【详解】连接，
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当，的值最小，
，
，
最小值．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．
24．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据正方形的性质可得，，再由翻折的性质可得，,，从而可证，即可得，设，则，，，利用勾股定理可得，即可求出结果．
【详解】解：连接，∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E是的中点，，
∴，
由翻折的性质可得：，,，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，，，
在中，，
∴，
解得：（舍）或，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及解一元二次方程，综合运用相关知识是解题的关键．
25．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 ．
【答案】
【分析】作交的延长线于点，则，得，所以，再证明，则，所以，可知当最大时，则最大；作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，可证明当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；当点在的延长线上，连接、，则，由勾股定理求得，而，所以，即可求得，．
【详解】解：如图1，作交的延长线于点，则，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当最大时，则最大；
作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；
如图2，的外接圆，于点，点在的延长线上，连接、，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
面积最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题
26．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中（） ，过点C作并连接，使，在上截取，连接．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据，可得，根据，可得，及可证明，问题得解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
27．（2023上·八年级课时练习）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若，，求的度数．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】与关于边所在的直线成轴对称，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质．掌握相关几何结论进行几何推理是解题关键．
28．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变；；理由见解析
【分析】（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；
（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；
（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD AH=CF AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．
【详解】解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC=BF，
∵BD⊥CE，
∴CE=EF，
BD
（3）∠AED不变 ，
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD=S△CAF，BD=CF，
∴BD AH=CF AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，．
即．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，已知，AE平分∠BAC，且，．
(1)求证：；
(2)尺规作图：过点E作垂线，垂足为F（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，已知四边形AECD面积为12，，直接写出线段EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）根据AE平分∠BAC，可得∠CAE＝∠ACD．再由AD∥BC，可得∠DAC＝∠ECA．即可求证；
（2）过点E作AB的垂线，即可求解；
（3）先证得四边形ADCE是平行四边形，可得，AC⊥CE，从而得到EF=3，再由角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝∠CAB．
∵∠DCA＝∠CAB，
∴∠CAE＝∠ACD．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ECA．
∵AC=CA，
∴△ACE≌CAD（ASA）；
（2）解：如图所示，垂线EF即为所求．
（3）解：由（1）得：∠CAE＝∠ACD．
∴AE∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵，
∴，AC⊥CE，
∵四边形AECD面积为12，，
∴AD=CE=3，
∵AE平分∠BAC，，
∴EF=CE=3，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的性质定理，尺规作图——过已知点作已知线段的垂线，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
30．（2023·陕西西安·统考一模）如图，，且，连接，在上取点、，使得，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，利用恒等变形可得，证明，可得，最后利用平行线的判定即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定．灵活运用三角形全等的判定和性质是解题的关键．
31．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
(1)如图1，作线段的垂直平分线；
(2)如图2，在上分别取点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明得到，，所以，延长、，它们相交于点，则，所以垂直平分；
（2）的垂直平分线交于，连接交于，连接交于点，先证明，则可判断，所以，由于，则可证明，所以．
【详解】（1）解：如图，延长、，它们相交于点，则直线即为所作，
；
（2）解：如图，的垂直平分线交于，连接交于，连接交于点，则为所作，
．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质．
32．（2022·山东济南·统考一模）如图，四边形AOBC是的正方形，D为BC中点，以O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，A点坐标（0，4），过点D的反比例函数y＝(k≠0)的图象与边AC交于E点，F是线段OB上的一动点．
备用图
(1)求k的值并直接写出点E的坐标；
(2)若AD平分∠CAF，求出F点的坐标；
(3)若△AFD的面积为S1，△AFO的面积为S2 ．若S1：S2=3：2，判断四边形AEFO的形状．并说明理由．
【答案】(1)k＝8，E（2，4）
(2)（3，0）
(3)四边形AOFE是矩形，理由见解析
【分析】（1）求出点D坐标，进而可得k的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点求出点E的坐标；
（2）延长AD交x轴于G点，证明△BDG ≌△CDA（AAS），求出OG＝8，然后设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，在Rt△OAF中根据勾股定理列方程求出m即可；
（3）设△AFG的面积的为s3，可得s3＝2s1，进而可得s3：s2＝3：1，则FG：FO＝3：1，求出FO，根据矩形的判定定理可得结论．
【详解】（1）解：∵A点坐标（0，4），
∴C点坐标（4，4），
∵D为BC中点，
∴D点坐标（4，2），
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
当y＝时，x＝2，
∴E（2，4）；
（2）解：延长AD交x轴于G点，如图1，
∵AC∥OB，
∴∠DAC＝∠BGD，
又∵CD＝BD，∠C＝∠DBG＝90°，
∴△BDG ≌△CDA（AAS），
∴BG＝AC＝4，
∴OG＝OB＋BG＝8，
∵DA平分∠CAF，
∴∠CAD＝∠GAF，
∴∠GAF＝∠DGB，
∴AF＝FG，
设OF＝m，则AF＝FG＝8－m，
∵OA2＋OF2＝AF2，
∴42＋m2＝（8－m）2，
∴m＝3
∴F点的坐标为（3，0）；
（3）解：四边形AEFO是矩形．
理由：如图1，设△AFG的面积的为s3，
∵AD＝DG，
∴s3＝2s1，
∵S1：S2＝3：2，
∴s3：s2＝3：1，
∴FG：FO＝3：1，
∵OG＝8，
∴FO＝OG＝2，
∵AE＝2，
∴FO＝AE，
又∵FO∥AE，
∴四边形AEFO是平行四边形，
∵∠AOF＝90°，
∴四边形AEFO是矩形．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定以及矩形的判定等知识，通过作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
33．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．
（1）若，，求的长；
（2）若G是的中点，连接和，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）先证明△ABE是等腰直角三角形，得到BE=AB=2，同理可得CE=CF，在Rt△CEF中利用勾股定理可求EF；
（2）连接CG，在等腰直角△ECF中，证明CG=FG，∠F=∠ECG=45°，然后用SAS证明△BCG≌△DFG即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，BC=AD=3．
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴BE=AB=2．
∴CE=BC-BE=1．
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴∠F=∠CEF=45°，
∴CE=CF=1．
在Rt△CEF中，利用勾股定理可得
EF=；
（2）连接CG，
∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF中点，
∴CG=FG，∠ECG=45°．
∴∠BCG=∠DFG=45°．
又DF=BC=3，
∴△BCG≌△DFG（SAS）．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决这类问题时，特殊四边形中有角平分线一般涉及了等腰三角形性质，证明线段相等一般利用全等三角形的性质．
34．（2023·山东济南·二模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．求证：BE＝DF．
【答案】见解析
【分析】用“SAS”证明△AFD≌△AEB，即可得出BE=DF．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵E、F分别是AD和AB的中点，
∴AF=AB，AE=AD，
∴AF=AE，
在△AFD和△AEB中，
，
∴△AFD≌△AEB（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
35．（2023上·上海·八年级校考期中）如图，在正方形中，是上的任意一点，是边延长线上的一点，交边于点，．
（1）求证：点在线段的垂直平分线上；
（2）如果交正方形的对角线于点，，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）连接DE，DF，证明△AED≌△DCF，得DE=DF，问题得证；
（2）由BP=BE 得∠BEF=∠BPE，AB∥CD得∠BEF=∠CGF，可推得∠BPE=∠CGF，于是可得∠EPD=∠DGF，再证明△EDP≌△FDG，即可得到EP=FG．
【详解】证明：（1）如图，连接ED和DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△AED和△DCF中，
，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴ED=DF，
∴点D在线段EF的垂直平分线上；
（2）∵ED=DF，
∴∠DEP=∠DFG，
∵BP=BE，
∴∠BEF=∠BPE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF=∠CGF，
∴∠BPE=∠CGF，
∴∠EPD=∠DGF，
在△PED和△GFD中，
，
∴△EDP≌△FDG，
∴EP=FG．
【点睛】本题考查了正方形的性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强．
【能力提升】
36．（2024上·江西赣州·八年级统考期末）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点为中点，连结并延长到点，使，连接，则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题．
【课例回顾】
（1）如图2，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并说明理由；
【猜想探究】
（2）如图3，在中，是的中点，，猜想线段与有什么数量关系？并证明；
【拓展提升】
（3）如图4，在中，为中线，且，过点作交于点．请求线段的长．（用含的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）根据题意补充图形即可，过点作交延长线于，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）延长到，使得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）如图4，延长到使，根据全等三角形的性质和含度角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）①如下图补充：
；
证明：过点作交延长线于，
，，
，
，
又，，
，
；
（2），理由如下：
延长到，使得，
由（1）知，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图4，延长到使，
为中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
37．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）在图1，图2，图3中，，
(1)问题探索
如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为
(2)问题解决
如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明：
(3)思维拓展
如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，进而得出是等腰直角三角形，勾股定理可得，结合全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据（1）的方法，在上截取，连接，证明得出是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）延长至，使得，证明得出四边形是正方形，得出进而即可得出结论．
【详解】（1）解：∵
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵，，
∴，
设，则，，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
即
（3）解：如图所示，延长至，使得，
∵，
∴，
又∵，
∴
又∵
∴，
∴，
又∵
∴，
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴
∴
即
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
38．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，是上的一动点，连接，将沿直线折叠得到．
(1)如图1，若点恰好落在线段上，求证： ．
(2)如图2，若为等边三角形，当点落在线段上时，试探究线段，与之间的数量关系，并给出证明．
(3)如图3，若为直角三角形，，.连接，，，若与的面积相等，且，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)12
【分析】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识
（1）如图①中，首先证明，再证明，可得结论；
（2）如图②中，过点D作于点H．证明，设，构建方程求解；
（3）如图③中，设，利用勾股定理求出y，可得结论．
【详解】（1）证明：由题意，得，，
.
又，，
，
.
（2）.
证明：为等边三角形，为的中点，
，.
由折叠可知，，，，
，
，
，
.
又，
.
（3）如图，延长交于点，过点，分别作延长线的垂线，垂足分别为，，
，
，
.
与的面积相等，
.
，
，
.
是的中点，
点与点重合，即，，三点共线.
折叠得到，
.
在中，，
，
，
39．（2024上·重庆綦江·八年级统考期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
（1）根据证明三角形全等即可；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）根据的面积为17，，得出的面积是：，由，得出，根据，即可求出结果．
【详解】证明：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，，，，
∴，，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴；
（3）∵的面积为17，，
∴的面积是：，
根据解析（2）同理可证，
∴，
∴．
40．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）【概念呈现】：在平面内，如果两个三角形有一条边相等，我们将这两条相等的边拼在一起组成一个四边形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，把这条相等的边叫做这个四边形的“等腰直角线”；若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”，把这条相等的边叫做这个四边形的“真等腰直角线”．
(1)【概念理解】：如图①，若，，则四边形______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形；
(2)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)【拓展提高】：阅读材料：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么，这就是著名的勾股定理．如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且是其中等腰直角三角形的一条直角边，，，，求的长．
【答案】(1)是
(2)，，理由见解析
(3)或3
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由三角形内角和定理得出，从而得出是等腰直角三角形，结合是等腰三角形，即可得出答案；
（2）由题意得，，证明得出，，结合得出，即可得解；
（3）由题意知：是等腰直角三角形，且为直角边，再分两种情况：①当时；当时；分别画出图形，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰三角形，
四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
（2）解：数量关系是，位置关系是，
理由如下：
，
图②
由题意得，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
综上，，；
（3）解：由题意知：是等腰直角三角形，且为直角边，
①当时，如图，作，，连接，，
由（2）同理得，
，
，是等腰直角三角形，
，，
，
，
由勾股定理得，
；
②当时，如图，同理可得，，
综上：或3．
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