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专题02 旋转与中心对称
考点类型
知识一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等 (4)旋转过后，常用等腰三角形性质
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
考点一遍过
考点1：旋转的三要素
典例1：（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
画出平面直角坐标系，作出新的的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，，
故选：D．
【变式1】（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．
故选：B．
【变式2】（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．当，旋转角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得，根据直角三角形性质和对顶角相等得，求出即可．
【详解】解：由题意得到，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
即旋转角是．
故选：A
【点睛】此题考查了图形的旋转、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式3】（2022上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，点F在的延长线上，则下列角中是旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的概念可直接求解．
【详解】解：∵以点A为中心，把顺时针旋转，得到，
∴旋转角为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的概念，掌握对应线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质的应用，三角形内角和定理和等边对等角，根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，然后利用三角形内角和定理和等边对等角逐项求解判断即可．
【详解】①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
∴，故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直，故③不正确；
④在中，
，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故选：D．
【变式1】（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的外角性质，先利用旋转性质得到，，，，再根据等腰直角三角形的性质求得，然后利用三角形的外角性质求解即可．掌握旋转性质是解答的关键．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【变式2】（2023上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）将含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角尺绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，由旋转的性质可知，，，则，由勾股定理得，，解得，，进而可求的坐标．
【详解】解：如图，过作于，
由旋转的性质可知，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等角对等边，勾股定理，坐标与图形等知识．熟练掌握旋转的性质，等角对等边，勾股定理，坐标与图形是解题等关键．
【变式3】（2023下·四川达州·八年级校考期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则下列结论正确的个数有（ ）．
①，②，③， ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和是正方形，从而得到，根据，，得到，根据，得到，从而得到，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半的得到，从而得到，根据特殊直角三角函数值得到．
【详解】解： 绕点C顺时针方向旋转得到，
，，
是正方形
，
，
，故①错误；
，
，，
，
，故③正确；
，
，
，故②正确；
，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的旋转及正方形的性质，熟记旋转的性质及解直角三角形和角度之间的计算是解题的关键．
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：（2023上·广东江门·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)请画出，使与关于x轴对称；
(2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路线长．（结果保留）
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，
(3)
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，找到A、B、C对应点的坐标，再描出，最后顺次连接即可；
（2）根据旋转方式和网格的特点找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接，最后根据点的位置写出点的坐标即可；
（3）先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，根据题意可知点A旋转到点所经过的路线长即为以点O为圆心，的长为半径且圆心角度数为90度的扇形弧长，据此利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
由图可知点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴点A旋转到点所经过的路线长即为以点O为圆心，的长为半径且圆心角度数为90度的扇形弧长，
∴点A旋转到点所经过的路线长．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和旋转，勾股定理，求弧长，正确根据图形的变换方式找到对应点位置是解题的关键．
【变式1】（2024上·上海·八年级校考期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．
(1)求的值；
(2)若与的面积比为，求点的坐标；
(3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把代入，可求出的值；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，由与的面积比为可推出，由点的坐标可求出，从而求出点的纵坐标，根据题意求出直线的解析式，由于点在直线上，进而求出点坐标；
过点作轴于，设 ，则，将其坐标代入到得到关于的方程内解方程即可求出结果．
【详解】（1） 在函数的图象上，
，
（2）如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
设直线的解析式为，
点 在直线上，
直线的解析式为，
把代入中，，
，
（3）如图2，过点作轴于，
直线的解析式为，
设 ，
点落在函数的图象上，
，
或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质等，能够熟练运用一次函数和反比例函数的性质是解本题的关键．
【变式2】（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图：在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为单位已知：
(1)与关于原点O对称，画出，并写出各顶点的坐标；
(2)以O为旋转中心将顺时针旋转得，画出，并写出各顶点的坐标；
(3)点C旋转到点经过的路线长为___________．
【答案】(1)图见解析，、、
(2)图见解析，、、
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，再根据图形求得点、、的坐标即可；
（2）根据旋转的性质作图即可，再根据图形求得点、、的坐标即可；
（3）根据题意可得点C旋转到点经过的路线为，，利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，、、；
（2）解：如图，即为所求，、、；
（3）解：如图，由题意可得，点C旋转到点经过的路线为，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图 旋转变换、勾股定理、点的坐标、弧长公式，熟练掌握旋转的性质作图是解题的关键．
【变式3】（2024上·北京西城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，．
(1)画出旋转后的；
(2)直接写出点的坐标；
(3)记线段与线段的交点为，直接写出的大小．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查旋转作图、由图形写坐标和求角度，涉及旋转性质、图形与坐标、三角形全等的判定与性质、对顶角相等和三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转性质及图形与坐标是解决问题的关键．
（1）根据旋转的性质作出三个顶点绕点顺时针旋转90°的对应点，连线即可得到；
（2）由（1）中作出的即可得到答案；
（3）过作轴于、过作轴于，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而，再由对顶角相等、等量代换及三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】（1）解：作图如下：
即为所求；
（2）解：由（1）中图形，如图所示：
；
（3）解：在（1）的图形中，过作轴于、过作轴于，如图所示：
，
，
，
，
在中，，则，
在中，由三角形内角和定理可知，
．
考点4：旋转与尺规作图
典例4：（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且．
（1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）图见详解；（2）能，旋转角为120°，证明见详解．
【分析】（1）分别以点A、B为圆心，以CE、BE为半径画弧，则两弧交于一点D，进而问题可求解；
（2）连接OA、OB、OC、OD、OE，由题意易得，，由（1）可知：，则有，然后可得，进而可得OD=OE，最后问题可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：能，理由如下：
连接OA、OB、OC、OD、OE，如图所示：
∵O是等边三角形ABC的中心，是以为斜边的直角三角形，且，
∴，，
由（1）可知：，
∴，
∴，即，
∵OB=OB，
∴，
∴，
∵OA=OB=OC，∠BOC=∠AOB=120°，
∴能由绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角度为．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式1】（2023·山东淄博·统考二模）如图，矩形中，，，把矩形折叠，使得点与射线上的动点重合，（不与点、重合），为折痕，点、分别在边、上．
（1）请用尺规在图（1）中作出过点、、的（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若直线与过、、三点的相切，求直线与的位置关系；
（3）把绕点顺时针旋转得，当落在边上时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）相切；（3）
【分析】（1）连结MP，作MP的垂直平分线，与MP交于点O，再以点O为圆心，OM为半径画圆即可；
（2）过O作EF⊥AD交AD于E 、交BC于F ，连接BP ，则可得，从而得到圆O半径为，进而可得OF=，从而最终得到直线与相切；
（3）可以证得四边形是正方形及，根据正方形的性质和相似三角形的性质可以得到DP的值．
【详解】解：（1）如图（1）所示；
（2）过作交于、交于，连接，如图（2）所示；
则四边形是矩形
是的切线
四边形是矩形
把矩形折叠，使得点与射线上的动点重合，（不与点、重合）为折痕
垂直平分
在和中
，
的半径为
四边形是矩形
是的中位线
直线与相切；
（3） 四边形是矩形
，，
绕点顺时针旋转得，当落在边上，连接交于点，如图（3）所示；
则垂直平分，，
，，四边形是正方形，
，
即
解得：
【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆相切的判定、折叠性质和旋转性质、圆的尺规作图等是解题关键．
【变式2】（2023下·福建宁德·八年级统考期末）如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．
（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；
（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．
【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；
（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON． 便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．
【详解】（1）①在OB下方取一点K，
②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，
③分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于E点，
④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，
故△OMN就是所求作的三角形；
（2）∵CM∥OB，
∴∠C＝∠PON，
在△PCM和△PON中，
，
∴△PCM≌△PON（ASA），
∴PM＝PN，
∴OP平分△MON的面积；
（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，
∵CM∥OB，
∴∠GMP＝∠FNP，
在△PGM和△PFM中，
，
∴△PGM≌△PFN（ASA），
∴S△PGM＝S△PFN
∴S四边形MOFG＝S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．
【变式3】（2023·福建·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转固定角度后得到，使得点在上，与交于点.
（1）在给出的图形上用尺规作出；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）由旋转的性质得，再计算出，即可得到结论.
【详解】（1）如图，为所求作的三角形；
（2）证明：由旋转可得，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．
失分的原因：不能正确理解本题所作的三角形，实质就是作已知三角形的全等三角形；对平行线的判定方法掌握不熟练．
考点5：旋转的应用——规律
典例5：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2024次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形，
∴点的坐标为，
，
四边形是正方形，
，
连接，如图：
由勾股定理得：，
由旋转的性质得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，
相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，
，，，，，，， ，
发现是8次一循环，则，
∴是第253组的最后一个点，
点的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法．
【变式1】（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点，处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，…，若点，点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，，即可得每偶数之间的B相个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】解：由图象可知点在第一象限，
∵，
∴，
∴，
当时，．
故选：C．
【变式2】（2023上·湖北荆州·九年级统考期中）如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换，由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为即可求出的值，掌握抛物线解析式的求法，以及抛物线与x轴交点坐标的求法是解题的关键．
【详解】解：∵一段抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为：，，
∴，
∵将绕点旋转得，
∴，
∴抛物线：，且抛物线一个周期长为，
∵，
∴ ，
故选：．
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后，点A所对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点与点的坐标相同，即可求解．
【详解】解：如图，点A旋转8次为一个循环，
∵，
∴点与点的坐标相同，
∴点的坐标为，
故选：C．
考点6：旋转的几何综合
典例6：（2023上·广东东莞·九年级校联考期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到．
(1)求证： ；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解；
（2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得：
，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得：，
则．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质．
【变式1】（2022下·广东深圳·八年级校联考期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点．
①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即．
②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②，理由见解析
【分析】（1）通过旋转变换可得四边形面积等于直角梯形面积的一半，结合题意求直角梯形的面积即可求解；
（2）通过旋转变换可得四边形面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质可求得，，根据角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得等边三角形的高，求出等边三角形的面积，即可求解；
（3）①根据旋转的性质即可求解；
②通过旋转变换可得四边形面积等于等腰三角形面积，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：由题意“等补四边形”的面积．
故答案为：
（2）解：过点作交于点，如图：
根据题意可得，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
则，
故“等补四边形”的面积．
故答案为：．
（3）解：①由旋转的性质可知，，
故答案为：．
②：由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积的面积．
【点睛】本题考查了旋转变换，直角梯形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式等，解题的关键是利用旋转变换把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．
【变式2】（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图所示，点O是等边内的任一点，连接，，，，，将绕点C按顺时针方向旋转得．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)线段，，之间的数量关系是．证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得到，可得，再求出，利用四边形内角和度数，即可解答；
（2）连接，证明是等边三角形，再根据勾股定理和线段的等量转换，即可得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，
，
∴，，
∴；
（2）线段，，之间的数量关系是．
证明：如图，连接，
∵绕点C按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
由①知，在中，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式3】（2024上·辽宁辽阳·九年级统考期末）综合与实践
数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】
（1）如图1，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
可证：．请写出证明过程；
【深入思考】
（2）在（1）的条件下，如图2，若延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想，的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）．理由见解析
【分析】（1）利用即可证明；
（2）由推出，，证明四边形是正方形，利用等量代换即可推出；
（3）连接和，证明，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴；
（2）；理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
（3）．理由如下：
连接和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，四边形是正方形，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：（2024上·广东惠州·九年级统考期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”和轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”逐项判断即可得．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【变式1】（2023上·福建莆田·九年级校联考期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【变式2】（2023上·福建福州·九年级统考期中）各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【详解】解： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意，
故选：C．
【变式3】（2023上·甘肃平凉·九年级统考期中）下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一个条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练二者的定义是解题的关键．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线必经过点O；
（3）四边形是中心对称图形；
（4）四边形和四边形的面积相等；
（5）和关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据与关于点O成中心对称，得到，，，即有四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题．
【详解】解： 与关于点O成中心对称，
，，，
即四边形是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，
点O是的对称中心，则有：
（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确．
（2）为是对角线，所以直线必经过点O，即（2）正确．
（3）四边形是中心对称图形，（3）正确．
（4）经过对角线交点的直线，平分的面积，所以四边形和四边形的面积相等，即（4）正确．
（5）由题知绕点O旋转能得到，所以和关于点O成中心对称，即（5）正确．
综上所述，正确的有5个，
故选：D．
【变式1】（2023下·山东德州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．
【变式2】（2023下·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上第一象限上的点，过点A作轴交函数的图象于点B，点C是点A关于原点O中心对称的点，连接、．若的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，再利用反比例函数系数k的几何意义求得，得到，据此即可求解．
【详解】解：如图，连接，设交轴于点D，
∵点C是点A关于原点O中心对称的点，
∴，
∴，
∵点A是反比例函数图象上第一象限上的点，且轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解本题的关键．
【变式3】（2022上·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C．点B的对称点是 D．
【答案】B
【分析】根据中心对称的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵△ABC与关于O成中心对称，
∴，，点B的对称点，
故A，C，D正确，不符合题意．
∵和不是对应角，
∴不一定相等，故B错误，符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查中心对称．掌握中心对称的性质是解题关键．
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，求特殊角三角函数值，先求出点M的坐标，再根据关于原点对称的点横纵坐标对互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点M的坐标为，即，
∴点关于原点对称的点的坐标是，
故选：B．
【变式1】（2023上·河北保定·九年级统考期末）若点与点关于原点对称，则等于（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故选：A．
【变式2】（2022上·九年级单元测试）在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形．
【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以，
所得到的图形与原图形关于原点对称，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键．
【变式3】（2024上·湖北武汉·九年级统考期中）已知点与点是关于原点O的对称点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4047
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案．关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都互为相反数．
【详解】解：点与点是关于原点的对称点，
，，
．
故选：．
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专题02 旋转与中心对称
考点类型
知识一遍过
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等 (4)旋转过后，常用等腰三角形性质
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
（四）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（五）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
考点一遍过
考点1：旋转的三要素
典例1：（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，已知点，连接，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·河南漯河·九年级统考期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式2】（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．当，旋转角的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，点F在的延长线上，则下列角中是旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：利用的旋转的性质求解
典例2：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【变式1】（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）将含有角的直角三角尺按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角尺绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·四川达州·八年级校考期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则下列结论正确的个数有（ ）．
①，②，③， ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点3：坐标系中的旋转作图
典例3：（2023上·广东江门·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)请画出，使与关于x轴对称；
(2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路线长．（结果保留）
【变式1】（2024上·上海·八年级校考期末）如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．
(1)求的值；
(2)若与的面积比为，求点的坐标；
(3)将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点的坐标．
【变式2】（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图：在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为单位已知：
(1)与关于原点O对称，画出，并写出各顶点的坐标；
(2)以O为旋转中心将顺时针旋转得，画出，并写出各顶点的坐标；
(3)点C旋转到点经过的路线长为___________．
【变式3】（2024上·北京西城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转90°得到，点，，的对应点分别为，，．
(1)画出旋转后的；
(2)直接写出点的坐标；
(3)记线段与线段的交点为，直接写出的大小．
考点4：旋转与尺规作图
典例4：（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，点为等边三角形的中心，是以为斜边的直角三角形，且．
（1）用尺规在直线的左侧作，使≌，保留必要的作图痕迹，不写作法；
（2）能否由绕点按顺时针方向旋转得到？若能，请加以证明，并求出旋转角（）的度数；若不能，请说明理由．
【变式1】（2023·山东淄博·统考二模）如图，矩形中，，，把矩形折叠，使得点与射线上的动点重合，（不与点、重合），为折痕，点、分别在边、上．
（1）请用尺规在图（1）中作出过点、、的（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若直线与过、、三点的相切，求直线与的位置关系；
（3）把绕点顺时针旋转得，当落在边上时，求的长．
【变式2】（2023下·福建宁德·八年级统考期末）如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．
（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；
（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；
（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．
【变式3】（2023·福建·一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转固定角度后得到，使得点在上，与交于点.
（1）在给出的图形上用尺规作出；（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：.
考点5：旋转的应用——规律
典例5：（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2024次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点，处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，…，若点，点，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·湖北荆州·九年级统考期中）如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点，如此进行下去，若是其中某段抛物线上一点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后，点A所对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点6：旋转的几何综合
典例6：（2023上·广东东莞·九年级校联考期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到．
(1)求证： ；
(2)当时，求的长．
【变式1】（2022下·广东深圳·八年级校联考期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点．
①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即．
②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
【变式2】（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图所示，点O是等边内的任一点，连接，，，，，将绕点C按顺时针方向旋转得．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【变式3】（2024上·辽宁辽阳·九年级统考期末）综合与实践
数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动．
【探索发现】
（1）如图1，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
可证：．请写出证明过程；
【深入思考】
（2）在（1）的条件下，如图2，若延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想，的数量关系，并证明你的猜想．
考点7：中心对称图形的识别
典例7：（2024上·广东惠州·九年级统考期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】（2023上·福建莆田·九年级校联考期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·福建福州·九年级统考期中）各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·甘肃平凉·九年级统考期中）下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点8：利用中心对称性质求解
典例8：（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知与关于点O成中心对称，过点O任作直线分别交，于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线必经过点O；
（3）四边形是中心对称图形；
（4）四边形和四边形的面积相等；
（5）和关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（2023下·山东德州·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
【变式2】（2023下·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上第一象限上的点，过点A作轴交函数的图象于点B，点C是点A关于原点O中心对称的点，连接、．若的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C．点B的对称点是 D．
考点9：坐标系中的中心对称
典例9：（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·河北保定·九年级统考期末）若点与点关于原点对称，则等于（ ）
A． B． C．1 D．7
【变式2】（2022上·九年级单元测试）在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·湖北武汉·九年级统考期中）已知点与点是关于原点O的对称点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．4047
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