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专题06 相似三角形（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023上·上海奉贤·九年级校考期中）如图，能推出DEBC的比例式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两边成比例夹角相等证明，进而证明，即可得到
【详解】 ，
又，
故选C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，已知，相似比为，则为（ ）
A．2 B．5 C．5 D．1
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，相似比为，，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
3．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两个相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方，求出相似比，利用性质即可求出
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为2：1，
∴两个相似三角形的相似比为：1，
∴这两个三角形的周长比为：1．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质解题关键．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，且EF∥BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴EB=CF，
A、在平行四边形EFCB中，
∴EB=CF，
∵EF∥CG
∴∠AFE=∠G，
∵∠FCG=∠B=∠AEF，
∴△AFE∽△FGC，
∵BE=CF，
∴，故A错误；
B、∵CF∥AB，
∴，故B正确；
C、∵AD∥BC，
∴，故C正确；
D、∵△FGC∽△AFE，
∴，故D正确；
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，已知和位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得∽，且相似比为，根据题意和相似三角形的性质即可得的周长．
【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，且，
∴∽，且相似比为，
∵的周长为9，
∴的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定与性质．
6．（2023上·九年级课时练习）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质求解即可；
【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，∵BC＝1，
∴EF＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确计算是解题的关键．
7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性质及已知条件即可求得△CEG的面积．
【详解】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质及相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质是本题的关键．
8．（2023上·河北保定·九年级统考期末）如图所示，不能保证△ACD∽△ABC的条件是( )
A．AB:BC=AC:CD B．CD:AD=BC:AC C．CD2=ADDC D．AC2=ABAD
【答案】D
【分析】对应边成比例，且对应角相等，是证明三角形相似的一种方法．△ACD和△ABC有个公共的∠A，只需要再证明对应边成比例即满足相似，否则就不是相似．
【详解】解：图中有个∠A是公共角，只需要证明对应边成比例即可，
△ACD中三条边AC、AD、DC分别对应的△ABC中的AB、AC、BC．
A、B、C都满足对应边成比例，
只有D选项不符合．
故本题答案选择D
【点睛】掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．
9．（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD DE；④AF=，其中正确的有（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】由折叠的性质可求∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，可得∠BAE=∠EBA=30°，可证BE=AE，故①正确，由外角的性质可得∠BED=∠ABC，可证△BED∽△ABC，故②正确；由相似三角形的性质，可得BD2=AD DE，故③正确；过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，由面积法求出FH，DH的长，由勾股定理可求AF=，故④正确，即可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，BC=，AB=2BC=2，
∵BE⊥BC，
∴∠EBA=30°，
∵把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，
∴∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠EBA=30°，
∴BE=AE，故①正确，
∵∠BED=∠ABE+∠BAE=60°，
∴∠BED=∠ABC，
又∵∠C=∠ADB，
∴△BED∽△ABC，故②正确；
∴，
∵BD=BC，AD=AC，
∴BD2=AD DE，故③正确；
如图，过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BD于G，
∵∠DBE=90°-∠BED=30°，∠BDE=90°，
∴BD=DE=，BE=2DE，
∴DE=1，BE=2，
∵∠ADF=45°=∠BDF，FH⊥AD，FG⊥BD，
∴FH=FG，
∵S△BDE=BD×DE=×DE×HF+×BD×GF，
∴HF=，
∵∠ADF=45°，∠DHF=90°，
∴DH=HF=，
∴AH=AD-DH=，
∴AF==，故④正确，
综上，①②③④均正确，
故选：D．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出AH的长是解题的关键．
10．（2022·山东泰安·统考一模）如图，在中，P为边上一点．若M为的中点，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】取AP中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3-x，根据三角形的中位线的性质得到，由平行线的性质得到；接下来再根据相似三角形的性质得到，将相关数据代入得到方程，解方程得到AG的长，由AB=3可得结果．
【详解】如图所示，取AP中点G，连接MG，
设AG=x，则PG=x，BG=3-x，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵AB=3，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质综合，准确做出辅助线，找到相似三角形是关键．
11．（2023上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）如图，在与中，，CD交AB于点E，且，交于点，则四边形与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先证明△ADE∽△BCE得S△ADE：S△BCE=AE2：BE2=1：4，再证明S△AEF：S△ABC=AE2：AB2=1：9，求出即可得出结论．
【详解】解：∵DA//BC
∴∠DAE=∠EBC，∠D=∠ECB，
∴△ADE∽△BCE，
∵AE：EB=1:2，
∴S△ADE：S△BCE=AE2：BE2=1：4
∵S△ABC：S△BCE=AB：BE=3：2，
又∵EF//BC
∴△AEF∽△ABC
∵AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=AE2：AB2=1：9
∴S△AEF=S△ABC==，
∴四边形ADEF与△BEC的面积比为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
12．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，在中，点、分别是、上的点，下列比例式中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，证明，进而得出，即可证明，即可求解．
【详解】解：A. ∵，
∴，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
B. ∵，则，又
∴，
∴，
∴，故B选项不符合题意；
C. ，则，又
∴，
∴，
∴，故C选项不符合题意；
D. ，不能判断，则不能证明，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
13．（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C．＝ D．＝
【答案】C
【分析】依据∠ADC=∠BCD=90°，∠CAD=∠BCF，即可得到△ADC∽△CFB；过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，得出DM垂直平分AF，即可得到DF=DA；设CE=a，AD=b，则CD=2a，由△ADC∽△CFB，可得 ，可得b=a，依据，即可得出；根据E是CD边的中点，可得CE：AB=1：2，再根据△CEF∽△ABF，即可得到 ．
【详解】∵BE⊥AC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠ACD=∠CAD+∠ACD，
∴∠CAD=∠BCF，
∴△ADC∽△CFB，故A选项正确；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=DC，
∴BM=AM，
∴AN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴DF=DA，故B选项正确；
设CE=a，AD=b，则CD=2a，
∵∠ADC=∠BCD=90°，△ADC∽△CFB
∴∠CBE=∠DCA,
∴∠DAC=∠CEB,
∴△ADC∽△ECB，
由△ADC∽△ECB，可得，
即b=a，
∴，
AC= ,
∴，故C选项错误；
∵E是CD边的中点，
∴CE：AB=1：2，
又∵CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，故选D选项正确；
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
14．（2023上·浙江杭州·九年级校考期末）如图，D，E分别是的边AB、BC上的点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等高三角形的面积证明BE：：2，进而可得BE：：3；根据DE//AC可得∽，∽，得到，根据相似三角形的性质得到：，再根据等高三角形的面积计算得到：即可得答案．
【详解】∵：：2，和等高，
∴：：2；
∴：：3；
∵，
∽，∽，
，
∴，：，
∵和等高，
∴：，
∴：12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得出两组相似三角形并熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
15．（2022·山东济宁·二模）已知是的外接圆，半径为，是的高，是 的中点，与切于，交的延长线于，则下列结论：①；②EF∥BC；③；④ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】①连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG，则∠GCA=∠ADB=90°，∠G=∠B，证明△ACG∽△ADB，利用相似比证明结论； ②连接OE，由EF为⊙O的切线可知OE⊥EF，由E是 的中点可知OE⊥BC，故结论成立； ③连接CE，证明△ACM∽△EFC，利用相似比证明结论； ④过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，由E是 的中点可知AE平分∠BAC，由角平分线的性质得MP=MQ，而∠F=∠PCM，在Rt△PCM和Rt△BMQ中，分别表示sin∠B，sin∠PCM，再求比即可．
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
为直径，，又，
∽，
，而，
，正确；
如图，连接，
为的切线，为切点，，
又是 的中点，，
，正确；
如图，连接，
， 而
，
∽，
，即，正确；
如图，过点分别作，，垂足为，，
是 的中点，
平分，，
又，
在中，，
在中，，
，正确．
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，锐角三角函数的定义．关键是通过作辅助线，将问题转化到直角三角形中求解．
二、填空题
16．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝ ．
【答案】4
【分析】由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可求：的值．
【详解】解：四边形ABCD是矩形
，
，
,
折叠
，
在中，
，
，
，且
∽
.
故答案为4.
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证∽．
17．（2023·湖南长沙·校考二模）若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为 ．
【答案】6
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，
∴＝32，即＝9，
解得，△DEF的面积＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方这一定理．
18．（2023·云南曲靖·统考一模）已知，如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A、B、C、D、E、F，若， ，则 ．
【答案】
【分析】根据平行线所截线段对应成比例直接求解即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，解题的关键是熟练掌握此知识点．
19．（2023上·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）若△ABC∽，且，若ABC的面积为，则的面积为 ．
【答案】/48平方厘米
【分析】由△ABC∽，且，根据相似三角形的面积比是相似比的平方，可得△ABC与的面积比，进而可求得答案
【详解】解：∵△ABC∽，且，
∴，
∴，
故答案为
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
20．（2023·上海静安·统考一模）在中，，点D、E分别在边上，当时， ．
【答案】/0.8
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似可证明，再根据相似三角形的对应边成比例可得，代入求解即可．
【详解】在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知矩形中，为边上动点，连接，过作，在上截取，过作于，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，求出，根据证明，得到，由，得点P、C、M、H四点共圆，证得，即与共线，进而得到当时，的值最小，利用面积法求出答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴点P、C、M、H四点共圆，
∴，
∴与共线，
∴当时，的值最小，此时，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，四点共圆，垂线段最短，正确理解四点共圆得到与共线是解题的关键．
22．（2022上·辽宁沈阳·九年级统考阶段练习）如图，在中，，是角平分线，点在边上．，，，．则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据边长及是角平分线，证明，则，，利用三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和可得答案．
【详解】解：是角平分线，
，
，，，且，
，即，
，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用已知条件证明，利用相似三角形的角相等解题．
23．（2023·江苏扬州·统考一模）正方形ABCD，∠DEC＝90°，EC＝6，则阴影△CBE面积是 ．
【答案】18
【分析】过点E作BC边的垂线，构造相似三角形，得到阴影部分的高，再代入三角形面积公式可得解．
【详解】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴；CB＝CD，∠DCB＝90°．
∵∠DEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCE，
又∵
∴△CEN∽△DCE，
∴，即，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积问题，掌握构建相似三角形求解三角形的边长是解题的关键．
24．（2023下·山东青岛·九年级统考期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为 cm．
【答案】10
【分析】首先证明PB+QJ＝10，在立体图形中，证明四边形BGQP为矩形，根据矩形的性质解答即可．
【详解】解：平面图形中，∵IJ∥PE，
∴△QIJ∽△QPE，
，即，
∴10EQ+10PE＝PE EQ，
∵图L被直线PQ分成面积相等的上、下两部分，
，
∴PE QE＝500，即PE+QE＝50(cm)，
∴PB+JQ＝50﹣40＝10(cm)，
立体图形中，连接MN，
∵PB+JQ＝10，JQ+QG＝10，
∴PB＝QG，
∴四边形BGQP为矩形，
∴PQ＝BG＝10(cm)，
故答案为10．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、几何体的展开图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（2023·广西防城港·统考一模）如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2，则MN的值为 ．
【答案】9﹣5．
【分析】作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，证明△AGF≌△AEM，△AFT≌△AMK得到AF=AM，FT=MK=EK=DM，在RT△ADC中根据已知条件求出CD，AD，设MK=EK=x，根据AE=AK+EK列出方程求出x，在RT△HEC中求出HC，进而求出DH，再根据=，求出DN，利用MN=AD﹣AM﹣DN求出MN．
【详解】解：作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，
∵Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，
∴∠GAD=∠CAB=60°，
∵∠GAE=∠DAB=90°，AG=AE=AD=AB，
∴∠DAC=30°，∠G=∠AEG=45°，
∵AF平分∠GAD，
∴∠GAF=∠FAT=30°，
在△AGF和△AEM中，
∴△AGF≌△AEM，
∴AF=AM
在△AFT和△AMK中，
∴△AFT≌△AMK，
∴AT=AK，
∵AD=AE，
∴DT=EK，
∵∠KME=∠KEM=45°，
∴MK=EK=DT=FT，
设MK=KE=x，则AK=x，
∵AC=2，∠DAC=30°，
∴DC=，AD=3，∴AE=AD=3，
∴x+x=3
x=，
∴DT=DM=FH=MK=EK=，AM=3（﹣1），EC=2﹣3，
在RT△HEC中，∵∠C=60°，EC=2﹣3，
∴HC=2EC=4﹣6，DH=DC﹣HC=﹣（4﹣6）=6﹣3，
设DN=y，∵DH∥FT，
∴=，
∴y=2﹣3，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=3﹣3（﹣1）﹣（2﹣3）=9﹣5．
【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行成比例等知识，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
26．（2023·福建南平·校联考模拟预测）已知：如图，在中，点为边上的一点．
(1)过点作直线，交线段于点E．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，若，求的值．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作，交于点，
（2）利用平行线分线段比例定理即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，作，交线段于点，
∴，
则直线即为所作；
（2）∵，，
∴，
∴
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行线的判定，平行线分线段成比例定理．掌握基本作图和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
27．（2023上·浙江·九年级专题练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）
【答案】竹竿的长度为45尺．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，
解得（尺），
答：竹竿的长度为45尺．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
28．（2022下·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
【答案】(1)见解析
(2)tan∠ABD=．
【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出结论即可；
（2）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵OD=CO，
∴∠ODC=∠OCD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠EDC=90°，
∵点F为CE的中点，
∴DF=CF=EF，
∴∠FDC=∠FCD，
∴∠FDO=∠FCO，
又∵AC⊥CE，
∴∠FDO=∠FCO=90°，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠E+∠CAE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠ACE=90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2=AD×AE，
设DE=a，则AC=2a，
∴12a2=AD（AD+a），
∴AD=3a或-4a（舍去），
∵DC2=AC2-AD2，
∴DC=a，
∴tan∠ABD=tan∠ACD==．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．
29．（2023·陕西西安·三模）大唐不夜城位于陕西省西安市雁塔区的大雁塔脚下，以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，是西安唐文化展示和体验的首选之地．爸爸和贝贝来到大唐不夜城游玩，被漂亮的灯光夜景吸引，贝贝想利用所学知识来测量路灯的高度．如图，他们共同站在路灯下，爸爸的身高，贝贝的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，两人相距，求路灯的高度．
【答案】路灯的高度是．
【分析】由，得，表示出DF；由，得，表示出DN，DF+DN=FN，求得的值．
【详解】设路灯的高度为m．
∵，∴，
∴，
即，
解得．
∵，∴，
∴，
即，
解得．
∵两人相距，
∴，
∴，
解得．
答：路灯的高度是．
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，利用平行确定相似三角形并表示出线段长度，是解题的关键
30．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知正方形，点E在边上，连接．利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】过点D作于点F，点F即为所求．
【详解】如图，点F即为所求．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
31．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形的边长为，E，F分别是的中点，与分别交于点M，N． 请你回答下列问题：
(1)求证：．
(2)直接写出的长．
(3)求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)8
【分析】（1）只需要利用证明得到，由推出，即可证明；
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积法求出的长即可；
（3）先利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到的长，再证明，得到，求出，则，即可利用三角形面积公式求得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵正方形的边长为，B为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
32．（2022·黑龙江绥化·校考一模）如图，是圆的直径，交于点，延长到，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，直线为相切吗？为什么？
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)直线为相切，理由见详解
【分析】（1）由，得，证，即可求解；
（2），由，即可求解；
（3）连接，由，得，，进而即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
（3）连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线为相切．
【点睛】本题主要考查圆的综合应用，相似三角形综合，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
33．（2023·陕西西安·高新一中校考二模）新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
【答案】500
【分析】延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】如图，延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T，
由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴，
∵MT∥DE，
∴，
∴，
∴DE＝500（m）．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
34．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解．
【详解】解：（1）将代入中，
，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
，
，
，
，
将代入中，
，
解得：，
C点坐标为，
将，代入中，
可得，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）设直线OC的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
直线OC的解析式为，
由，设直线DE的解析式为，
将代入可得：，
解得：，
直线DE的解析式为，
当时，，
解得：，
E点坐标为，
，
在中，当时，，
解得：，
A点坐标为，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
35．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）矩形中，点是边的中点，延长交的延长线于点，点是线段上的一点，延长交的延长线于点．
（1）如图1，若是线段的中点，求证：；
（2）如图2，连接，求证：平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由点为中点，可得，利用等边对等角的，可证，点E为AD中点，可得AE=DE，可得∠ABE=∠DFE，可证 （AAS），，可证 （AAS），可证；
（2）如图，过点作，连接，则，由，可证△PME∽△PAB，可得，由，可证△PED∽△PBQ，可得，可得，可证△PMD∽△PAQ，∠PMD=∠PAQ，，∠QAD=∠MDA=∠MAD即可
【详解】证明：（1）点为中点，
，
，
又∵，
∴，
∵点E为AD中点，
∴AE=DE，
∵矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠DFE，
在和中，
，
（AAS），
∴，
在和中
，
∴ （AAS），
（2）如图，过点作，
连接，则，
，
∴∠PME=∠PAB，∠PEM=∠PBA，
∴△PME∽△PAB，
，
∵，
∴∠PED=∠PBC，∠PDE=∠PQB，
∴△PED∽△PBQ，
，
，
又∠MPD=∠APQ，
∴△PMD∽△PAQ，
∴∠PMD=∠PAQ，
∴∠QAD=∠MDA=∠MAD，
平分．
【点睛】本题考查矩形性质，线段中点，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，相似三角形判定与性质，掌握矩形的性质，线段中点，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，相似三角形判定与性质是解题关键．
【能力提升】
36．（2023上·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是，动点从点出发，沿方向运动，速度是．
(1)几秒后与相似？
(2)设的面积为，的面积为，在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)秒或秒后与相似
(2)存在，运动10秒或15秒时，使得
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用；
（1）设秒后根据与相似，用表示出、，分和两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；
（2）用分别表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）设秒后有与相似，则，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，，
故秒或秒后与相似．
（2）的面积为，
的面积为，
由题意得，，解得，，，
故运动10秒或15秒时，．
37．（2023·广东茂名·统考三模）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且 ，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据是的直径，可得，即，根据同弧所对的圆周角相等，以及已知条件可得，等量代换后即可得，进而得证；
（2）连接，根据角平分线的定义，以及等边对等角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，由垂径定理可得，进而可得，即可求解．
（3）过点作，根据平行线分线段成比例，求得，设的半径为，则，证明，可得，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的切线，
（2）如图，连接，
平分，
，
∴
，
，
，
，
是的直径，
，，
即，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，
由（2）可知，
，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
即，
解得：（负值舍去），
的半径为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
38．（2024上·河北承德·九年级统考期末）如图，四边形中，，对角线，，，点为折线上的点．
(1)求的长；
(2)若点在的平分线上，求的长；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理可得，证明，可得，代入数值进行计算即可得出答案；
（2）设，则，过点作，由角平分线的性质定理可得，证明得出，代入数值进行计算即可得出答案；
（3）分两种情况：当点在边上；当点在边上，过点作于，作交的延长线于点；分别根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，设，则，过点作，
∵为的平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：分两种情况：
当点在边上，如图，
，
则，则，
当点在边上，如图，过点作于，作交的延长线于点，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∴，
综上所述。或．
39．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N．
(1)求证：；
(2)若，，设，矩形的面积为y，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)y与x之间的函数表达式是．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质的应用，列二次函数关系式即可，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键；
（1）由矩形的性质可得，可得；
（2）先证明，再由相似三角形的性质可得，再利用面积公式建立函数关系式即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∵，
∴，
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积，
∴．
40．（2024上·山西长治·九年级校联考期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
角平分线分线段成比例 我们知道，在数学中经过证明的真命题称为定理．下面是人们在解决数学问题时发现的一个定理，我们暂且称它为角平分线分线段成比例定理．其内容如下：如图1，在中，是的平分线，则．下面分别是小明和小亮的证明方法． 小明：如图2，过点A作于点G，过点D分别作于点E，于点F． ∵AD是的平分线， ∵．（依据） ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 小亮：如图3，过点B作交的延长线于点E． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ……
任务：
(1)小明的证明过程中的“依据”指的是______；
(2)小亮的证明过程不完善，请你帮助小亮完成证明；
(3)如图4，在中，，，．若的平分线交于点D，则的值为______．
【答案】(1)角平分线的性质定理；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查三角形的面积，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，然后表示三角形的面积即可得到结论；
（2）过点B作交的延长线于点E，则有，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论；
（3）根据勾股定理求出长，根据题目给出的结论可以求出长，然后利用计算即可．
【详解】（1）解：依据为角平分线的性质定理，
故答案为：角平分线的性质定理；
（2）如图3，过点B作交的延长线于点E．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：∵，，，
∴，
的平分线交于点D，
∴，且，
∴，
∴．
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专题06 相似三角形（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023上·上海奉贤·九年级校考期中）如图，能推出DEBC的比例式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，已知，相似比为，则为（ ）
A．2 B．5 C．5 D．1
3．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）两个相似三角形的面积之比为，则这两个三角形的周长比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·重庆·模拟预测）如图，已知和位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C． D．
6．（2023上·九年级课时练习）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2023上·河北保定·九年级统考期末）如图所示，不能保证△ACD∽△ABC的条件是( )
A．AB:BC=AC:CD B．CD:AD=BC:AC C．CD2=ADDC D．AC2=ABAD
9．（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD DE；④AF=，其中正确的有（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
10．（2022·山东泰安·统考一模）如图，在中，P为边上一点．若M为的中点，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
11．（2023上·山东潍坊·九年级校考阶段练习）如图，在与中，，CD交AB于点E，且，交于点，则四边形与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，在中，点、分别是、上的点，下列比例式中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（ ）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C．＝ D．＝
14．（2023上·浙江杭州·九年级校考期末）如图，D，E分别是的边AB、BC上的点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·山东济宁·二模）已知是的外接圆，半径为，是的高，是 的中点，与切于，交的延长线于，则下列结论：①；②EF∥BC；③；④ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
16．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝ ．
17．（2023·湖南长沙·校考二模）若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为 ．
18．（2023·云南曲靖·统考一模）已知，如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c交于点A、B、C、D、E、F，若， ，则 ．
19．（2023上·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）若△ABC∽，且，若ABC的面积为，则的面积为 ．
20．（2023·上海静安·统考一模）在中，，点D、E分别在边上，当时， ．
21．（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知矩形中，为边上动点，连接，过作，在上截取，过作于，连接，则的最小值为 ．
22．（2022上·辽宁沈阳·九年级统考阶段练习）如图，在中，，是角平分线，点在边上．，，，．则的度数是 ．
23．（2023·江苏扬州·统考一模）正方形ABCD，∠DEC＝90°，EC＝6，则阴影△CBE面积是 ．
24．（2023下·山东青岛·九年级统考期中）如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为 cm．
25．（2023·广西防城港·统考一模）如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2，则MN的值为 ．
三、解答题
26．（2023·福建南平·校联考模拟预测）已知：如图，在中，点为边上的一点．
(1)过点作直线，交线段于点E．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，若，求的值．
27．（2023上·浙江·九年级专题练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约1500年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量得它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影子长五寸，问竹竿的长度为多少尺？（注：1丈尺，1尺寸）
28．（2022下·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC=2DE，求tan∠ABD的值．
29．（2023·陕西西安·三模）大唐不夜城位于陕西省西安市雁塔区的大雁塔脚下，以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，是西安唐文化展示和体验的首选之地．爸爸和贝贝来到大唐不夜城游玩，被漂亮的灯光夜景吸引，贝贝想利用所学知识来测量路灯的高度．如图，他们共同站在路灯下，爸爸的身高，贝贝的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，两人相距，求路灯的高度．
30．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知正方形，点E在边上，连接．利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
31．（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形的边长为，E，F分别是的中点，与分别交于点M，N． 请你回答下列问题：
(1)求证：．
(2)直接写出的长．
(3)求的面积．
32．（2022·黑龙江绥化·校考一模）如图，是圆的直径，交于点，延长到，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，直线为相切吗？为什么？
33．（2023·陕西西安·高新一中校考二模）新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．
34．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
35．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）矩形中，点是边的中点，延长交的延长线于点，点是线段上的一点，延长交的延长线于点．
（1）如图1，若是线段的中点，求证：；
（2）如图2，连接，求证：平分．
【能力提升】
36．（2023上·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是，动点从点出发，沿方向运动，速度是．
(1)几秒后与相似？
(2)设的面积为，的面积为，在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．
37．（2023·广东茂名·统考三模）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且 ，平分，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，求的长；
(3)延长，交于点，若，求的半径．
38．（2024上·河北承德·九年级统考期末）如图，四边形中，，对角线，，，点为折线上的点．
(1)求的长；
(2)若点在的平分线上，求的长；
(3)若，求的值．
39．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N．
(1)求证：；
(2)若，，设，矩形的面积为y，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
40．（2024上·山西长治·九年级校联考期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
角平分线分线段成比例 我们知道，在数学中经过证明的真命题称为定理．下面是人们在解决数学问题时发现的一个定理，我们暂且称它为角平分线分线段成比例定理．其内容如下：如图1，在中，是的平分线，则．下面分别是小明和小亮的证明方法． 小明：如图2，过点A作于点G，过点D分别作于点E，于点F． ∵AD是的平分线， ∵．（依据） ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 小亮：如图3，过点B作交的延长线于点E． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ……
任务：
(1)小明的证明过程中的“依据”指的是______；
(2)小亮的证明过程不完善，请你帮助小亮完成证明；
(3)如图4，在中，，，．若的平分线交于点D，则的值为______．
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