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专题05 特殊三角形（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·浙江金华·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校联考二模）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为24，AC＝8，则DC为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=OA，则∠C等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2023上·河南洛阳·九年级洛阳市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，若CD=2，∠BOC=120°，则AE的长是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A．22度 B．23度 C．24度 D．25度
8．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD，则BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
9．（2022·江苏宿迁·校考三模）如图①，在△ABC中，点P从点B出发，沿B→C方向以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，线段AP的长y(cm)随时间x(s)变化的关系图象，当△ABP与△APC面积相等时，AP的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
11．（2023·河南安阳·统考一模）如图，四边形是⊙O的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，中，，点是边上的动点，过点作，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
14．（2022·山东潍坊·统考二模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，BC于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D；作射线CD．若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
15．（2022·河南商丘·统考二模）如图，中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023·贵州贵阳·统考二模）在数轴上画出表示无理数的点的方法：如图，点O为数轴上的原点，作射线OM垂直于数轴，以点A(点A对应有理数3)为圆心，4个单位长度为半径画弧交射线OM于点B，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数是 ．
17．（2023上·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是 ．
18．（2023·广西河池·校考一模）如图，，交直线l于A、B两点，过点A作交直线b于点C，若，则 度．
19．（2023·湖北黄冈·三模）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
20．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点E，F，则线段的长为 ．
21．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，在直角三角形中，，，，点在上，且，，垂足为，与相交于点，则 ．
22．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连结AE、AF、EF，且∠AEB＝∠AEF，若AB＝3BE，AE，则AF＝ ．
23．（2023下·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形中， 的平分线与的延长线交于点E、与交于点F，且点F为边的中点， 的平分线交于点M，交于点N，连接，若，则的长为 ．
24．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
25．（2023·四川自贡·统考一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ．
三、解答题
26．（2023下·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．
（1）求AC的长；
（2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．
27．（2022上·陕西西安·八年级统考期中）如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数．
28．（2022下·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．
(1)求证：∠BCA=∠EAC；
(2)若CE=3，AC=4，求COE的周长．
29．（2022·广西河池·统考一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上截取，使得（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，证明：．
30．（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图，是半径为5的⊙O的两条弦，，于E，于F．
(1)＝_______；
(2)点P在上运动，则的最小值为_______．
31．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
32．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
33．（2023·福建泉州·重庆实验外国语学校校考模拟预测）如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
34．（2022·山东枣庄·统考一模）已知AOB和MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
(2)将MON绕点O顺时针旋转．如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
35．（2022下·四川自贡·八年级校考期中）在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，
(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．
①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；
②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．
【能力提升】
36．（2024上·广西钦州·九年级统考期末）综合与探究．
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在中，，，点是边上一点（），连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到．
（1）连接，试判断的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）希望小组受此启发，如图2，在线段上取一点，连接，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
（3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现，，三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．
37．（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在和中，，，，、相交于点M．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)如图2，当时，取，的中点分别为点P、Q，连接，，，判断的形状，并加以证明．
38．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）点P是直角斜边上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线作垂线，垂足分别为E、F．Q为斜边的中点．
(1)当点P与点Q重合时，与的位置关系是______，与的数量关系______．
(2)当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并说明理由．
(3)当点P在线段的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并予证明．
39．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边，在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点．
(1)求证：；
(2)在点的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出的度数；
(3)当点运动到什么位置时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时点的横坐标.
40．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）【模型呈现】
如图1，为的中线，交的延长线于点，求证：．
【应用1】
如图2，是的中线，交于点，交于点，且．若，，求线段的长．
【应用2】
如图3，在中，，为中点，，交于点E，交于点，连接．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
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专题05 特殊三角形（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·浙江金华·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得是等边三角形，即可得到．
【详解】∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形
∴
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质与判定，由旋转得到等边三角形是解题的关键．
2．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校联考二模）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】B
【分析】利用三角形的性质、平行线的性质和判定进行判断即可．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故A是假命题；
内错角相等，两直线平行，故B是真命题；
直角三角形的两锐角互余，故C是假命题；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D是假命题；
故答案为B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，熟练准确掌握基础知识是解答本题的关键．
3．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为24，AC＝8，则DC为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，求出DC的长度，然后根据三角形的周长即可求出DC的长．
【详解】∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC，
∵AD⊥BC，AB=AE，
∴BD=DE，AB=EC，
∴DC=DE+EC=，
∵△ABC周长为24，AC＝8，
∴AB+BC=24-8=16，
∴DC=．
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记线段垂直平分线和等腰三角形的性质并求出DC的长．
4．（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质可知AE是中线，然后根据三角形的中位线求解．
【详解】解：∵，，
∴AE是的中线，
∵是的中点，
∴EF是的中位线，
∴EF=BD，
∵，
∴EF=16．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，以及三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=OA，则∠C等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A=30°．
【详解】如图，连接OB．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°．
∵OB=OC，，
∴∠C=∠OBC，OB=OA，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，
∴∠C=30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．
6．（2023上·河南洛阳·九年级洛阳市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，若CD=2，∠BOC=120°，则AE的长是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质得OA=OB=OD，易求∠AOB=60°，则△AOB为等边三角形，由AE⊥BD，得出BE=OE=OB=1，在Rt△BEA中，利用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OD，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵CD=2，
∴AB=CD=OB=2，
∵AE⊥BD，
∴BE=OE=OB=1，
在Rt△BEA中，，
∴AE=，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A．22度 B．23度 C．24度 D．25度
【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可．
【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的内角问题、等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角和公式是解答的关键．
8．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD，则BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理可知：，根据角平分线的定义得到，求得，得到,根据直角三角形性质即可得到答案．
【详解】∵，
∴
∵的平分线AD交BC于点D
∴
∴
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，正确的理解题意、运用相应的性质是解题的关键．
9．（2022·江苏宿迁·校考三模）如图①，在△ABC中，点P从点B出发，沿B→C方向以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，线段AP的长y(cm)随时间x(s)变化的关系图象，当△ABP与△APC面积相等时，AP的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】如图，作，根据图象可知，，cm，，求出的值，当△ABP与△APC面积相等时，cm，cm，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，作
由图象可知，①时，cm；
②时，，cm；
③时，，cm；
∴在中，由勾股定理得cm
当△ABP与△APC面积相等时，cm，cm，
∴在中，由勾股定理得cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，勾股定理等知识．解题的关键在于明确函数图象上各点含义．
10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可以求出，再由中位线的性质可以证明四边形为平行四边形，进而得到．
【详解】解：在中，，点是边的中点，，
∴，
点，分别是边，的中点，
，，
，
∴，
四边形为平行四边形，
，
故选：C
【点睛】本难题考查了平行四边形的判定与性质、中位线的性质、直角三角形斜边中线，掌握中位线与斜边中线的性质是解题关键．
11．（2023·河南安阳·统考一模）如图，四边形是⊙O的内接四边形，四边形是平行四边形，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由已知、根据“平行四边形对边相等”得： 、，从而可得，即①结论正确；进而得出、 都是等边三角形，可得③结论正确；由“一条 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得出，即②结论正确；由点的不同位置，的长度也发生变化可知④结论错误，即可得出结论；
【详解】连接，∵四边形是平行四边形，
结论正确；
∴、 都是等边三角形
∴，即③结论正确；
∴，即②结论正确；
∵在优弧上（不含端点）
∴随着点的不同位置，的长度也发生变化，不是常数，
故④结论错误；
综上所述，正确结论有 3 个；
故选：C
【点睛】该题主要考查了圆部分知识点、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，解答该题的关键是掌握相关知识点并能够熟练运用.
12．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，中，，点是边上的动点，过点作，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知：的最小值即等于直角三角形斜边上的高，据此求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵在中，，
∴．
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵的最小值即为斜边上的高，
∴，即，
∴的最小值为
故选B．
【点睛】此题综合运用了勾股定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，三角形面积，关键是要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
13．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．（2022·山东潍坊·统考二模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，BC于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D；作射线CD．若点M为边BC上一动点，点N为射线CD上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】先由作图可得CD是∠ACB的平分线，则∠BCH=∠ACB=30°，作点B关于射线CD的对称点G，过点G作GM⊥BC于M，交CD于N，如图，此时，GN=BN，则BN+MN=GM最小，证得∠G=∠BCH=30°，在Rt△BCH中，求得BH=BC=×6=3，在Rt△BGM中，求得BM=BG=3，再利用勾股定理，求出GM长，即可求解．
【详解】解：由作图可知，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=×60°=30°，
作点B关于射线CD的对称点G，过点G作GM⊥BC于M，交CD于N，如图，此时，GN=BN，则BN+MN=GM最小，
由对称性质，得CD⊥BG，BH=GH，
∴∠GBC+∠BCD=90°，
∵GM⊥BC，
∴∠GBC+∠G=90°，
∴∠G=∠BCH=30°，
在Rt△BCH中，∵∠BCH=30°，
∴BH=BC=×6=3，
∴GH=BH=3，
∴BG=BH+GH=6，
在Rt△BGM中，∵∠G=30°，
∴BM=BG=3，
∴GM=，
∴BN+MN=GM=3，
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图-作已知角的角平分线，直角三角形的性质，勾股定理，掌握利用轴对称和垂线段最短，求线段和的最小值是解题的关键．
15．（2022·河南商丘·统考二模）如图，中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图所示，则当点为中点时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过观察图可以得出，，，由勾股定理可以求出的值，从而得出，，当为的中点时，由勾股定理求出长度．
【详解】解：因为点是从点出发的，为初始点，
观察图象时，则，从向移动的过程中，是不断增加的，
而从向移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为点，运动到点时，即时，，此时，
即，，，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
当点为中点时，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
二、填空题
16．（2023·贵州贵阳·统考二模）在数轴上画出表示无理数的点的方法：如图，点O为数轴上的原点，作射线OM垂直于数轴，以点A(点A对应有理数3)为圆心，4个单位长度为半径画弧交射线OM于点B，再以点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数是 ．
【答案】
【分析】结合数轴，根据勾股定理进行求解．
【详解】由题意知，，，，
由勾股定理知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，数轴与实数的关系，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（2023上·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是 ．
【答案】2.5
【分析】先求出方程的两个根，然后再根据题意运用勾股定理求出直角三角形斜边的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵x2－7x＋12＝0
∴x1=3，x2=4
∴该直角三角形的斜边长为
∴该直角三角形斜边上的中线长为5÷2=2.5．
故填2.5．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
18．（2023·广西河池·校考一模）如图，，交直线l于A、B两点，过点A作交直线b于点C，若，则 度．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
19．（2023·湖北黄冈·三模）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【答案】
【分析】如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
20．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交，于点E，F，则线段的长为 ．
【答案】/0.75
【分析】根据勾股定理求出根据作图可得，可得，垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线，三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据勾股定理及垂直平分线得到．
21．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，在直角三角形中，，，，点在上，且，，垂足为，与相交于点，则 ．
【答案】/0.5
【分析】连接，勾股定理求出，证得是的垂直平分线，得到，设，则，在中，由勾股定理得到，求出，即，在中，根据公式求出答案．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，即，
在中，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求角的正切值，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
22．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连结AE、AF、EF，且∠AEB＝∠AEF，若AB＝3BE，AE，则AF＝ ．
【答案】
【分析】过点A作AH⊥EF于H，先证明△ABE≌△AHE，AB=AH，BE=EH，然后证明AHF≌△ADF，DF=FH，然后利用勾股定理求出AB，BE的长，设FH=DF=x，则CF=3-x，EF=1+x，，，由此进行求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥EF于H，
∴∠AHE=∠AHF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∠B=∠D=90°，
∵∠AEB＝∠AEF，∠B=∠AHE=90°，AE=AE
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴AB=AH，BE=EH，
∵AF=AF，AH=AD，且∠AHF=∠D=90°，
∴△AHF≌△ADF（HL），
∴DF=FH，
∵ ，，
∴，
∴BE=EH=1，
∴AB=BC=CD=AD=3，
∴EC=BC-CF=2，
设FH=DF=x，则CF=3-x，EF=1+x，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（2023下·浙江·八年级期末）如图，在平行四边形中， 的平分线与的延长线交于点E、与交于点F，且点F为边的中点， 的平分线交于点M，交于点N，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】先判定△ADF≌△ECF，即可得到AF=EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质，即可得到DN=MN=1，最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长，进而得出DE的长．
【详解】解：点为边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
又平分，平分，
，
，
平分，
，
又，
，
，
，
同理可得，，
又平分，
，
中，，
，，
，
中，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定AF⊥DM，利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
24．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；
∵AC是矩形的对角线，
∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴
∵，，
∴△BEF是等边三角形，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴的最小值为6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
25．（2023·四川自贡·统考一模）如图所示，在矩形中，，，为矩形内部的任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将绕点C逆时针旋转，根据旋转的性质，可以得到一个等边三角形，通过边与边之间的等量代换，就会将所求的三条边之和的长，转变求三条线段连到一起的折线段的长，当四点共线时会取到最小值．
【详解】如解图，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴当A P F E四点共线时，的值最小，最小值为AE的长，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，会利用到等边三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是：根据条件及所求将一个三角形逆时针旋转得到一个等边三角形，通过等边三角形边之间的关系进行等量代换；当几点共线时会取到最小值，最后在直角三角形中利用勾股定理求解．
三、解答题
26．（2023下·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝100，BC＝125，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝60，点A在直线MN上．
（1）求AC的长；
（2）若∠MAC＝48°，求∠NAB的度数．
【答案】（1）75；（2）42°．
【分析】（1）首先在中利用勾股定理求出BD的长，进而求出CD的长，然后在，利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）首先利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，即可求得∠NAB的度数．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
，
∵BC＝125，
∴DC＝BC－BD＝125－80＝45，
在Rt△ADC中，
；
（2）∵
，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°
∵∠MAC＝48°
∴．
【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．
27．（2022上·陕西西安·八年级统考期中）如图，为等边三角形，点、分别为、上一点，且，、相交于点，求的度数．
【答案】
【分析】根据条件证明，得出，再根据外角的性质得到，进一步可得结论．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
28．（2022下·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥DE，AE=AD，AE交BC于O．
(1)求证：∠BCA=∠EAC；
(2)若CE=3，AC=4，求COE的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）先根据平行四边形的性质证明∠DAC=∠BCA，再由三线合一定理证明，即可证明∠BCA=∠EAC；
（2）先根据等角对等边证明OA=OC，再由勾股定理求出AE的长，最后证明△COE的周长= AE+CE即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AE=AD，AC⊥ED，
∴，
∴∠BCA=∠EAC；
（2）解：∵∠BCA=∠EAC，
∴OA=OC，
∵AC⊥DE，即∠ACE=90°，
∴在Rt△ACE中，由勾股定理得：，
∴△COE的周长=CE+OC+OE=OA+OE+CE=AE+CE=8．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的关键．
29．（2022·广西河池·统考一模）如图，在中，．
(1)尺规作图：在上截取，使得（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，证明：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】（1）以A点为圆心，AD的长为半径，画弧，交AB于E，即为所求；
(2) 由（1）知，得到，由四边形为平行四边形，得到，，即可证明；
【详解】（1）解：如图，以A点为圆心，AD的长为半径，画弧，交AB于E，
为所求；
（2）证明：由（1）知，
四边形为平行四边形，
，
【点睛】本题主要考查简单作图，解题的关键是掌握画弧，以及平行四边形的性质，和等腰三角形的性质．
30．（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图，是半径为5的⊙O的两条弦，，于E，于F．
(1)＝_______；
(2)点P在上运动，则的最小值为_______．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)连接，利用勾股定理求出即可．
(2)作于H点，由于关于对称，因而,即当在一条直线上时，最小，即的值就是最小值．
【详解】（1）连接，
∵,是直径，于E，于F，
∴，
∴，，
∴．
（2）
作于H点，连接，
∵于E，于F，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了线段的最值问题，找到的值是最小值是解题关键．
31．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正方形，可证得，即可得证；
（2）求得，再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，
，
，即，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
菱形的边长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，熟知对角线互相垂直平分的四边形是菱形是解题的关键．
32．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．
【答案】(1)当时，；当时，；
(2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大
(3)t的值为3或
【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【详解】（1）解：当时，
连接，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
（2）函数图象如图：
当时，y随t的增大而增大；
（3）当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
33．（2023·福建泉州·重庆实验外国语学校校考模拟预测）如图，矩形中，为的中点．
（1）在边上求作一点，使得；
（2）在（1）中，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点作交于点，延长和交于点，利用角角边判定，得到，结合，证明是线段的垂直平分线，进一步推导得到，由，，即可证明，此时点F即为所求．
（2）由矩形性质求得相关边长度，在中，由勾股定理得：，将对应数值代入求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点作交于点，点即为所求；
延长和交于点，
∵四边形是矩形，
，
，，
为的中点．
，
在和中，
，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查勾股定理，矩形性质，三角形全等的判定等知识点，根据知识点解题是关键．
34．（2022·山东枣庄·统考一模）已知AOB和MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
(2)将MON绕点O顺时针旋转．如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由∠AOB＝∠MON＝90°，得出∠AOM＝∠BON，然后证明△AOM≌△BON（SAS）即可；
（2）连接BN，由∠AOB＝∠MON＝90°，得出∠AOM＝∠BON，然后证明△AOM≌△BON（SAS），得出∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，再证∠MBN＝∠ABO+∠OBN=45°+45°=90°，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝∠ABO+∠OBN=45°+45°=90°，
∴BM2+BN2＝MN2，
∵△MON都是等腰直角三角形，
∴MN2＝ON2+OM2=2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，图形旋转性质，等腰直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
35．（2022下·四川自贡·八年级校考期中）在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，
(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．
①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；
②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．
【答案】(1)见解析；
(2)①，②．
【分析】（1）先证出，得PA＝PC，再证明PA＝PE，得PC＝PE；
（2）①如图2中，设AC交BD于O．首先证明PC＝PE＝PA，由∠CPE＝60°推出PC＝PE＝CE＝AC＝4，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根据勾股定理和等边三角形的性质求出PO和BO，根据BP＝PO＋OB计算即可；②如图3中，利用①中方法计算即可；
【详解】（1）证明：如图1中，连接PA．
∵∠BAD＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
在正方形ABCD中，AD＝DC，
∠ADP＝∠CDP＝45°，
在和中，
，
∴（SAS），
∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，
∵∠CPF＝∠EDF＝90°，∠PFC＝∠EFD，
∴∠PCF＝∠E，
∴∠PAD＝∠E
∴PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）①如图2中，设AC交BD于O，连接CE、AP．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADO＝∠CDO，DA＝DC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在和中，
∴（SAS），
∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD，
∵∠CPE＝∠CDF＝60°，∠DFC＝∠PFE，
∴∠E＝∠PCD＝∠PAD，
∴PA＝PE＝PC，
∴是等边三角形，
∴AC＝CE＝PE＝PA＝PC＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在中，，
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，解得：，
∴，
②如图3中，设AC与BD相交于点O，
利用①中方法可知．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【能力提升】
36．（2024上·广西钦州·九年级统考期末）综合与探究．
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1所示，在中，，，点是边上一点（），连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到．
（1）连接，试判断的形状，并说明理由；
【深入探究】
（2）希望小组受此启发，如图2，在线段上取一点，连接，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
（3）智慧小组在图2的基础上继续探究，发现，，三条线段之间也有一定的数量关系，请写出它们的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）为等腰直角三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识．
（1）根据旋转的性质即可求解；
（2）由，，可得，再证明即可求解；
（3）根据题意得，由旋转得，，进而得：在中，，结合，即可求解．
【详解】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下：
如图1，由旋转得，，
，
，
为等腰直角三角形；
（2）．理由如下：
，，
，
，
又 ，，
在和中，,
．
．
（3）．理由如下：
，，
．
由旋转的性质可知，，
．
在中，．
又 ，
．
37．（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在和中，，，，、相交于点M．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)如图2，当时，取，的中点分别为点P、Q，连接，，，判断的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)等边三角形，证明见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识；
（1）根据已知条件，证明，可得结论．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）由条件先证明，可求得，则可证明为正三角形．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
∴ ，
，
在和中，
，
．
（2）解：设交于点，
，
，
，
，
即．
（3）解：结论：是等边三角形，理由如下：
，
，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
是正三角形．
38．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）点P是直角斜边上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线作垂线，垂足分别为E、F．Q为斜边的中点．
(1)当点P与点Q重合时，与的位置关系是______，与的数量关系______．
(2)当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并说明理由．
(3)当点P在线段的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并予证明．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)（2）中的结论仍然成立：，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用．
（1）由，，可知，，结合为中点，可证，即可证得，即可得答案；
（2）延长交于，证，推出，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；
（3）延长、交于，证，推出，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
利用平行线和中点构造全等三角形，再结合直角三角形斜边上中线性质证明结论是解决问题的关键．
【详解】（1）解：，，
理由是：∵为中点，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：；．
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴，
即．
（3）解：（2）中的结论仍然成立：，理由如下，
如图所示，延长、交于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴．
39．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边，在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点．
(1)求证：；
(2)在点的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由，如果不变，请求出的度数；
(3)当点运动到什么位置时，以、、为顶点的三角形是等腰三角形？并直接写出此时点的横坐标.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当点的坐标为时，，，为顶点的三角形是等腰三角形．点的横坐标为
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，，则，然后可根据“”可判定；
（2）由是等边三角形知，再由知，根据可得结论；
（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，求得，据此得到﹐即可得出点C的位置．
【详解】（1）解：，都是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）点在运动过程中，的度数不会发生变化，
是等边三角形，
，
，
，
．
（3），
，
又，
，
，，
在中，，
，
要使以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，
，
，
当点的坐标为时，，，为顶点的三角形是等腰三角形，
，
∴，
∵，
∵，
∴点的横坐标为．
【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．
40．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）【模型呈现】
如图1，为的中线，交的延长线于点，求证：．
【应用1】
如图2，是的中线，交于点，交于点，且．若，，求线段的长．
【应用2】
如图3，在中，，为中点，，交于点E，交于点，连接．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】[模型呈现]证明见解析
[应用1] 7
[应用2]，理由见解析
【分析】[模型呈现]证明即可得出结论；
[应用1]过点B作交延长线于点，由前面结论得到，结合条件，易证，，从而得解；
[应用2]过点作交延长线于点，连接，易证，得到，推出，再利用勾股定理即可得出结论．
【详解】[模型呈现]证明： ，
，．
为的中线，，
，
．
[应用1]解：过点B作交延长线于点，
，
是中线，
，
，
，
，
，
，
，，
．
．
[应用2]解：线段、、之间的等量关系为：．
理由如下：过点作交延长线于点，连接，
，，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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