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专题05 尺规作图
考点类型
知识一遍过
（一）作线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（二）作角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
（三）作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
（四）作垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点一遍过
考点1：尺规作图——作线段
典例1：（2024上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，．
(1)延长至点N，使得；过点N作，与的延长线交于点D（要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长至点M，使得，求证三点共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据要求画出图形；
（2）假设的延长线交的延长线于点，利用同一法证明．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）假设的延长线交的延长线于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴M，重合，
∴M，D，N共线．
【变式1】（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，直线，直线分别与相交于点．
(1)尺规作图（保留作图痕迹）：
①作的角平分线与交于点C；
②在射线上找一点D，使；
(2)连接，若四边形的对角线，，则四边形的面积为______，直线与直线的距离为______．
【答案】(1)见解析
(2)24；
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法作图和直接在射线上截取即可；
（2）如图，连接，交于点，过点作，可证四边形为菱形，然后由菱形的面积计算方法计算即可；
【详解】（1）解：①如图，射线AC即所求．
②如图，点D即所求．
（2）如图，连接，交于点，过点作
四边形为平行四边形
四边形为菱形
，
四边形为菱形的面积为：
四边形为菱形的面积为：
直线与直线的距离为
故答案为：24；
【点睛】本题考查了常见的尺规作图，菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积计算，熟练运用这些知识解决问题是解题的关键．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）如图，中，．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在斜边上找一点D，使；
(2)作的平分线，交于点E，连结；
(3)在（1）、（2）的条件下，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是直角三角形，证明见解析
【分析】（1）在截取即可；
（2）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（3）证明得到，从而得到．
【详解】（1）如图，点D即为所求的点．
（2）如图，即为所求；
（3）是直角三角形
∵平分
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵
∴
∴是直角三角形
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质．
【变式3】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a．求作，使，，且分别满足下列条件：
(1)．
(2)的周长等于a．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作线段，再作分别以点B，C为圆心，大于画弧，两弧分别交于点E，F，然后作直线交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧，交直线于点A，连接，则即为所求；
（2）先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心， 为半径画弧，交直线于点P，连接，再作的平分线交直线于点A，然后以点A圆心，长为半径画弧，交于点B，C，连接，则即为所求．
【详解】（1）解：如图，先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧，交直线于点A，连接，则即为所求．
理由：根据作法得：垂直平分线段，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心， 为半径画弧，交直线于点P，连接，再作的平分线交直线于点A，然后以点A为圆心，长为半径画弧，交于点B，C，连接，则即为所求．
理由：根据作法得：垂直平分线段，，平分，，，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——画等腰三角形，熟练掌握几种基本尺规作图的方法，等腰直角三角形的判定是解题的关键．
考点2：尺规作图——作角
典例2：（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在中，边上有一点D．
(1)尺规作图：在上取一个点E，使得（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，若 ， ， ，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图，作即可，因为由，，可得出；
（2）由可得，再代入数据求解即可．
【详解】（1）如图所示，点E即为所求．
（2）∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图-基本作图及相似三角形的判定及性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【变式1】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在中，是边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据要求，利用基本作图（作一个角等于已知角）；
（2）根据，则可判断出利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2），，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在中，．
(1)在的延长线上，求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以点为顶点，作，交延长线于点，则问题可解；
（2）过点作于点，过点作于点．由面积可求，证明，利用正切定义得到比例式，求出，设，分别利用和构造关于，的方程求出，则可求．
【详解】（1）利用尺规作图
如图，点为所求．
依据：有作图，，
∵，
∴；
（2）法一：
如图，过点作于点，过点作于点．
，
，
.
，
，
，即，
，
解得，（舍去）．
设，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
，
解得，
，
．
法二：
如图，过点作于点，取的中点，连接．
，
，
．
，
，
，即，
，
解得舍去）．
是直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
即．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查利用尺规作已知角、相似三角形的性质和判定以及正切的定义，解答关键是利用相似三角形的性质构造方程求解．
【变式3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，在中，点D、E分别在边上，且∥．
(1)求作，使得点F在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析图；
(2)．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质作图即可；
（2）要求长，则需求长即可，添加辅助线构造特殊直角三角形即可.
【详解】（1）如图，
∴为所作角，
（2）如图，过作与点，设，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
解得：，
∴，
由（1）作图得．
【点睛】本题考查了尺规作图和特殊三角形的性质，解此题的关键是熟练掌握含和直角三角形的性质．
考点3：尺规作图——作角平分线
典例3：（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
(1)尺规作图：求作，使得与直线相切；保留作图痕迹)
(2)求(1)中的半径．
【答案】(1)见解答
(2)
【分析】（1）作的平分线交于点，再过点作的垂线交于点，然后以点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设切点为，连接，如图，设的半径为，则，根据切线的性质得到，则可判断，再证明，利用相似比得到 ，然后解方程求出即可．
【详解】（1）解：如图，为所求作；
（2）设切点为，连接，如图，
设的半径为，则，
与直线相切于，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
解得 ，
即的半径为．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，切线的性质，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
【变式1】（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，已知，．
(1)求作菱形，使得D，E，F分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，过点E作，交于点G，若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角先想到作 的平分线 交 于点 ， 再由菱形的对角线互相垂直平分想到作 的垂直平分线，交 于点 ， 交 于点 ，则以 、、、 四点为顶点的四边形就是所求的菱形；
（2）先求得 ，可证明 是等边三角形，得 ， 再证明 ， 则 ，得 ，则 ， 由勾股定理求得 ，而 ，则 ， 所以 ， 则 ；
【详解】（1）
∴如图，菱形即为所求.
（2）
解：∵
∵在中，，，
∴，，
∴，
由（1）知，四边形是菱形
，，
，，
，
为等边三角形，
.
在中，.
在中，
【点睛】此题重点考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大．
【变式2】（2022·福建泉州·校考模拟预测）已知：，．
(1)点在边上，且的周长为，以线段上一点为圆心的恰与、边都相切，请用无刻度的直尺和圆规确定点、的位置；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）作的垂直平分线交于, 则, 所以的周长为；再作的平分线交于点，则点满足条件；
（2）过点作于, 于，如图，设的半径为，先利用勾股定理计算出, 由于,则可求出，接着根据切线的性质得到, 然后利用面积法得到 ，然后解方程即可.
【详解】（1）解：如图, 点、为所作；
（2）解：过点作于, 于，如图，设的半径为，
在,
∵,
，
∵的周长为,
∴,
在中,
∵
∴,解得
∵与边都相切,
∴,
，
，
解得
即的半径为
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质和切线的性质.
【变式3】（2011·广东珠海·统考中考模拟）如图，是等腰三角形，，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】(1)见详解，
(2)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出，可得，则是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图：
（2）是等腰三角形；
理由：∵是等腰三角形，，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义以及等腰三角形的判定方法是解题的关键．
考点4：尺规作图——作三角形
典例4：（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，，．
(1)求作及，满足为等边三角形，，其中，点，与点在的同侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由三边相等的三角形为等边三角形作，再由题中条件，根据邻补角定义作即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图所示：
，，
，
延长，尺规作图，
及即为所求；
（2）解：连接，，，如图所示：
，
，，，
，
，，三点共线，
．
【点睛】本题考查了复杂作图-作相等线段及作相等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式1】（2022上·福建福州·九年级闽清天儒中学校考阶段练习）如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q．
(1)请画出（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以点与点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ，同理，以点 与点 为圆心，以 长为半径画弧，交于点 ，连接，， ，则 为所求三角形；
（2）过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD，由题可知，即可证得是等边三角形，根据是等边三角形，即可得到、的长，继而根据勾股定理求得、的长，于是根据由两点之间，线段最短可得，故当C，P，Q，D四点共线时，即可得到的最小值．
【详解】（1）解：
如图所示，即为所求作的三角形．
（2）解：过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD，
∴．
∵绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q，
∴，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，∴，
∴，∴．
在中，．
在中，．
由两点之间，线段最短可得，
当且仅当C，P，Q，D四点共线时，等号成立，
∴，即，
∴的最小值是．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，尺规作三角形，掌握相关性质以及定理是解题的关键．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E．
(1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，理由见解析，
【分析】（1）根据全等三角形的判定和尺规作图的方法，根据题意画出图形即可；
（2）连接，，根据三角形的外角定理可得，则，再通过证明四边形是平行四边形，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图即为所求．
解法一（利用作全等三角形）：
解法二（利用作全等三角形或作点C旋转后的对应点E）：
解法三（利用作全等三角形）：
（2）解法一：
当时，无论取何值时，都有．
理由如下：
∵，，
∴始终在的外部．
连接，，
∵在中，，是的中点，
∴．
∴．
∵是的外角，
∴．
又∵，即，
∴．
∴．
∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点，
∴，，．
又∵点在上，
∴．
∴，即点在上．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
此时，．
解法二：
∵，，
∴始终在的外部．
连接，，
∵在中，，是的中点，
∴．
∴．
∵由绕点逆时针旋转得到，且点是点旋转后的对应点，点是点旋转后的对应点，
∴，，．
又∵点在上，
∴．
∴．即点在上．
∴．
∴．
要使得无论取何值时，都有，只要使四边形是平行四边形．
∵，
∴要使四边形是平行四边形，只要使．
即要使．
∵，
∴．
又∵是的外角，
∴．
∴要使，
只要使，即．
∴当时，无论取何值时，都有．
此时，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图，三角形的外角定理，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【变式3】（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，点是等边外部一点，把绕点顺时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作出；（保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）的情况下，在线段上取点，且，若，求证：，，三点共线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）分别以点C、D为圆心，的长为半径画弧，两弧在线段的下方相交于点E，连接、，则即为所求；
（2）证明即可．
【详解】（1）解：如图1， 即为所求；
（2）证明∶如图2，
∵，
∴，，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点P，C，E共线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的性质，等边三角形的性质，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点5：尺规作图——作垂直平分线
典例5：（2023·广东清远·统考一模）如图，中，
(1)求作边的垂直平分线，交于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图方法是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）结合（1）以及三角形的内角和利用，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式1】（2023·广东潮州·二模）如图，在中，为对角线．
(1)求证：．
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若的周长为10，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用即可证明；
（2）以分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；
（3）利用垂直平分线的性质可以得到，结合，得到，根据平行四边形的性质即可求得结论；
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）如图，即为所作；
（3）∵垂直平分，
∴，
∵的周长为10，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图是解题的关键．
【变式2】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，是菱形的对角线．
(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可；
（2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则．
【详解】（1）解：
（2）解：连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键．
【变式3】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，四边形中，为对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线分别交于点E、F、G．连接（不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形是菱形（请补全下面的证明过程）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）先证明，得出，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形为菱形．
【详解】（1）解：如图，为求作的的垂直平分线；
（2）证明：∵为的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
考点6：尺规作图——作垂线
典例6：（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，在中，平分交于点．
(1)实践与操作：利用尺规作图，过点作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）利用基本作图，作的垂直平分线即可；
（）根据平行四边形的性质得到，求得，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）如图，为所作；
（2），
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
【变式1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，为的直径，为上的一点．
(1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为圆心，小于的长为半径画弧，与直线有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点的连线所在的直线交的延长线与点；
（2）由垂径定理得，则为的中位线，得，由圆周角定理得，由切线的性质得，推出，从而利用相似三角形的性质可得，即，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，为所作；
；
（2）解：，
，
，
为的中位线，
，
为的直径，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
即，
解得，
即的长为．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．
【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．
（2）∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023·广东广州·校考二模）在中，，点D为边的中点．
(1)尺规作图，过点D作交边于点E；
(2)求的长；
(3)点P为射线上的一动点，点Q为边上的一动点，且，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）如图：以为圆心，以任意长为半径画弧与交于点M、N，然后分别以点M、N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于Q，连接交于E即可；
（2）由勾股定理可得，则；然后再证，然后根据相似三角形的性质即可解答；
（3）分点P在线段上和线段的延长线上两种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答．
【详解】（1）解：如图1即为所求：
（2）解：如图1，，
∴根据勾股定理得到， ，
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，即，
∴，．
（3）解：如图2：当点P在线段上时，
∵，
∴，
，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
如图2：当点P在线段的延长线上时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、作垂线、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
考点7：尺规作图——作等腰、等边三角形
典例7：（2022下·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，，射线．
(1)在线段上取一点，使得，在射线上确定一点，使是以为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于一点，该点即为点E，作CE的垂直平分线，交CM于一点，该点即为点D，连接CD、ED即可；
（2）证明四边形ABCD是平行四边形即可．
【详解】（1）解：以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于一点，该点即为所求作的点E，作CE的垂直平分线，交CM于一点，该点即为所求作的点D，如图所示：
（2）证明：连接AD，如图所示：
∵AC＝AB，CE＝CB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CEB，
∵，
∴∠CEB＝∠DCE，
∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴△DCE≌△ABC（ASA），
∴CD＝AB，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC．
【点睛】本题主要考查作图 复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式1】（2023·浙江杭州·统考一模）如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形．
（1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）作AB的垂直平分线与BC交于一点，连接这点与点A构成的三角形即可；
（2）利用勾股定理求出BD，再根据三角形面积计算即可.
【详解】（1）作线段AB的垂直平分线，作图如下，三角形DAB即为所求；
（2）设，则
∵
∴为直角三角形
∴为直角三角形
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的基本作图，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【变式2】（2022·福建莆田·统考一模）阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，直线，点在直线上．
求作：等边三角形，使其点，分别落在直线，上．
作法：①在直线上取点，连接，向右作等边三角形，使点落在直线，之间；
②在直线上取点（点在点左侧），作交直线于点；
③在射线上截取；
④连接，，．
就是所求作的等边三角形．
(1)使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请你根据上述作法，证明所求作的等边三角形．
【答案】(1)过程见详解
(2)过程见详解
【分析】（1）依据题意作图即可，
（2）由△ADE是等边三角形，可知AD=AE，∠DAE=60°，有根据尺规作图的信息可知∠ADP=∠AEC，DB=EC，则有，进而有AB=AC，∠BAD=∠CAE，根据∠CAE+∠CAD=60°，可得∠BAD+∠CAD=60°，结合AB=AC可知△ABC是等边三角形．
【详解】（1）作图如下：
作∠ADP=∠AEC的步骤：以AP为半径，A为圆心作弧，再以DP为半径，以E为圆心作弧，再将两段弧的交点与E连接，交直线n于点C，连接EC，即得；
（2）∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∵∠ADP=∠AEC，DB=EC，
∴，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，
∵∠CAE+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠CAD=60°，
∴结合AB=AC可知△ABC是等边三角形，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识，充分理解尺规作图每一步的含义是解答本题的关键．
【变式3】（2023·山东德州·统考三模）如图，已知∠PBC，在射线BC上任取一点D，以线段BD的中点O为圆心作⊙O，且⊙O与PB相切于点E．
(1)求作：射线BP上一点A，使△ABD为等腰三角形，且AB=AD．（要求：运用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：AD是⊙O的切线．
(3)若BD的长为8cm，∠PBC=30°，求阴影部分的面积
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）-．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用尺规作图作出图象即可；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，根据△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，可得出AO是∠BAD的角平分线，可得OE=OF，即可得证；
（3）根据已知条件可推出∠EOB=60°，BE==，再根据S阴影=S△BOE-S扇形EOM即可得解．
【详解】（1）作图如下，
（2）证明：如图，过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，
∵⊙O与PB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，
∴AO是∠BAD的角平分线，
∴OE=OF，即OF是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（3）解：由（2）知，∠BEO=90°，
∵∠PBC=30°，
∴∠EOB=60°，
∵BD的长为8cm且点O是底边BD的中点，
∴OB=OD=BD=×8=4cm，
∴OE=OB=2cm，
在Rt△BOE中，根据勾股定理得BE==，
∴S阴影=S△BOE-S扇形EOM=××2-=-．
【点睛】此题主要考查利用基本作图作出等腰三角形，等腰三角形的性质，切线的性质和判定，三角形和扇形面积等，掌握知识点是解题关键．
考点8：尺规作图——作圆的切线
典例8：（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P是外一点，连接交于点．
(1)过点P作的两条切线，，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：点I是的内心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先作的垂直平分线，交于一点，再以这个点为圆心，以该点到O点的距离为半径画弧线交于点A，B，连接，即可；
（2）先证明，得到，从而证得平分，进一步得到垂直平分，再证明，最后根据证得，得到平分，即可证得点I是的内心．
【详解】（1）解：如图所示，，圆为所求作的的两条切线，
其中切点分别为A，B．
（2）证：连接，记与的交点为D．
由（1）得都是的切线，切点分别为A，B，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
即平分，
∴点O，P在线段的垂直平分线上，
即垂直平分．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
即平分，
∴点I是的内心．
【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．
【变式1】（2023·河南周口·统考一模）如图，为的直径，为上的一点．
(1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为圆心，小于的长为半径画弧，与直线有两个交点，再以这两个交点为圆心，大于这两点的长的一半为半径画弧，两弧的交点和点的连线所在的直线交的延长线于点；
（2）由垂径定理得，则为的中位线，得，由圆周角定理得，根据切线的性质得，推出，从而利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：，
，
，
为的中位线，
，
为的直径，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式2】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：
(1)作图：(保留作图的痕迹)
①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；
(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意完成作图即可；
（2）先连接，得到是等腰三角形，点D是的中点，再利用等腰三角形“三线合一”证明即可；
（3）测量出圆的半径和扇形的圆心角，再根据面积公式计算即可；数据仅供参考，以实际测量为准．
【详解】（1）解：依题意画图如下：
（2）如下图：连接，依题意得：，；
∵，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴
∴点D是的中点，是中底边上的中线，
∴是中底边上的高，即，
∴，
∴为的切线；
（3）经测量得到，半径，(数据仅供参考，以实际测量为准)
过点O作于E，则由垂径定理可知，
∵，，
∴°，
∴，
∴
∴
弧与弦所围“弓形”的面积为：．
【点睛】本题考查用尺规作圆的切线的方法，圆切线的证明，弓形面积的求法等知识，根据题意正确作出图形是解题的关键．
【变式3】（2023·河南·校联考二模）如图1，小明在外取一点P，作直线分别交于两点B、A，先以P为圆心的长为半径画弧，再以O为圆心的长为半径画弧，两弧相交于点Q，连接交于点C，连接．完成下列任务：
(1)请你写出小明得出为的切线的核心依据：__________________；
(2)如图2，继续作点C关于的对称点D，连接交于点E，连接．
①求证：；
②若的半径为15，，求的长．
【答案】(1)经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据切线的判定方法回答即可，注意这里的依据不止一个，这里要选择最终用来判定切线的依据；
（2）①根据PC为⊙O的切线和点C关于的对称点为点D，从而可知，再根据圆周角定理即可求证；
②利用⊙O的半径为15，求出，再利用勾股定理求，最后利用求出的长即可．
【详解】（1）解：根据切线的判定得：依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）①∵为的切线，
∴，
∴．
∵点C与点D关于的对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
在中，，
∵，，
∴
∴，即
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识和基本模型是解题的关键．
考点9：无刻度直尺作图
典例9：（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)在图1中，①将边绕点A顺时针旋转得到线段；
②在边上找一点F，使；
(2)在图2中，在上画点G，连接，使．
(3)在图3中，在边上找一点P，使得的面积是面积的；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）①利用格点找出点B旋转后的对应点，即可求解；②取格点N，连接交于点F，则点F即为所求；
（2）取格点J，K，连接交于点G，连接，则即为所求；
（3）由图可知，取格点M，N，连接交于点P，则，，可知点P即为所求．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；②点F即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，涉及锐角三角函数，旋转的性质，相似三角形的性质等，解题的关键是掌握格点作图的特点．
【变式1】（2023·湖北武汉·统考二模）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．
(1)在图1中上找点，使平分；再在上找点，使；
(2)在图2中上找点、，使；再在下方找点，使且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可画出平分，根据对称的性质和对顶角相等可画出；
（2）利用平行线分线段成比例定理，线段与平行格线的交点为，作，连接，作，交于，交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：
，
在上取一点，使，连接，连接，相交于，连接并延长交于，点即为所求，
取点关于的对称点，连接，与的交点为，点即为所求；
（2）解：如图所示：
利用平行线分线段成比例定理，线段与平行格线的交点为，作，连接，作，交于，交于点，点即为所求．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本图形，逐步操作．
【变式2】（2023·江苏盐城·校考三模）只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可知的角平分线过线段的中点，由平行四边形的性质可知，的中点即为平行四边形对角线的交点，过与的中点的射线即为所求，作图即可，如图1；
（2）由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作的中线，，交点为重心，连接并延长交于，即为所求，如图
【详解】（1）解：如图1，连接、交于点，过作射线，即为所求；
（2）解：如图2，连接，，与交于点G，连接，与交于点，连接并延长交于，即为所求；
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的性质，角平分线，中线、重心等知识．熟练掌握等腰三角形三线合一，三角形的三条中线交于一点是解题的关键．
【变式3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作的角平分线；
(2)在图②中，在边上找一点D，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P与点A连接即可；
（2）设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，可得，根据可得，根据相似三角形的性质结合网格特征作出即可得答案．
【详解】（1）解：如图，点射线即为所求；
（2）解：设网格边长为1，如图，取格点、、，连接交网格于，连接，交网格于，连接交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴如图，点D即为所求；
【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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专题05 尺规作图
考点类型
知识一遍过
（一）作线段
已知：线段，作一条线段，？
作法：①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求
（二）作角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
（三）作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
（四）作垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点一遍过
考点1：尺规作图——作线段
典例1：（2024上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在中，．
(1)延长至点N，使得；过点N作，与的延长线交于点D（要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长至点M，使得，求证三点共线．
【变式1】（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，直线，直线分别与相交于点．
(1)尺规作图（保留作图痕迹）：
①作的角平分线与交于点C；
②在射线上找一点D，使；
(2)连接，若四边形的对角线，，则四边形的面积为______，直线与直线的距离为______．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）如图，中，．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在斜边上找一点D，使；
(2)作的平分线，交于点E，连结；
(3)在（1）、（2）的条件下，请判断的形状，并说明理由．
【变式3】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知线段a．求作，使，，且分别满足下列条件：
(1)．
(2)的周长等于a．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
考点2：尺规作图——作角
典例2：（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在中，边上有一点D．
(1)尺规作图：在上取一个点E，使得（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，若 ， ， ，求的长度．
【变式1】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在中，是边上的一点．
(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【变式2】（2023·福建泉州·统考二模）如图，在中，．
(1)在的延长线上，求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的值．
【变式3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，在中，点D、E分别在边上，且∥．
(1)求作，使得点F在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求线段的长．
考点3：尺规作图——作角平分线
典例3：（2023·山东青岛·统考模拟预测）如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
(1)尺规作图：求作，使得与直线相切；保留作图痕迹)
(2)求(1)中的半径．
【变式1】（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，已知，．
(1)求作菱形，使得D，E，F分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，过点E作，交于点G，若，，求的长．
【变式2】（2022·福建泉州·校考模拟预测）已知：，．
(1)点在边上，且的周长为，以线段上一点为圆心的恰与、边都相切，请用无刻度的直尺和圆规确定点、的位置；
(2)若，，求的半径．
【变式3】（2011·广东珠海·统考中考模拟）如图，是等腰三角形，，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断是否为等腰三角形，并说明理由．
考点4：尺规作图——作三角形
典例4：（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，，．
(1)求作及，满足为等边三角形，，其中，点，与点在的同侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【变式1】（2022上·福建福州·九年级闽清天儒中学校考阶段练习）如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q．
(1)请画出（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，求的最小值．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E．
(1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由．
【变式3】（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，点是等边外部一点，把绕点顺时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点．
(1)利用无刻度的直尺和圆规作出；（保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）的情况下，在线段上取点，且，若，求证：，，三点共线．
考点5：尺规作图——作垂直平分线
典例5：（2023·广东清远·统考一模）如图，中，
(1)求作边的垂直平分线，交于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的大小．
【变式1】（2023·广东潮州·二模）如图，在中，为对角线．
(1)求证：．
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若的周长为10，求的周长．
【变式2】（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，是菱形的对角线．
(1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【变式3】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，四边形中，为对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线分别交于点E、F、G．连接（不写作法和结论，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形是菱形（请补全下面的证明过程）．
考点6：尺规作图——作垂线
典例6：（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，在中，平分交于点．
(1)实践与操作：利用尺规作图，过点作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【变式1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，为的直径，为上的一点．
(1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长．
【变式2】（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(2)在（1）的条件下，求证：．
【变式3】（2023·广东广州·校考二模）在中，，点D为边的中点．
(1)尺规作图，过点D作交边于点E；
(2)求的长；
(3)点P为射线上的一动点，点Q为边上的一动点，且，若，求的长．
考点7：尺规作图——作等腰、等边三角形
典例7：（2022下·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，，射线．
(1)在线段上取一点，使得，在射线上确定一点，使是以为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：．
【变式1】（2023·浙江杭州·统考一模）如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形．
（1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的面积．
【变式2】（2022·福建莆田·统考一模）阅读下列材料，完成相应任务．
已知：如图，直线，点在直线上．
求作：等边三角形，使其点，分别落在直线，上．
作法：①在直线上取点，连接，向右作等边三角形，使点落在直线，之间；
②在直线上取点（点在点左侧），作交直线于点；
③在射线上截取；
④连接，，．
就是所求作的等边三角形．
(1)使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)请你根据上述作法，证明所求作的等边三角形．
【变式3】（2023·山东德州·统考三模）如图，已知∠PBC，在射线BC上任取一点D，以线段BD的中点O为圆心作⊙O，且⊙O与PB相切于点E．
(1)求作：射线BP上一点A，使△ABD为等腰三角形，且AB=AD．（要求：运用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：AD是⊙O的切线．
(3)若BD的长为8cm，∠PBC=30°，求阴影部分的面积
考点8：尺规作图——作圆的切线
典例8：（2023·福建福州·闽清天儒中学校考模拟预测）如图，点P是外一点，连接交于点．
(1)过点P作的两条切线，，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：点I是的内心．
【变式1】（2023·河南周口·统考一模）如图，为的直径，为上的一点．
(1)过点作的切线，交的延长线于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，垂足为，，，求的长．
【变式2】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：
(1)作图：(保留作图的痕迹)
①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；
(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
【变式3】（2023·河南·校联考二模）如图1，小明在外取一点P，作直线分别交于两点B、A，先以P为圆心的长为半径画弧，再以O为圆心的长为半径画弧，两弧相交于点Q，连接交于点C，连接．完成下列任务：
(1)请你写出小明得出为的切线的核心依据：__________________；
(2)如图2，继续作点C关于的对称点D，连接交于点E，连接．
①求证：；
②若的半径为15，，求的长．
考点9：无刻度直尺作图
典例9：（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
(1)在图1中，①将边绕点A顺时针旋转得到线段；
②在边上找一点F，使；
(2)在图2中，在上画点G，连接，使．
(3)在图3中，在边上找一点P，使得的面积是面积的；
【变式1】（2023·湖北武汉·统考二模）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．
(1)在图1中上找点，使平分；再在上找点，使；
(2)在图2中上找点、，使；再在下方找点，使且．
【变式2】（2023·江苏盐城·校考三模）只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
【变式3】（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作的角平分线；
(2)在图②中，在边上找一点D，使得．
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