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专题03 位似
考点类型
知识一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．与位似 B．与位似
C．与位似 D．与位似
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级校联考阶段练习）如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【变式3】（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
考点2：判断位似中心
典例2：（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【变式1】（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式3】（2023上·河北邯郸·九年级统考期末）把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（ ）
A．G点 B．F点 C．E点 D．D点
考点3：求位似图形的位似比
典例3：（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·重庆万州·九年级统考期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（）
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式3】（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、O、D都在网格的格点上，点O是和的位似中心，平分交于点E，平分交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4：求位似图形的坐标
典例4：（2024上·山西晋城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，若与关于点O位似，，点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式1】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，在中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点的横坐标是b，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点5：坐标系中求位似图形相似比
典例5：（2023上·四川内江·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·云南昭通·统考二模）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式3】（2023下·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，与位似，原点是位似中心，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点6：坐标系中位似图形周长比、面积
典例6：（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（）
A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6
【变式1】（2023上·陕西铜川·九年级校考阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（ ）
A．大鱼与小鱼的相似比是
B．对应点到位似中心的距离比是
C．大鱼与小鱼的面积比是
D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，）
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是2，则与的周长之比为（ ）．
A． B． C． D．
考点7：坐标系中画位似图形
典例7：（2024上·山西朔州·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出．
(3)求出的面积．
【变式1】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题：
(1)画出向右平移6个单位长度后的图形，点坐标是______；
(2)画出绕点顺时针方向旋转后的图形；
(3)画出以为位似中心按放大后的图形．
【变式2】（2023下·安徽·九年级校联考学业考试）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；
(3)设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________．
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
(2)写出点P的坐标为____________，与的面积比为____________，____________；
(3)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点P位似，且与的位似比为；
②与位于点P的同侧．
考点8：坐标系中确定位似中心
典例8：（2023上·山东青岛·九年级胶州市初级实验中学校考阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·河北唐山·统考一模）如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）
【变式3】（2024上·福建宁德·九年级统考期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
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专题03 位似
考点类型
知识一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．
考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．与位似 B．与位似
C．与位似 D．与位似
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理
根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O，
∴点O是线段的中点，，
∴，
∴与位似，故C不符合题意；
∵M是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，，
∴与位似，与位似，故A、D不符合题意；
∵与每组对应点所在的直线没有相交于一点，
∴与不位似，故B符合题意．
故选B．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级校联考阶段练习）如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案．
【详解】解：图1中，与成位似图形；
图2中，∵与不平行，与不平行，∴与不成位似图形；
图3中，与成位似图形；
图4中，与成位似图形；
综上，与成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心．
【变式2】（2023·河北唐山·统考一模）如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【答案】D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确；
D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．
【变式3】（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
【答案】C
【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解．
【详解】解：选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键．
考点2：判断位似中心
典例2：（2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．
【详解】根据题意，得位似中心为点D，
故选A．
【变式1】（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，
各对应点的连线交于点，
位似中心是点，
∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴与位似比是
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．
【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．
【变式3】（2023上·河北邯郸·九年级统考期末）把放大为原图形的2倍得到，则位似中心可以是（ ）
A．G点 B．F点 C．E点 D．D点
【答案】B
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．
【详解】由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，
故选：B
【点睛】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．
考点3：求位似图形的位似比
典例3：（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
∴，点、点、点三点在同一直线上， ，
∴，
故选：．
【变式1】（2024上·重庆万州·九年级统考期末）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∵位似比为，
∴，
∵的面积为8，
∴的面积18，
故选：C．
【变式2】（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】，
与是位似图形
，
的周长 的周长
的周长为4
的周长为
故选：C
【变式3】（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、O、D都在网格的格点上，点O是和的位似中心，平分交于点E，平分交于点F，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，再证，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：点是和的位似中心，
，
，，
∴，选项B错误；
∵平分交于点E，平分交于点F，
，
，
∵，
，
，，
∴，，选项A正确，选项C、D错误．
故选：A．
考点4：求位似图形的坐标
典例4：（2024上·山西晋城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，若与关于点O位似，，点的对应点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了坐标系中的位似坐标计算，根据位似图形面积比等于相似比的平方，确定位似比，根据坐标与位似比的关系确定坐标即可．
【详解】∵与关于点O位似，，
∴
∴,
∴,
∵，
∴或
故或，
故选D．
【变式1】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， 与是关于轴上一点的位似图形，若，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，
∵对应点和的坐标分别为，，
∴，，，，，
由题意可得：，
∴，
∴，
解得：，
∴位似中心到点的距离是1，
∴位似中心的坐标为，
故选：B．
【变式2】（2024上·四川成都·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算．
【详解】解：∵原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A的对应点的坐标为或，即或，
故选：D．
【变式3】（2023上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图，在中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长扩大到原来的2倍，设点B的对应点的横坐标是b，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
以点为坐标原点建立新的坐标系，表示出点的横坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以点为坐标原点建立新的坐标系，
点的坐标是，
点的横坐标为：，
以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，
则点在以为坐标原点的坐标系中的横坐标为：，
点在原坐标系中的横坐标为：，
故选：D．
考点5：坐标系中求位似图形相似比
典例5：（2023上·四川内江·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质得出，再由相似比等于位似比即可求解．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心是原点O，
∴，
∵点，，，
∴与的相似比是，
故选：A
【点睛】此题主要考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
【变式1】（2023·云南昭通·统考二模）如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点和点A的坐标特征得到位似比为，即可求解．
【详解】解：由图可知，，
∵，
∴和的位似比为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【变式2】（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为，C点坐标为，
∴线段与线段的位似比为，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
【变式3】（2023下·重庆丰都·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，与位似，原点是位似中心，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出、的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案．
【详解】解：设点的坐标是，
∵，，，，
∴，，
∵与位似，原点是位似中心，，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
考点6：坐标系中位似图形周长比、面积
典例6：（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点是位似中心，若的面积为0.6，则的面积为（）
A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可．
【详解】解：∵与是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知点坐标为点坐标为，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 是解题关键．
【变式1】（2023上·陕西铜川·九年级校考阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点，点的坐标可知，，，，进而求得两个正方形的面积即可求得面积之比．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，四边形和四边形均是正方形，
∴，，，，
则正方形的面积为：
正方形的面积为：，
∴两个正方形的面积之比为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，位似变换，理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【变式2】（2022上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则下列说法中正确的是（ ）
A．大鱼与小鱼的相似比是
B．对应点到位似中心的距离比是
C．大鱼与小鱼的面积比是
D．若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是（，）
【答案】C
【分析】根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、大鱼与小鱼的相似比是，选项错误，不符合题意；
B、大鱼与小鱼的对应点到位似中心的距离比是，选项错误，不符合题意；
C、大鱼与小鱼的面积比是，选项正确，符合题意；
D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
【变式3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是2，则与的周长之比为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应线段长进而得出相似比，即可得出周长比．
【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，
∵以点C（-1，0）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C，点B的横坐标是-2，
∴EC=1，
∵点B的对应点B'的横坐标是2，
∴CF=3，
∵BE//B'F
∴，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：1：
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，正确得出位似比是解题的关键．
考点7：坐标系中画位似图形
典例7：（2024上·山西朔州·九年级统考期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，请在网格内画出．
(3)求出的面积．
【答案】(1)，，；
(2)图形见解析；
(3)的面积．
【分析】本题主要考查了作图—位似变换：
（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以（或乘以2）得到的坐标（或的坐标），然后描点即可；
（3）根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得：，，；
（2）解：如图，和即为所作：
（3）解：的面积．
【变式1】（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题：
(1)画出向右平移6个单位长度后的图形，点坐标是______；
(2)画出绕点顺时针方向旋转后的图形；
(3)画出以为位似中心按放大后的图形．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，旋转与位似．
（1）根据平移的规则，画出，写出点坐标即可；
（2）根据旋转的性质，画出即可；
（3）根据位似图形的性质，画出即可．
掌握平移，旋转和位似图形的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由图可知： ；
故答案为：；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，即为所求；
【变式2】（2023下·安徽·九年级校联考学业考试）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为；
(3)设点为内一点，则依上述两次变换后点P在内的对应点的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图—位似变换，轴对称变换，坐标与图形．
（1）根据题意分别画点A、B、C关于x轴对称的点，连接即可得到；
（2）相似比为，即对应点到位似中心的距离比也是，据此画图；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）点P关于x轴的对称点坐标为：，
的坐标是．
故答案为：．
【变式3】（2023上·河南南阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
(2)写出点P的坐标为____________，与的面积比为____________，____________；
(3)请在图中画出，使之满足如下条件：
①与关于点P位似，且与的位似比为；
②与位于点P的同侧．
【答案】(1)见解析
(2)；；；
(3)见解析
【分析】（1）连接，交于点P，即可得到结论；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；求出边长为1和2的正方形的对角线，得到与的长，求出与的比值，根据与相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比，根据正方形的面积减去三个三角形的面积求得．
（3）根据位似的性质画出，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示；点即为所画的位似中心，
（2）如图所示：位似中心P的坐标是．
由勾股定理得，，,
∵，
∴，
∴与的面积比为：．
故答案为：；；；．
（3）解：如图所示，即为所求，
【点睛】此题考查了位似中心的确定，勾股定理，位似的性质，画位似图形，网格中求三角形的面积．正确运用面积比等于位似比的平方是解答本题的关键．
考点8：坐标系中确定位似中心
典例8：（2023上·山东青岛·九年级胶州市初级实验中学校考阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键．
【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设，
∵点的坐标为，点的坐标为，
又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直，
∴，，，，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∵点在轴负半轴上，
∴点．
故选：A．
【变式1】（2022·河北唐山·统考一模）如图，正方形和正方形是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点，点，则它们位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．
【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，
∵点D与点G是一对对应点，
则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，
设直线DG解析式为； ，
将，代入得：
，
解得： ，
∴直线DG解析式为 ，
令y=0，可得： ，
即位似中心的坐标是．
故选A．
【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．
【变式2】（2023上·河南平顶山·九年级统考期末）如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】A
【分析】连接CF交y轴于P，根据题意求出DG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．
【详解】解：如图，连接CF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点C，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴点D的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴DG=3，
∵CD∥GF，
∴，
∴GP=1，PD=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
【变式3】（2024上·福建宁德·九年级统考期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为．
故选：D．
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