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专题01 平移与轴对称（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，直线m是多边形的对称轴，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江台州·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学统考二模）平面直角坐标系中，把点A(－3，2)向右平移2个单位，所得点的坐标是（ ）
A．（－3，0） B．（－3，4） C．（－5，2） D．（－1，2）
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣1），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，3） C．（2，2） D．（1，2）
5．（2023·四川泸州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．(2，2) B．(-2，2) C．(-2，-2) D．(2，-2)
6．（2022·山东济南·统考二模）如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则点P的对应点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·广西百色·八年级统考期中）如图，三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）若将三角形ABC向左移动3个单位，向下移动2个单位得三角形A1B1C1，则A1，B1，C1对应的坐标分别为( )
A．（7，5）、（6，3）、（4，4） B．（7，1）、（6，﹣1）、（4，3）
C．（1，1）、（0，﹣1）、（﹣2，0） D．（1，5）、（0，3）、（﹣2，4）
8．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考阶段练习）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）
A．1.5 B．1.6 C．2 D．3
10．（2023·河南许昌·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，点， 分别是边，上的点．将沿折叠，使点的对应点落在边上，若，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．，
11．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，将等边沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则阴影部分面积等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·山西大同·校联考三模）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022下·山东聊城·七年级统考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点、处，若，则的度数是（ ）
A．65° B．60° C．50° D．57.5°
15．（2023·山东泰安·校考三模）如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
二、填空题
16．（2023下·广西柳州·七年级统考期中）将点P（-2，3）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点Q的坐标是 ．
17．（2022·宁夏·中考真题）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
18．（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期中）如图，等边三角形的顶点，规定把等边三角形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换．如果这样连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点A的坐标为 ．
19．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 ．
20．（2022上·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）已知点关于轴的对称点是，那么点关于原点的对称点坐标为 ．
21．（2023·辽宁辽阳·校考一模）如图，△ABC内接于圆，点D是AC上一点，将∠A沿BD翻折，点A正好落在圆上点E处．若∠C=50°，则∠ABE的度数为 ．
22．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，下列结论中：①；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有 ．（填序号）
23．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，在中，，，，是边上一点．连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部（不含边界）时，长度的取值范围是 ．
24．（2022·安徽滁州·统考二模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点是边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．
（1）若，，三点在同一条直线上，则的大小为 °；
（2）若，则，两点的连线段的最小值为 ．
25．（2022·贵州遵义·统考三模）折纸活动中含有大量数学知识，已知四边形是一张正方形彩纸．在一次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开（二分之一）折痕和四开（四分之一）折痕．然后将，分别沿，折叠到点，并使刚好落在上，已知，则的长度为 ．
三、解答题
26．（2022下·广东茂名·八年级校联考期中）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
(1)将△AOB向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△，请画出△，并写出点的坐标；
(2)将△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°得到△，请画出△，并写出点的坐标．
27．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图,△ABC的顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(3,2).
(1)将△ABC向下平移4个单位长度,画出平移后的△ABC；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△ABC. 并写出点A，B，C的坐标．
28．（2023下·河南商丘·七年级永城市实验中学校考期末）如图，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，且两点的坐标分别为.
（1）请根据条件在网格中画出平面直角坐标系；
（2）将三角形向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形，画出三角形，并分别直接写出点的坐标；
（3）求三角形的面积．
29．（2022下·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，四边形是正方形，其中，将这个正方形向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到正方形．
(1)画出平移后的正方形；
(2)写出点D和的坐标；
(3)写出线段与的位置和数量关系．
30．（2022·安徽·校联考二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，
(1)点关于轴的对称点坐标为________；
(2)将向右平移3个单位长度得到，请画出；
(3)求的面积．
31．（2022上·广东深圳·九年级深圳实验学校校考阶段练习）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
(1)图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使，求AE的长；
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长．
32．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点
(1)请画出关于原点对称的；
(2)设点与点关于轴对称，将点向上平移个单位长度得到点，使点落在的内部，直接写出点的坐标与的取值范围．
33．（2023·广东阳江·统考一模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B是格点，连接AB，作线段AB关于直线l的对称线段A′B′，连接OA，OB，OB′，OA′．
(1)求证：△OAB≌△OA′B′；
(2)求以点O为圆心的劣弧AA′的长．
34．（2023下·福建福州·七年级福州华伦中学校考期中）已知△A1B1C1是由△ABC经过平移得到的，其中，A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1．它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
△ABC A(a，0) B(3，0) C(5，5)
△A1B1C1 A1(﹣3，2) B1(﹣1，b) C1(c，7)
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）在如图的平面直角坐标系中画出△ABC；
（3）求△A1B1C1的面积．
35．（2022上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．
(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径
(2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数．
(3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案）
【能力提升】
36．（2023下·广东广州·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，点满足．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段（点O与点B对应），过点C作轴于点D，若，求a的值；
(3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段（点O与点F对应），交于点P，y轴上是否存在点Q，使，若存在，请求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
(1)作关于轴的对称图形（其中、、的对称点分别是、、），并写出点坐标；
(2)为轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点，并直接写出此时点的坐标．
38．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，．
(1)在平面直角坐标系中描点，画出；并作出关于轴对称的图形；
(2)求的面积；
(3)设点在轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标．
39．（2023下·江西吉安·七年级校考阶段练习）已知．
(1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．
(2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．
(3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．
40．（2023下·山东济南·七年级统考期末）方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积；
(3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置．
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专题01 平移与轴对称（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记特点是解题的关键．
【详解】点关于y轴对称的点的坐标是
故选：B．
2．（2023上·吉林松原·八年级校联考期中）如图，直线m是多边形的对称轴，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称图形对应角相等，即可得到答案．
【详解】解：由轴对称的性质可知，，
，
，
故选：A．
3．（2023·浙江台州·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学统考二模）平面直角坐标系中，把点A(－3，2)向右平移2个单位，所得点的坐标是（ ）
A．（－3，0） B．（－3，4） C．（－5，2） D．（－1，2）
【答案】D
【分析】根据点坐标平移的特点：左减右加，上加下减，进行求解即可．
【详解】解：点A(-3，2)向右平移2个单位，所得点的坐标是（-3+2，2）即（-1，2），
故选D．
【点睛】本题主要考查了点坐标平移，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的特点．
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣1），那么点B的对应点B′的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（2，3） C．（2，2） D．（1，2）
【答案】D
【分析】根据点A、A′的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B′的坐标即可．
【详解】∵A（1，0）的对应点A′的坐标为（2，﹣1），
∴平移规律为横坐标加1，纵坐标减1，
∵点B（0，3）的对应点为B′，
∴B′的坐标为（1，2）．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
5．（2023·四川泸州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．(2，2) B．(-2，2) C．(-2，-2) D．(2，-2)
【答案】C
【分析】根据点的平移规律左减右加可得点B的坐标，然后再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B(2，-2)，
点B关于y轴对称点的坐标为（-2，-2），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（2022·山东济南·统考二模）如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则点P的对应点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可．
【详解】解：∵将点向右平移3个单位长度，
再向下平移1个单位长度得到对应点，
∴，
∴点的坐标为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2023上·广西百色·八年级统考期中）如图，三角形ABC的顶点坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）若将三角形ABC向左移动3个单位，向下移动2个单位得三角形A1B1C1，则A1，B1，C1对应的坐标分别为( )
A．（7，5）、（6，3）、（4，4） B．（7，1）、（6，﹣1）、（4，3）
C．（1，1）、（0，﹣1）、（﹣2，0） D．（1，5）、（0，3）、（﹣2，4）
【答案】C
【分析】根据三个顶点的纵坐标都减去2，横坐标都减去3，据此作图可得结论．
【详解】解：如图，即为所求，
则 对应的坐标分别为（1，1）、（0，-1）、（-2，0），
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
8．（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段平移得到线段，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【详解】解：∵点的对应点C的坐标为，
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴的对应点D的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市第一女子中学校考阶段练习）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）
A．1.5 B．1.6 C．2 D．3
【答案】C
【分析】延长CE′和BA相交于点F，根据翻折的性质可以证明△BE′C≌△BE′F，可得CF=2，再证明△FCA≌△DBA，可得BD=CF=2．
【详解】解：如图，延长CE′和BA相交于点F，
由翻折可知：
∠BE'C=∠E=90°，CE'=CE=1，
∵BE'是∠ABC的角平分线，
∴∠CBE'=∠FBE'，
∵BE′=BE′，
∴△BE'C △BE'F(ASA)，
∴E'F=CE'=1，
∴CF=2，
∵∠FCA+∠F=90°，∠DBA+∠F=90°，
∴∠FCA=∠DBA，
∵∠FAC=∠DAB=90°，AB=AC，
∴△FCA △DBA(ASA)，
∴BD=CF=2．
故选：C．
【点睛】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解决问题的关键．
10．（2023·河南许昌·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，点， 分别是边，上的点．将沿折叠，使点的对应点落在边上，若，则点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．，
【答案】A
【分析】过作于，作于，根据四边形是菱形，，可得，，，，又，故，由将沿折叠，使点的对应点落在边上，有，从而，，即知，可得，．
【详解】解：过作于，作于，如图：
四边形是菱形，，
，
，
，，
，，
，，
，
，，
，即，
，
，
，
将沿折叠，使点的对应点落在边上，
，
，
，
解得，
，
，，轴，
∴点F的横坐标为，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含角的直角三角形三边的关系．
11．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得，然后可得，在Rt△C′B′N中利用勾股定理求解DB′；当点M与点A重合时，可得ME=NE，设NE=x，在中，利用勾股定理求解DE，当时，的值最大；当点运动到点落在时， 点的运动轨迹，运动路径求出即可．
【详解】解：如图1中，当点B′在DC上时，点E定为点B′，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∵（），
∴（）．
∴DB′=DN-B′N=，
如图2中，当点与重合时，点E定为点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴ME=NE，
设，DE=DN-NE=4-x，
在中，则有AD2+DE2=AE2，即，
解得，
∴（），
如图3中，当点运动到时，此时点E位置定为E′，的值最大，（），
如图4中，当点运动到点落在时，
∴点的运动轨迹，运动路径（）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质是解题的关键．
12．（2023上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，将等边沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则阴影部分面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，根据平行的性质可知，进而可证得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．
【详解】解：∵等边三角形沿边上的高线平移到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积记为，，
∴，
解得．
故选：B．
13．（2023·山西大同·校联考三模）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点B与点C关于直线对称，连接，交于点N，当点P与点N重合时，取得最小值，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故平分，计算即可．
【详解】连接，交于点N，连接，如图，
∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，
∴点B与点C关于直线对称，，
∴，
∴，
当点P与点N重合时，取得最小值，
此时点N是三个内角角平分线的交点，
故平分，
故，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值是解题的关键．
14．（2022下·山东聊城·七年级统考期中）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在点、处，若，则的度数是（ ）
A．65° B．60° C．50° D．57.5°
【答案】C
【分析】由折叠可得，∠1=∠A'EF=65°，进而得到∠AEA'=130°，再根据平角的定义，即可得到∠A'ED=180°-130°=50°．
【详解】解：由折叠可得，∠1=∠A'EF=65°，
∴∠AEA'=130°，
∴∠A'ED=180°-130°=50°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠问题的本质是轴对称的性质的运用．
15．（2023·山东泰安·校考三模）如图，在菱形中，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．
【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形，
，，再作点关于的对称点，连接，则，
连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．
过点作，过点作交于点，
，
，
，连接，
，，
四边形为矩形，
，，
，
周长的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键．
二、填空题
16．（2023下·广西柳州·七年级统考期中）将点P（-2，3）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点Q的坐标是 ．
【答案】（-4，2）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【详解】解：将点P（-2，3）向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点Q，则点Q的坐标为（-4，2）．
故答案为：（-4，2）．
【点睛】本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
17．（2022·宁夏·中考真题）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
【答案】3
【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．
【详解】解：当时，，
点的坐标为，
沿轴向右平移个单位得到，
点与其对应点间的距离为，
即点移动的距离是3．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键．
18．（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期中）如图，等边三角形的顶点，规定把等边三角形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换．如果这样连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据轴对称判断出点A变换后在x轴下方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
【详解】解：根据题意得：经过1次变换后，顶点A的坐标为，
经过2次变换后，顶点A的坐标为，
经过3次变换后，顶点A的坐标为，
经过4次变换后，顶点A的坐标为，
……
由此发现，第2021次变换后的三角形在x轴下方，点A的纵坐标为，
横坐标为，
所以，连续经过2021次变换后，等边三角形的顶点A的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，确定出连续2021次这样的变换得到三角形在x轴下方是解题的关键．
19．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，，由折叠知，，是等边三角形，解直角三角形求得，进一步求得，通过组合图形和差关系求得阴影部分面积．
【详解】如图，连接，，由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴图中空白部分面积=，
∴阴影部分面积=，
故答案为：.
【点睛】本题考查折叠的性质，扇形面积公式，求组合图形面积；能够由折叠转化为线段、角的数量关系，识别图中组合图形面积的和差关系是解题的关键．
20．（2022上·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）已知点关于轴的对称点是，那么点关于原点的对称点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据点的坐标关于坐标轴及原点对称的特征可进行求解．
【详解】解：点关于轴的对称点是，则关于原点的对称点坐标为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴及原点对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴及原点对称的特征是解题的关键．
21．（2023·辽宁辽阳·校考一模）如图，△ABC内接于圆，点D是AC上一点，将∠A沿BD翻折，点A正好落在圆上点E处．若∠C=50°，则∠ABE的度数为 ．
【答案】80°
【分析】首先连接BE，根据折叠的性质可得：AB=BE，即可得，根据圆周角定理，得到∠BAE和∠BEA的度数，继而求得∠ABE的度数．
【详解】解：如图，连接AE，
根据折叠的性质可得：AB=BE，
∴
∴（同弧所对的圆周角相等），
∴，
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、折叠的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点的面积为4，下列结论中：①；②平移的距离是4；③；④四边形的面积为16，正确的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；根据平行四边形的性质得到∠A=∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE=2，根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确．
【详解】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC=EF，BE=CF，故③正确；
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠A=∠BED，故①正确；
∵BG=4，
∴AD=BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF=10，
∴CG=BC-BG=EF-BG=10-4=6，
∵△BEG的面积等于4，
∴BG GE=4，
∴GE=2，
∴四边形GCFE的面积=（6+10）×2=16，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平移的性质，面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，在中，，，，是边上一点．连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部（不含边界）时，长度的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由勾股定理可求得的长，分别求出当点落在上时和当点落在上时，的长，即可求解．
【详解】解：，，，
，
当点落在上时，如图，
将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
；
当点落在上时，如图，过点作于，
将沿直线折叠，点落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点落在和上时的值是解题的关键．
24．（2022·安徽滁州·统考二模）如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点是边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形．
（1）若，，三点在同一条直线上，则的大小为 °；
（2）若，则，两点的连线段的最小值为 ．
【答案】 67.5
【分析】（1）易得，利用翻折的性质得到；
（2）连接，，，易证，得到，，当，，在同一条直线上时，FQ最小，计算可得．
【详解】（1）如图1，易得，
∴，
故答案为：67.5；
（2）如图2，连接，，，
易证，
∴，，
当，，在同一条直线上时，最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．
25．（2022·贵州遵义·统考三模）折纸活动中含有大量数学知识，已知四边形是一张正方形彩纸．在一次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开（二分之一）折痕和四开（四分之一）折痕．然后将，分别沿，折叠到点，并使刚好落在上，已知，则的长度为 ．
【答案】
【分析】由折叠得到对应角相等，对应边相等，再由折叠得到ED、EK与正方形的边长的关系，转化到直角三角形EHK中，由特殊的边角关系可得∠EHK=30°，从而得到特殊锐角的直角三角形，通过解特殊锐角的直角三角形，求出边长即可．
【详解】解：由折叠得，∠AEF=∠HEF，∠DEG=∠HEG， EK=KD=a， ED=EH=a，
∠FEG= =90°，
在中，EK=a， EH=a，
∠EHK=30°，
∠HEK=90°- 30°=60°，
∠DEG=∠HEG=30°，
∠DGE=∠HGE=60°，
在中，∠FEG=90°，∠HEG=30°，
∠EFG=90°- 60°=30°，
∠EFA=∠EFG =30°，
AF=
，解得，
在Rt△DGE中，
在中，∠EFG=30°， EG= ，
FG=2EG=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、正方形的性质，直角三角形的性质以及特殊锐角的直角三角形的边角关系等知识，理解折叠将问题转化到一个直角三角形中，通过解这个特殊锐角的直角三角形是解决问题的关键，
三、解答题
26．（2022下·广东茂名·八年级校联考期中）在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
(1)将△AOB向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△，请画出△，并写出点的坐标；
(2)将△AOB绕点O沿顺时针方向旋转90°得到△，请画出△，并写出点的坐标．
【答案】(1)作图见解析，；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）根据平移方式，将三角形的三个顶点进行平移，然后将平移之后的点依次连线，即为所作图形，相关点的坐标随之解决．
（2）根据旋转方式，将三角形的OA、OB绕着点A顺时针旋转90°，最后连接 即可．
【详解】（1）解：如图所示，由平移之后的图形可知，
（2）解：如图所示，由旋转之后的图形可知
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换，能够准确地根据图形的变换方式找到变换之后的对应点的位置是解决图形变换的关键．
27．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图,△ABC的顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(3,2).
(1)将△ABC向下平移4个单位长度,画出平移后的△ABC；
(2)画出△ABC关于y轴对称的△ABC. 并写出点A，B，C的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，
【分析】根据三角形在坐标中的位置，将每个点分别平移，即可画出平移后的图象．
【详解】解：（1）、（2）如图：
∴点A，B，C的坐标分别为：，，.
【点睛】本题考查了平移，轴对称的知识，解题的关键是熟练掌握作图的方法．
28．（2023下·河南商丘·七年级永城市实验中学校考期末）如图，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，且两点的坐标分别为.
（1）请根据条件在网格中画出平面直角坐标系；
（2）将三角形向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形，画出三角形，并分别直接写出点的坐标；
（3）求三角形的面积．
【答案】（1）平面直角坐标系如图所示见解析；（2）三角形如图所示见解析；；（3）．
【分析】（1）直接利用各点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）三角形如图所示：
（3）如图，
=
=
=
【点睛】本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
29．（2022下·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，四边形是正方形，其中，将这个正方形向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到正方形．
(1)画出平移后的正方形；
(2)写出点D和的坐标；
(3)写出线段与的位置和数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)D（ 3，4）；（2，1）
(3)，
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点，，，即可；
（2）根据点的位置写出坐标即可；
（3）利用平移变换的性质判断即可．
【详解】（1）解：如图，正方形即为所求；
（2）解：由（1）中图可得D（ 3，4），（2，1）；
（3）解：由平移的性质，得，．
【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
30．（2022·安徽·校联考二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，
(1)点关于轴的对称点坐标为________；
(2)将向右平移3个单位长度得到，请画出；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的面积为2
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形的面积进而得出答案．
【详解】（1）解：B点关于y轴的对称点坐标为：（2，2）；
故答案为：（2，2）．
（2）先得出平移后点A、B、C平移后的对应点、、，顺次连接各点即可得出平移后的，如图所示：
（3）．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换和三角形面积求法等知识，正确得出平移后对应点位置是解题关键．
31．（2022上·广东深圳·九年级深圳实验学校校考阶段练习）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
(1)图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使，求AE的长；
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长．
【答案】(1)
(2)①菱形，见解析，②
【分析】（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，AEF≌DEF，则，则易得，再证明RtAEF∽RtABC，然后根据相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连接AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4-x，先证明CME∽CBA得到，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
【详解】（1）解：∵ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，，
∴，
∵，
∴，
在RtABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴RtAEF∽RtABC，
∴，即，
∴AE=；
（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点M处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连接AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴，
∴CME∽CBA，
∴，即，
解得x=，CM=，
在RtACM中，AM=
∵=EF AM=AE CM，
∴EF=2×=
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，以及相似三角形的判定与性质等知识：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．
32．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图，已知，，是平面直角坐标系上的三点
(1)请画出关于原点对称的；
(2)设点与点关于轴对称，将点向上平移个单位长度得到点，使点落在的内部，直接写出点的坐标与的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)(-2,-3)，
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据轴对称的特征写出点B2的坐标，再根据图形确定出点B3到A1C1与B1的距离，由此可求出h的取值范围．
【详解】（1）解：画图如下：
（2）解：画图如下：
B2的坐标为(-2,-3)
点B2到A1C1的距离为4，到B1的距离6
故点落在的内部时，的取值范围为．
【点睛】本题考查了关于原点及y轴对称的点的坐标特征，图形的平移，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
33．（2023·广东阳江·统考一模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B是格点，连接AB，作线段AB关于直线l的对称线段A′B′，连接OA，OB，OB′，OA′．
(1)求证：△OAB≌△OA′B′；
(2)求以点O为圆心的劣弧AA′的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用对称的性质得到直线l垂直平分AA'，BB'，则OA=OA'，OB=OB'，则可根据“SSS”判断△OAB≌△OA'B'；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△AOA'是直角三角形，然后根据弧长公式计算．
【详解】（1）证明：∵线段AB与线段A'B'关于直线l对称，
∴点A，B分别与点A'，B'关于直线l对称，AB=A'B'，
∴直线l垂直平分AA'，BB'，
∴OA=OA'，OB=OB'，
在△OAB和△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA'B'（SSS）；
（2）解：如图，∵OA=OA′=，AA'=6，
∴OA2+OA'2=AA'2，
∴△AOA'是直角三角形，
∴∠AOA'=90°．
∴劣弧AA'的长=．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，以及弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．
34．（2023下·福建福州·七年级福州华伦中学校考期中）已知△A1B1C1是由△ABC经过平移得到的，其中，A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1．它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示：
△ABC A(a，0) B(3，0) C(5，5)
△A1B1C1 A1(﹣3，2) B1(﹣1，b) C1(c，7)
（1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）在如图的平面直角坐标系中画出△ABC；
（3）求△A1B1C1的面积．
【答案】（1）1，2，1；（2）见解析；（3）5
【分析】（1）根据点横坐标的变化求出向左平移的距离，根据点纵坐标的变化得出向上平移的距离即可；
（2）在坐标系内描出各点，再画出及△即可；
（3）矩形的面积减去两个顶点上三角形的面积即可．
【详解】解：（1），，
向左平移的距离，
，解得，
，解得；
，，
向上平移的距离，
．
故答案为：1，2，1；
（2）如图即为所求；
（3）由图可知，△AB1C1的面积=．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是作图平移变换，先根据题意得出图形平移的方向，再根据图形平移不变性的性质求解是解答此题的关键．
35．（2022上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中， 为直径， 点为圆上一点， 将劣弧沿弦翻折交于点，连接．
(1)如图1， 若点与圆心重合，， 求的半径
(2)如图2， 若点与圆心不重合， ， 请求出的度数．
(3)如图2， 如果， 那么的长为____________．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点O作于E，可得到AE的长，根据勾股定理计算即可；
（2）连接BC，根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，在根据角度求解即可；
（3）过C作于G，连接OC、BC，可求得半径的长度，根据计算得，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，
则，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴，
在中，，
即，
解得；
（2）如图2，连接BC，
∵AB是直径，
∴，
∵，
∴，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过C作于G，连接OC、BC，
∵，，
∴，⊙O的半径为，
由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
中，，
中，，
则AC的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，涉及的知识有折叠的性质、垂径定理、勾股定理等，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
【能力提升】
36．（2023下·广东广州·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，点满足．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段（点O与点B对应），过点C作轴于点D，若，求a的值；
(3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段（点O与点F对应），交于点P，y轴上是否存在点Q，使，若存在，请求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求得m的值，然后再代入求得n的值即可解答；
（2）分点D位于x轴上方和下方两种情形，分别根据，构建方程求解即可．
（3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点满足．
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段，，
∴，
∴，
①当点D位于x轴上方时，
∵，
∴，解得；
②当点D位于x轴下方时，
∵，
∴，解得．
综合以上可得或
（3）解：如图：连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，
由题意有，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
设，，
∴，即×EQ＝6，解得，即，解得或
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式的性质，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题属于中考常考题型．
37．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
(1)作关于轴的对称图形（其中、、的对称点分别是、、），并写出点坐标；
(2)为轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点，并直接写出此时点的坐标．
【答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题；
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）连接，交轴于点，则点即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）如图，△即为所求．
点的坐标为．
（2）如图，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
最小，
即的周长最小，
则点即为所求．
点的坐标为．
38．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，．
(1)在平面直角坐标系中描点，画出；并作出关于轴对称的图形；
(2)求的面积；
(3)设点在轴上，且与的面积相等，直接写出点的坐标．
【答案】(1)图形见解析
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形的面积等知识，注意点的位置有两个是解题的关键．
（1）根据点的坐标找到位置即可；根据轴对称的性质，画出；
（2）用矩形面积减去三个三角形面积即可；
（3）根据的面积，求出的长即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；即为所求．
（2）；
（3）当点在轴上时，的面积，
即，
解得：．
点的坐标为或．
39．（2023下·江西吉安·七年级校考阶段练习）已知．
(1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．
(2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．
(3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数为或．
【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解；
（2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论；
（3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，
∵射线，关于射线对称，
∴．
又∵射线，关于射线对称，
∴．
∵，
∴；
（3）的度数为或．
①如图，当射线在的内部时，
∵射线，关于射线对称，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②当射线在的外部时，
∵射线，关于射线对称，
∴．
当射线在的下方时，．
∵，
∴射线不在射线的下方．
当射线在射线的上方时，
如图，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
40．（2023下·山东济南·七年级统考期末）方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图就是一个“格点三角形”．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)若网格上最小正方形的边长为，求的面积；
(3)若在上存在一点，使得最小，请在图中画出点的位置．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为5
(3)见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）连接交直线于点Q，此时最小．
【详解】（1）解：如图，为所作；
；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点为所作，
．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点Q．
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