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专题06 数与式综合检测（培优版）
考试范围：数与式；考试时间：150分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．给出下列实数：，，，，，，，，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（数学文化）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图1可列式计算为，由此可推算图2可列的算式为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是( )
A．将数精确到千位是 B．按科学记数法表示的数，其原数是
C．近似数精确到十分位 D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位
4．若的整数部分为a，小数部分为b，则数轴上表示实数a，两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．若x，y都是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
6．估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间
C．7和8之间 D．8和9之间
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D．若，则
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a(x－y)＝ax－ay B．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
C．x2＋2x＋1＝(x－1)2 D．x3－4x＝x(x＋2)(x－2)
9．若有理数a，b满足，则( )
A．3或 B．3或 C．1或 D．1或
10．将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
A．18 B．26 C．34 D．46
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若一正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ．
12．一般地，形如（a≥0）的式子叫做 ，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、≥0，也就是说二次根式具有 ．
13．分解因式：
① ；
② ；
③ ．
14．已知x能使得有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第 象限．
15．若，则 ．
16．已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：
18．已知最简二次根式与是同类二次根式，且，求的值.
19．阅读理解：
例题：已知实数满足，求分式的值．
解：．
的倒数
(1)已知实数满足，求分式的值．
(2)已知实数满足，求分式的值．
20．已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．
21．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
；
(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：=___________，=___________．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
22．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若请判断和的大小关系，并证明；
（3）令若分式的值为3，求t的值.
23．观察下列等式：
回答下列问题：
（1）化简： （无需化为最简二次根式）
（2）化简： （为正整数）
（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：
24．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．
(1)求C点对应的数；
(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．
25．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
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专题06 数与式综合检测（培优版）
考试范围：数与式；考试时间：150分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．给出下列实数：，，，，，，，，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．本题根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴无理数有：，，共3个．
故选B．
2．（数学文化）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图1可列式计算为，由此可推算图2可列的算式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可．
【详解】解：4个小棍正放表示4，3个小棍斜放表示，
因此图2可列的算式为，
故选A．
【点睛】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是理解题意．
3．下列说法中，正确的是( )
A．将数精确到千位是 B．按科学记数法表示的数，其原数是
C．近似数精确到十分位 D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位
【答案】A
【分析】根据题目中的说法可以写出正确的结果，单后对照，即可得到哪个选项是正确．
【详解】解：、将数50340精确到千位是，正确；
、按科学记数法表示的数，其原数是504000，故该选项错误；
、近似数117.08精确到百分位，故该选项错误；
、用四舍五入法得到的近似数8.1750精确到万分位，故该选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查科学记数法和有效数字，解题的关键是明确科学记数法和有效数字的含义．
4．若的整数部分为a，小数部分为b，则数轴上表示实数a，两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的估算求出a、b的值，再根据数轴的定义即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴，，
∴，
∴数轴上表示实数a，两点之间的距离，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，正确估算出的取值范围是解题关键．
5．若x，y都是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，代入求值，解题关键在于求出x，y的值．
【详解】解：由题可知，
解得，
∴，
∴，
故选C．
6．估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间
C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】B
【分析】先化简，然后估算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，即
故估计的值应在6和7之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D．若，则
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【详解】A.，不是互为倒数，选项错误；
B.若，由于，则，选项错误；
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；
D.由可得，结合可得，，则，选项错误；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a(x－y)＝ax－ay B．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
C．x2＋2x＋1＝(x－1)2 D．x3－4x＝x(x＋2)(x－2)
【答案】D
【分析】利用因式分解的定义：将多项式转化为整式乘积的形式，进行判定即可．
【详解】解：A．a(x－y)＝ax－ay，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意；
B．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意；
C．x2＋2x＋1＝(x－1)2，非恒等变形，等式不成立，不符合题意；
D．x3－4x＝x(x＋2)(x－2)，符合因式分解的定义，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的定义，利用因式分解的定义进行判定是解题的关键，需要注意的是等式变形需要符合恒等变形．
9．若有理数a，b满足，则( )
A．3或 B．3或 C．1或 D．1或
【答案】B
【分析】根据已知得出a、b同号，分为两种情况：①当，时，②当，时，去掉绝对值符号求出即可．
【详解】解：∵，
∴，同号，
①当，时，则；
②当，时，则；
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，有理数的加减运算，除法运算，运用分类讨论，注意：当时，，当时，是解答此题的关键．
10．将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
A．18 B．26 C．34 D．46
【答案】D
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为36，求得，根据图2中长方形的周长为55，求得AB=，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为36，可得，，解得：，
如图，图2中长方形的周长为55，
∴，
∴，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，
∴
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．若一正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ．
【答案】25
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到的值，即可确定出这个正数．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
则这个正数为．
故答案为：25．
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
12．一般地，形如（a≥0）的式子叫做 ，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、≥0，也就是说二次根式具有 ．
【答案】二次根式 ，双重非负性
【解析】略
13．分解因式：
① ；
② ；
③ ．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式与公式法，公式法进行因式分解．选取合适的方法进行因式分解是解题的关键．
①利用完全平方公式进行因式分解即可；②利用完全平方公式进行因式分解即可；③先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】①解：；
故答案为：；
②解：；
故答案为：；
③解：，
故答案为：．
14．已知x能使得有意义，则点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第 象限．
【答案】二
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的范围，根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【详解】解：由题意得，x+1≥0，2﹣x≥0，
解得，﹣1≤x≤2，
则x+2＞0，x﹣3＜0，即点P（x+2，x﹣3）在第四象限，
故点P（x+2，x﹣3）关于原点的对称点P′在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、关于原点对称的点的坐标特点，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
15．若，则 ．
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求出，的值，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算，以及立方根、绝对值、非负数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上基础知识的应用．
16．已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题．
【详解】解：，，是两两不相等的实数且满足，
又 ，
，，，，
原式．
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出，，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．
评卷人得分
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）-2；（2）
【详解】解：（1）原式．
（2）
解不等式①，得，解不等式②，得，
∴这个不等式组的解集为．
18．已知最简二次根式与是同类二次根式，且，求的值.
【答案】
【分析】由最简二次根式与是同类二次根式得出关于的方程
再由平方和算术平方根的非负性得出关于和的关系，组成方程组，然后解得的值，再化简需要求解的式子，最后代入的值进行计算即可.
【详解】由题意得：
整理得：
把②③代入①得：
解得：
代入②得：，
代入③得：
原式=
【点睛】本题主要考查了最简二次根式、分母有理化、完全平方和算术平方根的非负性，根据性质特点列出方程组是关键.
19．阅读理解：
例题：已知实数满足，求分式的值．
解：．
的倒数
(1)已知实数满足，求分式的值．
(2)已知实数满足，求分式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，先求出的倒数，即可确定分式的值；
（2）根据，可得，先求出的倒数，进一步可得分式的值．
【详解】（1）解：∵，
∴的倒数，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴的倒数
，
∴．
【点睛】本题考查了分式的值，理解给定的例题中求分式的值的方法是解题的关键．
20．已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能构成直角三角形，
【分析】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，本题中证明三角形是直角三角形是解决本题的关键．
（1）根据非负数的性质可求出、、的值；
（2）首先利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，利用面积公式求解．
【详解】（1）根据题意得：，，，
解得：，，．
（2）能构成直角三角形，
，
，
，
以、、为边长的三角形是直角三角形．
三角形的面积是：．
21．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
；
(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：=___________，=___________．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
【答案】(1)，
(2)第32个三角形
(3)
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入求出即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【详解】（1）解：因为每一个三角形都是直角三角形，
由勾股定理可求得：，，，
∴，，
∴；
（2）当时，有：，
解之得：
即：说明它是第32个三角形；
（3）
即：的值为．
【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
22．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若请判断和的大小关系，并证明；
（3）令若分式的值为3，求t的值.
【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；
（2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；
（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
【详解】（1）∵，，
∴a=2b，c=2d，
∴，.
故答案为：==；
（2）=.理由如下：
设，则，
∴a=bt，c=dt，
∴，
，
∴=；
（3）∵，
∴a=ct，b=dt.
∵2=3，
∴.
解得：t=.
经检验：t=是原方程的解.
【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.
23．观察下列等式：
回答下列问题：
（1）化简： （无需化为最简二次根式）
（2）化简： （为正整数）
（3）利用上面所揭示的规律计算（无需化为最简二次根式）：
【答案】（1） （2） （3）
【分析】（1）根据已知得出式子变化规律写出答案即可；
（2）进而由（1）的规律得出答案；
（3）利用发现的规律化简各式进而求出即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）；为正整数）；
故答案为：；
（3）
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确发现式子中变化规律是解题关键．
24．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．
(1)求C点对应的数；
(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．
【答案】(1)4
(2)①或；②t的值为或或5.5
【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得．
本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键．
【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8，
∴，
∵，
∴，，
∴C点对应的数是，
答：C点对应的数是4；
（2）①∵运动t秒时，
当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，
∴，
解得，
当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或；
②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，
∵
∴，
解得（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，
∴，
解得，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是，
∴，
解得，
当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4，
次情况，
∴，
解得，不合，
∴这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为的中点，此时，
∴，
解得，
综上所述，t的值为，或，或5.5．
25．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵ ，
∴原式 ．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
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