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专题01 平移与轴对称
考点类型
知识一遍过
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
考点一遍过
考点1：利用平移的性质求解
典例1：（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，然后得到四边形的周长等于的周长与的和，代入数据计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，，
∴四边形的周长的周长，
故选：．
【变式1】（2023下·广东潮州·七年级校考期中）如图，在中，点I为的平分线和的平分线的交点，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键．连接，因为点I是和平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长．
【详解】解：如图，连接，
∵点I为的平分线和的平分线的交点，
，
由平移的性质可知：，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长，
故选：B．
【变式2】（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，将沿着点到点的方向平移到的位置，平移距离为7，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．70 B．48 C．84 D．96
【答案】A
【分析】由平移的性质可得，，，从而得出，再由可得，即可得解．
【详解】解：由平移的性质可得：，，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段相等是解此题的关键．
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设交于H，交于点G，
由平移的性质知，，
∴四边形是平行四边形，
∵由正方形的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为x，高，
∴，
∴．
即．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.
考点2：坐标系中的平移
典例2：（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标．
【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为；
故选：D
【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键．
【变式1】（2023上·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，正方形中，，相交于点M（M为、的中点），顶点A、B、C的坐标分别为、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换”，则连续经过2023次变换后，点M的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查翻折变换，掌握对称与平移的性质是解题的关键；
由正方形，顶点 ，根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点的对应点的坐标，可得规律：第次变换后的点的对应点的坐标为：当为奇数时为，当为偶数时为，求得把正方形连续经过2023次这样的变换得到正方形的对角线交点的坐标．
【详解】解：∵正方形，顶点 ，
∴对角线交点的坐标为，
根据题意得：第1次变换后的点的对应点的坐标为，即，
第2次变换后的点的对应点的坐标为： ，即，
第3次变换后的点的对应点的坐标为，即，
第次变换后的点的对应点的坐标为：当为奇数时为，当为偶数时为，
∴连续经过2023次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为．
故选：D．
【变式2】（2023下·四川南充·七年级统考期末）如图，第四象限正方形，且，，将正方形平移，使、两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据题意，分两种情况讨论：当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时；当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时；分别根据轴、轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论如下：
当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的纵坐标为0，点的横坐标为0，
在第四象限正方形中，，，
，
由点的纵坐标由到平移后为0，可知向上平移了个单位；由点的横坐标由到平移后为0，可知向左平移了个单位，
平移后点的对应点的纵坐标是，
平移后点的对应点的坐标是；
当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的横坐标为0，点的纵坐标为0，
在第四象限正方形中，，，
，
由点的横坐标可知向左平移了个单位，由点的纵坐标可知向上平移了个单位，
平移后点的对应点的横坐标是，
平移后点的对应点的坐标是；
综上所示，平移后点的对应点的坐标是或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，解题的关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．
【变式3】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）如图，将线段平移后得到线段，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
【答案】C
【分析】根据点A、 D横坐标判定出向右平移了5个单位，从而可由点B、C坐标求出b；根据点B、C纵坐标判定出向上平移了1个单位，从而可由点A、 D纵坐标求出a；然后代入计算即可．
【详解】解：∵将线段平移后得到线段，，，，，
∴将线段向右平移了5个单位，向上平移了1个单位后得到线段，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查根据平移后点的坐标，判定平移方式，再根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
考点3：平移的综合
典例3：（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为．
(1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标；
(2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标．
(3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的坐标为或
(3)存在，时，P的坐标为或，时，P的坐标为
【分析】（1）根据点是点的“阶华益点”求解即可；
（2）根据点的“阶华益点”位于坐标轴上，构建方程求解；
（3）的“阶华益点（为正整数）”的坐标为，根据四边形的面积为6，构建方程求解．
【详解】（1）解：由题可得：，，
∴点P的“3阶华益点”的坐标为．
（2）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到，
∴，
∴， ，
∴P1的“阶华益点”P2的坐标为，
又∵位于坐标轴上，
∴或，
∴或，
∴的坐标为或．
（3）：设的“m阶华益点”的坐标为，过点作，分别交轴、轴于，，
∵，
∴，
又∵，
∴根据三角形的等积变形原理得：，
∴斜边上的高为，斜边上的高为，
设等腰直角三角形的直角边为，
∴
∴
解之得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，均为正整数，
∴①当，即时，，
则或，
∴，
②当，即时，，
则，
∴，
综上所述，时，P的坐标为或，时，P的坐标为．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
【变式1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，若将三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是．
(1)直接写出，的值及点的坐标，画出平移后的三角形；
(2)若点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点的坐标．
【答案】(1)，作图见详解
(2)或
【分析】（1）根据点到点，点到点得出平移规律即可求解；
（2）根据割补法求解求出，再根据，设点的坐标为，再分类讨论即可．
【详解】（1）解： ，，，
点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是．
可知将三角形平移后得到三角形，对应点的横坐标加3，纵坐标减2，
，
平移后的三角形如图所示：
（2）解：，
，
设点的坐标为，
当时，， ，
解得，即；
当时，， ，
解得，，
故点的坐标为或
【点睛】本题考查了平移变换的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．
【变式2】（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，中，，将沿的方向平移得到，连接．
(1)当点移至什么位里时，四边形是菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程．
【答案】(1)当点D移至的中点时，四边形是菱形，详见解析
(2)不能，详见解析
【分析】（1）当移至的中点时，四边形是菱形；根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，．所以，又由，则，故四边形是菱形；
（2）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件．
【详解】（1）解：当移至的中点时，四边形是菱形．
证明如下：
，是的中点，
，，
∵，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．
证明：，是的中点．
，即，
四边形为菱形，
四边形是正方形．
【点睛】本题是几何变换综合题型，主要考查了平移变换的性质，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线．（1）难度稍大，根据三角形斜边上的中线推知是解题的关键．
【变式3】（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点A，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，使A，B两点的坐标分别是，；
(2)在（1）的条件下，平移线段到，使A点的对应点为格点，B点的对应点为D点．
①请画出线段，并写出点D坐标______；
②连接，，格点在上．请在线段上找点M，使得；
③请在给定的网格内找格点H，使三角形与的面积相等，则满足条件的点H有______个．（点C除外）
【答案】(1)见解析．
(2)①线段见解析；；②见解析；③
【分析】（1）根据，，可建立相应的直角坐标系；
（2）①由A点、点的坐标可确定平移规律，根据平移规律可得出点D的坐标；②利用平移找到线段的对应线段，与的交点即为点；③根据平行线间的距离处处相等，可得出满足条件的点．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：①线段如图所示：
由、得：线段向右平移了一个单位长度，向上平移了３个单位长度
故点．
②由图可知：将点向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度可得到点；
按照同样的平移规律，可得到点的对应点
由平移的性质可得：∥
故与的交点即为点．
③分别过点、点作直线的平行线，如图所示：
根据“平行线间的距离处处相等”可知，满足条件的点
【点睛】本题考查了平移、平行线间的距离处处相等知识点．根据对应点得到平移规律是解决此题的关键．
考点4：轴对称图形的识别
典例4：（2023上·河南安阳·九年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形定义与中心对称图形定义逐一判断，即得．轴对称图形定义，如果一个平面图形绕着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形．解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形定义与中心对称图形定义．
【详解】A. ，不是轴对称图形是中心对称图形；
B. ，不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C. ，既是轴对称图形又是中心对称图形；
D. ，是轴对称图形不是中心对称图形．
故选：C．
【变式1】（2023·湖南·九年级专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式2】（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称和轴对称图形的概念，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选D．
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形以某条直线对折，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析．
【详解】解：A．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：（2023上·河北沧州·八年级校考期中）如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质求解．
【详解】解：∵和关于直线l对称，
∴（1），正确．
（2），正确．
（3）直线l垂直平分，正确．
（4）直线和的交点一定在直线l上，错误．
故选：B．
【变式1】（2019下·山西太原·七年级统考期末）如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：与关于直线对称，
，，，，，
，，即选项A、B正确；
由轴对称的性质得：，
，即，选项C正确；
由轴对称的性质得：，但不一定等于，即选项D不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【变式2】（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分析已知条件，根据轴对称图形的性质结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案，其中③是无法证明是正确的．
【详解】解：如图所示：
∵直线l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB∥CD，故①正确；
∴四边形ABCD是菱形；
∴AB=CD，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形；
∴AO=OC，故④正确．
∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；
故选：C．
【点睛】主要考查了轴对称的性质及菱形的性质与判定；证明四边形是菱形是正确解答本题的关键．
【变式3】（2023上·山东德州·八年级德州市第十中学校考期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查轴对称的性质，连接，利用轴对称的性质解答即可．
【详解】解：连接，
点分别以、为对称轴，画出对称点、，
，，
，，
，
，
故选：D．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：（2024上·河北石家庄·八年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的坐标变换，点的坐标变换规律探究，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是；
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是；
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，所得A点的坐标是；
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是；
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵余3，
∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为．
故选：C．
【变式1】（2024上·甘肃张掖·八年级校考期末）若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
由点的坐标，可找出点关于轴的对称点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：点关于轴的对称点为．
∵点在一次函数的图象上，
解得：，
故选：D．
【变式2】（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
故选：A．
【变式3】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数求出、的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
故选C．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：（2024上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的；
(2)的面积是______；
(3)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
【答案】(1)图见详解；
(2)4；
(3)点坐标为或；
【分析】本题考查了作轴对称图形及格点三角形面积问题：
（1）先利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出得到点坐标；
【详解】（1）解：由题意可得，
如图，和为所作，
（2）解：由题意可得，
，
故答案为：4；
（3）解：设点坐标为，
∵的面积为，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或．
【变式1】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，
(1)请画出关于轴对称的，并写出的坐标；
(2)在轴上存在一点，使点到、两点的距离之和最小，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)作图见解析，
(2)
【分析】本题考查了作图，轴对称变换，求一次函数解析式，掌握轴对称变换的定义和性质，是解答本题的关键．
（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接，得到答案．
（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，设所在直线的函数解析式为，由，，得到所在直线的函数解析式为，由此求出点的坐标为．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
即为所求，
由图像得：的坐标为．
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，
，，
由两点之间线段最短得：当点，，共线时，取最小值，
设所在直线的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得，
所在直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为．
【变式2】（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)请画出关于y轴对称的；（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）
(2)直接写出，，三点的坐标：
(_____，_____)， (_____，_____)， (_____，_____)；
(3)的面积=________．
【答案】(1)见详解
(2)，；，；，
(3)
【分析】本题考查了作图形的轴对称的图形，点的坐标，三角形的面积；
（1）根据轴对称的性质作图即可求解；
（2）根据（1）中的图，写出坐标即可求解；
（3）根据三角形面积公式即可求解；
掌握轴对称性质，能根据轴对称性质作图是解题的关键．
【详解】（1）解：如图
为所求作；
（2）解：由（1）图得
，，
故答案：，；，；，；
（3）解：由题意得
；
故答案：．
【变式3】（2024上·湖北鄂州·八年级统考期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查做出轴对称图形，全等三角形判定及性质．
（1）根据点坐标到直线的距离即可得出；
（2）作点关于直线对称点，连接，交于点即可；
（3）延长交于点，则即为所求，再利用全等三角形判定及性质即可求出．
【详解】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；
（2）作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；
则的周长
点即为所求；
（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：
．，，
，
，
，
，
．
即为所求边上的高．
考点8：利用轴对称求最值
典例8：（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】先根据三角形的面积求出中边上的高，过作 的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可．
【详解】解：设中边上的高是．
，，
，
，
动点在与平行且与的距离是3的直线上，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
则，
的最小值就是的长，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了最短路线问题，作点关于的对称点连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离及相关知识的应用．
【详解】如图所示，作点关于的对称点连接
则，，
∴，
当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
【变式2】（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题．
【详解】解：连接交于点，连接，，
四边形是菱形，
对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形，
，
，
是的中点，
，
的周长，
要求的周长的最小值可先求出的最小值即可，
而的最小值就是的长，
过点作，交的延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
在中，
，，
在中，
，，
，
的周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
【变式3】（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．作点关于的对称点，连接，，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点．
是的角平分线，与关于对称，
点在上，，
，，，
∴，
，
，
的最小值为．
故选：B．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，等边三角形，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上的一动点，点F是线段上一动点，当的直最小时，求的值？
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而得到，据此可得．
【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上．
(1)作出关于轴对称的（点的对称点分别是；
(2)在轴上找点，使得的值最小，并直接写出点的坐标；
(3)直接写出的面积．
【答案】(1)图形见解析
(2)点D的位置见解析，
(3)
【分析】本题考查了作图中轴对称变换，最短路径问题，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键．
（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征得到，,然后顺次连接，即可求解;
（2）连接交y轴于点D，根据题意可得当 、D、B三点共线时，的值最小，然后设直线的解析式为 ，求出直线的解析式，即可求解;
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：，，
和关于轴对称，
，,
画出图形，如下图所示：
（2）连接交y轴于点D，
与关于y轴轴对称，
，
，
即 、D、B三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
把，，代入得：
直线的解析式为，
当时，，
当AD+BD的值最小时，点
（3）由，，可知三角形面积等于长为3，宽为2的长方形减去3个直角三角形的面积，
即
【变式2】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，点在边上运动(不与点、点重合)，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点．
(1)如图1，若，则___________，___________；
(2)如图2，若，，求边的长；
(3)在点的运动过程中，设线段，线段，直接写出线段的长．(用含，的代数式来表示)
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）设，则，由，得到，即可求解；
（2）证明，由勾股定理即可求解；
（3）设交于点，分别求出、的长度，即可求解．
【详解】（1）解：连接、，设，
由对称得，，，
，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：，；
（2）由（1）知，，
，
，
，
，，
，
；
（3）设交于点，
由（2）知，
则，
则，
则，
则．
【点睛】本题为几何变换综合题，涉及到勾股定理的运用、中垂线的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角
(1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示）
(2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小．
(3)若，试说明的面积和的面积满足．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据周长定义，将三角形周长表示出来，对等式变形即可；
（2）由对称性可得，由可得，，，即可得；
（3）过点作于点，设与交点为，证明，可得是等腰直角三角形，，设，则，
计算求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
∴
，
∴；
（2）解：当发生改变时，的大小不变，始终为
∵点A、点D关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
，
∴，
∴当发生改变时，的大小不变，始终为；
（3）解：过点作于点，设与交点为，
则，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
设，则，
．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的知识，得到相等线段，相等角是解题的关键．
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专题01 平移与轴对称
考点类型
知识一遍过
（一）图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．
（2）性质：
①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．
②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
（二）图形的轴对称
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
考点一遍过
考点1：利用平移的性质求解
典例1：（2024上·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到，后沿着直尺方向平移，再描边得到，连接．如图，经测量发现的周长为，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·广东潮州·七年级校考期中）如图，在中，点I为的平分线和的平分线的交点，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【变式2】（2023上·云南昭通·八年级校考阶段练习）如图，将沿着点到点的方向平移到的位置，平移距离为7，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．70 B．48 C．84 D．96
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
考点2：坐标系中的平移
典例2：（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·浙江绍兴·八年级校考期中）如图，正方形中，，相交于点M（M为、的中点），顶点A、B、C的坐标分别为、、，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向右平移1个单位为一次变换”，则连续经过2023次变换后，点M的坐标为（）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·四川南充·七年级统考期末）如图，第四象限正方形，且，，将正方形平移，使、两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点的对应点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式3】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）如图，将线段平移后得到线段，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
考点3：平移的综合
典例3：（2023下·湖南长沙·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为．
(1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标；
(2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标．
(3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，若将三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是．
(1)直接写出，的值及点的坐标，画出平移后的三角形；
(2)若点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，求点的坐标．
【变式2】（2023下·山东威海·八年级统考期末）如图，中，，将沿的方向平移得到，连接．
(1)当点移至什么位里时，四边形是菱形，并加以证明．
(2)在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程．
【变式3】（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点A，B都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，使A，B两点的坐标分别是，；
(2)在（1）的条件下，平移线段到，使A点的对应点为格点，B点的对应点为D点．
①请画出线段，并写出点D坐标______；
②连接，，格点在上．请在线段上找点M，使得；
③请在给定的网格内找格点H，使三角形与的面积相等，则满足条件的点H有______个．（点C除外）
考点4：轴对称图形的识别
典例4：（2023上·河南安阳·九年级统考期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖南·九年级专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
考点5：利用轴对称性质求解
典例5：（2023上·河北沧州·八年级校考期中）如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】（2019下·山西太原·七年级统考期末）如图，点A在直线l上，△ABC与关于直线l对称，连接，分别交AC，于点D，，连接，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2023上·山东德州·八年级德州市第十中学校考期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点6：坐标系中的轴对称求解
典例6：（2024上·河北石家庄·八年级统考期末）如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·甘肃张掖·八年级校考期末）若点关于y轴的对称点在一次函数的图象上，则k的值为（）
A． B． C．2 D．
【变式2】（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．6 B． C．2 D．
考点7：坐标系中的轴对称作图
典例7：（2024上·河北廊坊·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的；
(2)的面积是______；
(3)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标．
【变式1】（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，
(1)请画出关于轴对称的，并写出的坐标；
(2)在轴上存在一点，使点到、两点的距离之和最小，请直接写出点的坐标．
【变式2】（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)请画出关于y轴对称的；（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）
(2)直接写出，，三点的坐标：
(_____，_____)， (_____，_____)， (_____，_____)；
(3)的面积=________．
【变式3】（2024上·湖北鄂州·八年级统考期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
(1)探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(2)探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
(3)探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
考点8：利用轴对称求最值
典例8：（2023上·江苏苏州·八年级统考期中）如图，P是长方形内部的动点，，，的面积等于，则点P到、C两点距离之和的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式1】（2023上·安徽阜阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是线段和边上的动点，点在边上，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·山东临沂·八年级统考期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
考点9：轴对称的综合问题
典例9：（2024上·江西上饶·八年级统考期末）如图，等边三角形，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上的一动点，点F是线段上一动点，当的直最小时，求的值？
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上．
(1)作出关于轴对称的（点的对称点分别是；
(2)在轴上找点，使得的值最小，并直接写出点的坐标；
(3)直接写出的面积．
【变式2】（2023上·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，点在边上运动(不与点、点重合)，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点．
(1)如图1，若，则___________，___________；
(2)如图2，若，，求边的长；
(3)在点的运动过程中，设线段，线段，直接写出线段的长．(用含，的代数式来表示)
【变式3】（2023上·福建福州·八年级统考期中）如图，在等腰直角中，，，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点，连接．设过点的直线和的夹角
(1)设，，的周长分别为，，，求的长；（用，，表示）
(2)试探究的大小是否会随着的改变而改变？如果改变，请用含的式子表示其大小；如果不变，请求出的大小．
(3)若，试说明的面积和的面积满足．
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