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专题02 旋转与中心对称（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023·浙江丽水·三模）如图，点P(1，4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（4，-1） D．（-4，1）
【答案】C
【分析】根据旋转的方法，作图即可确定旋转以后点的坐标．
【详解】解：P点的坐标为（1，4），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
从而得Q点坐标为（4，-1）．
故选：C．
【点睛】本题涉及图形变换，旋转，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．
2．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕着点O旋转后得到点则n的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点“横坐标和纵坐标均互为相反数”解答即可．
【详解】解：点绕原点O旋转，所得到的对应点的坐标为．
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特点．掌握关于原点对称的点的坐标特点：横坐标和纵坐标均互为相反数是解题关键．
3．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15 ，则∠BAC=45 15 =30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答．
【详解】解：设与交于点，
根据旋转性质得，而，
，
又，，
，
阴影部分的面积．
故选：．
【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度
4．（2023下·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，在中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点、、在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．145° B．130° C．135° D．125°
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据旋转变换的性质求出∠BAC1=80°，得到∠CAC的度数即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠B=40°，
∴∠BAC=50°，
由旋转的性质可知，∠B1AC1=∠BAC=50°，
∴∠BAC1=80°，
∴∠CAC1=130°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、三角形内角和定理的应用，旋转变换的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
5．（2023·江苏泰州·统考一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【答案】D
【分析】如图，连接OA，OC．证明△HOC≌△GOA（ASA），可得结论．
【详解】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2023·河北唐山·统考一模）如图，正五边形绕点旋转了，当时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正五边形得到一个内角的度数，求解，利用旋转的性质与五边形的内角和公式得到答案
【详解】解：如图，因为正五边形的每一个内角为
．
由旋转的旋转得：对应角相等，
故选C．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，正多边形的性质，多边形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2022·河北邯郸·校联考二模）如图，将线段绕一个点顺时针旋转得到线段，则这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】根据旋转中心到对应点的距离相等作图可以得解．
【详解】如图，连接、，分别作、的垂直平分线，发现相交于点，因此点是旋转中心.
故选A．
【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的性质及作法是解题关键．
8．（2022上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，已知点，，，线段绕着某点旋转一个角度与线段重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】连接、，作线段和的垂直平分线，则其交点E即为旋转中心，再根据点E的位置即可得出其坐标．
【详解】如图，连接，作线段和的垂直平分线，交于点E，则点E即为旋转中心．
由图可知旋转中心E的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，线段垂直平分线的性质．理解对应点的连线的垂直平分线的交点为旋转中心是解题关键．
9．（2023·江西九江·统考三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，再根据可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得，从而求得旋转角度．
【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，
∵，轴于B点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴将绕O点顺时针方向旋转，该三角形的A与抛物线的顶点C重合，
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐标，从而确定旋转角度是解题的关键．
10．（2023·山西·校联考三模）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形性质先求出，再利用旋转及等腰三角形性质求得，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴．
由旋转知，，．
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转性质，熟练掌握旋转及等腰三角形的性质是解答此题的关键．
11．（2022下·上海普陀·九年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
12．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转至，点A的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】首先根据旋转的性质及等边三角形的判定与性质，可求得，，再由解直角三角形，即可求解．
【详解】解：将绕点C顺时针旋转至，
，，，
、均为等边三角形，
，，
在中，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握和运用旋转的性质及等边三角形的判定与性质是解决本题的关键．
13．（2023·四川广元·统考二模）如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．3π
【答案】D
【分析】阴影面积为旋转后为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．
【详解】∵直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°
∴
又∵
∴
∴
∵AB=6，∠ABA’=30°
∴
故答案为：D．
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键．
14．（2023·河南商丘·校考三模）如图，平面直角坐标系中，，，点M为的中点，将绕点M顺时针旋转得到，当点O的对应点C第一次落在上时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由坐标中点得到，由旋转的性质可知，，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点C的坐标为，根据坐标间的距离公式列方程求出的值，即可得到点C的坐标．
【详解】解：，点M为的中点，
，
，
由旋转的性质可知，，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
设点C的坐标为，
，
，
解得：或（舍），
，
点C的坐标为，
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标间距离公式等知识，利用坐标的距离公式正确列方程是解题关键．
15．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④．
其中正确的结论（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，就有AM＝CE，由勾股定理可以求出EF的值，通过证明△EFB≌△MFB就可以求出①；根据△BPG∽△BCE就可以求出PG、BG从而求出GC，再求△HPG∽△DPF得出GH的值就可以得出HC的值，从而得出②的结论；由△BCE≌△DCH可以得出∠1＝∠4，根据四点共圆的性质可以得出∠4＝∠5，进而由角的关系得出∠9＝∠5而得出③成立；根据△BHP≌△DEP就可以得出面积相等，根据等高的两三角形的面积关系等于底之比就可以求出结论．
【详解】解：如图，①绕点B将△EBC逆时针旋转90°得△ABM，
∴AM＝CE，BE＝BM，∠1＝∠2．∠BAM＝∠BCE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．．
∴∠BAM＝∠BCE＝90°，
∴∠MAF＝180°，
∴点M、A、F在同一直线上．
∵AB＝2CE＝3AF，设AF＝x，
∴AB＝3x，CE＝1.5x，
∴MF＝1.5x+x＝2.5x，FD＝3x﹣x＝2x，ED＝1.5x．
在Rt△DFE中，由勾股定理得EF＝2.5x，
∴EF＝MF．
∵在△EFB和△MFB中，
，
∴△EFB≌△MFB（SSS），
∴∠EBF＝∠MBF．
∵∠MBF＝∠2+∠3，
∴∠MBF＝∠1+∠3，
∴∠EBF＝∠1+∠3．
∵∠EBF+∠1+∠3＝90°，
∴∠EBF＝45°．
∵FG⊥BE，
∴∠FPB＝∠BPG＝90°，
∴∠BFP＝45°，
∴∠BFP＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴△PBF为等腰直角三角形，故①正确；
在Rt△AFB中，由勾股定理得BF＝，
在Rt△BFP中，由勾股定理得PF＝PB＝，
在Rt△BEC中，由勾股定理得BE＝，
∵∠1＝∠1，∠BPG＝∠BCE＝90°，
∴△BPG∽△BCE，
∴，
∴，
∴PG＝，BG＝2.5x．
∴GC＝0.5x．
∵，
∴△HPG∽△DPF，
∴，
∴，
∴GH＝x，
∴HC＝1.5x，
∴2HC＝3x，
∴2HC＝BC，
∴H是BC的中点．故②正确；
∵AB＝2CE，
∴2HC＝2CE，
∴HC＝CE，
在△BCE和△DCH中，
，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠1＝∠4．
过点E作交AD于Q，交BC的延长线于R．
∴∠BER＝∠BPG＝90°，∠5＝∠6．
∴∠7+∠8＝90°．
∵∠1+∠7＝90°，
∴∠1＝∠8．
∵∠8＝∠9，
∴∠1＝∠9，
∴∠4＝∠9．
如图，∵∠FPE＝∠FDE＝90°，取的中点 连接
∴F、P、E、D四点共圆，
∴∠4＝∠5．
∴∠9＝∠5，
∴∠DEF＝2∠5，
即∠DEF＝2∠PFE．故③正确；
∵在△BHP和△DEP中，
，
∴△BHP≌△DEP（AAS），
∴S△BHP＝S△DEP．
作PS⊥BC于S，
∴S△BHP＝，S△PHG＝．
∴S△BHP＝，S△PHG＝，
∴，故④正确．
∴①②③④都是正确的．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定及性质的运用，圆的确定以及圆的基本性质．解答时作出恰当的辅助线是关键．
二、填空题
16．（2023·广东茂名·校联考模拟预测）点P（﹣4，6）与Q（2m，﹣6）关于原点对称，则m＝ ．
【答案】2
【分析】根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
【详解】解：∵点P（-4，6）与Q（2m，-6）关于原点对称，
∴-4=-2m，
解得：m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，熟记关于原点对称点两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
17．（2023·广东东莞·统考一模）点A关于原点对称的点的坐标是，则点A的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案，关键是掌握点的坐标特点．
【详解】∵点A关于原点对称的点的坐标是，
∴点A的坐标是，
故答案为：．
18．（2023·山东滨州·统考一模）如图，图形B是由图形A旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用旋转的性质，作两组对应点的连线段的垂直平分线，它们相交于点P，则P点为旋转中心，然后写出P点坐标即可．
【详解】解：如图，作两对对应点连线的垂直平分线，相较于点P，由图可知旋转中心P点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化－旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
19．（2022上·浙江嘉兴·九年级校考期中）将二次函数的图象绕顶点旋转180°所得抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】先把二次函数转化为顶点式，再确定旋转后的抛物线的a的值和顶点坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴原抛物线的顶点为，
由题意得：旋转后的图象和原图象关于顶点对称，开口方向相反，
∴新图象的顶点为，，
∴所得的图象的解析式为：，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，确定二次函数的解析式，属于基本题型，掌握求解的方法是解题关键．
20．（2023·广东东莞·校联考一模）点与点关于原点对称，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，则的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
21．（2023上·吉林白城·九年级统考阶段练习）如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，则与的周长之和为 ．
【答案】16
【分析】由勾股定理可求AB的长，由旋转的性质可得BC＝BD，∠CBD＝60°，可证△BCD是等边三角形，可得CD＝BD＝BC＝4，即可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，
∴BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝BC＝4，
∴△ACF与△BDF的周长之和＝AC+CF+AF+DF+BD+BF＝3+4+4+5＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
22．（2023·广东佛山·校考一模）如图，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，利用正方形的性质和旋转的性质可证得△ADE为等边三角形，由等腰三角形的判定可得△MDE为等腰三角形，继而求得，然后设，则，根据勾股定理列方程求解可得，进而由三角形面积公式即可求解．
【详解】如图，过点作于点，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵正方形绕点逆时针旋转30°到正方形的位置，
∴，，
∴
∴△ADE为等边三角形，
∴，
∴，
∴△MDE为等腰三角形，
∴.
在中，设，则，
∴
解得：，（舍去），
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形判定与性质，解直角三角形，利用等边三角形和等腰三角形的性质求出，是解题的关键．
23．（2022·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是 ．
【答案】
【分析】探究规律，利用规律解决问题，根据正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，求出A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8…，发现是8次一循环，即可得到点A2019的坐标．
【详解】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（， ），A4（0，-1），
A5（-，-），A6（-1，0），A7（-， ），A8（0， 1）…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252……3，
∴点A2019的坐标为（，-）．
故答案为: （，-）．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．
24．（2022·广东·模拟预测）等边三角形中，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得到AD=AO=3，∠OAD=60°，CD=OB=5，求得△AOD是边长为3的等边三角形，得到OD=3，∠AOD=60°，根据勾股定理的逆定理得到∠COD=90°，于是得到结论．
【详解】解把△AOB绕点A逆时针旋转60°到△ADC，连结OD，
∵△AOB≌△ADC，
∴AO=AD=3，BO=CD=5，
∵∠OAD为旋转角，
∴∠OAD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=60°，OD=AO=3，
在△COD中，
∵OC2+OD2=42+32=25=52，
∴△COD为直角三角形，
∴∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=60°+90°=150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
25．（2022下·山东济南·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】作，根据已知条件可以得到 而，则由此可确定的横坐标，接着确定的横坐标，根据的横坐标和的长度可以确定的坐标．
【详解】
如图，以点为顶点的三角形向上平移3个单位，得到（分别是 C的对应点），
的坐标分别为 ，
过A作AD于D，过，
,
而,
的横坐标为8+3=11，纵坐标为3+4=7，
的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移、旋转的性质，解决本题的关键是正确确定出的坐标，进而确定出的坐标．
三、解答题
26．（2023·广西南宁·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出点关于原点的对称点，并写出点的坐标；
（3）若直线经过点和点，求直线的解析式．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，；（3）．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点的位置进而作图即可；
（2）利用原点对称点的性质得出对应点位置并作图即可；
（3）设直线的解析式为，把点和点代入直线，解方程组即可求出．
【详解】（1）如图所示，为所求；
（2）如上图所示，点的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
则，
所以，，，
所以，直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查了平移变换和旋转变换作图以及运用待定系数法求一次函数解析式．
27．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)将绕坐标原点逆时针旋转．画出对应的图形，直接写出点A的对应点的坐标；
(2)在格点图内，若四边形为平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．
【答案】(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查利用旋转变换作图，平行四边形的性质．
（1）根据网格结构及旋转性质找出三个点关于坐标原点逆时针旋转的点，顺次连接即可得到本题答案；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
【详解】（1）解：如图所示，
，
∴；
（2）解：如图平行四边形即为所求：
，
根据平行四边形性质可得，
故答案为：．
28．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
【答案】(1)(3,37°)
(2)见解析
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
（2）证明：如图，
∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究
在中，，的角度记为．
(1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：；
(2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________；
(3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，理解见解析
【分析】（1）由旋转的性质得，，从而证明，即可得到结论；
（2）同第（1）小题的方法，证明，即可得到结论；
（3）由（2）可得，从而得，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转角度至位置，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
（3），理由如下：
∵，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的关键．
30．（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，－1），B（－3，－3），C（0，－3）．
(1)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C，并写出B1的坐标；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
【答案】(1)图见解析，点B1的坐标为（0，0）；
(2)见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以－2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C为所作，点B1的坐标为（0，0）；
（2）如图，将A、B、C的横纵坐标都乘以－2得到A2、B2、C2的坐标为A2（2，2），B2（6，6），C2（0，6），
故△A2B2C2为所作．
【点睛】此题主要考查旋转与位似变换作图，解题的关键是找到各顶点的对应点．
31．（2022上·湖北孝感·九年级统考期中）如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质、菱形的性质、等角对等边进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．
32．（2023上·山东日照·九年级阶段练习）如图，是直角三角形，，，以点为旋转中心，将旋转到的位置，且使经过点．
求的度数，判断的形状；
求线段与线段的数量关系．
【答案】 ∠ACA′=60°，是等边三角形；．
【分析】（1）证明∠BAC=60°；证明AC=A′C，得到∠A′=∠A′AC=60°，求出∠ACA′=60°；
（2）由△ABC≌△A′B′C′得到∠A′CB=∠ACB=90°，求得∠B′=∠B=30°，由（1）知：∠ACA′=60°，得到AC=AB′，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AB=2AC，∠BAC=60°；
∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=60°，AC=A′C，∴∠A′=∠A′AC=60°，∴∠ACA′=180°﹣120°=60°，∴△ACA′是等边三角形；
（2）∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠A′CB=∠ACB=90°，∠B′=∠B=30°，A′B′=AB，由（1）知：∠ACA′=60°，∴∠ACB′=30°，∴AC=AB′，∴AB=A′B′=AA′+AB′=2AC=2AC．
【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、等腰三角形的性质等来分析、判断、解答．
33．（2022·贵州黔东南·统考二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．
(1)【猜想论证】
猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．
(2)【拓展探究】
将图1中绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)EG=CG；证明见解析
(2)成立；EG=CG；证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明．
（2）过点G作GN⊥CD于N，过点G作GH⊥BC于H，交EF的延长线于M．根据正方形的性质，旋转的角度确定点E在AB上，点F在BD上，根据正方形的性质，矩形的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，线段的和差关系确定EM=CN，结合勾股定理确定MG=NG，最后根据全等三角形的判定定理和性质即可证明．
【详解】（1）解：EG=CG，证明如下．
∵EF⊥BD，四边形ABCD是正方形，
∴∠DEF=∠DCF=90°．
∵G为DF的中点，
∴，．
∴EG=CG．
（2）解：成立，EG=CG，证明如下．
如下图所示，过点G作GN⊥CD于N，过点G作GH⊥BC于H，交EF的延长线于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠NDG=∠ABD=∠CBD=45°，∠ABH=∠HCN=90°，BC=CD．
∵将图1中绕B点逆时针旋转45°得到图2，
∴点E在AB上，点F在BD上．
∴EF⊥AB．
∴∠BEF=90°．
∴∠EFB=180°-∠BEF-∠ABD=45°．
∴∠MFG=∠EFB=45°．
∵GN⊥CD，GH⊥BC，
∴∠GNC=∠GND=∠MHB=∠MHC=90°．
∴四边形EBHM是矩形，四边形GHCN是矩形，，∠NGD=180°-∠GND-∠NDG=45°．
∴∠EMH=90°，EM=BH，NG=HC，∠NDG=∠NGD．
∴∠GME=180°-∠EMH=90°，NG=ND．
∴∠GME=∠GNC，∠MGF=180°-∠GME-∠MFG=45°，，，ND=HC．
∴∠MFG=∠MGF，，BC-HC=CD-ND，即BH=CN．
∴MG=MF，EM=CN．
∴．
∴．
∵G为DF中点，
∴DG=FG．
∴MG=NG．
∴．
∴EG=CG．
【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，旋转的性质，矩形的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．
34．（2023·吉林白城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【答案】（1）见解析，（1，3）；（2）见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出点A、B绕C点顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1的坐标为（1，3）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
35．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连结交于点，连结．
（1）求证：平分；
（2）取中点，连结，求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据旋转的性质得到CB=CE，求得∠EBC=∠BEC，根据平行线的性质得到∠EBC=∠BEA，于是得到结论；
（2）如图1，过点B作CE的垂线BQ，根据角平分线的性质得到AB=BQ，证明△BHQ≌△GHC得到BH=GH，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
（3）如图2，过点G作BC的垂线GM，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，
∴CB=CE，
∴∠EBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠EBC=∠BEA，
∴∠BEA=∠BEC，
∴BE平分∠AEC；
（2）如图1，过点B作CE的垂线BQ，
∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE，
∴AB=BQ，
∴CG=BQ，
∵∠BQH=∠GCH=90°，BQ=AB=CG，∠BHQ=∠GHC，
∴△BHQ≌△GHC（AAS），
∴BH=GH，
即点H是BG中点，
又∵点P是BC中点，
∴PH∥CG；
（3）如图2，过点G作BC的垂线GM，
∵BC=2AB=2，
∴BQ=1，
∴∠BCQ=30°，
∵∠ECG=90°，
∴∠GCM=60°，
∴GM＝ ，CM＝，
∴BM＝，
∴BG＝．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【能力提升】
36．（2023·湖北孝感·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
【答案】（1）（2，-4） （2） （3）（0,4）
【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．
（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．
【详解】解：(1)如图所示：
平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．
点D的坐标为；
(2)如图所示：
根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．
故
(3)如图所示：
过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),
故点F的坐标为(0,4)．
【点睛】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．
37．（2024上·天津西青·九年级统考期末）在和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，．
(1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______．
(2)如图②，直线与直线交于点．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
②若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______
【答案】(1)；
(2)①（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析；②
【分析】（1）线段与的数量关系是，位置关系是．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论；
②分两种情况：当点恰好在线段上时；当点恰好在线段上时，分别求出线段长度即可．
【详解】（1）解：线段与的数量关系是，位置关系是,
理由：设交于点，
∵，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）①（1）中的两个结论仍然成立．
理由：∵，，，
∴，
，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②如图，当点恰好在线段上时，过点作于点，
由①知：，即，此时点与点重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，，，，
∴，即，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
如图，当点恰好在线段上时，
由①知：，
∵，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴线段长度的取值范围是．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握全等三角形的判定和性质、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
38．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期中）在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若，，，求线段的长度．
(2)如图2，点为线段的中点，连接，若，猜想，，的数量关系．
(3)如图3，当时，过点作射线的垂线，垂足为点．点为直线上的一个动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，取的中点为点，连接，当线段取得最小值时，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于，解求得和，解求得和，进一步得出结果；
（2）将绕点顺时针旋转至，连接、，可推出是直角三角形，进而得出，结合推出，，从而得出是的中位线，进一步得出结果；
（3）取的中点，连接，可推出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当点运动到′处时，最小；作于，设交于，可推出，进而得出，设，则，，，，进而得出结果．
【详解】（1）解：如图1，过点作于，
∴，
∵，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为；
（2）．理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转至，连接、，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴垂直平分，即，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，取的中点，连接，
∵，过点作射线的垂线，
∴，
∴，
∴，
∵将沿直线翻折至所在平面内得到，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于点，当点运动到′处时，最小，
如图4，作于，设交于，
∵过点作线段的垂线，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质和折叠的性质，解直角三角形，垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键利用旋转将条件集中．
39．（2023上·河南信阳·九年级统考期中）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：．
(2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质证明，即可得出答案；
（2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（3）设正方形边长为，在中用勾股定理建立关于的方程，求解即可
【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
由（1）得：，且，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵正方形的边长为，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴，
∴线段的长度为．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识点，运用了方程的思想．熟练掌握全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质是解题的关键．
40．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图1，中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点，，且，，三点在同一直线上．
(1)填空： ；（用含α的代数式表示）
(2)如图2，若，请补全图形，再过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，若，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解；
（3）如图3中，过点作交的延长线于，设交于．由旋转的性质可得，因为，得出，则点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，当，四边形的面积最大，此时，又因为，，得出，因为，则，因为，得出，可得，设，求出，在中，，则，所以，则，求出四边形最大面积．
【详解】（1）解：将绕点按逆时针方向旋转角得到，
，，
，
，
故答案为：；
（2）；
理由如下：如图，
将绕点按逆时针方向旋转角得到，
，
，，，
是等边三角形，且，
，
，
，
，，之间的数量关系为；
（3）如图3中，过点作交的延长线于，设交于．
绕点按逆时针方向旋转 得到，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，
当，四边形的面积最大，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
四边形最大面积．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，方程思想．
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专题02 旋转与中心对称（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023·浙江丽水·三模）如图，点P(1，4)绕着原点顺时针方向旋转90度后得到像点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（1，-4） B．（-1，4） C．（4，-1） D．（-4，1）
2．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点绕着点O旋转后得到点则n的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积( )
A． B． C． D．
4．（2023下·贵州铜仁·七年级统考期末）如图，在中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形的位置，使得点、、在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．145° B．130° C．135° D．125°
5．（2023·江苏泰州·统考一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
6．（2023·河北唐山·统考一模）如图，正五边形绕点旋转了，当时，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北邯郸·校联考二模）如图，将线段绕一个点顺时针旋转得到线段，则这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（2022上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，已知点，，，线段绕着某点旋转一个角度与线段重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．或
9．（2023·江西九江·统考三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山西·校联考三模）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点恰好落在边上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022下·上海普陀·九年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转至，点A的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
13．（2023·四川广元·统考二模）如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．3π
14．（2023·河南商丘·校考三模）如图，平面直角坐标系中，，，点M为的中点，将绕点M顺时针旋转得到，当点O的对应点C第一次落在上时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD、AD上，且AB＝2CE＝3AF，过F作FG⊥BE于P交BC于G，连接DP交BC于H，连BF、EF．下列结论：
①△PBF为等腰直角三角形；②H为BC的中点；③∠DEF＝2∠PFE；④．
其中正确的结论（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④
二、填空题
16．（2023·广东茂名·校联考模拟预测）点P（﹣4，6）与Q（2m，﹣6）关于原点对称，则m＝ ．
17．（2023·广东东莞·统考一模）点A关于原点对称的点的坐标是，则点A的坐标是 ．
18．（2023·山东滨州·统考一模）如图，图形B是由图形A旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ．
19．（2022上·浙江嘉兴·九年级校考期中）将二次函数的图象绕顶点旋转180°所得抛物线解析式为 ．
20．（2023·广东东莞·校联考一模）点与点关于原点对称，则的坐标为 ．
21．（2023上·吉林白城·九年级统考阶段练习）如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接交于点F，则与的周长之和为 ．
22．（2023·广东佛山·校考一模）如图，将边长为1的正方形绕点逆时针旋转30°到正方形的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
23．（2022·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点O顺时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是 ．
24．（2022·广东·模拟预测）等边三角形中，，，，则的度数为 ．
25．（2022下·山东济南·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是 ．
三、解答题
26．（2023·广西南宁·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
（1）请画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请画出点关于原点的对称点，并写出点的坐标；
（3）若直线经过点和点，求直线的解析式．
27．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)将绕坐标原点逆时针旋转．画出对应的图形，直接写出点A的对应点的坐标；
(2)在格点图内，若四边形为平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标．
28．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
29．（2023上·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究
在中，，的角度记为．
(1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：；
(2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________；
(3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由．
30．（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（－1，－1），B（－3，－3），C（0，－3）．
(1)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C，并写出B1的坐标；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．
31．（2022上·湖北孝感·九年级统考期中）如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：．
32．（2023上·山东日照·九年级阶段练习）如图，是直角三角形，，，以点为旋转中心，将旋转到的位置，且使经过点．
求的度数，判断的形状；
求线段与线段的数量关系．
33．（2022·贵州黔东南·统考二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．
(1)【猜想论证】
猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．
(2)【拓展探究】
将图1中绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
34．（2023·吉林白城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
35．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连结交于点，连结．
（1）求证：平分；
（2）取中点，连结，求证：；
（3）若，求的长．
【能力提升】
36．（2023·湖北孝感·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
37．（2024上·天津西青·九年级统考期末）在和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，．
(1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______．
(2)如图②，直线与直线交于点．
①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
②若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______
38．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期中）在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若，，，求线段的长度．
(2)如图2，点为线段的中点，连接，若，猜想，，的数量关系．
(3)如图3，当时，过点作射线的垂线，垂足为点．点为直线上的一个动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，取的中点为点，连接，当线段取得最小值时，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，直接写出的值．
39．（2023上·河南信阳·九年级统考期中）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：．
(2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度．
40．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图1，中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点，的对应点分别为点，，且，，三点在同一直线上．
(1)填空： ；（用含α的代数式表示）
(2)如图2，若，请补全图形，再过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，若，，求四边形面积的最大值．
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