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专题05 尺规作图（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、解答题
1．（2023·江苏无锡·校联考二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
【答案】（1）作图见解析（2）答案见解析
【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求作；
（2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，
②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，
③作EC的垂直平分线交BC于点F；
Rt△DEF即为所求．
【详解】解：（1）作AB的垂直平分线交BC于点P即为所求作；
（2）①在BC上取点D，过点D作BC的垂线，
②在垂线上取点E使DE=DB，连接EC，
③作EC的垂直平分线交BC于点F；
∴Rt△DEF即为所求．
点睛：本题考查了线段垂直平分线的作法以及垂线的作法．解题的关键是熟练掌握基本作图．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案.
（2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可．
【详解】解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，则AC=.
∴AD=AE=.∴．
（2）底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.
考点：1.新定义；2.作图（应用与设计作图）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用．
3．（2023·福建福州·福建省福州华侨中学校考模拟预测）如图，，均为等腰直角三角形，，，，H为的中点，连接．
(1)尺规作图：求作点F，使得，，点F在下方；
(2)在（1）的条件下，求证：E，H，F三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长，在其延长线上取，作线段的垂直平分线，在上且在下方截取，即可求得答案；
（2）连接，，，可证，可得，，再证，，即可证得，可知，由，可知，即可证得，，三点共线．
【详解】（1）解：延长，在其延长线上取，以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接，可知为线段的垂直平分线，在上且在下方截取，
如图，点即为所求；
（2）证明：连接，，，
∵，，，
则，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，则，
∴，
又∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，三点共线．
【点睛】本题考查尺规作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，作出图形，掌握相关性质是解决问题的关键．
4．（2023下·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图1，，分别在的边，上．
（1）若，求证：四边形是平行四边形；
（2）请在图2中用圆规和无刻度的直尺画出四边形，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）通过平行四边形的判定定理“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论：四边形AECF为平行四边形；
（2）作线段AC的垂直平分线MN，交AD于F，交BC于E，连接EA、CF，四边形AECF即为所求；
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，
∴AF=CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）如图，四边形AECF就是所求作的菱形．
∵EF是线段AC的垂直平分线
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA
∵AD∥BC
∴∠ACE=∠FAC
∴∠OCE=∠OCF
∴△OCE≌△OCF
∴EC=CF=FA，EC∥AF
∴四边形AECF是菱形
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，线段垂直平行线的性质，全等三角形的性质与判定，以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分，②菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．
5．（2022下·福建龙岩·八年级校联考期中）如图△ABC中，∠ACB=，AC=，BC=
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
在线段AB上取一点O，使AO=BO，并连结CO
(2)求线段CO的长度
【答案】(1)见解析
(2)线段CO的长度为1．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线即可得到结论；
（2）根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，点O为所作；
（2）解：在Rt△ABC中，AC= 1，BC=+1，
∴AB==2，
∵AO=BO，
∴CO=AB=×2=1．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
6．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，于点，点在上，请利用尺规作图法，求作，使得，与边交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
7．（2023下·江苏常州·七年级统考期中）如图，已知．
(1)在图中先画的中线，再画的中线（不需要写画法）；
(2)在（1）的条件下，若的面积是，则的面积是__________．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）画的中垂线，交于点，连接，画的中垂线，交于点，连接；
（2）利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）∵是的中线，的面积是，
∴的面积是：，
∵是的中线，
∴的面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图—画线段的中垂线，三角形中线的性质．掌握尺规作图和三角形中线的性质是解题的关键．
8．（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
9．（2023·广东广州·统考一模）已知为的外接圆，的半径为6．
(1)如图，是的直径，点是的中点．
①尺规作图：作的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）：
②求的长度．
(2)如图，是的非直径弦，点在上运动，，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)存在，最大值为
【分析】（1）①根据角平分线的作图方法画出，在连接即可；②由点是的中点，得出．根据等腰三角形的性质得出．结合是的直径，即得出经过圆心O，即，最后根据勾股定理求解即可．
（2）连接，过点D作于点E，交于点，过点C作．由题意易证为等边三角形．根据，即得出为直径，是的中点．根据为等边三角形，可得出和边上的高都为定值，再根据根据，即得出当最大时，最大，此时点C与点重合，即当点C为中点时，最大，此时为直径，得出此时．易求出，结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出，，进而可求出，又易证，得出，从而可求出，即点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．
【详解】（1）解：①如图1，即为所作图形；
②∵点是的中点，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵是的直径，
∴经过圆心O，
∴．
∵的半径为6，
∴，
∴；
（2）点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值．
理由：如图，连接，过点D作于点E，交于点，过点C作．
∵，
∴，，
∴．
∵四边形为内接四边形，
∴，
∴为等边三角形．
∵，
∴为直径，是的中点．
∵，
∴．
∵为等边三角形，
∴和边上的高都为定值，
∴当最大时，最大，此时点C与点重合，
∴当点C为中点时，最大，此时为直径，
∴，如图3．
∵的半径为6，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．
【点睛】本题考查作图—角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，综合性强．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．
10．（2023·福建福州·统考二模）如图，已知，，分别是射线，上的点．
（1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中，连接，用无刻度直尺在线段上确定一点，使得，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）画法一：根据作一个角等于已知角，得到OM的平行线，在平行线上截取OA的长度，再作线段垂直平分线即可，点C即为所求作的点；
画法二：根据作一个角等于已知角，得到OM的平行线，作OA的垂直平分线，在平行线上截取BC=OA的长度，点C即为所求作的点；
（2）连接OC，AB交于点D，点D即为所求作的点；利用相似三角形的性质证明即可.
【详解】解：画法一：
画法二：
如图，点，分别为（1），（2）所求作的点．
（2）证明如下：由（1）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查复杂作图，熟练掌握基本作图步骤是解题的关键.
11．（2023·山东淄博·统考二模）（1）已知如图1：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上（保留作图痕迹）．
（2）如图2，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC＝∠ADF，AE＝BC．求证：△ACD是等腰三角形．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）分别作出∠A的角平分线和线段BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心O，再以OC为半径画圆即可；
（2）利用“AAS”证明△ADE≌△CAB，即可得到AD=CA，即可求证．
【详解】解：（1）如图所示：⊙O即为所求．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴ ∠CAD=∠BCA，即∠EAD=∠BCA.
又∵∠ADF=∠CAB，AE=BC，
∴△ADE≌△CAB（AAS），
∴ AD=AC；
∴ △ACD是等腰三角形．。
【点睛】本题考查了尺规作图和全等三角形的判定与性质，涉及到作一个角的平分线和线段的垂直平分线、平行线的性质、证明三角形全等以及利用全等三角形的性质证明线段相等等内容，解决本题的关键是牢记尺规作图的原理和方法、牢记相关概念等．
12．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形是菱形，连接，，点在线段上，连接，的延长线交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在内部作，使得，交边于点，交于点，交的延长线于点．保留作图痕迹
(2)在(1)所作的图中，求证：．完成下列填空．
证明：四边形是菱形；
∴，，；
；
与 均为等边三角形；
，；
；
在与中，
；
．
【答案】(1)见解析
(2)；；；
【分析】（1）根据题意作，交边于点，交于点，交的延长线于点；
（2）根据菱形的性质，结合条件得出与均为等边三角形；进而证明；根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：四边形是菱形；
∴，，；
；
与均为等边三角形；
，；
；
在与中，
；
．
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．（2023·广东汕头·统考一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）DA=BC，理由详见解析.
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作出BD；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=36°，然后根据等腰三角形的判定得到DA=DB，DB=DC，所以BD=AD．
【详解】解：（1）如图所示，BD为所作；
（2）DA=BC．
理由如下：
∵AB=AC，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴DA=BC．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
14．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的中垂线交边于点，再以点为圆心，长为半径作⊙．
（2）判断：在（1）所作图形中，直线与⊙的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）相切，理由见解析．
【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图步骤规范作图即可；
（2）连接OA，证明∠OAC=90°即可.
【详解】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径，画弧，二弧交于点M，点N，
作直线MN，即为线段AB的中垂线；
设直线MN与BC交点为O，以O为圆心，以OB为半径作圆，则⊙O即为所求；
（2）直线AC与⊙O相切.理由如下：
连接OA，
∵∠B=25°，OA=OB，
∴∠BAO=25°，
∵∠BAC=115°，
∴∠OAC=90°，
∴直线AC与⊙O相切.
【点睛】本题考查了线段中垂线的基本作图，画圆，切线的判定，熟练掌握线段中垂线的作图，灵活证明直线是圆的切线是解题的关键．
15．（2022·黑龙江绥化·统考三模）如图，是直角三角形，．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的外接圆；
②以线段为一边，在的右侧作等边三角形；
③连接，交于点，连接；
(2)在（1）中所作的图中，若，，则线段的长为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB的垂直平分线，找出圆心O，以O为圆心，OA为半径画圆即可，再分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于点D，连接AD，CD，即可做出等边三角形；
（2）证明∠BAD=90°，利用勾股定理求出，再利用等面积法即可求出线段AE的长．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，
∴，
∴，
∴，
故线段AE的长为 ．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是掌握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明∠BAD=90°．
16．（2022上·贵州贵阳·九年级统考阶段练习）数学课上，老师提出一个问题：已知：，．求作：矩形．小红的作法如下：作线段的垂直平分线交于点，过点作射线，在射线上截取，连接，则四边形即为所求．
(1)请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）保留作图痕迹；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以点、 为圆点，以 、长为半径作弧，两弧相较于点，再连接 、 ，四边形 即为所求；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【详解】（1）解：如图，以点 为圆点， 长为半径作弧，以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧相较于点；连接 、 ，四边形即为矩形．
（2）证明：由作法得，
四边形为平行四边形
四边形为矩形．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
17．（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，⊙O是ABC的外接圆，AB为直径．
(1)在上求作点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB＝10，BC＝6，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用尺规作图做出∠ABC的平分线，角平分线与圆的交点即为所求；
（2）首先利用勾股定理求得AC=8，然后利用圆周角定理得到等角，证明△DOF∽△ABC求出DF和OF的长，最后利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）如图，作∠ABC的角平分线，交弧AC于D，
则，
∴∠ABD=∠CAD，
点D就是所求作的图形．
（2）连接AD，OD，过D作DF⊥AB于点F
∵AB是直径，
∴．
∵，，
∴ ，
∵，，
∴△DOF∽△ABC，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在Rt△BDF中，．
【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理及推论，在圆中利用弧确定角之间关系是解决问题的关键．
18．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O；
(1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，菱形的性质，勾股定理等；
（1）延长，以为圆心，适当的长度为半径画弧交的延长线两点，再以此两点为圆心，大于此两点连线段一半为半径画弧交于一点并连接与此点，交的延长线于，即可求解；
（2）由菱形的性质可求，，再由勾股定理可求，由即可求解；
掌握“过直线外一点作已知直线的垂线”的作法，面积转换：是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：四边形为菱形，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，
．
19．（2023·浙江温州·校联考一模）（1）如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）
（2）如图，直线l表示一条公路，点A，点B表示两个村庄．现要在公路上造一个车站，并使车站到两个村庄A，B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由．（要求尺规作图，不写作法）
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）延长BA，按照过直线外一点作直线的垂线步骤作；作AC的垂直平分线交AC于E，连接BE即是AC边上的中线；作∠A的平分线，按照作一个角的平分线的作法来做即可．
（2）画出点A关于直线l的对称点A′，连接交l于点C，连接AC，由对称的性质可知 由两点之间线段最短可知点C即为所求点．
【详解】解：（1）所画图形如下所示：
（2）画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点C，连接AC，
∵A、A′关于直线l对称，
∴
∴
由两点之间线段最短可知，线段的长即为的最小值，故C点即为所求点．
【点睛】 主要考查三角形的角平分线，中线和高的作法；熟知对称的性质以及两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.
20．（2022·广东韶关·统考一模）如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；
（2）求△ABE的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）12
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画.弧，在AC的两侧两弧分别相交于一点，过这两点作直线即可;
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE= CE，从而得到△ABE的周长等于AB与BC的和，代入数据进行计算即可．
【详解】解：(1)作图如图所示．
(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，
∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC．
∵AB＝5，BC＝7，
∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12．
【点睛】本题考查了基本作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，主要是线段垂直平分线的作法，是基本作图，需熟练掌握．
【能力提升】
21．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线的对称点；
(3)在图2中找格点C，使四边形为矩形；
(4)在图2中画的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，将线段向右平移5个单位长度的到线段，连接，即可得到菱形；
（2）连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求；
（3）作以，为边的正方形，再构造矩形即可；
（4）取正方形的边和的中点，连接两个中点形成的直线即为的垂直平分线．
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
将线段向右平移5个单位长度的到线段，连接，即可得到菱形，如图所示：
（2）解：连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求，如图所示：
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
即：点M关于直线的对称点为点；
（3）解：作以，为边的正方形，过点作，交于点，则矩形，即为所求，如图所示：
（4）如图，取格点，连接交于点，取格点，连接交于点，则为正方形的边和的中点，连接形成的直线即为的垂直平分线．如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
同法可得：为的中点，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
设与交于点，则：四边形为矩形，
∴，
∴是的中垂线．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图．同时考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）网格中每个小正方形的顶点称为格点，图中均为格点，仅用无刻度直尺依次完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
(1)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使得使；
(2)在图2中，先在上画点，使平分，再在上画点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取点，连接交于，取点，连接交网格线于点，连接，交于点，点、点即为所求；
（2）取格点，连接交网格线于点，取格点，连接交于点，在上取一点，使，连接交于点，点、点即为所求．
【详解】（1）解：如图，点、点即为所求，
；
（2）解：如图，点、点即为所求，
．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．
23．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)如图1，在上找一点使，再在上找一点，使；
(2)如图2，为上一点，作关于的对称点，过作于点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点，连接并延长，交于点，取格点，连接，连接点与的交点并延长，交于点，点即为所求；
（2）倍长于点，连接，取格点，连接并延长，交于点，点即为点关于的对称点，连接，连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，点即为所求．
【详解】（1）取格点，连接并延长，交于点，取格点，连接，连接点与的交点并延长，交于点，点即为所求，如图所示：
由勾股定理，得：，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据三角形的三条高线交于一点，可知：，
∴点即为所求；
（2）倍长于点，连接，取格点，连接交于点，延长，交于点，点即为点关于的对称点，连接，连接交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，点即为所求，如图所示：
∵倍长于点，
∴，
由图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即点为的中点，
∴点即为点关于的对称点，
∴，
由作图可知，关于对称，
∴，
∴点即为所求．
【点睛】本题考查格点作图，无刻度直尺作图，同时考查了勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点，在网格中确定点的位置，是解题的关键．
24．（2023·河北唐山·统考二模）（1）已知，在中，，求作的内心，以下甲乙两同学的做法：
甲：如图1
①作垂直平分线
②作的垂直平分线
③交于点
则点即为所求
乙：如图2
①作的角平分线
②作的垂直平分线EF
③交于点
则点即为所求
甲同学的做法__________；乙同学的做法__________（填写正确或不正确）
（2）如图3中， ，
①用直尺和圆规在的内部作射线，使（不写作法，保留痕迹）
②若①中的射线交于点，求的长
【答案】（1）不正确，正确；（2）①图详见解析；②4
【分析】（1）根据三角形的内心是三角形角平分线的交点即可判断；
（2）①利用尺规作；
②证明△ACD∽△ABC，根据对应线段成比例即可求出AD.
【详解】解：(1)∵三角形的内心是三角形角平分线的交点，
∴甲同学的作法不对，
∵AB=AC，
∴线段BC的垂直平分线即是∠BAC的角平分线，
∴乙的作法是正确的，
故答案为：不正确，正确；
（2）①如图3所示，射线 即为所求；
②，
∴△ACD∽△ABC，
，
，
.
【点睛】此题考查作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，作一角与已知角相等，还考查了角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内心定义.
25．（2023·陕西汉中·一模）如图，已知矩形中．
(1)请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)在（1）的条件下若，，求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，要使EC平分，则点C到BE的距离与点C到CD的距离相等，故以点C为圆心，CD长为半径画圆，再过点B作圆C的切线，于AD的交点即为所求．
（2）利用角平分线和矩形的性质，将的值转化为的值，再利用勾股定理求出BE的长，进而求出ED的长度，最后求解．
【详解】（1）解：以点C为圆心，CD长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直平分线与BC的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点B与交点并延长交AD于点E，交点E即为所求．
（2）解： EC平分
矩形ABCD
，
在中由勾股定理得
在中得
．
【点睛】此题考查了尺规作图法作圆、中垂线，并考查角平分线和矩形的性质，三角函数的求解，解题的关键是根据角平分线性质正确作出图形．
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专题05 尺规作图（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、解答题
1．（2023·江苏无锡·校联考二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC=BC；
（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
3．（2023·福建福州·福建省福州华侨中学校考模拟预测）如图，，均为等腰直角三角形，，，，H为的中点，连接．
(1)尺规作图：求作点F，使得，，点F在下方；
(2)在（1）的条件下，求证：E，H，F三点共线．
4．（2023下·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图1，，分别在的边，上．
（1）若，求证：四边形是平行四边形；
（2）请在图2中用圆规和无刻度的直尺画出四边形，使得四边形是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）
5．（2022下·福建龙岩·八年级校联考期中）如图△ABC中，∠ACB=，AC=，BC=
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
在线段AB上取一点O，使AO=BO，并连结CO
(2)求线段CO的长度
6．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，于点，点在上，请利用尺规作图法，求作，使得，与边交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
7．（2023下·江苏常州·七年级统考期中）如图，已知．
(1)在图中先画的中线，再画的中线（不需要写画法）；
(2)在（1）的条件下，若的面积是，则的面积是__________．
8．（2023·湖南长沙·统考中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
9．（2023·广东广州·统考一模）已知为的外接圆，的半径为6．
(1)如图，是的直径，点是的中点．
①尺规作图：作的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）：
②求的长度．
(2)如图，是的非直径弦，点在上运动，，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
10．（2023·福建福州·统考二模）如图，已知，，分别是射线，上的点．
（1）尺规作图：在的内部确定一点，使得且；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中，连接，用无刻度直尺在线段上确定一点，使得，并证明．
11．（2023·山东淄博·统考二模）（1）已知如图1：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上（保留作图痕迹）．
（2）如图2，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC＝∠ADF，AE＝BC．求证：△ACD是等腰三角形．
12．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，四边形是菱形，连接，，点在线段上，连接，的延长线交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在内部作，使得，交边于点，交于点，交的延长线于点．保留作图痕迹
(2)在(1)所作的图中，求证：．完成下列填空．
证明：四边形是菱形；
∴，，；
；
与 均为等边三角形；
，；
；
在与中，
；
______________________ ．
13．（2023·广东汕头·统考一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
14．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的中垂线交边于点，再以点为圆心，长为半径作⊙．
（2）判断：在（1）所作图形中，直线与⊙的位置关系，并说明理由．
15．（2022·黑龙江绥化·统考三模）如图，是直角三角形，．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的外接圆；
②以线段为一边，在的右侧作等边三角形；
③连接，交于点，连接；
(2)在（1）中所作的图中，若，，则线段的长为______．
16．（2022上·贵州贵阳·九年级统考阶段练习）数学课上，老师提出一个问题：已知：，．求作：矩形．小红的作法如下：作线段的垂直平分线交于点，过点作射线，在射线上截取，连接，则四边形即为所求．
(1)请根据小红的作法，利用尺规作图完成作图（保留作图痕迹）保留作图痕迹；
(2)求证：四边形是矩形．
17．（2022·福建福州·福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，⊙O是ABC的外接圆，AB为直径．
(1)在上求作点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB＝10，BC＝6，求BD的长．
18．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O；
(1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求的值．
19．（2023·浙江温州·校联考一模）（1）如图，已知△ABC，请你作出AB边上的高CD，AC边上的中线BE，角平分线AF（不写作法，保留痕迹）
（2）如图，直线l表示一条公路，点A，点B表示两个村庄．现要在公路上造一个车站，并使车站到两个村庄A，B的距离之和最短，问车站建在何处？请在图上标明地点，并说明理由．（要求尺规作图，不写作法）
20．（2022·广东韶关·统考一模）如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；
（2）求△ABE的周长．
【能力提升】
21．（2023·上海普陀·统考二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线的对称点；
(3)在图2中找格点C，使四边形为矩形；
(4)在图2中画的垂直平分线．
22．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）网格中每个小正方形的顶点称为格点，图中均为格点，仅用无刻度直尺依次完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
(1)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使得使；
(2)在图2中，先在上画点，使平分，再在上画点，使得．
23．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，都在格点上，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)如图1，在上找一点使，再在上找一点，使；
(2)如图2，为上一点，作关于的对称点，过作于点．
24．（2023·河北唐山·统考二模）（1）已知，在中，，求作的内心，以下甲乙两同学的做法：
甲：如图1
①作垂直平分线
②作的垂直平分线
③交于点
则点即为所求
乙：如图2
①作的角平分线
②作的垂直平分线EF
③交于点
则点即为所求
甲同学的做法__________；乙同学的做法__________（填写正确或不正确）
（2）如图3中， ，
①用直尺和圆规在的内部作射线，使（不写作法，保留痕迹）
②若①中的射线交于点，求的长
25．（2023·陕西汉中·一模）如图，已知矩形中．
(1)请用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分，（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)在（1）的条件下若，，求出的值．
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