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专题04 全等三角形
考点类型
知识一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）如图，，，．求证：．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图，点E，F在上，，，，求证：．
【变式2】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：．
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：∵（ ），
∴____________，
∴______，
在和中，，
∴（ ）．
【变式4】（2023上·天津静海·八年级校考期中）如图，已知，，，与交于点O，求证：
【变式5】（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）将和如图放置．已知，，，
求证：．
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，于点D，，平分交于点F．
(1)求证：
(2)直接写出图中所有全等三角形（除外）．
【变式2】（2021下·福建福州·七年级校联考期中）在矩形中，，，E是边上一点，以点E为直角顶点，在的右侧作等腰直角．
(1)如图1，当点F在边上时，求的长．
(2)如图2，若，求的长．
【变式3】（2023下·湖北随州·八年级统考期末）已知正方形，为对角线上一点．
(1)如图1，连接，，求证：；
(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，连接，直接写出的长为___________．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：（2022上·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
【变式1】（2022上·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度．
【变式2】（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 .
【变式3】（2022·山东济南·统考二模）如图，在的正方形网格中，求 度．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（2023上·河南漯河·八年级统考期中）如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作，使，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”）
(2)分别求作和的平分线，两平分线交于点O；
(3)在（2）的条件下，若，则的度数为________．（直接写出结果）
【变式1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值．
【变式2】（2021·湖北武汉·九年级专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线．
（1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：
【变式3】（2020上·上海奉贤·八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：（2020上·江西南昌·八年级期末）如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：
【变式1】（2024上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考期中）如图，与相交于点，，．求证：．
【变式2】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，于点，于点，与交于点，．求证：．
【变式3】（2020·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，求证：AC是⊙O的切线．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（2023上·全国·八年级期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是 ．
． ． ． ．
（2）求得的取值范围是 ．
． ． ． ．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．
【变式1】（2023上·全国·八年级期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由．
(2)延长交于点F，求的度数．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，E为上的一点，交于点F，已知．求证：．
【变式3】（2023上·山西长治·八年级校联考期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线
(1)若，求的度数．
(2)若，求中线长的取值范围．
考点7：全等三角形的判定——截长补短
典例7：（2023上·山西长治·八年级校联考期中）综合与探究
数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．
(1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．
解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……
(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【变式1】（2023上·江西赣州·八年级统考期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
(2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
(3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
【变式2】（2022上·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知，是的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出___________°；
(2)求证：；
(3)探究的数量关系．
【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）正三角形中，E在上，F在上，，请问现在又有什么数量关系？
考点8：全等三角形的判定——作平行线
典例8：（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）已知：如图，点D是等边的边上一点，点E在边的延长线上，连接交于点F．
(1)若点F是的中点，，则的长为______；
(2)若，点F是否为的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【变式1】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．
(1)如图1，若点为的中点，求证：；
(2)如图2，若点为上任意一点，求证：．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，是等边三角形，点D在线段上且不与点A、点C重合，延长至点使得，连接．
(1)如图①，若D为中点，求；
(2)如图②，连接，求证：．
【变式3】（2024上·陕西延安·八年级统考期末）问题提出
（1）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
①如图1，当为的中点时，则______．（填“”“”或“”）
②如图2，当为边上任意一点时，请判断与之间的数量关系，并给予证明．
问题解决
（2）如图3，现有一块不规则图形的钢材，它是由一块等边和一块等腰焊接而成的（焊接过程不考虑变形），设计要求等腰的顶点刚好在线段的延长线上，若，，求的长．
考点9：角平分线的性质与判定
典例9：（2024上·安徽池州·八年级统考期末）如图，平分，P为上一点，，，垂足分别为A，B，连接，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式1】（2023上·山东烟台·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点A，B．平分交x轴于点C，过点C作，垂足为D．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)若P是直线上一点，且满足，求点P的坐标．
【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，过点P作PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H，连接AP．求证：AP平分∠HAD．
【变式3】（2024上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，点C在线段上，分别以、为边在的同一侧作等边和等边，与相交于点O，交于点M，交于点N．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接．若M为的中点，，求的长．
考点10：全等三角形的性质与判定
典例10：（2023上·全国·八年级课堂例题）如图所示，和都是等腰直角三角形，且，与相交于点O，连接并延长交于点G．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【变式1】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）已知中，，，点D为的中点．
(1)如图1，点E，F分别为线段上的点，当时，易得的形状为 三角形；
(2)如图2，若点E，F分别为延长线上的点，且，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论；
(3)如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段分别交于点E，F，请判断的形状，并证明你的结论．
【变式2】（2024上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）如图1，在和中，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，点C恰在边上，若，求的长；
(3)如图3，若，交直线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．
【变式3】（2024上·福建厦门·八年级统考期末）如图，己知，和是对应边，．
(1)求证：垂直平分；
(2)过点B作交延长线于点E，
①请依题意补全图形；
②若，求证：是等边三角形．
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专题04 全等三角形
考点类型
知识一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的证明．由可得，从而通过“”即可证明．
【详解】∵，
∴，即．
在和中，
，
．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图，点E，F在上，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，，再运用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在与中，
，
∴．
【变式2】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．
证明：∵（ ），
∴____________，
∴______，
在和中，，
∴（ ）．
【答案】已知，，，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再由证即可．
【详解】解：（已知），
，
，
在和中，
，
．
故答案为：已知，，，，．
【变式4】（2023上·天津静海·八年级校考期中）如图，已知，，，与交于点O，求证：
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，和是两个直角三角形，根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∴．
【变式5】（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）将和如图放置．已知，，，
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质．由等角的补角相等求得，利用三角形内角和定理求得，由平行线的性质求得，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据正方形的性质先证明，得出即可得证；
（2）延长到M，使得，连接，先证明，再证明即可求解．
【详解】（1）∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，于点D，，平分交于点F．
(1)求证：
(2)直接写出图中所有全等三角形（除外）．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定等知识点，由等腰三角形的性质得到，由角平分线定义得到，因此，然后根据即可证明结论；
（2）本题主要考查了全等三角形的判定，由全等三角形的判定定理进行判断即可解答；灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，于点D，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中所有全等三角形有：，，，．
【变式2】（2021下·福建福州·七年级校联考期中）在矩形中，，，E是边上一点，以点E为直角顶点，在的右侧作等腰直角．
(1)如图1，当点F在边上时，求的长．
(2)如图2，若，求的长．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）如图1中，证明，即可解决问题．
（2）如图2中，延长，交于点N，过点F作于点M．证明，设，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）如图2中，延长，交于点N，过点F作于点M，
同理可证，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴， 而，
∴，
∴，，，
即在中，，
在中，，
在中，，
即，解得（负根舍去），
即．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式3】（2023下·湖北随州·八年级统考期末）已知正方形，为对角线上一点．
(1)如图1，连接，，求证：；
(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，连接，直接写出的长为___________．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰三角形，见解析
(3)
【分析】（1）可得，，即可求证；
（2）可证，由，即可求证；
（3）过作于点，可证，从而可证，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，，
在和中
，
（）．
（2）解：为等腰三角形，
理由如下：
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，
为等腰三角形．
（3）解：如图，过作于点，
，
由（2）知，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：（2022上·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
【答案】
【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．
【详解】解：如图，连接、，，，，
由图可知，在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．
【变式1】（2022上·湖北武汉·八年级统考期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度．
【答案】
【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
根据网格的特点可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．
【变式2】（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 .
【答案】/45度
【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．
【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．
【变式3】（2022·山东济南·统考二模）如图，在的正方形网格中，求 度．
【答案】45
【分析】连接，根据正方形网格的特征即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
∵图中是的正方形网格
∴，，
∴
∴，
∵
∴，即
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（2023上·河南漯河·八年级统考期中）如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作，使，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”）
(2)分别求作和的平分线，两平分线交于点O；
(3)在（2）的条件下，若，则的度数为________．（直接写出结果）
【答案】(1)图形见解析，SSS
(2)图形见解析
(3)
【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理：
（1）根据三条对应边相等可得到两个三角形全等， 据此可画出全等三角形；
（2）根据角平分线的性质可作出图形；
（3）根据角平线的性质以及三角形内角和可求出角度；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：图形如下：
，
首先根据的长度确定，
然后以点为圆心，的长为半径，画圆，以点为圆心，的长为半径画圆，两个圆的交点为一点，此时三角形的三条对应边分别相等，两个三角形全等，
∴故答案为：SSS；
（2）解：如图所示：
，
以点B为圆心，以定长为半径画圆，交分别于点M、N，
再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆，交点为一点Q，连接并延长，
用同样的方法可求出点P，连接并延长，此时的延长线与的延长线交于一点O，即为所求；
（3）解：∵，
∴，
由（2）可得分别是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考二模）如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；
（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知，进一步证明，（SSS），得到，，又AF＝AF，，得到（SAS），，在中，，设，，得到，，得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．
理由是：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且；
（2）解：如图2，连接DF．
在中，，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴（SSS），
∴，，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴在中，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键
【变式2】（2021·湖北武汉·九年级专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线．
（1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）做线段的垂直平分线，找到的中点，连接 与中点即可．
（2）由已知全等三角形得到相关条件，从而证明，就可得出对应线段相等．
【详解】解：（1）如图：即为所求．
（2），
，
∵，分别是与的中线，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查线段中垂线的画法、三角形全等的证明等相关知识点，能够根据条件灵活选用定理是解题的关键．
【变式3】（2020上·上海奉贤·八年级校考期末）如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见详解；（2）234
【分析】（1）作BD的中垂线MN，作点A关于MN的对称点A′，连接A′D、A′B，则△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图2，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．
【详解】解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=2
【点睛】】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作图-复杂作图，正确的画出图形是解题的关键．
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：（2020上·江西南昌·八年级期末）如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：
【答案】证明见解析
【分析】连接BD，证明△AOC≌△BOD（SAS），得到△CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明．
【详解】解：连接BD，
∵△AOB与△COD为等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB=∠COD=90°，∠A=∠ABO=45°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴∠A=∠OBD=45°，AC=BD，
∴∠ABO+∠OBD=90°，即∠CBD=90°，
∴在Rt△CBD中，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理证明线段的关系，解题的关键是作出辅助线，通过全等证明△CBD为直角三角形．
【变式1】（2024上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考期中）如图，与相交于点，，．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，再由即可得证；掌握判定方法及性质，作出恰当辅助线，构建是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
在和中
，
()，
，
在和中
，
()．
【变式2】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，于点，于点，与交于点，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先根据判定，再根据判定，即可证明，准确找到边长之间的关系和角度之间的关系是解题的关键．
【详解】证明：连接，如图所示：
，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
【变式3】（2020·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明见解析．
【分析】连接OC，先根据题意得出∠ABO=90°，然后再证明△AOB≌△AOC即可
【详解】如图：连接OC.
∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°.
∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠AOC.
∵OC=OD，∴∠CDO=∠DCO,
∴∠AOB=∠AOC.
又OA=OA，OB=OC,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠ACO=∠ABO=90°
故AC是⊙O的切线.
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，要证某线是
圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（2023上·全国·八年级期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是 ．
． ． ． ．
（2）求得的取值范围是 ．
． ． ． ．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．
【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：在和中
，
，
故选B；
（2）解：由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选C．
（3）证明：如图2，延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
即．
【变式1】（2023上·全国·八年级期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由．
(2)延长交于点F，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键．
（1）延长至E，使，连接则，证明，得出，进而判断出进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）结合（1），可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，延长至E，使，连接
∵点D是的中点，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴．
（2）解：延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，为边上的中线，E为上的一点，交于点F，已知．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线—倍长中线，构造全等三角形．
延长到，使得，连接，先证明，得，证明即可解决问题．．
【详解】证明：如图，延长到，使得，连接．
在和中，
，
，
且
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式3】（2023上·山西长治·八年级校联考期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线
(1)若，求的度数．
(2)若，求中线长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案；
（2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
为高，
，
；
（2）延长至，使，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键．
考点7：全等三角形的判定——截长补短
典例7：（2023上·山西长治·八年级校联考期中）综合与探究
数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．
(1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．
解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……
(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论；
（3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．
【详解】（1）解：延长到G，使得，连接，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）；理由如下：
延长到点，使，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
在上取一点，使，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．’
【变式1】（2023上·江西赣州·八年级统考期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
(2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
(3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
【答案】(1)③
(2)，见解析
(3)见解析
【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题；
（2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题；
（3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可．
【详解】（1）解：∵平分，，，
∴，
∴根据角平分线的性质定理可知，
故答案为：③；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
由（2）的结论得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2022上·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知，是的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出___________°；
(2)求证：；
(3)探究的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出的度数，对顶角相等，即可得到的度数；
（2）过点作，证明≌，即可得证；
（3）在上截取，证明≌，≌即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）证明：过点作，
则：，
∵是的角平分线，且交于点P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴≌，
∴；
（3）解：在上截取，
∵平分，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴≌，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．
【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）正三角形中，E在上，F在上，，请问现在又有什么数量关系？
【答案】
【分析】延长到点，使得，连接，证明，得到，再证明，即可得到．
【详解】解：数量关系为：，理由如下：
延长到点，使得，连接，
∵是正三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
考点8：全等三角形的判定——作平行线
典例8：（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）已知：如图，点D是等边的边上一点，点E在边的延长线上，连接交于点F．
(1)若点F是的中点，，则的长为______；
(2)若，点F是否为的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)F是的中点，理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，熟练掌握证明三角形全等是解题的关键．
（1）过点D作交于点G，证明是等边三角形，得出，利用证明，然后根据全等三角形的性质即可求解；
（2）过点D作交于点G，由（1）知，，则，利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：过点D作交于点G，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：3；
（2）解：F是的中点
理由：过点D作交于点G，
由（1）知，，
∵，
∴，
又，，
∴
∴，即F是的中点．
【变式1】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．
(1)如图1，若点为的中点，求证：；
(2)如图2，若点为上任意一点，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等：
（1）由等边三角形的性质得到，再由等边对等角得到，进而推出得到，则；
（2）如图所示，过点E作交于H，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点E作交于H，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，是等边三角形，点D在线段上且不与点A、点C重合，延长至点使得，连接．
(1)如图①，若D为中点，求；
(2)如图②，连接，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等；
（1）由是等边三角形，得到，D是边上的中点，得，则，由三角形外角的性质即可求出；
（2）过点作交于点，证明是等边三角形，再运用证明得，进而可得结论．
【详解】（1）解；∵是等边三角形，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点作交于点，
∵
∴，
∵是等边三角形
∴，，
∴，，
∴是等边三角形
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（2024上·陕西延安·八年级统考期末）问题提出
（1）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
①如图1，当为的中点时，则______．（填“”“”或“”）
②如图2，当为边上任意一点时，请判断与之间的数量关系，并给予证明．
问题解决
（2）如图3，现有一块不规则图形的钢材，它是由一块等边和一块等腰焊接而成的（焊接过程不考虑变形），设计要求等腰的顶点刚好在线段的延长线上，若，，求的长．
【答案】（1）①；②．证明见解析；（2）CD＝5m
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，等边三角形的性质和判定定理．
（1）①首先根据等边三角形的性质得到，，，然后求出，然后利用等角对等边求解即可；
②如图2，过点作，交于点，得到为等边三角形，然后证明出，进而求解即可；
（2）如图3，过点作，得到，然后根据线段的和差求解即可．
【详解】（1）①如图1，∵是等边三角形，点E是的中点，
∴平分，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②．
证明：如图2，过点作，交于点．
为等边三角形，
为等边三角形，
，．
，
．
，，
．
在和中，
，
，
，
．
（2）如图3，过点作，则为等边三角形．
同理，可得．
，，
．
，
．
考点9：角平分线的性质与判定
典例9：（2024上·安徽池州·八年级统考期末）如图，平分，P为上一点，，，垂足分别为A，B，连接，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形是解题的关键．
（1）依据，且P为的角平分线上的一点，可得，即可根据得到；
（2）依据可得，再依据
可利用证明，即可得到，进而得出．
【详解】（1）证明：∵平分，且P为上的一点，，
∴（角平分线上的一点到角两边的距离相等），
在和中，，
∴；
（2）解：由（1）知，
，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（2023上·山东烟台·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点A，B．平分交x轴于点C，过点C作，垂足为D．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)若P是直线上一点，且满足，求点P的坐标．
【答案】(1)C的坐标为
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出点A，B的坐标，利用勾股定理求出的长，根据平分，且，易证，推出，进而得出，设点C的坐标为，则．利用勾股定理求出，即可得出结果；
（2）由（1）知C的坐标为，设的表达式为，代入点B，点C的坐标，即可求解；
（3）设P点的坐标为，得到，．由建立方程求解即可．
【详解】（1）解：直线与两坐标轴分别交于点A，B．
令．则点A的坐标为，．
令．则点B的坐标为，．
在中，，
．
平分，且，
，，
在与中，
．
．
．
．
设点C的坐标为，则．
在中，，
．
．即．
点C的坐标为；
（2）解：设的表达式为，由题意，得．
将点C的坐标代入，得．
直线的表达式为；
（3）解：设P点的坐标为，
，
，．
，
．
或．
P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理，角的平分线的性质定理是解题的关键．
【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，过点P作PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H，连接AP．求证：AP平分∠HAD．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，过点P作PF⊥BE于点F．
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，∴PH＝PF．
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥CE，
∴PD＝PF，∴PD＝PH．
又∵PH⊥AH，PD⊥AC，
∴AP平分∠HAD．
【变式3】（2024上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，点C在线段上，分别以、为边在的同一侧作等边和等边，与相交于点O，交于点M，交于点N．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)连接．若M为的中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据，得出，理由三角形内角和得出，最后求出即可；
（3）过点C作于点E，于点H，先证明，得出平分，求出，根据三线合一得出，求出，根据直角三角形性质得出．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
同理：，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）解：过点C作于点E，于点H，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵为等边三角形，M为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，等边三角形的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
考点10：全等三角形的性质与判定
典例10：（2023上·全国·八年级课堂例题）如图所示，和都是等腰直角三角形，且，与相交于点O，连接并延长交于点G．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)；
(2)证明详见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线，等腰直角三角形的性质等知识点，数量掌握以上知识点是解题的关键．
（1）首先证明，得出，进而通过推导角的关系即可得到∠DOB的度数；
（2）根据全等三角形的对应边相等，且面积相等，得到对应边上的高相等，于是点A到和边的距离相等，于是点A在的平分线上，从而平分．
【详解】（1）（1）解：∵，都是等腰直角三角形，，
∴，，，
即，
∴，
∴，
∴
．
（2）（2）证明：如图所示，过点A作于点M，于点N，由，得，，
∴，
∴，
∴点A在的平分线上，
∴．
又∵，，
∴，
∴平分．
【变式1】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）已知中，，，点D为的中点．
(1)如图1，点E，F分别为线段上的点，当时，易得的形状为 三角形；
(2)如图2，若点E，F分别为延长线上的点，且，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论；
(3)如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段分别交于点E，F，请判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)等腰直角
(2)成立，见解析
(3)等腰直角三角形，见解析
【分析】本题考查等腰三角形判定及性质，全等三角形判定及性质．
（1）根据题意连接，证明即可得到本题答案；
（2）同（1）中证明方法已知，即可得到本题答案；
（3）证明即可得到本题答案．
【详解】（1）解：连接，
∵，，点D为的中点，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
连接，如图，
∵，，点D为的中点，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：结论：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
∵，，点D为的中点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【变式2】（2024上·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）如图1，在和中，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，点C恰在边上，若，求的长；
(3)如图3，若，交直线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形性质及判定，
（1）根据题意证明和全等即可；
（2）由（1）知，再利用题干条件得知是等腰三角形，利用三线合一性质即可得到本题答案；
（3）利用垂直定义，等腰三角形性质即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接交于点，
，
∵，，
∴，
∵，
∴和是等腰三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（2024上·福建厦门·八年级统考期末）如图，己知，和是对应边，．
(1)求证：垂直平分；
(2)过点B作交延长线于点E，
①请依题意补全图形；
②若，求证：是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)①见解析；②证明见解析
【分析】（1）先根据两个三角形全等，找到对应边和对应角，再根据该对应边以及对应角加上一条公共边，可得到另外一组三角形全等，即可得到对应角相等，并且为直角，故可得到结果；
（2）①按照题意画图即可；②根据角度之间的关系以及三角形外角的性质可得，根据两直线平行，内错角相等，得到，再根据角度和为，根据两个三角形全等，对应角相等，将两角和转化，得到一个等式，再根据两角和为可解得两个角度，再根据等边对等角，可得到三角形三个角的角度，即可得到结果．
【详解】（1）证明：设交于一点F，如图所示：
，
∵，
∴，
在中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分；
（2）解：①过点B作交延长线于点E，如图所示：
；
②∵，且，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵（两个三角形全等，则对应角相等），
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵（两个三角形全等，对应边相等），
∴，
即，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、两直线平行，内错角相等、等边对等角，准确找到角度之间的关系是解题的关键．
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