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专题03 三角形及基本性质
考点类型
知识一遍过
（一）三角形的分类
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
（二）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（三）三角形的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心
②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（四）三角形相关角的性质
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
考点一遍过
考点1：三角形相关线段——三角形分类、稳定性
典例1：（2023上·安徽亳州·八年级统考期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理；根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案．
【详解】①，
，
，
是直角三角形，故①正确；
②，
，
，
不是直角三角形，故②不正确；
③：：：：，
最大角 ；故③正确；
④，
，
，故④正确；
⑤＝＝ ，
，
，故⑤正确；
综上所述，是直角三角形的是①③④⑤共个．
故选：C．
【变式1】（2022上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）在中，若，，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【分析】根据三角形内角和为，结合已知条件求出，，的度数即可得到答案．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
故选：．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理和直角三角形，解题的关键是掌握三角形内角和定理和直角三角形判定的应用．
【变式2】（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）若一个三角形两个外角之和为，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】根据三角形的外角和为，两个外角之和为，则第三个外角的度数为，则其相邻内角是，从而判定形状．
【详解】∵三角形的外角和为，两个外角之和为，
∴第三个外角的度数为，
∴其相邻内角是，
∴该三角形是钝角三角形．
故选：C．
【点睛】本题注意考查了三角形的外角和、三角形的形状判定，熟练掌握三角形外角和，准确判定三角形的形状是解题的关键．
【变式3】（2022上·北京·八年级人大附中校考期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，，，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，错误的是（ ）．
A．若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形
B．等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形
C．直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形
D．等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形
【答案】C
【分析】设，得出，，根据三角形内角和定理得出，从而得出，进而得出，，然后根据选项中情况进行讨论即可．
【详解】解：设，
则，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
解得：，同理，，
故只有锐角三角形存在“反射三角形”，故A正确，不符合题意；
当为等边三角形，则，
则，
∴，
∴为等边三角形，故B正确，不符合题意；
当，，不符合题意，
同理，均不符合题意，
∴直角三角形不存在“反射三角形”，故C错误，符合题意；
当，则，
则，
∴为等腰三角形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的性质，直角三角形的定义，等边三角形的性质，解题的关键是读懂题意，理解“反射三角形”的意义，根据以上三角形的性质及定义解题．
【变式4】（2022上·湖北武汉·八年级校考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性．
【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性；
B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性；
C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性；
D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性．
【变式5】（2022上·四川自贡·八年级富顺第二中学校校考阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形，
由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．
【变式6】（2022·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，
∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），
∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
【变式7】（2022上·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可．
【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性．
考点2：三角形相关线段——三边关系
典例2：（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【详解】、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；
、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意；
故选：．
【变式1】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，点是边上的中点，则的长满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，在延长线上截取，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边关系得到，即可得到．
【详解】解：如图，在延长线上截取，连接．
∵点是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
即．
故选：D
【变式2】（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，先求出，再证明得到，利用三角形三边的关系得到，再证明，得到垂直平分，则，即可得到．
【详解】解；如图所示，延长到H，使得，连接，
∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵、分别是、的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式3】（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知等腰的底边长为其腰长恰好是方程的根，则m的值是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系．根据一元二次方程根的判别式，求得或，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值．
【详解】解：，
，，，
，
解得：或，
当时，，解得：，
，不满足三角形的三边关系，
（舍去）；
当时，，解得：，
，满足三角形的三边关系，
即m的值是3，
故选：D．
考点3：三角形相关线段——高线
典例3：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长．
【详解】解：由图可知：，，
∵，
∴ ，
解得：．
故选：D．
【变式1】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，连接，过作于，求出长，根据三角形的面积公式求出的值，根据代入数据求解即可．解题的关键是得出．
【详解】解：连接，过作于，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】（2023上·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平分求出的度数，根据求出的度数，由即可得出结论．
【详解】在中，，，
．
平分，
．
是边上的高，
，
，
．
故选：B
【变式3】（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，已知，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，作于，连接，根据角平分线的性质可得，再根据，代入计算即可．解题的关键是注意角平分线性质的应用．
【详解】解：过点作于，作于，连接，
∵和的平分线相交于点，，，
∴，
∴
，
∴的面积为．
故选：B．
【变式4】（2022上·全国·九年级专题练习）如图，梯形中，已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键．先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
【详解】解：作
∵，和等高，高均为
∴
∵
∴
∴
∵和等高，高均为
∴
∴
故答案为：
【变式5】（2023·全国·八年级课堂例题）在中，已知边上的高，，，则的面积为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的高，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①在内部；②在外部，分别求出的长，即可求出的面积．
【详解】解：①如图，当在内部时，，
；
②如图，当在外部时，，
；
综上可知，的面积为或，
答案：或．
【变式6】（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，在中，，是的平分线，已知，则 。
【答案】
【分析】本题考查了三角形面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质得，再由三角形面积公式得到答案．
【详解】解：过点作于，
是的平分线，，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式7】（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得到，是解题关键．
【详解】解：延长交于点E如图：
，平分，
，
，
，
，，
，
的面积为4，
，
故答案为：
考点4：三角形相关线段——中线
典例4：（2023上·全国·八年级专题练习）如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．连接，由三角形的中线与面积的关系可得，然后可得，则有，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
、是的中线，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式1】（2024上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在中，、分别是、的中点，，，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查三角形的面积的计算，利用三角形的中线可以把三角形面积平分的性质求三角形的面积，根据三角形的一条中线可以把三角形的面积平分，得出，然后再利用点，从而得出是面积的．
【详解】解：点是的中点，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式2】（2023上·广东肇庆·八年级校考期中）如图，点是的三条中线，，的交点，若阴影部分的面积，则的面积为 .
【答案】6
【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的性质可得，由此得到，，，，即可求解．
【详解】解：∵点是的三条中线，，的交点，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式3】（2023上·河北沧州·九年级统考期中）如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质可知，结合，，可得，连接，由F、G分别为、的中点，可得，，进而可得四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
连接，
∵F、G分别为、的中点，
∴，，
∴四边形的面积，
故答案为：4.
【变式4】（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）如图所示，分别是，的中线，，，，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4.5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，遇到与三角形的中线有关的问题时，常将中线延长一倍(这种方法称为倍长中线法)，然后连接相应的点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的．本题延长至F，使得，则，分别证明和得到即可求解．
【详解】解：延长至F，使得，则，
∵是的中线，
∴，又，
∴，
∴，，
∵是的中线，，
∴，则，
∵，，，
∴，又，
∴，
∴，
故选：B．
【变式5】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，是的中线，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关定理性质，根据题意，作正确的辅助线，是解答本题的关键．
过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，得到，，设，则，利用勾股定理得到，，再根据等量关系，得到，，，最后再利用勾股定理得到答案．
【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示，
，
，，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
设，则，
在中，
，，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
故，，，
，
由勾股定理得：
，
．
故选：．
【变式6】（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为，故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验．
【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，，
由题意得或，
解得或，
∵，
∴不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为，
故选：．
【变式7】（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，是的中线，E是上一点，，连接并延长交于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作交于点H，根据是的中线，可得，根据平行线分线段成比例可得，有已知条件可得，进而可得．
【详解】解：作交于点H，
∵是的中线，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，比例的性质，添加辅助线是解题的关键．
考点5：三角形的相关线段——重心性质
典例5：（2023·上海虹口·统考一模）如图，点G是的重心，交于点E．如果，那么的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，
∵点G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式1】（2023上·湖南怀化·八年级校联考期末）如图，F是的重心，连接并延长交于D，连接并延长交于E．若的面积是4，则四边形的面积是（ ）
A．2 B．5 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质；
根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答．
【详解】解： 是的重心，
是的中线，
，
四边形的面积，
故选：D．
【变式2】（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，，，，点是的重心，则等于( )
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了重心的定义，中位线的性质，勾股定理；延长交于点，在的延长线上取一点，使，连接，，延长交于点，先证四边形为平行四边形，再证为的中位线，从而得，进而得，然后在中由勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线的性质求出即可得到的长．
【详解】解：延长交于点，在的延长线上取一点，使，连接，，延长交于点，
点为的重心，
，为的中线，
，，
又，
四边形为平行四边形，
，
即 ，
，
为的中位线，
点为的中点，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
为斜边上的中线，
∴
故选：C．
【变式3】（2023上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了中位线，重心的性质．熟练掌握中位线的性质，重心的性质是解题的关键．
是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断①的正误；根据中线交点将中线分成的部分，以及等高，求面积比值，进而可判断②④的正误；根据比值进行判断③的正误即可．
【详解】解：∵中线，，
∴是的中位线，
∴，，①正确，故符合要求；
∵是中线交点，即重心，
∴，，
∵与、等高，
∴，，②、④正确，故符合要求；
∵，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
考点6：三角形的相关线段——角平分线
典例6：（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，延长交于，证明，再由等腰三角形的性质可得，根据三角形的中线的性质可得，，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
故选：C．
【变式1】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，在中，以点为圆心，以2为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点，过点作的平行线恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了作图—基本作图、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，由作图可得，是的平分线，，由角平分线的定义以及平行线的性质得出，从而得出，设，，，，证明，由相似三角形的性质可得，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得，是的平分线，，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，
，即，
，
，即，
故选：C．
【变式2】（2022上·湖北随州·八年级校考期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．
由角平分线，平行线的性质可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是和的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式3】（2023上·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，中，，是的角平分线，延长至E，使得，连接．下列判断：①；②；③平分；④，不一定成立的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】如图，延长交于，是等腰三角形，则是线段的垂直平分线，是边上的中线，即，进而可判断①；由中线可知为中线交点，则，进而可判断②；是边上中线的一部分，则与不一定相等，进而可判断③；由，即，进而可判断④．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，
∴，即是等腰三角形，
∵是的角平分线，
∴是线段的垂直平分线，是边上的中线，
∴，①一定成立，故不符合要求；
∵是底边上的中线，
∴为中线交点，则，②一定成立，故不符合要求；
∴是边上中线的一部分，
∴与不一定相等，即不一定平分；③不一定成立，故符合要求；
∵，，
∴，即，④一定成立，故不符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，中线的性质，角平分线等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
考点7：三角形相关的角——内角和
典例8：（2023下·河北石家庄·九年级校考开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（ ）
①过点C作
②延长到点F，过点C作
③作于点D
④过上一点D作，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：①．由，则，．由，得．
②．由，则，．由，得．
③．由于，则，无法证得三角形内角和是．
④．由，得，．由，得，，那么．由，得．
∴能证明的内角和是的有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】过C点作，根据平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理以及三角板的特点即可作答．
【详解】解：过C点作，如图，
结合图形，根据含角的直角三角板的特点可知：，，，
根据题意有：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵（对顶角相等），
∴，
若
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故正确的有：②③④，即正确的有3个；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键．
【变式2】（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点N、G、F，交的延长线于点M，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理以及外角的性质．根据等角的余角相等，可得A正确；根据是的角平分线以及三角形的内角和定理可得，又有，，可得，可得B正确；根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，可得到C正确；根据，，可得，再由，可得，可得D错误，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故A正确；
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴
，故B正确；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误．
故选：D．
【变式3】（2024上·北京昌平·八年级统考期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠问题和三角形外角的性质，据此得到角之间的关系，即可得到结果，解题的关键是根据三角形外角的性质得到角度之间的关系．
【详解】解：连接，如图所示：
∵沿折叠后，点的对应点为，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
即，
故选：B．
【变式4】（2018下·山东枣庄·九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了两类基本的尺规作图—尺规作角平分线和线段的垂直平分线、角平分线的定义、对顶角的性质和平行线的判定和性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．易得，于是可根据平行线的性质求出，由题意可得：平分，垂直平分，从而可根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理即可求出，进而可得答案．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
如图，由题意可得：平分，垂直平分，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
【变式5】（2023上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在中，，、为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定及性质．
根据、为的角平分线与可得，进而求得，从而判断结论①；通过“”证明，，得到，，从而，即可判断结论③；当时，，证得，而，，因此，即可判断结论④；只有当时，，，而题干中未给出的条件，故无法判定．即可判断结论②．
【详解】∵，
∴，
∵、为的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
故①正确．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故③正确．
当时，，
∴在和中
，
∴，
∵，，
∴；
故④正确．
由上可知，只有当时，，，
而题干中未给出的条件，故无法判定．
故②错误．
故选：C
【变式6】（2023上·浙江台州·八年级校联考期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是( )
A． B． C．β= D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质是解题的关键．
根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D．
【详解】解：如图，
由折叠得，
∵
又
∴ 故A正确，不符合题意；
无法得到，故选项B符合题意；
由折叠得，
又
∴
∵
∴
∴，故选项C正确，不符合题意；
由折叠得，
∵
∴
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
【变式7】（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部时，与，之间的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据折叠性质可得，，利用邻补角可得，，在中，根据三角形内角和定理可得，整理即可得出结果．
【详解】解：如图
三角形纸片沿折叠，当点落在三角形内部，
，，
，，
，，
在中，，
，
整理得：，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠性质，邻补角定义，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
考点8：三角形相关的角——外角定理
典例9：（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征；由线段垂直平分线的性质得，由三角形外角的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握性质是解题的关键．
【详解】解： 是的垂直平分线，
，
，
，
，
；
故选：A．
【变式1】（2023上·江西南昌·八年级统考期末）如图，中，，，是的角平分线，若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
【详解】解：，
是等腰三角形；
，，
，
是的角平分线，
，
，
，
是等腰三角形；
在中，，
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形；
，
，
，
，
是等腰三角形；
图中的等腰三角形有5个．
故选：C．
【变式2】（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，设，根据等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，继而得到，由三角形内角和定理得，可得，即可得出结论．解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故选：A．
【变式3】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，已知中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，设，由等腰三角形的性质得到，，由三角形外角性质得到，代入即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
故选：．
【变式4】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，中，和的平分线，交于点，下列结论：①；②；③；④点到，的距离相等．其中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理三角形的外角的性质判断①②③，根据角平分线的性质判断④，即可求解．
【详解】解：∵中，和的平分线，交于点，
∴
∵不一定成立
∴不一定成立，故①错误；
∵
∴
∴
，故③正确；
如图所示，连接交于点，
∵
∴
，故②正确
∵和的平分线，交于点，
如图所示，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴点到，的距离相等．故④正确
故选：C．
【变式5】（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．分别根据选项中的四个条件求出的大小即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
是的外角，
，
，
，
当时，
，
，
，
，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意；
当时，
则，
，
，
，
，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意．
故选C．
【变式6】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点， 则以下结论： ； ； ； ．正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质等知识，由角平分线的定义可得，，，，再根据三角形内角和，外角性质即可判断，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
【详解】解：∵为外角的平分线，平分，
∴，，
又∵是的外角，
∴，
故正确，
∵，分别平分，
∴，，
∴
，
故错误，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是的外角，
∴，
故正确，
综上所述正确的结论是 ，
故选：A．
【变式7】（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第八十一中学校考阶段练习）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤平分．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明，②利用三角形的外角性质即可证明;；④作于，于，再证明即可证明平分，③和⑤由，得出当时，才平分，假设，得，由 平分 ，得 ，证得 ，可知 ，由 ，易知，然而与 矛盾，故③⑤错误，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，即：，
又∵，，
∴，
∴，，，故①正确；
由三角形的外角性质得：，
∴，故②正确；
作于，于，如图所示
则，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，故④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，与矛盾，故③⑤错误；
则：正确的个数有3个；
故选：B．
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专题01 三角形及基本性质
考点类型
知识一遍过
（一）三角形的分类
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
（二）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（三）三角形的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心
②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（四）三角形相关角的性质
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
考点一遍过
考点1：三角形相关线段——三角形分类、稳定性
典例1：（2023上·安徽亳州·八年级统考期中）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（2022上·四川自贡·八年级富顺第二中学校校考阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
考点2：三角形相关线段——三边关系
典例2：（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式1】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，，，点是边上的中点，则的长满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知等腰的底边长为其腰长恰好是方程的根，则m的值是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
考点3：三角形相关线段——高线
典例3：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【变式1】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形中，，，点在上，于，于，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点4：三角形相关线段——中线
典例4：（2023上·全国·八年级专题练习）如图，的中线，相交于点，，垂足为．若，，则长为 ．
【变式1】（2024上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在中，、分别是、的中点，，，则的面积为 ．
【变式2】（2023上·河北沧州·九年级统考期中）如图，E为平行四边形边上一点，F，G分别为，的中点，若与的面积之和为6，则四边形的面积是 ．
考点5：三角形的相关线段——重心性质
典例5：（2023·上海虹口·统考一模）如图，点G是的重心，交于点E．如果，那么的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式1】（2023上·湖南怀化·八年级校联考期末）如图，F是的重心，连接并延长交于D，连接并延长交于E．若的面积是4，则四边形的面积是（ ）
A．2 B．5 C．3 D．4
【变式2】2023上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在中，中线，相交于点，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点6：三角形的相关线段——角平分线
典例6：（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，在中，以点为圆心，以2为半径画弧，交边于点，交边于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线与边交于点，过点作的平行线恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式2】（2022上·湖北随州·八年级校考期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．
考点7：三角形相关的角——内角和
典例8：（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点N、G、F，交的延长线于点M，连接，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·浙江台州·八年级校联考期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是( )
A． B． C．β= D．
考点8：三角形相关的角——外角定理
典例9：（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【变式1】（2023上·江西南昌·八年级统考期末）如图，中，，，是的角平分线，若在边上截取，连接，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式2】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，已知中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
专题02 全等三角形
考点类型
知识一遍过
（一）全等三角形的性质
①全等三角形的对应边、对应角相等．
②全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
③全等三角形的周长等、面积等．
（二）全等三角形的判定
①SSS（三边对应相等） ②SAS（两边和它们的夹角对应相等）
③ASA（两角和它们的夹边对应相等）④AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）
☆直角三角形全等
（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）
（2）证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
（三）全等三角形常见辅助线
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等条件.
（2）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
考点一遍过
考点1：全等三角形的判定——直接判定
典例1：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）如图，，，．求证：．
【变式1】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：．
【变式2】（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）将和如图放置．已知，，，
求证：．
考点2：全等三角形的判定——多次判定
典例2：（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，，于点D，，平分交于点F．
(1)求证：
(2)直接写出图中所有全等三角形（除外）．
【变式2】（2021下·福建福州·七年级校联考期中）在矩形中，，，E是边上一点，以点E为直角顶点，在的右侧作等腰直角．
(1)如图1，当点F在边上时，求的长．
(2)如图2，若，求的长．
考点3：全等三角形的判定——网格应用
典例3：（2022上·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度．
【变式1】（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 .
【变式2】（2022·山东济南·统考二模）如图，在的正方形网格中，求 度．
考点4：全等三角形的判定——尺规作图
典例4：（2023上·河南漯河·八年级统考期中）如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)求作，使，你的依据是________；（填“SSS、SAS、ASA或AAS”）
(2)分别求作和的平分线，两平分线交于点O；
(3)在（2）的条件下，若，则的度数为________．（直接写出结果）
【变式1】（2021·湖北武汉·九年级专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图，，AD是△ABC的中线．
（1）求作的中线（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：
考点5：全等三角形的判定——连接线段
典例5：（2020上·江西南昌·八年级期末）如图，以为直角顶点作两个等腰直角三角形和，且点在线段上（除外），求证：
【变式1】（2024上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考期中）如图，与相交于点，，．求证：．
考点6：全等三角形的判定——倍长中线
典例6：（2023上·全国·八年级期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是 ．
． ． ． ．
（2）求得的取值范围是 ．
． ． ． ．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．
【变式1】（2023上·全国·八年级期末）如图，在中，点D是的中点，分别以为腰向外作等腰三角形和等腰三角形，其中，，连接．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由．
(2)延长交于点F，求的度数．
【变式2】（2023上·山西长治·八年级校联考期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线
(1)若，求的度数．
(2)若，求中线长的取值范围．
考点7：全等三角形的判定——截长补短
典例7：（2023上·山西长治·八年级校联考期中）综合与探究
数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．
(1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．
解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……
(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【变式1】（2023上·江西赣州·八年级统考期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
(1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理
(2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明；
(3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，
求证：．
【变式2】（2022上·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知，是的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出___________°；
(2)求证：；
(3)探究的数量关系．
考点8：全等三角形的判定——作平行线
典例8：（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）已知：如图，点D是等边的边上一点，点E在边的延长线上，连接交于点F．
(1)若点F是的中点，，则的长为______；
(2)若，点F是否为的中点？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【变式1】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，是等边三角形，点D在线段上且不与点A、点C重合，延长至点使得，连接．
(1)如图①，若D为中点，求；
(2)如图②，连接，求证：．
考点9：角平分线的性质与判定
典例9：（2024上·安徽池州·八年级统考期末）如图，平分，P为上一点，，，垂足分别为A，B，连接，与交于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式1】（2023上·山东烟台·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点A，B．平分交x轴于点C，过点C作，垂足为D．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)若P是直线上一点，且满足，求点P的坐标．
考点10：全等三角形的性质与判定
典例10：（2023上·全国·八年级课堂例题）如图所示，和都是等腰直角三角形，且，与相交于点O，连接并延长交于点G．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【变式1】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）已知中，，，点D为的中点．
(1)如图1，点E，F分别为线段上的点，当时，易得的形状为 三角形；
(2)如图2，若点E，F分别为延长线上的点，且，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论；
(3)如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段分别交于点E，F，请判断的形状，并证明你的结论．
专题03 特殊三角形
考点类型
知识一遍过
（一）等腰三角形的性质与判定
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
（二）等边三角形的性质与判定
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
（三）角平分线与垂直平分线的性质
（1）角平分线
①性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
②判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上，即PA=PB。
（2）垂直平分线
①性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）直角三角形的性质
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
（五）直角三角形的判定
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
考点一遍过
考点1：等腰三角形的性质——等边对等角
典例1：（2024上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）如图， ，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2013上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交于D、E两点，并连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点2：等腰三角形的性质——三线合一
典例2：（2024上·河北沧州·八年级统考期末）如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（ ）
A． B．5 C． D．6
【变式1】（2023上·新疆喀什·八年级校联考期中）如图，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C． D．
【变式2】（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为．
(1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？
(2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？
考点3：等腰三角形判定
典例3：（2024上·湖南常德·八年级校联考期末）如图所示，在中，平分，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的度数．
【变式1】（2024上·甘肃武威·八年级校联考期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求CM的长度．
考点4：等边三角形性质
典例4：（2024上·江西赣州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，已知，于，与交于点，下列结论中不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，是等边边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上，则（ ）
A． B． C． D．
考点5：等边三角形判定
典例5：（2022上·北京·八年级校联考期末）如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求线段的长．
【变式1】（2023上·江苏宿迁·八年级校联考期中）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N．
求证：
(1)；
(2)是等边三角形．
考点6：等边三角形判定与性质综合
典例6：（2024上·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接交于点F，若，，求的长度．
【变式1】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图1，点A、C、E在同一条直线上，在和中，，，，、相交于点M．
(1)求证：；
(2)用含的式子表示的度数；
(3)如图2，当时，取，的中点分别为点P、Q，连接，，，判断的形状，并加以证明．
考点7：垂直平分线的性质
典例7：（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2018下·山东枣庄·九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
考点8：垂直平分线的判定
典例8：（2024上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在中，平分，于点E，于点F，连接交于点O．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，求线段的长．
【变式1】（2023上·河北承德·八年级校考期末）如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E．
(1)求证：垂直平分线段；
(2)若，，求的长．
考点9：直角三角形——斜边中线
典例9：（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级统考期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点10：直角三角形——含30°角
典例10：（2023上·广东江门·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·天津宁河·八年级统考期末）如图，在中，，D，E是内部的两点，平分，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点11：直角三角形——含45°角
典例11：（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图在等腰直角中，若，E为中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·四川南充·统考一模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
考点12：直角三角形——勾股定理
典例12：（2024上·福建泉州·八年级统考期末）如图，中，，，点P、Q在上，且，于E，交于D，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【变式1】（2024上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
考点13：直角三角形——两角互余
典例9：（2023下·山东青岛·七年级校考期末）如图，在中，，且D在上，于E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（北京市海淀区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
专题04 相似三角形
考点类型
知识一遍过
（一）图形相似的性质
（1）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（3）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
（4）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形
（二）平行线平分线段成比例
（1）比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
（2）比例的基本性质
①基本性质： ad＝bc；（b、d≠0）
②合比性质： ＝；（b、d≠0）
③等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0） ＝k．（b、d、…、n≠0）
（3）平行线分线段成比例定理及推论
①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
即如图所示，若l3∥l4∥l5，则．
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
即如图所示，若AB∥CD，则．
③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（三）相似三角形的判定
相似三角形的判定
判定1：两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴
判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；∴
判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，则这两个三角形相似 如图 ∵；；∴
（四）相似三角形的性质
如图：两个三角形相似，则有对应边成比例 ∵；∴
如图；两个三角形相似，则有对应角相等 ∵； ∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于相似比 ∵；∴
如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于相似比 ∵；∴
如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比等于相似比 ∵；∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于相似比 ∵； ∴
如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于相似比 ∵； ∴
（五）常见的相似模型
模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
（六）相似三角形的应用举例
（1）测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
测量物体宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
考点一遍过
考点1：比例的性质
典例1：（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【变式1】（2024上·北京石景山·九年级统考期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
考点2：线段的比
典例2：（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（ ）
A． B． C．0.618 D．
【变式1】（2023上·四川·九年级校考阶段练习）中，是的中点，、三等分、与、分别交于、，则（ ）．
A． B． C． D．
考点3：成比例线段
典例3：（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A． B．
C． D．，，，
【变式1】（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）下列各组中的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
考点4：平行线平分线段成比例
典例4：（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连接AF，作BG∥AF．若，BG=9，则AF的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
考点5：相似三角形的判定——证明题
典例5：（2022上·全国·九年级专题练习）已知：如图，在中，，，D、E分别在、上，，．求证：．
【变式1】（2024上·陕西西安·九年级统考期末）如图，在四边形中，，对角线，过点D作于点E．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
考点6：相似三角形的判定——添加条件
典例6：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·湖南株洲·九年级校考期中）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
考点7：相似三角形的性质——求解
典例7：（2023上·天津和平·九年级统考期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1】（2023上·福建泉州·九年级统考期中）如图，在中，，分别是，的中点，，相交于点，则下列四个结论中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点8：相似三角形的性质——坐标
典例8：（2022上·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为 ．
【变式1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ．
考点9：相似三角形的性质——网格
典例9：（2023上·北京·九年级校联考期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.和的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若~且两三角形不全等，则P点所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【变式1】（2023上·河北张家口·九年级张北县第三中学校考阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
考点10：相似三角形的性质——证明
典例10：（2022·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．
(1)若，求证：；
(2)如图②，若，，求的值．
【变式1】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且．
求证：
(1)；
(2)．
考点11：相似三角形的性质——尺规
典例11：（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）如图，在平行四边形中，E是边上的一点，连接．
(1)利用尺规作，使，的边交于点F．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)求证：．
【变式1】（2023上·福建三明·九年级统考期末）如图，在中，的平分线交于点．
（1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
考点12：相似三角形判定与性质综合
典例12：（2024上·福建泉州·九年级统考期末）在中，，于点，点，关于直线对称，连接，，为的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的值．
【变式1】（2023上·安徽合肥·九年级期末）如图，在矩形中，，，点E是边上的一个动点（不与点B、C重合），连接，并作，交边于点F，连接，设，．
(1)①求证：；
②当x为何值时，y的值为2；
(2)当x为何值时，也与相似．
考点13：相似三角形的实际应用
典例13：（2022上·陕西咸阳·九年级统考期中）崇文塔位于陕西省西咸新区泾河新城崇文塔景区内，是全国保存最好的砖塔之一．某校社会实践小组为了测量崇文塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为3米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，崇文塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，崇文塔的塔尖点B正好在同一直线上，这时测得米，米（点F，点G，点E，点C与崇文塔底处的点A在同一直线上），请你根据以上数据，计算崇文塔的高度．
【变式1】（2024上·广东东莞·九年级校考期末）近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题．为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“E”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“E”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，如图，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长（光路图做法：作于点D，延长线交于点E，使得线段和关于对称）．
(1)甲生的方案中如果大视力表中“E”的高，那么小视力表中相应“E”的高是多少m？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，通过计算请直接写出__________m，至少为__________m．
专题07 锐角三角函数
考点类型
知识一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 = =
余弦
正切 ＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ，
④，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两
边 两直角边(a，b) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
（五）解直角三角形的应用举例
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
典例1：（2024上·湖南娄底·九年级统考期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】2024上·福建泉州·九年级统考期末）在中，，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：特殊角三角函数值
典例2：（2024上·河南商丘·九年级校联考期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A． B． C． D．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【变式1】（2023上·福建泉州·九年级校考期中）三角函数之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点4：解直角三角形——直接法
典例4：（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在中，，分别是的对边．若，试解这个直角三角形．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D在上，，．求的值．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
【变式1】（2023上·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.
(1)若，求的长度；
(2)若，求．
考点6：同角三角函数关系
典例6：（2023上·河南鹤壁·九年级校考期中）已知，是锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·全国·九年级专题练习）已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022上·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）在中，，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：（2023上·吉林长春·九年级统考期末）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼高度
图示
测得数据 ，，
参考数据 ，，， ，，．
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.
【变式1】（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）“时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为（点A，B，D在同七、一条直线上），请帮小丽计算信标台的高度．（参考数据：，，，结果保留整数）
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：（2023上·广西来宾·九年级统考期末）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向．
(1)求线段的长度；
(2)若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【变式1】（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东方向处，入口D在入口A的北偏西方向处．（参考数据）
(1)求的长度；（结果精确到1米）
(2)小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的处．小明可以选择鹅卵石步道①，步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到）
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：（2024上·安徽六安·九年级统考期末）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且在同一条直线上，求此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度不计，结果保留根号形式）
【变式1】（2024上·广东茂名·九年级统考期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：（2024上·湖南常德·九年级统考期末）常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（结果精确到，参考数据：）
(1)求坐垫到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图1，某款台灯由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高照明效果．
(1)求悬臂端点到桌面的距离约为多少？
(2)已知光源到桌面的距离为时照明效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，）
专题08 平行四边形与多边形
考点类型
知识一遍过
（一）多边形及其相关计算
（1）多边形的相关概念：
①定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
②对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
（2）多边形的内角和、外角和：
①内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
②外角和：任意多边形的外角和为360°.
（3）正多边形：
①定义：各边相等，各角也相等的多边形，
②正多边形每个内角为，每个外角为
③正n边形有n条对称轴，
④对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
（二）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
（三）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（四）三角形中位线的性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点一遍过
考点1：平行四边形的判定
典例1：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AEBF是平行四边形．
【变式1】（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
考点2：平行四边形的性质
典例2：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在中，，，．
(1)求出对角线的长；
(2)尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
(1)；
(2)．
考点3：平行四边形的判定与性质
典例3：（2023下·江西九江·八年级统考期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且，和的交点为M，和的交点为N，连接 ，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
【变式1】（2023·江西吉安·统考一模）如图，将沿平移，得到，连接，已知， ．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
考点4：三角形中位线
典例4：（2024上·重庆长寿·八年级统考期末）如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，
下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点5：多边形的内角和
典例5：（2023上·全国·八年级期末）在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．α比β有时大有时小
E．无法确定
【变式1】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级克东县第三中学校考期末）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19
考点6：多边形的外角、内角
典例6：（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·四川乐山·七年级统考期末）如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连结交于点I，则( )
A． B． C． D．
考点7：多边形的对角线
典例7：（2024上·河北保定·七年级校联考期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1】（2024上·辽宁丹东·七年级统考期末）边长为整数的正多边形的周长为13，则从该正多边形的一个顶点出发的对角线条数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
考点8：平面镶嵌
典例8：（2024上·重庆武隆·八年级统考期末）分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式1】（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
专题09 特殊平行四边形
考点类型
知识一遍过
（一）特殊平行四边形的性质与判定
（1）性质（具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等）
矩 形 （1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.
菱 形 （1）四边相等 （2）对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高=对角线_乘积的一半
正 方 形 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB
（2）判定
矩 形 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形
菱 形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形
正 方 形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分
（二）中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
考点一遍过
考点1：矩形的判定与性质
典例1：（2023·山东聊城·统考三模）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，．则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【变式1】（2023上·浙江·八年级校考期中）如图，在长方形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F，连接，若， ．
(1)求证：；
(2)求的长．
【变式2】（2023下·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，
(1)求证：；
(2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积．
考点2：菱形的判定与性质
典例2：（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，已知在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【变式2】（2023下·四川德阳·八年级统考期中）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线分别交，于点，．
(1)连接，求证：四边形为菱形；
(2)若，，求的长．
考点3：正方形的判定与性质
典例3：（2022下·重庆南川·八年级统考期中）如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接则以下四个结论中：①OH∥BF，，，正确结论的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（2024上·内蒙古乌海·九年级统考期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且；
(1)求证：；
(2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？
(3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长．
【变式2】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，点F为正方形内一点，连接，，，将绕着点A按顺时针方向旋转至，延长交于点H．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)已知，，求的长．
考点4：特殊平行四边形——折叠
典例4：（2023上·河南郑州·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴上，点E在边上，将该矩形沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．若，则点E的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024下·浙江·九年级专题练习）如图，点E是矩形中边上一点，将沿着翻折，点C恰好落在上的点F处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
考点5：特殊平行四边形——平移
典例5：（2024上·广东河源·九年级统考期末）如图，点M的坐标为，将沿x轴正方向平移，使点M的对应点落在直线上，点O的对应点为．
(1)求点的坐标；
(2)连接，四边形是什么特殊四边形？说明理由．
【变式1】（2022上·山西运城·九年级统考期中）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，将沿方向平移，使点B落到点C处．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
考点6：特殊平行四边形——旋转
典例6：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，点D刚好落在边上．
(1)求n的值；
(2)若F是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
【变式1】（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践
【问题情境】
如图1，正方形中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以为斜边构造直角三角形，使得，将绕点B按顺时针方向旋转，得到△（点A的对应点为C），延长交于点F，连接．
【解决问题】
请根据图1完成下列问题：
（1）若，则∠= 度；
（2）试判断四边形的形状，并给予证明；
【拓展探究】
（3）如图2，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
考点7：特殊平行四边形——动点
典例7：（2022上·山西运城·九年级统考期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．
(1)四边形能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【变式1】（2023上·山东青岛·九年级青岛大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形；
(2)当__________时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
考点8：中点四边形的证明
典例8：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由．
(2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由．
(3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．
【变式1】（2023下·湖北黄冈·八年级校考期中）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
(1)这个中点四边形EFGH的形状是 ；
(2)请证明你的结论．
专题10 圆的基本性质
考点类型
知识一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图:,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=∠O.
图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式1】（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中， ，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
考点2：垂径定理
典例2：（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧所在圆的圆心，点是上一点，，垂足为点，，，则弧所在圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点3：垂径定理的推论
典例3：（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·九年级校考期中）如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．2米 D．1.5米
【变式1】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·河南周口·九年级校考期中）如图，为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点6：圆周角定理
典例6：（2023上·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，是直径，C、D是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
考点7：圆周角定理推论
典例7：（2024上·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·北京西城·九年级统考期末）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点8：半径相等——等腰三角形
典例8：（2023·甘肃平凉·统考二模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式1】（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点9：圆的内接四边形
典例9：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·天津和平·九年级统考期末）如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
专题11 与圆有关的位置关系
考点类型
知识一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d＞r 点P在的外
点在圆上 点在圆周上 d＝r 点P在上
点在圆内 点在圆的内部 d＜r 点在的内
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=（两直角边和-斜边长）
考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，在中，，，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点D与的位置关系是（ ）
A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定
【变式1】（2023下·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
考点2：三角形的外接圆
典例2：（2023上·江苏南通·九年级南通市实验中学校考期末）如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点B在内 B．点A在上
C．边与相切 D．边与相离
【变式1】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．
考点4：切线的判定综合
典例4：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，再以为圆心，为半径作一圆．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的半径．
【变式1】（福建省龙岩市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
【变式2】（2024上·四川绵阳·九年级校考期末）如图，为的直径，为的弦，，延长至，且，的半径为．
(1)求证：直线与相切；
(2)如图，若，求阴影部分面积；
(3)如图，若，求的值．
考点5：切线的性质综合
典例5：（2024上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
【变式1】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
【变式3】（2024上·新疆吐鲁番·九年级统考期末）如图，点，，在上，是直径，是弦，点是外一点，分别作射线，，其中是的切线，线段．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的度数．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：（2023上·吉林松原·九年级校考期末）如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
(1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若的半径长为，，求的长．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级校联考期末）如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
考点7：切线长定理
典例7：（2023上·全国·九年级期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【变式1】（2022·内蒙古包头·二模）已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
考点8：三角形的内切圆
典例8：（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．π C． D．
【变式1】（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式2】（2023上·全国·九年级专题练习）已知中，．是的内切圆，下列选项中，的半径为（ ）
A． B． C． D．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，．完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作的中点，并以为半径作（不写作法，保留作图痕迹），求证：与边相切；
(2)若恰好交于边的中点，求的半径长．
【变式2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．
(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：与相切：
(3)当，时，求劣弧的长．
专题12 与圆有关的计算
考点类型
知识一遍过
（一）正多边形与圆
（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．
（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数=．
（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
（二）与圆有关的计算
（1）弧长和扇形面积的计算：
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝
（2）圆锥与侧面展开图
①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
②计算公式：
,（r为底面半径）
S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）
（3）圆锥表面积
圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）
备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积
考点一遍过
考点1：正多边形与圆
典例1：（2024上·河南商丘·九年级校联考期末）如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ）
A．点O是正六边形的中心 B．正六边形的边长是2
C．正六边形的中心角是 D．正六边形的边心距
【变式1】（2023上·北京密云·九年级统考期末）如图，多边形是的内接正n边形，已知的半径为r，的度数为，点O到的距离为d，的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足的函数关系是反比例函数关系；
②若为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；
③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
考点2：扇形弧长计算
典例2：（2023上·河北石家庄·九年级校联考期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，边长为2的正方形内接于，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·天津河西·九年级统考期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交于点D，当时，的长是（ ）
A． B． C． D．
考点3：扇形面积计算
典例3：（2023上·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】（2024上·河北承德·九年级统考期末）如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，，，分别连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．π
考点4：旋转过程——路径长
典例4：（2023·河北石家庄·校考一模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）．
A．7.5 B． C．15 D．
【变式1】（2023·河南开封·统考一模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·湖北随州·九年级统考期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
考点5：旋转过程——扫过面积
典例5：（2022·宁夏吴忠·校考一模）如图，在中，已知，把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·北京东城·九年级统考期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
考点6：圆锥侧面积
典例6：（2024上·广东广州·九年级统考期末）在中，，，，将绕所在直线旋转一周．所得几何体的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2022·湖南株洲·校考二模）如图，圆锥的母线长为，高线长为，则圆锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
考点6：圆锥中最短路径
典例7：（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
【变式1】（2023·山东·九年级统考阶段练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．2
考点8：扇形弧长与面积的实际应用
典例8：（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【变式1】（2023上·江西南昌·九年级期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）
考点9：不规则图形面积
典例9：（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，扇形中，，垂足为C，且C为中点．若，求阴影部分的面积．
【变式1】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
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