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专题05 特殊三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等腰三角形的性质与判定
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
（二）等边三角形的性质与判定
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
（三）角平分线与垂直平分线的性质
（1）角平分线
①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。
（2）垂直平分线
①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）直角三角形的性质
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
（五）直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——等边对等角
典例1：（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）如图， ，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D、E两点，并连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2018·天津河东·八年级统考期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）．
A． B． C． D．
考点2：等腰三角形的性质——三线合一
典例2：（2024上·河北沧州·八年级统考期末）如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【变式1】（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
【变式2】（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点．
【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为．
(1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
(2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
【变式4】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图①所示，点D，E在的边上，．
(1)若，求证：．
(2)如图②所示，若，F为的中点，，求的度数．
【变式5】（2024上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且．
(1)判断并说明与的位置关系；
(2)若，，求．
考点3：等腰三角形判定
典例3：（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）如图所示，在中，平分，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的度数．
【变式1】（2024上·甘肃武威·八年级校联考期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求CM的长度．
【变式2】（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长．
【变式3】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．
(1)求的长；
(2)求和的面积；
(3)求中点到边上的距离．
考点4：等边三角形性质
典例4：（2024上·江西赣州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，已知，于，与交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，是等边边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，连接，点是上一点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边，上，若，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
考点5：等边三角形判定
典例5：（2022上·北京·八年级校联考期末）如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
【变式1】（2023上·江苏宿迁·八年级校联考期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
【变式2】（2023上·广东广州·八年级铁一中学校考期中）如图，在中，，，是上的中线，E是的中点，连接．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求的长．
【变式3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
考点6：等边三角形判定与性质综合
典例6：（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接交于点F，若，，求的长度．
【变式1】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在和中，，，，、相交于点M．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)如图2，当时，取，的中点分别为点P、Q，连接，，，判断的形状，并加以证明．
【变式2】（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）已知，如图，是上一点，，角平分线交于，为中点，延长交于F．
(1)求证：；
(2)若，，求证：．
【变式3】（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
考点7：垂直平分线的性质
典例7：（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点N、G、F，交的延长线于点M，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2018下·山东枣庄·九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧的交点与分别交于点，点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点8：垂直平分线的判定
典例8：（2024上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在中，平分，于点E，于点F，连接交于点O．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，求线段的长．
【变式1】（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E．
(1)求证：垂直平分线段；
(2)若，，求的长．
【变式2】（2023上·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)连接，求证垂直平分．
【变式3】（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．
求证：
(1)．
(2)垂直平分．
考点9：直角三角形——斜边中线
典例9：（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024上·广东清远·九年级统考期末）如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，在中，，，点D为的中点，点E、F分别在边上，且，则下列说法：
①；
②；
③（S代表三角形面积）；
④（C代表三角形周长）
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点10：直角三角形——含30°角
典例10：（2023上·广东江门·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·天津宁河·八年级统考期末）如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】（2024上·广东云浮·九年级罗定中学校联考期末）如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【变式3】（2023上·广东肇庆·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点11：直角三角形——含45°角
典例11：（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图在等腰直角中，若，E为中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·湖南株洲·八年级统考期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式3】（2022·四川南充·统考一模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
考点12：直角三角形——勾股定理
典例12：（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【变式2】（2023上·山西大同·九年级统考期末）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，连接，．若，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
【变式3】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点O，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
考点13：直角三角形——两角互余
典例9：（2023下·山东青岛·七年级校考期末）如图，在中，，且D在上，于E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·上海金山·八年级校联考期末）如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·广东东莞·八年级统考期中）已知：如图，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B． C． D．
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专题05 特殊三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等腰三角形的性质与判定
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
（二）等边三角形的性质与判定
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
（三）角平分线与垂直平分线的性质
（1）角平分线
①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。
（2）垂直平分线
①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）直角三角形的性质
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
（五）直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——等边对等角
典例1：（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）如图， ，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“全等三角形的对应角相等，对应边相等”可得且，由此可得，由并根据三角形内角和定理即可求出的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、等边三角形性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理时解题的关键．
【详解】∵，
，且，
，
即．
又∵，
．
故选：D．
【变式1】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D、E两点，并连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，熟练运用“等边对等角”求角的度数是解题关键．
根据三角形内角和定理以及“等边对等角”可得，再利用三角形的内角和定理可得，最后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵以B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2】（2024上·四川内江·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得 ，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，故结论①正确；
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论③正确；
∵在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，故结论④正确．
综上，正确的结论有4个．
故选：D
【变式3】（2018·天津河东·八年级统考期末）如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
【详解】解： ，
，，
，
在中，
，
，
，
整理得．
故选：D．
考点2：等腰三角形的性质——三线合一
典例2：（2024上·河北沧州·八年级统考期末）如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．如图，连接，由题意点B关于直线的对称点为点A，推出的长为的最小值即可．
【详解】解：如图，连接．
是等腰三角形，点D是边的中点，
，
，
，
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线的对称点为点A，
的长为的最小值，
∴的周长最短为，
故选：C．
【变式1】（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
首先作于,作交的延长线于.根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高即为，即可求得面积．
【详解】解：作于,作交的延长线于
，
在和中，
的高即为,
故选：A．
【变式2】（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点．
【答案】见详解
【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证．
【详解】证明：如图，连接．
∵在等边中，点是的中点，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
又∵，
∴点是的中点．
【变式3】（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为．
(1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
(2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
【答案】(1)，理由见解答
(2)（1）中关系还成立，理由见解答
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解决一题多变的时候，基本思路是相同的，注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用．
（1）如图，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解，
理由：如图1，连接，
∵于于 于，
∵，
又∵
∴，
∵
∴；
（2）（1）中关系还成立，
理由：连接，
，
又，
【变式4】（2023上·全国·八年级课堂例题）如图①所示，点D，E在的边上，．
(1)若，求证：．
(2)如图②所示，若，F为的中点，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．
（1）过作于，根据等腰三角形的性质得出，，即可求出答案；
（2）证明，根据等腰三角形的性质得出即可．
【详解】（1）证明：如图，过作于，
，，
，，
，
；
（2）解：，为的中点，
，
，
，
，
，，
．
【变式5】（2024上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，中，是边上的高，、分别是、的中点，且．
(1)判断并说明与的位置关系；
(2)若，，求．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由是边上的高，则，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得出，最后由等腰三角形的“三线合一”性质即可；
（）由等腰三角形的性质和勾股定理即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接，
∵是边上的高，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴；
（2）由（）得：，，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
考点3：等腰三角形判定
典例3：（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）如图所示，在中，平分，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理；
（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，即可求证；
（2）由三角形内角和定理得，由平行线的性质得，即可求解；
掌握性质及等腰三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
【变式1】（2024上·甘肃武威·八年级校联考期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求CM的长度．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证；
（2）作于点F，角平分线的性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）作于点F，如图所示，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
由（1）知：，
∴，
即的长度为
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长．掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
【变式2】（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长．
【答案】11
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，，
，
的周长为
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【变式3】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．
(1)求的长；
(2)求和的面积；
(3)求中点到边上的距离．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（1）易证，在直角中，根据勾股定理就可以求出的长；
（2）由折叠的性质得，，， ，由，即可得出结果；
（3）由勾股定理得出的长，设到边上的距离为，则，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，由折叠性质得：，
∴，
∴，
设，则．
在中，由勾股定理得：，即：，
解得：，
∴；
（2）解：由折叠的性质得：，，，，
∴ ，
；
（3）解： ，设到边上的距离为，
则 ，即： ，解得： ，
∴到边上的距离为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，运用三角形面积公式计算是解题的关键．
考点4：等边三角形性质
典例4：（2024上·江西赣州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，已知，于，与交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；根据等边三角形的性质可得，，再利用边角边证明和全等．然后得到，结合角的关系，得到；根据，得到，进而得到，再根据，得到，即可证明．由和全等对应边相等得到；再结合边的关系，得到；即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故B正确；
．，
，
，
故D正确，
无法判断，
故C错误，
故选：C．
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，是等边边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，借助翻折变换的性质得到，，证明，再根据相似三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
【详解】解：设，则，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由折叠，得：，
∴的周长为，的周长为，
∴与的相似比为
∴．
故选：B．
【变式2】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点是边上一点，连接，点是上一点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，三角形全等判定与性质等知识．根据等边三角形性质得到，即可B选项正确；若，则，根据可以得到A选项错误；延长交于点F，证明，得到，根据，得到，得到C选项错误；证明，，从而得到，得到D选项错误．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，故B选项正确，符合题意；
若，则，
∵，
∴A选项错误，不符合题意；
如图，延长交于点F，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故D选项错误，不符合题意．
故选：B
【变式3】（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边，上，若，，则的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【答案】C
【分析】先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明，则可得，由可得，由此可得，即可求出的长．
本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵为等边三角形，
，．
，，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
解得．
故选：C
考点5：等边三角形判定
典例5：（2022上·北京·八年级校联考期末）如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质；
（1）求出，证明，可得，再根据等边三角形的判定得出结论；
（2）根据含直角三角形的性质求出，，进而可得的长．
【详解】（1）证明：∵点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2023上·江苏宿迁·八年级校联考期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，则；
（2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【变式2】（2023上·广东广州·八年级铁一中学校考期中）如图，在中，，，是上的中线，E是的中点，连接．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角的性质，等边三角形的判定，熟记各性质是解题的关键．
（1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据等腰三角形三线合一性质得到，进而得到，即可证明出为等边三角形；
（2）利用角直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵，，是上的中线，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形；
（2）∵，，
∴．
【变式3】（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，再根据“两直线平行，内错角相等”得，然后根据可得答案；
（2）根据全等三角形的性质得，，再说明，即可得出是等边三角形．
【详解】（1）∵等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴≌；
（2）是等边三角形．理解如下：
∵≌，
∴，，
∴，
即，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等边三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
考点6：等边三角形判定与性质综合
典例6：（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接交于点F，若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的直角三角形的应用．
（1）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定证明即可．
（2）利用等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形性质计算即可．
【详解】（1）根据折叠的性质，得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故是等腰三角形．
（2）∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
根据折叠性质，得，
∴．
【变式1】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在和中，，，，、相交于点M．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)如图2，当时，取，的中点分别为点P、Q，连接，，，判断的形状，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)等边三角形，证明见解析
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识；
（1）根据已知条件，证明，可得结论．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）由条件先证明，可求得，则可证明为正三角形．
【详解】（1）证明：如图1中，
，
∴ ，
，
在和中，
，
．
（2）解：设交于点，
，
，
，
，
即．
（3）解：结论：是等边三角形，理由如下：
，
，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
是正三角形．
【变式2】（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）已知，如图，是上一点，，角平分线交于，为中点，延长交于F．
(1)求证：；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，结合三角形的内角和定理得出，即可求证；
（2）先根据：三线合一得出，进而得出．根据三角形的内角和定理得出，则为等边三角形，即可求证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，为中点，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
【变式3】（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定与性质，含角的直角三角形的特征．
（1）根据等边三角形的性质得出进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可得出结论；
（2）易证得，得出，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
，，，
，
，，，
，
，，，
，
是等边三角形；
（2），
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
考点7：垂直平分线的性质
典例7：（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点N、G、F，交的延长线于点M，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理以及外角的性质．根据等角的余角相等，可得A正确；根据是的角平分线以及三角形的内角和定理可得，又有，，可得，可得B正确；根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，可得到C正确；根据，，可得，再由，可得，可得D错误，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故A正确；
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴
，故B正确；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误．
故选：D．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，平分，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，即平分．
∵与不重合，
∴不平分，故③错误；
如图，连接，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∵，，
∴，故④正确．
综上可知正确的有3个．
故选C．
【变式2】（2018下·山东枣庄·九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了两类基本的尺规作图—尺规作角平分线和线段的垂直平分线、角平分线的定义、对顶角的性质和平行线的判定和性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．易得，于是可根据平行线的性质求出，由题意可得：平分，垂直平分，从而可根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理即可求出，进而可得答案．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
如图，由题意可得：平分，垂直平分，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
【变式3】（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两弧的交点与分别交于点，点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求角度，涉及尺规作图-中垂线、等腰三角形性质和三角形内角和等知识，由尺规作图得到，从而由等腰三角形性质得到、，进而由三角形内角和定理即可得到答案，熟练掌握中垂线尺规作图是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知是线段的中垂线，
，
，
，
，
由三角形内角和得，
，
故选：C．
考点8：垂直平分线的判定
典例8：（2024上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在中，平分，于点E，于点F，连接交于点O．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、含30度角直角三角形的性质，角平分线及等腰三角形的性质等知识，熟记三角形全等的判定定理及角平分线的性质定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得到，即可根据证明，根据线段垂直平分线的判定即可证明；
（2）根据，结合平分则可由等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义求出及，最后利用直角三角形的性质计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，于点E，于点F，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
又∵，
∴垂直平分；
（2）∵垂直平分；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E．
(1)求证：垂直平分线段；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可；
（2）由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵等边三角形，
∴，
又∵，
∴垂直平分线段；
（2）解：∵等边三角形，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键．
【变式2】（2023上·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)连接，求证垂直平分．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
（1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明；
（2）利用“ “证明，可得，所以点在的垂直平分线上，根据，可得点在的垂直平分线上，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：于点，
，
又平分，，
，
在和中，
，
．
（2）证明：在和中，
，
，
．
点在的垂直平分线上是，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分；
【变式3】（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）在中，，点N在线段上（如图位置），为的斜边，于N，交于M，连接，相交于F，．
求证：
(1)．
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，熟记垂直平分线的判定定理是解本题的关键；
（1）先证明，再证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，结合，可得结论．
【详解】（1）证明：，
∴点B在线段的垂直平分线上
，
，
在和中，，
（2）由（1）知，
，
∴点M在线段的垂直平分线上，
．
点B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
考点9：直角三角形——斜边中线
典例9：（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角得出，从而得出，进而是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，，点为的中点，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：C．
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以得到，然后根据勾股定理可以得到，从而可以得到的数量关系．
【详解】解：∵点F，G，H分别为的斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得：，
故选：C．
【变式2】（2024上·广东清远·九年级统考期末）如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，根据题意求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，故可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
在中，，
∵点F是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
故选：C．
【变式3】（2024上·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，在中，，，点D为的中点，点E、F分别在边上，且，则下列说法：
①；
②；
③（S代表三角形面积）；
④（C代表三角形周长）
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形想的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，证明，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】解：连接，
∵在中，，，
是等腰直角三角形，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴=定值
∴，故③正确，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确，
假如，
可得出，
∵和都是直角三角形，
∴，
无法证出，
故④错误，
故①②③正确，
故选：C．
考点10：直角三角形——含30°角
典例10：（2023上·广东江门·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理和含度的直角三角形的性质，先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为的直径，
∴点为的中点，
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，，
∴点坐标为，
故选：．
【变式1】（2024上·天津宁河·八年级统考期末）如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出的长是解题的关键．
延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案．
【详解】延长交于M，延长交于N，
，平分，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式2】（2024上·广东云浮·九年级罗定中学校联考期末）如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据已知条件以及旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，可得旋转角为60°，即可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
，，
又，
是等边三角形，
旋转角，
，
是等边三角形，
，
在中，，，，
，
，
，
点与点B之间的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，找到旋转角是解题的关键．
【变式3】（2023上·广东肇庆·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④．
其中正确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质、角平分线的判定、含角的直角三角形的特征，利用垂直平分线的性质及可得，进而可得，则可判断①，根据垂直平分线的性质及含角的直角三角形的特征可判断②，根据全等三角形的性质得，再根据含角的直角三角形的特征得，由可判断③，根据垂直平分线的性质得，再根据全等三角形的性质得，进而可判断④，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】解：在中，，
，
，
垂直平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
平分，故①正确；
，，
，故②正确；
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，即：，
，
，故③错误；
垂直平分，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有3个，
故选B．
考点11：直角三角形——含45°角
典例11：（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图在等腰直角中，若，E为中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，先根据直角三角形的性质得出，然后判定是等边三角形，最后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，E为中点，
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵等腰直角中，，
∴，
∴．
故选：D．
【变式1】（2022上·湖南株洲·八年级统考期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；作FH⊥AB，根据角平分线的性质可得FD=FH＜FA，可判断③；证△FBD≌△NAD可判断④．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，故①符合题意；
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②符合题意；
过点F作FH⊥AB于点H，
∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，
∴FD=FH＜FA，故③不符合题意；
∵AM⊥EF， ∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中 ，，
∴△FBD≌△NAD（ASA）,
∴DF=DN，故④符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线的性质定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
【变式2】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，过点D作DE⊥DF分别交AB、AC于E、F（不与B、C重合）．取EF的中点O，连接AO并延长交BC于G，连接EG、FG．随着点E、F的位置的变化，有以下四个结论：①DE＝DF；②四边形AEDF的面积始终为9；③∠EGF＝90°；④四边形AEGF的面积有最小值为其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】证明△BDE≌△ADF，即可判断①正确；根据①的结论判断②正确；以点O为圆心，OE为半径作圆O，由∠BDA=90°，证得AG为圆O的直径，即点G在圆O上，即可判断③正确；设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，证明四边形AEGF是矩形，利用矩形面积公式求出四边形AEGF的面积=，利用二次函数的性质得到四边形AEGF的面积有最大值为9，即可判断④错误．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠CAD=45°，∠ADB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，故①正确；
∴四边形AEDF的面积==，
∴四边形AEDF的面积始终为9，故②正确；
以点O为圆心，OE为半径作圆O，连接OD，
∵∠EDF=90°，点O为EF的中点，
∴OD=OE=OF=OA，
∵∠ADG=90°，
∴∠GAO+∠AGD=∠ADO+∠GDO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠AGD=∠ODG，
∴OA=OD=OA，
∴AG为圆O的直径，即点G在圆O上，
∴∠EGF=90°，故③正确；
设AF=x，则BE=AF=x，AE=6-x，
∵OA=OG=OE=OF，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∴四边形AEGF的面积=，
∴当x=3时，四边形AEGF的面积有最大值，最大值为9，
故④错误；
正确的有①②③．
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，矩形的判定及性质，二次函数的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
【变式3】（2022·四川南充·统考一模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由等腰直角三角形和同角的余角相等，易证，再由勾股定理即可判断（1）（2）正确，再用面积割补法即可整除（3）正确，再证得，即可判断（4）正确．
【详解】解： ， ，O是斜边AB的中点，
，，
，
，
，
，
，
在和 中
，
，
，AD=CE，
故（1）正确；
，
，
，
，
故（2）正确；
，
S四边形CDOE= ，
∴△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，
故（3）正确．
，
，
，
，
，
，
故（4）正确；
四个答案都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质，掌握各项性质和判定以及面积的割补法是解题的关键．
考点12：直角三角形——勾股定理
典例12：（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据的长度不固定可判断①错误；作于H，根据证明得，从而，再证明即可判断②正确；由勾股定理得，，两式相减可判断③正确；设，则，根据可判断④正确．
【详解】解：①∵的长度不固定，
∴的大小不固定，故①错误；
②作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，，
∴，
，，
，故③正确；
④设，
则，
∴，
即，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】B
【分析】利用证明，可判断①；由与不一定相等，可判断②；由，在中，，可判断③；利用勾股定理判断④．
【详解】解：在中，，
∴°，，
∵，
∴，
∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，故结论①正确；
∴，
在中，，
∴，故结论③错误；
在与中，
，，
但与不一定相等，
∴与不一定全等，故结论②错误；
∵，
∴在中，，
∴，故结论④正确，
∴正确的结论是①④．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识，证明是解题的关键．
【变式2】（2023上·山西大同·九年级统考期末）如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，连接，．若，，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，先得出，再推出，得出，根据勾股定理得出，进而根据勾股定理得出答案．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：A．
【变式3】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点O，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，连接．根据格点先求出，再利用正方形对角线的性质判断与关系、的形状，最后求出的正切值．
【详解】解：如图，连接．
则，
都是正方形的对角线，
．
∴，．
，是直角三角形．
．
故选：B．
考点13：直角三角形——两角互余
典例9：（2023下·山东青岛·七年级校考期末）如图，在中，，且D在上，于E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由有，而，根据三角形内角和定理得到，由得到，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质可求出的度数和的度数，进而求出的度数，利用邻补角的知识求出的度数．
【详解】解：，
，
而，
，
，
，
，
∵，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，邻补角，解题的关键是求出和的度数．
【变式1】（北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可．
【详解】∵在中，为直径，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【变式2】（2023上·上海金山·八年级校联考期末）如图，在中，，，，平分交于点，交于点，下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质等知识．分别求出，得到A选项成立；，得到B选项成立；根据角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得到，得到C选项成立；证明，，再证明，即可得到，即可证明，得到D选项错误．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故A选项成立，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故B选项成立，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项成立，不符合题意；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D选项错误，符合题意．
故选：D
【变式3】（2023上·广东东莞·八年级统考期中）已知：如图，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，证明，根据全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
在和中，
，
，
，故C正确，不符合题意；
，
，
与互为余角，故A正确，不符合题意；
，但不一定等于，故D错误，符合题意；
故选：D．
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