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专题03 三角形及基本性质（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，3，4 C．3，5，8 D．8，4，4
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【详解】A、1+2<4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
C、3+5=8，不能够组成三角形，故此选项错误；
D、4+4=8，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．（2023·山东淄博·统考二模）已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】D
【分析】由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，
所以（AC-BD）＜5＜（AC+BD），
由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．
3．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ）
A．12米 B．10米 C．5米 D．8米
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系即可判断结果．
【详解】解：根据三角形三边关系得：，
即：，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记基本性质并灵活判断是解题关键．
4．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，AC与DE交于点M，如果，则的度数为（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】C
【分析】先根据平角的概念求出的度数，然后利用三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及平角的概念，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
【答案】D
【分析】在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得
【详解】解：在中，
，
，
，，
，
，
甲同学正确；
，，，
，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
D为的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到．
6．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行线的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
7．（2023·北京·校考一模）如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时30海里的速度向正北（AN）方向航行，2小时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯塔C之间的距离为（ ）海里．
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】A
【分析】将方位表示的角度转化为题目中对应角的度数，由三角形外角的性质可求出∠C=30°，再根据等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵∠NBC=∠A+∠C，∠NBC=60°，∠A=30°
∴∠C=30°．
∴△ABC为等腰三角形．
船从A到B以每小时30海里的速度走了2小时，
∴AB=BC=60海里．
故答案选A．
【点睛】本题考查了方向角的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键..
8．（2023·北京丰台·二模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（ ）
A．35° B．70° C．85° D．95°
【答案】C
【分析】先据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再据角平分线定义求得∠BAD的度数，最后求得∠ADB度数．
【详解】在△ABC中：
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B＝60°，∠C＝50°
∴∠BAC=；
又∵AD平分∠BAC
∴
在△BAD中：
∵∠B+∠ADC+∠BAD=180°
∴∠ADB=．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线意义．灵活运用三角形内角和定理、角平分线意义进行角的计算是解题关键．
9．（2023·安徽淮南·校联考二模）已知三角形纸片，其中，将这个角剪去后得到四边形，则这个四边形的两个内角与的和等于( )
A．235° B．225° C．215° D．135°
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理结合∠B的度数即可得出∠BDE+∠BED的度数，再根据∠BDE与∠ADE互补、∠BED与∠DEF互补，即∠BDE+∠ADE+∠BED+∠DEF=360°,即可求得+的大小．
【详解】解：∵
∴∠BDE+∠BED=180°-45°=135°
又∵∠BDE与∠ADE互补、∠BED与∠DEF互补
∴∠BDE+∠ADE+∠BED+∠DEF=360°，即+=360°-135°=225°．
故答案为B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及补角的定义，根据三角形内角和定理求出∠BDE+∠BED的度数是解答题本题的关键．
10．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考二模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的大小为（ ）
A．20° B．24° C．28° D．32°
【答案】B
【分析】根据图形的旋转性质，得AB=AB′，已知AB′=CB′，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得∠B=∠AB′B=2∠C，再根据三角形内角和定理即可求出∠C度数，再由旋转性质得出∠C′度数．
【详解】解：∵AB′=CB′，
∴∠C=CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°-108°，
∴∠C=24°，
∴∠C′=∠C=24°，
故选：B．
【点睛】题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，图形的旋转性质．根据等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得∠B、∠C的关系为解决问题的关键．
11．（2023·山东济南·统考二模）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝20°，∠EFC＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF=50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC=180°，
∵∠EFC=130°，
∴∠ABF=50°，
∵∠A+∠E=∠ABF=50°，∠E=20°，
∴∠A=30°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，正确得出∠ABF=50°是解题的关键．
12．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，且∠D=30°，∠A=（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．60
【答案】D
【分析】根据已知得出，，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和得出，，进而得出，即可求得的值．
【详解】解：的平分线与的外角平分线交于，
，，
，，
，
即，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
13．（2022·广东中山·统考三模）如图，在中，，以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交AC的延长线和BC于点D、E，分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧交于点F，连接CF，若，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】由题意得CF是∠BCD的角平分线，结合平行线、三角形外角可得∠A与∠B的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意得CF是∠BCD的角平分线，
∴∠BCF＝∠DCF，
又∵，
∴∠B＝∠BCF＝∠DCF，
又∵∠A＋∠B＝∠BCD
即∠A＋∠B＝2∠B
∴∠A＝∠B
∴∠B＝40°．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角，角平分线、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．（2022下·陕西西安·八年级统考期中）等腰中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，则的周长为（ ）
A．10或11 B．10或12 C．11或12 D．10或13
【答案】A
【分析】先求不等式组的解集，确定正整数范围；根据等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为其中两个不同整数解求出边长即可求解．
【详解】解：
由①得
由②得
∴不等式组得解集是
∴在这个范围内的正整数解是：3、4、5、6
∵等腰△ABC中一边长为3，另外两边长为其中两个不同整数解
∴两边长可能是3、4；3、5；
周长是：10或者11
故选：A．
【点睛】此题考查不等式组的解集和三角形边长性质，解题的关键是正确求出不等式组的解集和利用三角形三边之间的关系确定边长．
15．（2022·广东深圳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC－CF＝2HE，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD即可判断① ；由AE=AD得到∠AED=∠ADE，再由AD∥BC，即可得到∠ADE=∠CED，即可判断② ；证明ABE≌△AHD即可推出AB＝BE＝AH＝HD，由三角形内角和定理得到∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°，∠CED＝∠AED＝67.5°，∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，从而推出∠OHE＝67.5°＝∠AED，得到OE＝OH，再由∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，推出OH＝OD，即可判断③ ；再证明△BEH≌△HDF得到BH＝HF，HE＝DF即可判断④ ；再由HE＝AE－AH＝BC－CD，得到BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE即可判断⑤．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABE=90°，AD∥BC
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
∴，
∵
∴AD＝AE，故①正确；
∴∠AED=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠AED=∠CED，故②正确；
∵DH⊥AE，
∴∠AHD=∠ABE=90°
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°－∠DAE）＝67.5°，∠ADH=∠DAH=45°
∴∠CED＝∠AED＝67.5°，
∵AB＝AH，
∵∠AHB=∠ABH＝（180°－∠BAH）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝∠DHE-∠OHE＝22.5°，∠ODH＝∠ADE-∠ADH＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故③正确；
∵∠EBH＝∠ABE-∠ABH＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故④正确；
∵HE＝AE－AH＝BC－CD，
∴BC－CF＝BC－（CD－DF）＝BC－（CD－HE）＝（BC－CD）＋HE＝HE＋HE＝2HE．故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题
16．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）在中，，则___________．
【答案】/65度
【分析】根据三角形内角和为，可得，再结合即可求出的度数．
【详解】解： ，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和的度数，掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
17．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，在和中，，，，则 ．
【答案】115
【分析】根据外角的性质进行求解即可．
【详解】解：设交于点，
则：，
∵，，，
∴；
故答案为：115．
【点睛】本题考查外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
18．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图是一副三角尺拼成四边形，E为斜边的中点，则 ．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得，从而由含、角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质可得到、同时由等腰三角形的三线合一可得到，进而由角的和差可求得，然后由等腰三角形的等边对等角以及三角形的内角和定理即可求得答案．
【详解】解：∵在中，，为斜边的中点；
在中，，为斜边的中点
∴
∵；
∴是等边三角形；
∴；
∴
∴在等腰中，．
故答案是：
【点睛】本题考查了含、角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角的和差、三角形内角和定理等，灵活运用相关知识点是解题的关键．
19．（2023上·江苏镇江·八年级校考期中）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝ ．
【答案】
【分析】根据平行线和角平分线的性质可得，，再利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴
由题意可得：平分，平分
∴
∴
∴
又∵E为AC的中点
∴，即
故答案为
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，涉及了平行线和角平分线的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
20．（2022下·贵州毕节·八年级统考期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上，已知∠A=26°，∠B=40°，则∠ACE= ．
【答案】48°/48度
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACD=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．
【详解】解：∵∠A=26°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=26°+40°=66°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=66°，
∴∠ACE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-66°-66°=48°．
故答案为：48°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC．
21．（2022下·北京·七年级北京市第十三中学分校校考期中）如图1，为响应国家新能源建设，某市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为62°，如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为48°，要使，需将电池板CD逆时针旋转度，则为 ．（）
【答案】20°/20度
【分析】求出∠EOF的度数，根据平行线的性质得出∠MQD=∠EOF=28°，再求出答案即可．
【详解】
∵EF⊥AB，
∴∠EFO=90°，
∵∠OEF=62°，
∴∠EOF=180°-90°-62°=28°，
∵AB∥CD，
∴∠MQD=∠EOF=28°，
∴要使AB∥CD，需将电池板CD逆时针旋转度，
∴°=48°-28°=20°
故答案为：20．
【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点，能求出∠MQD的度数是解此题的关键．
22．（2023·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于 ．
【答案】
【分析】用大正方形面积减去外面三个小三角形的面积就是，再用勾股定理算出AC的长，即可算出B到AC边上的距离．
【详解】解：过B作BG⊥AC，交AC于点G，
在Rt△ACF中，AF＝2，CF＝1，
根据勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝S正方形AFED﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ACF＝4﹣×1×1﹣2××2×1＝，
S△ABC＝AC BG，
∴×BG＝，
则BG＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的勾股定理及三角形面积相关的知识点，考生应熟练掌握．
23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）如图，在中，，点D为上一点，，，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】如图，作交于，可知，，则，，由题意得，由，可求，则，，证明，则，即，整理得，，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，作交于，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
整理得，，
则，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，余弦，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于正确的添加辅助线．
24．（2022·山东聊城·统考一模）如图，在ABC中，，在同一平面内，将ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使，作交BC于点D，则 ．
【答案】30°/30度
【分析】利用旋转的性质可求得AC=AC′，∠CAB=∠C′AB′，由平行线性质和三角形内角和定理可求得∠C′AC；进而求得∠CAB′即可解答；
【详解】解：∵，
∴∠C′CA=∠CAB=70°，
由旋转的性质可得：AC=AC′，∠CAB=∠C′AB′=70°，
∴∠ACC′=∠AC′C=70°，
∴∠C′AC=180°-70°-70°=40°，
∴∠CAB′=∠C′AB′-∠C′AC=70°-40°=30°，
∵，
∴∠AB′D=∠CAB′=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；掌握旋转的性质是解题关键．
25．（2023上·重庆·八年级重庆市大学城第一中学校校联考期中）如图，在中，是上一点，，点是的中点，若，则的值为
【答案】/
【分析】过点F作 交于点G，根据点是的中点，求出，设为，则为，根据 ，得到，，由相似三角形的性质可得，，进而表示出的长，求出的值，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作 交于点G，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
设为，则为，
∵ ，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的值．
三、解答题
26．（2023·山西太原·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．
【答案】∠ABD=102°．
【分析】根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．
【详解】解：∠AOB＝96°，
∴∠ACB＝48°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，
又∵点D是的中点，
∴，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键．
27．（2023下·河北唐山·七年级统考期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
(1)第三边的范围为______．
(2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）．
【答案】(1)
(2) 底边和腰不相等的等腰三角形
【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案．
（2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可．
【详解】（1）根据三角形两边的和大于第三边，则
．
即．
根据三角形两边的差小于第三边，则
．
即．
综上所述
．
故答案为：．
（2）∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为．
∴三角形的周长．
∵两条边的长为，另外一条边的长为，
∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形．
【点睛】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键．
28．（2023上·福建厦门·八年级校考期中）如图，在中，
(1)是的外角的平分线，且交的延长线于点（依题意补出图形）．
(2)，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)100°
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据三角形外角性质求出，根据角平分线定义求出，根据三角形外角性质求出即可.
【详解】（1）如图所示：
（2），，
，
平分，
，
．
【点睛】本题的关键是掌握三角形外角性质，并能灵活运用定理进行推理．
29．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴ ；
（2）∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
30．（2023·山西·统考一模）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 E 为BD边上一点，过点 E 作 EG∥AD，分别交 AB 和 CA 的延长线于点 F，G，∠AFG=∠G．
（1）证明：△ABD≌△ACD
（2）若∠B=40°，直接写出∠FAG= °
【答案】（1）详见解析；（2）80
【分析】（1）由已知条件可直接得到AD为公共边，∠ADB＝∠ADC＝90°，据两直线平行间接可得到∠CAD＝∠BAD，即可判定△ABD≌△ACD（ASA）；
（2）利用（1）中结论易求得∠C度数，根据三角形外角的性质即可得的度数．
【详解】解：（1）∵，
∴
∵，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴≌（）
（2）解：由（1）≌可得：，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及三角形外角的性质，利用平行线的性质证明是解题的关键．
31．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，求的度数．
【答案】．
【分析】先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，由得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理等内容，灵活利用三角形内角和定理求角度是解题的关键．
32．（2023·广东汕头·统考一模）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，
（1）填空：的值为 ； ∠AMB的度数为 ,
（2）类比探究，如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由：
【答案】（1）1；；（2）的值为，的度数为，理由见解析.
【分析】（1）利用定理证出，根根三角形全等的性质可得的值；再由三角形全等的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（2）先利用相似三角形的判定定理推出，再根据相似三角形的性质得的值；与（1）的解法类似，先由相似三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得.
【详解】解：（1）
，即
在中，
在中，
故答案为：1；；
（2），理由如下：
在中，
同理可得：
又
，即
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
在中，
在中，
故的值为，的度数为.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已知条件推出两个三角形全等或相似是解题关键.
33．（2023·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
【答案】，方法见解析
【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出即可解得；
选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出即可解得；
选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出，在中，，再根据角之间的和差即可求出．
【详解】解：选择方法一：
如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵是的外角，
∴．
同理可得．
∴．
∴．
∵，，，
∴
选择方法二：
如答图2，延长BC交AD于点E．
∵是的外角，
∴．
同理可得．
∴．
∵，，，
∴
选择方法三：
如答图3，连接BD．
在中，．
∴
∴．
在中，．
∴．
∵，，，
∴
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性质、三角形内角和解题．
34．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求点C到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质证明，再利用四边形内角和为，证明，即可由矩形判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴
设点C到的距离为h，
∵
∴
∴
答：点C到的距离为．
【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．
35．（2023·辽宁·校考一模）如图，是等腰直角三角形，，，，是上的一点，且，交于点，将沿翻折得，交于，交于．
（1）的度数为______；
（2）探究与的数量关系，并证明；
（3）若，求的值．
【答案】（1）45°；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）结论．作交 的延长线于．证明 ，推出，可得 ，可得结论．
（3）设，则，利用相似三角形的性质，求出 ，可得结论．
【详解】解：（1）由翻折的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
（2）结论．
理由：作交的延长线于．
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
（3），
∴可以假设，则，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】这道题考查的是三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握并应用相关概念是解题的关键．
【能力提升】
36．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）（1）如图1，中，，平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于M，连AM，N在的延长线上．求证：平分；
（2）把（1）中的“平分交手”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数______；（用含的式子表示）
（3）在（1）的条件下；若（如图3），且，作于，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）补全图形见解析，（3）2.5
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理．
（1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，得到；
（2）连接，过点M作于E，交CA的延长线于H，根据题意得到，证明，得到，根据等腰三角形的性质计算，得到答案；
（3）连接，过点M作交的延长线于E，根据角平分线的性质得到，证明，得到，根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即平分；
（2）解：如图2，连接，过点M作于E，交CA的延长线于H，
则，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∵点M在的垂直平分线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，连接，过点M作交的延长线于E，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得：．
37．（2023上·四川德阳·八年级四川省广汉中学校考阶段练习）已知，为所在平面上一点，平分，平分．
(1)若点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(2)若点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(3)若点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
【答案】(1)结论：，证明见解析
(2)结论：，证明见解析
(3)结论：，证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，，即可得出，从而得出答案；
（3）由角平分线的定义可得：，，再由，即可得出答案．
【详解】（1）解：结论：，
证明： 平分，平分，
，，
，
；
（2）解：结论：，
证明： 平分，
，
是的外角，是的外角，
，，
，
；
（3）解：结论：，
证明： 平分，平分，
，，
，，
．
38．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）；
(2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______；
(3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______；
(4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．
（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论；
（2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解；
（4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解： 与等底等高，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
∴，
故答案为：；
（3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，
设，则，．
，
故答案为：；
（4）解：∵G是的重心，
，
∵，，
，
∵，
，
，
，
∴．
39．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．
(1)“勾股定理”用文字叙述是__________________；
(2)类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积；
(3)在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度；
【答案】(1)在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方
(2)14
(3)13
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组，三角形面积，根据题意运用赵爽弦图是解题的关键．
（1）写出勾股定理即可；
（2）连接，由点、、分别是、、的中点可得，即可得出即可求解．
（3）根据图形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，得二元一次方程组，即可求出和，进一步求解即可．
【详解】（1）“勾股定理”用文字叙述是：在直角三角形中，两个直角边的平方等于斜边的平方；
（2）解：如图，连接，
∵点、、分别是、、的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
∵，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为．
40．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）发现问题
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示）
解决问题
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：；
拓展应用
（3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）延长至，使得，连接，由是的中线，得到，进而得到．
（2）延长到点，使得，连接，，通过证明，得到，再由，，得到，在中，，得到．
（3）延长到点，使得，连接，由，得到，，再通过，得到，由此得到答案．
【详解】（1）解：如图①，延长至，使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
故答案为：．
（2）证明：如图，延长到点，使得，连接，，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
．
（3）如图，延长到点，使得，连接，
由（1）知，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
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专题03 三角形及基本性质（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，3，4 C．3，5，8 D．8，4，4
2．（2023·山东淄博·统考二模）已知平行四边形的一边长为5，则对角线，的长可取下列数据中的（ ）
A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
3．（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（ ）
A．12米 B．10米 C．5米 D．8米
4．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，AC与DE交于点M，如果，则的度数为（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
5．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确
6．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·北京·校考一模）如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时30海里的速度向正北（AN）方向航行，2小时后到达B处，测得C在A的北偏东30°方向，并在B的北偏东60°方向，那么B处与灯塔C之间的距离为（ ）海里．
A．60 B．80 C．100 D．120
8．（2023·北京丰台·二模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（ ）
A．35° B．70° C．85° D．95°
9．（2023·安徽淮南·校联考二模）已知三角形纸片，其中，将这个角剪去后得到四边形，则这个四边形的两个内角与的和等于( )
A．235° B．225° C．215° D．135°
10．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考二模）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的大小为（ ）
A．20° B．24° C．28° D．32°
11．（2023·山东济南·统考二模）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝20°，∠EFC＝130°，则∠A的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
12．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，且∠D=30°，∠A=（ ）度．
A．40 B．45 C．50 D．60
13．（2022·广东中山·统考三模）如图，在中，，以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交AC的延长线和BC于点D、E，分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧交于点F，连接CF，若，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
14．（2022下·陕西西安·八年级统考期中）等腰中一边长为3，另外两边长为不等式组的两个不同整数解，则的周长为（ ）
A．10或11 B．10或12 C．11或12 D．10或13
15．（2022·广东深圳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD＝AE；②∠AED＝∠CED；③OE＝OD；④BH＝HF；⑤BC－CF＝2HE，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
16．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）在中，，则___________．
17．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，在和中，，，，则 ．
18．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图是一副三角尺拼成四边形，E为斜边的中点，则 ．
19．（2023上·江苏镇江·八年级校考期中）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝ ．
20．（2022下·贵州毕节·八年级统考期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上，已知∠A=26°，∠B=40°，则∠ACE= ．
21．（2022下·北京·七年级北京市第十三中学分校校考期中）如图1，为响应国家新能源建设，某市公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为62°，如图2，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为48°，要使，需将电池板CD逆时针旋转度，则为 ．（）
22．（2023·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于 ．
23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）如图，在中，，点D为上一点，，，若，则的长为 ．
24．（2022·山东聊城·统考一模）如图，在ABC中，，在同一平面内，将ABC绕点A逆时针旋转到的位置，使，作交BC于点D，则 ．
25．（2023上·重庆·八年级重庆市大学城第一中学校校联考期中）如图，在中，是上一点，，点是的中点，若，则的值为
三、解答题
26．（2023·山西太原·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．
27．（2023下·河北唐山·七年级统考期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．
(1)第三边的范围为______．
(2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）．
28．（2023上·福建厦门·八年级校考期中）如图，在中，
(1)是的外角的平分线，且交的延长线于点（依题意补出图形）．
(2)，，求的度数．
29．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
30．（2023·山西·统考一模）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，点 E 为BD边上一点，过点 E 作 EG∥AD，分别交 AB 和 CA 的延长线于点 F，G，∠AFG=∠G．
（1）证明：△ABD≌△ACD
（2）若∠B=40°，直接写出∠FAG= °
31．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，求的度数．
32．（2023·广东汕头·统考一模）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，
（1）填空：的值为 ； ∠AMB的度数为 ,
（2）类比探究，如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由：
33．（2023·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
34．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在中，，点D为边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求点C到的距离．
35．（2023·辽宁·校考一模）如图，是等腰直角三角形，，，，是上的一点，且，交于点，将沿翻折得，交于，交于．
（1）的度数为______；
（2）探究与的数量关系，并证明；
（3）若，求的值．
【能力提升】
36．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）（1）如图1，中，，平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于M，连AM，N在的延长线上．求证：平分；
（2）把（1）中的“平分交手”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数______；（用含的式子表示）
（3）在（1）的条件下；若（如图3），且，作于，求的长度．
37．（2023上·四川德阳·八年级四川省广汉中学校考阶段练习）已知，为所在平面上一点，平分，平分．
(1)若点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(2)若点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
(3)若点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
38．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
(1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）；
(2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______；
(3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______；
(4)如图4，点D、E在的边、上，、交于G，G是的重心，，，，求四边形的面积．
39．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．
(1)“勾股定理”用文字叙述是__________________；
(2)类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的是等边三角形．点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为2，求的面积；
(3)在长方形内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边、、、上，当，时，求小正方形的边的长度；
40．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）发现问题
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示）
解决问题
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：；
拓展应用
（3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长．
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