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专题01 实数及运算（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22-23上·宜春·阶段练习）据统计，截止11月31日宜春明月山景区累计旅游人数为803万．这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的形式，确定和的值即可．
【详解】解：803万=8030000=8.03×106．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是确定a以及n的值．
2．（22·23上·宁波·期末）宁波文创港三期已正式开工建设，总建筑面积约，272000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（22-23下·嘉定·期中）下列各数中，是科学记数法的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值即可．
【详解】解：A、不符合题意；
B、不符合题意；
C、不符合题意；
D、符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4．（22·23上·西安·期中）近似数是精确到（ ）
A．十分位 B．百位 C．千位 D．万位
【答案】C
【分析】用科学记数法表示的数，首先要将用科学记数法表示的数变回原数，再看一下中的最后一个数字在原数中是什么位，即精确到了什么位．
【详解】解：∵，
又∵在中，从左向右第二个“”在千位上，
∴近似数是精确到千位．
故选：C
【点睛】本题考查了给出科学记数法确定精确度问题，掌握科学记数法中精确度的确定方法是解本题的关键．精确度由近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定．用科学记数法表示的数，要先还原再确定精确度．
5．（22-23下·台州·期末）已知正整数m，n满足，且，则最接近那个整数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据，可得，由，且m，n为正整数，可得，继而估算的大小即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
解得．
∴．
∵，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，求得的值是解题的关键．
6．（22·23上·全国·单元测试）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可.
【详解】解：，
，
，
故选：.
【点睛】本题考查了实数的绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，正确理解绝对值的性质是解本题的关键.
7．（22-23下·湖北·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．a B．b C．2a+b D．﹣b
【答案】C
【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，且a＜-b，根据算术平方根和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：根据图示，可得：b＜0＜a，且a＜-b，
∴a+b＜0，
∴
=a+（a+b）
=2a+b．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的性质，关键是掌握．
8．（22-23下·凉山·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A、根据负数没有平方根即可判定；
B、根据算术平方根的定义即可判定；
C、根据算术平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
【详解】解：A、无意义，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根、算术平方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．
9．（22-23下·武汉·期中）下列命题：①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③实数与数轴上的点一一对应；④；⑤负数有立方根，没有平方根．其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，实数与数轴、平行公理、平方根及立方根的概念判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题是假命题；
③实数与数轴上的点一一对应，真命题；
④，故原命题是假命题；
⑤负数有立方根，没有平方根，真命题；真命题共有2个
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（23·24上·全国·课时练习）有理数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
11．（22-23上·全国·课时练习）与无理数最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：因为2.25 3 4，所以1.5 2，所以无理数更加接近于2，故选B．
12．（22-23上·黄浦·阶段练习）设的整数部分为，小数部分为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为1＜，借此得出的小数部分为,整数部分为1；从而进一步得出的小数与整数部分，代入求值即可
【详解】因为1＜，所以的小数部分为,整数部分为1；所以的整数部分为，小数部分为；所以
所以答案为D选项
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，掌握求无理数的整数与小数部分是关键
13．（22-23上·百色·期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相反数、绝对值的意义，有理数的运算法则进行逐项判断即可．
【详解】A、，故选项不正确，不符合题意；
B、，故选项不正确，不符合题意；
C、，故选项不正确，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值的意义，有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则，正确理解算式意义是解题关键．
14．（23·24上·济南·阶段练习）已知a，b为有理数，下列说法：①若，则；②若a，b互为相反数，则；③若，，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【详解】解：①若，则a，b互为相反数，所以，故①正确；
②当时，a，b互为相反数，则错误，故②错误；
③若，，则，，所以，故③正确；
④，则，所以，故④错误；
正确的是①③．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，绝对值，有理数的加法，减法，乘法，除法，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．
15．（22-23上·巴中·期中）已知＝10，，且满足，则b—a的值为( )．
A．-18 B．18 C．2或18 D．18或-18
【答案】C
【分析】结合题意，通过求解绝对值方程，可得到a和b的取值范围；再结合，通过计算得到a和b的值，最后经减法运算，即可得到答案．
【详解】∵＝10，
∴，
∵
∴，
∴，即b-a的值为：2或18
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式、绝对值、有理数加减法的知识，解题的关键是熟练掌握绝对值、有理数加减法的性质，从而完成求解．
16．（22-23下·黄冈·阶段练习）若+4b+4=0，则a+b的值等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】C
【详解】分析：将算式变形为根据非负数的性质得到a 1=0，b+2=0，求出的值，然后代入所求代数式即可求出结果．
详解：
则a 1=0，b+2=0，
解得a=1，b= 2，
a+b=1 2= 1.
故选C.
点睛：考查非负数的性质，根据非负数的性质得到的值是解题的关键.
17．（22-23下·浙江·期末）实数、在数轴上的位置如图所示，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，则
，
∴，，
∴
=
=
=；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到．
18．（22-23下·保定·期中）下列说法正确的是（ ）
A．a2的正平方根是a B．
C．﹣1的n次方根是1 D．一定是负数
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断A、B、D，根据乘方运算法则判断C即可．
【详解】解：A、a2的平方根是，当时，a2的正平方根是a，错误，不符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、当n是偶数时，；当n时奇数时，，错误，不符合题意；
D、∵ ，∴一定是负数，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义以及乘方运算，解题的关键是掌握相关的定义与运算法则．
19．（22-23下·承德·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x铀的正半轴于点C，则C点的横坐标位于（ ）．
A．4和5之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．2和3之间
【答案】D
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长并估算即可．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（ 3，0），（0，5），
∴OA＝3，OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，
∴AC＝AB＝，
∴OC＝，
∴点C的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点C的横坐标介于2和3之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算，坐标与图形等，解此题的关键是求出OC的长．
20．（22-23上·全国·课时练习）数轴上点A表示的数是3，与点A的距离小于5的点表示的数x应满足( )
A．08或x<－2
【答案】B
【详解】根据数轴上点的距离，可知|3-x|＜5，解得x-3＜5且x-3＞-5，解得-2＜x＜8.
故选B.
点睛：此题主要考查了数轴上点之间的距离，利用数轴的特点，明确符合条件的点有两个，然后根据绝对值的意义列不等式求解即可.
二、填空题
21．（22-23下·恩施·期末）的绝对值的相反数是 ．
【答案】/
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】解：的绝对值是，
的相反数．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的绝对值和相反数，熟练掌握定义即可求解．
22．（22-23下·定西·期末）有一个数值转换器，计算流程如图所示，当输入x的值为8时，输出的值是 ．
【答案】2
【分析】根据流程图可知求所给数值的立方根即可．
【详解】解：由题意得
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
23．（22-23上·晋中·期中）数轴上，点A到原点的距离为2个单位长度，点B在原点右侧且到原点的距离为4个单位长度．则A，B两点间相距 个单位长度．
【答案】2或6
【分析】数轴上点A到原点的距离为2个单位长度，则点A表示2或 2；点B在原点右边即点B表示的数是正数，又到原点的距离为4个单位长度，则B表示的数是4．本题即求2或 2到4的距离．
【详解】∵点A到原点的距离为2个单位长度．
∴点A表示的数是2或 2；
∵B在原点右边且到原点的距离为4个单位长度．
∴B表示的数是4．
当A是2时，A、B间的距离是2个单位长度；
当A是 2时，A、B间的距离是6个单位长度．
总之，A、B两点间相距2或6个单位长度．
故答案为：2或6．
【点睛】本题主要考查了有理数与数轴之间的对应关系，解决本题的关键是正确确定A、B表示的数．
24．（23·24上·成都·阶段练习）若，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质求得，进而根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴
∴的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握绝对值的非负性求得的值是解题的关键．
25．（22-23上·全国·课时练习）（1）若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ；
(2)的算术平方根是 ；
(3)的算术平方根是 ；
(4)若，则 ；
(5)的算术平方根是 .
【答案】 7 16 2
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：（1）若一个数的算术平方根是，则这个数是 7；
（2）=3，3的算术平方根是，
（3）=，的算术平方根是，
（4），m=2，则
（5）,4的算术平方根是2；
故答案为(1). 7 (2). (3). (4). 16 (5). 2
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识．
26．（22-23下·十堰·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ．
【答案】1
【分析】利用非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，求代数式的性质，有理数的乘方等知识，利用非负数的性质求出x、y的值是解题的关键．
27．（22-23上·海口·阶段练习）比较大小（用“＞”、“＜”或者“＝”填写）
（1）﹣ ﹣1
（2）﹣|﹣1| ﹣（+1.25）
【答案】 ； ．
【分析】（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小；
（2）先根据绝对值、相反数的性质化简，再比较大小．
【详解】（1）
故答案为：；
（2），
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，涉及绝对值、求一个数的相反数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．（22-23上·佳木斯·期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，试求：的值
【答案】-15或-11
【分析】根据倒数的定义可知，根据相反数的定义可知，最大的负整数为-1，即，绝对值为2的数，以上代入整式进行求值即可．
【详解】解：由题意可知，，，，
∴时，原式=，
，原式=，
故答案为：-15或-11．
【点睛】本题主要考查代数式求值，根据倒数，相反数的定义，以及有理数的性质，进行求值，注意绝对值求值时，正负数需分情况讨论．
29．（22·23上·鹤壁·期中）已知有理数满足，则的值为 ．
【答案】5
【分析】根据绝对值和平方的非负性，得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0．
30．（22·23上·泰州·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示2，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 ．
【答案】12
【分析】根据点的移动规律，可得当n是奇数时，An表示的数是，当n是偶数时，An表示的数是，再由或，求出的最小值即可．
【详解】由题可得：表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，…，
第n次移动后表示的数是，
当n是奇数时，An表示的数是，当n是偶数时，An表示的数是，
点An与原点的距离不小于20，
或，
或，
n是正整数，
n的最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了数字的变化规律探究，数轴上的动点问题，通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键．
31．（22-23下·巴中·阶段练习）用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10-5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 米.
【答案】1.2×104.
【详解】试题解析：这两座山峰之间的距离为3×108×4×10-5=12×103=1.2×104（米）．
考点：1.科学记数法—表示较大的数；2.同底数幂的乘法．
32．（22-23下·湘西·期中）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则 ．
【答案】/
【分析】由于3＜＜＜4，由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后求出m和n的值，代入计算即可．
【详解】解：∵9＜10＜15＜16，
∴3＜＜＜4，
∵m是的整数部分，
∴m＝3；
∵n是的小数部分，
∴n＝-3
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力和代数式求值，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．估算出整数部分后，小数部分＝原数 整数部分．
33．（22-23上·盐城·阶段练习）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝ ．
【答案】11
【详解】试题解析：
∴a=5，b=6，
∴a+b=11.
故答案为11.
34．（22-23·北京·专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
【答案】．
【分析】先确定出的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．
【详解】解：，
，，
．
故答案为：．
【点睛】考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定的范围8<<9，得出a,b的值．
35．（22·23上·巴中·期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据线段的中点的定义以及点、可确定点、表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点在点的右侧时以及点在点的左侧时，可得到点表示的数，由点为线段的中点可得点表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到、的长，从而确定点、，即可得到的长；④当时，可得到、的长，从而确定点、，进而判断．
【详解】①若点表示的数是3，
∵点为线段的中点，表示的数是1，
∴，，即表示的数是2，
∴，故①正确；
②若，
当点在点的右侧时，则点表示的数是4，
∵点为线段的中点，
∴，即表示的数是，
∴，
当点在点的左侧时，则点表示的数是，
∵点为线段的中点，
∴，即表示的数是，
∴，
综上，，故②不正确；
③当时，，，
∵、表示的数分别是，1，
∴、表示的数分别是，，
∴，故③正确；
④当时，，，
∴、表示的数分别是，，
∵点在、的左侧，不可能是线段的中点
故④不正确；
故答案为：①③
【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
36．（22-23下·汕尾·期中）把下列个数分别填在相应的集合中：，，0，，，，，， ，．
自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；正无理数集合：{ …}．
【答案】0，；0，，；0，，；，，，．
【分析】先将能化简的数化简，再根据实数的相关概念分类即可．
【详解】解：，，，
自然数有： 0，；
整数有：0，，；
正有理数有： ，；
正无理数有：，，，．
故答案为：0，；0，，；0，，；，，，．
【点睛】本题考查实数的分类．掌握相关概念，能化简平方根，立方根和绝对值是解题的关键．
37．（22-23下·长沙·一模）计算：
【答案】-4.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质、负指数幂的性质分别化简进而得出答案．
【详解】原式
,
．
故答案为-4.
【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
38．（22·23上·楚雄·期中）在数轴上表示下列各数： ，，，，，并用“＞”号连接
【答案】数轴见解析，＞＞＞＞＞
【分析】先在数轴上表示出各个数，再根据数在数轴上对应点的位置，可知右边的数总比左边的数大，再按顺序用不等号连接即可．
【详解】解：把各数表示在数轴上如图所示，
用“＞”号连接如下，
＞＞＞＞＞
【点睛】此题考查了数轴、有理数的比较大小等知识，能准确地在数轴上表示出各个数的位置是本题的解题关键．
39．（22-23下·潼南·阶段练习）已知是方程的解，m、n满足关系式，求的值．
【答案】或
【分析】先把代入方程求出m的值，再把求得的m值代入关系式解绝对值方程得n的值，就可以算出结果．
【详解】解：∵是方程的解，
把代入方程，得，解得，
再把代入，得，解得或，
∴或．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程解的定义．
40．（22-23上·西安·期中）已知+|b3﹣27|=0，求（a﹣b）b﹣1的值．
【答案】25或121
【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值．
【详解】解：由题意可知：a2﹣64=0，b3﹣27=0，∴a=±8，b=3．
当a=8，b=3时，原式=（8﹣3）2=25；
当a=﹣8，b=3时，原式=（﹣8﹣3）2=121．
综上所述：（a﹣b）b﹣1的值为25或121．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是运用非负数的性质求出a与b的值，本题属于基础题型．
41．（22·23下·临沧·一模）计算：．
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
42．（22-23·江西·期中）【阅读理解】∵，即．
∴的整数部分为2，小数部分为，
∴．
∴的整数部分为1，的小数部分为．
【解决问题】已知a是的整数部分，b是的小数部分．求：
(1)a，b的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】根据，可得，从而求出，即可求出a、b的值；
（2）由（1）可知，，将a、b的值代入代数式进行求值，即可求出结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
∴，；
（2）解：∵，，
∴
，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查无理数的估算、求代数式的值、平方根，根据无理数的估算方法求出a、b的值是解题的关键．
43．（22-23下·重庆·阶段练习）已知的整数部分是a，的小数部分是b，c 1是9的算术平方根，求的值．
【答案】
【分析】先求出a、b、c的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵是9的算术平方根，
∴，
解得，
∴
．
【点睛】此题考查了无理数的估算、算术平方根、实数的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
44．（22-23上·长春·阶段练习）小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法， 这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得，那么方程可以变成，则 ，从而是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
，，，，……．
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
（1） ______，______，______，_______．（n为自然数）
（2）计算：．
【答案】（1）1、i、-1、-i；（2）．
【分析】（1）根据已知的等式即可计算得到答案；
（2）先同时计算开平方，立方运算，开立方及化简绝对值，再计算乘法同时将代入计算，最后合并同类项即可.
【详解】（1）∵，，，
∴ ，
∴ ， ，，
故答案为：1、i、-1、-i；
（2）
=
=.
【点睛】此题考查幂的乘方的逆运算的计算方法，实数的混合运算，正确理解已知的等式的计算法则，将所求代数式按照幂的乘方逆运算进行计算是解题的关键.
45．（22-23上·南京·期中）【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2．
【学习新知】
现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
【应用新知】
（1）选择题：在式子log5125中，真数是_______．
（2）①计算以下各对数的值：log39=_______；log327=_______．
②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）．
【答案】（1）125；（2）①2，3；②logaMlogaNlogaMN
【分析】（1）根据材料，由真数的定义，即可得到答案；
（2）①根据阅读材料中的方法将各式计算，即可得到答案；
②根据①的计算方法，找出关系即可．
【详解】解：（1）∵在中，其中叫做对数的底数，N叫做真数，
∴的真数是125；
故答案为：125；
（2）①；
；
故答案为：2；3.
②由①可知，，，
∴，
∴，（其中a0且a1，M0，N0）．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
46．（22·23上·信阳·期中）给出下面六个数： ．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来．
【答案】见解析
【分析】先正确画出数轴，按照各点的位置标在数轴上即可．
【详解】解：如图所示，
【点睛】此题考查了数轴和在数轴上表示数，准确找到各数在数轴上的位置是解题的关键．
47．（22-23下·开封·期中）利用勾股定理在数轴上作出、、的线段（保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】依次作出直角边长为1，1；1，；1，2的直角三角形的斜边长，再以以原点为圆心，以斜边长为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．
【详解】解：如图，点A表示：，
点B表示：，
点C表示：．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，解题的关键是对被开方数正确的拆解．
48．（22-23下·深圳·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．（22-23·乌鲁木齐·三模）计算：．
【答案】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数是解本题的关键．
50．（22·23下·金华·开学考试）计算：．
【答案】
【分析】分别根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质是解题的关键．
51．（22·23上·乌海·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值化简各式，再进行运算．
（2）先化简各式，再进行运算．
【详解】（1）解：原式
，
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的法则，是解题的关键．
【能力提升】
52．（22-23下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)，，，；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．
故答案为：，，，；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
53．（22-23上·赣州·期末）阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加 减 乘的运算与我们学过的整式加 减 乘的运算类似．
例如计算：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：______，_________；
（2）计算：；
（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据，则i3=i2 i，i4=i2 i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算；
（3）分子分母同乘以后，把分母化为不含i的数后计算．
【详解】解：（1）∵，∴，．
故答案为：；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
54．（22·23下·福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，．
(1)请你写出的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解．
【详解】（1）解：，
是的有理化因式，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解： ，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
55．（23·24上·江苏·周测）【阅读】求值
解：设①，将等式①的两边同时乘以2得：②
由②－①得：即：
【运用】仿照此法计算：；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、．
完成下列问题：
①小正方形的面积_______， ________；
②求正方形、、、…、的面积和．
【答案】运用：；延伸：①，；②
【分析】（1）设，两边乘以5得到，两等式相减得到，得到，即可；
（2）①根据，，，，可得；
②设，两边都乘以，得到，两等式相减得到，即可得出．
【详解】运用：解：令①，
得：②，
①得：，
整理得：，
即；
延伸：解：①根据题意：，，，，
依此规律，
，
故答案为：，；
设，
两边都乘以得：，
两等式相减得到，
．
【点睛】本题考查数字类规律的探索，解决问题的关键是明确题意，探究数字的变化规律，运用探究得到的规律解答．
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专题01 实数及运算（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22-23上·宜春·阶段练习）据统计，截止11月31日宜春明月山景区累计旅游人数为803万．这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（22·23上·宁波·期末）宁波文创港三期已正式开工建设，总建筑面积约，272000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23下·嘉定·期中）下列各数中，是科学记数法的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22·23上·西安·期中）近似数是精确到（ ）
A．十分位 B．百位 C．千位 D．万位
5．（22-23下·台州·期末）已知正整数m，n满足，且，则最接近那个整数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（22·23上·全国·单元测试）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23下·湖北·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．a B．b C．2a+b D．﹣b
8．（22-23下·凉山·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23下·武汉·期中）下列命题：①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③实数与数轴上的点一一对应；④；⑤负数有立方根，没有平方根．其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（23·24上·全国·课时练习）有理数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23上·全国·课时练习）与无理数最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（22-23上·黄浦·阶段练习）设的整数部分为，小数部分为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（22-23上·百色·期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（23·24上·济南·阶段练习）已知a，b为有理数，下列说法：①若，则；②若a，b互为相反数，则；③若，，则；④若，则．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（22-23上·巴中·期中）已知＝10，，且满足，则b—a的值为( )．
A．-18 B．18 C．2或18 D．18或-18
16．（22-23下·黄冈·阶段练习）若+4b+4=0，则a+b的值等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
17．（22-23下·浙江·期末）实数、在数轴上的位置如图所示，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23下·保定·期中）下列说法正确的是（ ）
A．a2的正平方根是a B．
C．﹣1的n次方根是1 D．一定是负数
19．（22-23下·承德·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x铀的正半轴于点C，则C点的横坐标位于（ ）．
A．4和5之间 B．3和4之间 C．5和6之间 D．2和3之间
20．（22-23上·全国·课时练习）数轴上点A表示的数是3，与点A的距离小于5的点表示的数x应满足( )
A．08或x<－2
二、填空题
21．（22-23下·恩施·期末）的绝对值的相反数是 ．
22．（22-23下·定西·期末）有一个数值转换器，计算流程如图所示，当输入x的值为8时，输出的值是 ．
23．（22-23上·晋中·期中）数轴上，点A到原点的距离为2个单位长度，点B在原点右侧且到原点的距离为4个单位长度．则A，B两点间相距 个单位长度．
24．（23·24上·成都·阶段练习）若，则的平方根是 ．
25．（22-23上·全国·课时练习）（1）若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ；
(2)的算术平方根是 ；
(3)的算术平方根是 ；
(4)若，则 ；
(5)的算术平方根是 .
26．（22-23下·十堰·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ．
27．（22-23上·海口·阶段练习）比较大小（用“＞”、“＜”或者“＝”填写）
（1）﹣ ﹣1
（2）﹣|﹣1| ﹣（+1.25）
28．（22-23上·佳木斯·期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，试求：的值
29．（22·23上·鹤壁·期中）已知有理数满足，则的值为 ．
30．（22·23上·泰州·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示2，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是 ．
31．（22-23下·巴中·阶段练习）用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10-5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 米.
32．（22-23下·湘西·期中）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则 ．
33．（22-23上·盐城·阶段练习）已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝ ．
34．（22-23·北京·专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则 ．
35．（22·23上·巴中·期末）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为．
有下列结论：①若点表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点是线段的中点；其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题
36．（22-23下·汕尾·期中）把下列个数分别填在相应的集合中：，，0，，，，，， ，．
自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；正无理数集合：{ …}．
37．（22-23下·长沙·一模）计算：
38．（22·23上·楚雄·期中）在数轴上表示下列各数： ，，，，，并用“＞”号连接
39．（22-23下·潼南·阶段练习）已知是方程的解，m、n满足关系式，求的值．
40．（22-23上·西安·期中）已知+|b3﹣27|=0，求（a﹣b）b﹣1的值．
41．（22·23下·临沧·一模）计算：．
42．（22-23·江西·期中）【阅读理解】∵，即．
∴的整数部分为2，小数部分为，
∴．
∴的整数部分为1，的小数部分为．
【解决问题】已知a是的整数部分，b是的小数部分．求：
(1)a，b的值；
(2)的平方根．
43．（22-23下·重庆·阶段练习）已知的整数部分是a，的小数部分是b，c 1是9的算术平方根，求的值．
44．（22-23上·长春·阶段练习）小明是一位勤于思考的学生，一天，他在解方程时突然产生了这样的想法， 这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i使得，那么方程可以变成，则 ，从而是方程x2＝－1的两个解，小明还发现i具有以下性质：
，，，，……．
请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：
（1） ______，______，______，_______．（n为自然数）
（2）计算：．
45．（22-23上·南京·期中）【知识重现】我们知道，在axN中，已知底数a，指数x，求幂N的运算叫做乘方运算．例如23=8：已知幂N，指数x，求底数a的运算叫做开方运算，例如=2．
【学习新知】
现定义：如果ax=N（a0且a1），即a的x次方等于N（a0且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做以a为底N的对数，例如log28=3，零没有对数；在实数范围内，负数没有对数．
【应用新知】
（1）选择题：在式子log5125中，真数是_______．
（2）①计算以下各对数的值：log39=_______；log327=_______．
②根据①中计算结果，请你直接写出logaM，logaN，loga（MN）之间的关系，（其中a0且a1，M0，N0）．
46．（22·23上·信阳·期中）给出下面六个数： ．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来．
47．（22-23下·开封·期中）利用勾股定理在数轴上作出、、的线段（保留作图痕迹）．
48．（22-23下·深圳·阶段练习）计算：．
49．（22-23·乌鲁木齐·三模）计算：．
50．（22·23下·金华·开学考试）计算：．
51．（22·23上·乌海·期中）计算：
(1)
(2)
【能力提升】
52．（22-23下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
53．（22-23上·赣州·期末）阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加 减 乘的运算与我们学过的整式加 减 乘的运算类似．
例如计算：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：______，_________；
（2）计算：；
（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
54．（22·23下·福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，．
(1)请你写出的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化；
(3)已知，，求的值．
55．（23·24上·江苏·周测）【阅读】求值
解：设①，将等式①的两边同时乘以2得：②
由②－①得：即：
【运用】仿照此法计算：；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、．
完成下列问题：
①小正方形的面积_______， ________；
②求正方形、、、…、的面积和．
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