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专题01 实数及其运算
考点类型
知识一遍过
（一）实数的分类
（1）实数分类
（2）无理数的几种常见类型
①开方开不尽的数，如，等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；
（二）实数的相关概念
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
（4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
②数轴上a，b两点之间的距离=
（三）科学计数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（四）实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
（五）开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（六）实数运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数）
（5）绝对值运算：
（6）特殊角的三角函数：sin30°=等
实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a．
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
（3）乘法交换律：ab=ba．
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
考点一遍过
考点1：实数的分类
典例1：（22·23下·长沙·模拟预测）在实数，0，1，中，为负数的是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据负数是比0小的数，对各个选项中的数进行判断即可．
【详解】解：A．，是比0小的数，故此选项符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故此选项不符合题意；
C．1是正数，故此选项不符合题意；
D．是正数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，掌握负数小于零、零既不是正数也不是负数是解题的关键．
【变式1】（22·23下·温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．
【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；
B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；
C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；
D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键．
【变式2】（22·23下·金华·三模）在实数，，，中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的概念即可求解．
【详解】A、是一个负整数，不是无理数；
B、是一个正分数，不是无理数；
C、是一个开方开不尽的数，是无理数；
D、是一个有限小数，不是无理数；
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数的知识，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有的数．
【变式3】（22·23下·长沙·模拟预测）实数，，0，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据实数的分类可得，即可求解．
【详解】解： ，
有理数有，0，，，，有5个，
无理数有，，有2个，
即，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
考点2：数轴的相关计算
典例2：（22·23下·朔州·模拟预测）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列数量关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴可知，再结合选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知，，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
，，
，故C符合题意；
，
，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的性质是解题的关键．
【变式1】（22·23下·安徽·二模）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．2 B． C．6 D．或2
【答案】D
【分析】表示数和的点到原点的距离相等可以表示为，然后，进行分类讨论，即可求出对应的的值．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴或6，
故选：D．
【点睛】本题考查的是数轴．在根据绝对值的几何意义列出方程之后，在解方程的时候要注意分类讨论．
【变式2】（22·23下·西城·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则a，，，中最大的是( )
A．a B． C． D．
【答案】D
【分析】由数轴可知，移项和两边除以a分别得到，，两边同时乘以a得到，从而得到，由此选出答案．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，．
又∵，
∴两边乘以得：，
∴，
∴a，，，中，最大的是．
故选：D
【点睛】本题考查不等式的性质，有数轴上的点确定式子的大小关系，掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式3】（22·23上·昆明·期中）已知数的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由数轴可得且，将所给式子进行适当变形即可求解．
【详解】解：由数轴可得：且
①，∵∴，故①正确；
②，∵∴，故②错误；
③，故③错误；
④表示数表示的点到数表示的点的距离之和，其最小值为数表示的点的距离，即为，故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查了通过数轴判断式子的值或正负．对式子进行适当变形是解题关键．
考点3：相反数
典例3：（22·23下·广州·模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义逐个进行判断即可．
【详解】解：A、与不是互为相反数，故A选项不符合题意；
B、与不是互为相反数，故B选项不符合题意；
C、与不是互为相反数，故C选项不符合题意；
D、与，是互为相反数，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多重符号的化简，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数．
【变式1】（22·23下·西安·二模）下列各组数中，互为相反数的组是( )
A．和 B．2023和
C．和2023 D．和
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A．和互为相反数，故A选项符合题意；
B．2023和互为倒数，故B选项不符合题意；
C．和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；
D．和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，正确理解相反数的定义是解答的关键．
【变式2】（22·23下·包头·三模）若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是2，可得 ，代入即可求解．
【详解】∵a，b互为相反数，
∴，
∵c的倒数是2，
∴，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键．
【变式3】（22·23上·江苏·专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与1 C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案．
【详解】解：A．，，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
B．，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
C．，，3与是相反数，故该选项符合题意；
D．，，与不是相反数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
考点4：绝对值
典例4：（22·23上·成都·期末）若，，且，异号，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】由，，可得，，由，异号，分当，时，当，时，两种情况，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
，，
又，异号，
∴当，时，；
当，时，；
综上所述，的值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握绝对值的求解．
【变式1】（22·23下·呼伦贝尔·三模）已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据、在数轴上的位置确定出其符号与绝对值的大小，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：由图可知，，
，，
原式
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
【变式2】（23·24上·包头·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：因为，
所以，，
解得，，
所以．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为时，这几个非负数都为
【变式3】（22·23下·济南·三模）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．4 D．
【答案】A
【分析】由可得，代入，可求出，再结合题意即得答案.
【详解】解：∵，
∴，点A、B分别在原点的两侧，
∵，
∴，
解得：，
∵点A在原点的左侧，
∴，即点A表示的数是，
故选：A.
【点睛】本题考查了数轴，正确理解题意、得出是解题的关键.
考点5：科学计数法
典例5：（22·23下·深圳·模拟预测）国家统计局2022年12月12日发布公告，2022年全国粮食总产量13731亿斤，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：1.3万亿,
1.3万亿用科学记数法表示为,
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【变式1】（23·24下·深圳·模拟预测）2023年4月4日，从南方电网深圳供电局了解到，今年一季度，深圳市全社会用电量亿千瓦时，同比增长，反映出深圳经济活力正全面恢复．将亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：亿用科学记数法表示为．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【变式2】（22·23·滁州·一模）中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金亿元，将用科学记数法表示应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将用科学记数法表示应是．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，解答本题的关键是熟记科学记数法表示较大数的特征．
【变式3】（22·23下·河北·模拟预测）据央广网2023年5月19日报道：山东莱州市西岭村金矿勘查项目通过专家评审，初步认定西岭金矿新增金金属量近吨，累计金金属量达吨，按照5月18日国内黄金价格元/克，以此计算，西岭金矿的潜在经济价值为（ ）元．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】吨克，然后乘以单价即可求解．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了运算的乘方运算，转换单位是解题的关键．
考点6：近似数
典例6：（22·23下·长沙·二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（ ）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度求解即可．
【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【变式1】（22·23·青岛·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
【答案】C
【分析】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【详解】解：8.8×103精确到百位，
乘号前面的数从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选C．
【变式2】（21·22下·沧州·一模）网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民 奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先精确到百万位，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：原数精确到百万位为：
13909615≈14000000，
再用科学记数法表示为：
14000000=1.4×107，
故选D．
【点睛】本题考查取近似数和科学记数法的综合应用，熟练掌握精确度的意义和四舍五入的方法、科学记数法的意义和算法是解题关键．
【变式3】（22·23上·十堰·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③把1.804精确到0.01约等于1.80；④；⑤式子的最大值是6，其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
【答案】A
【分析】根据乘方定义可判定①；根据相反数性质可计算得，从而可判定②；由近似数的精确度可求得近似数从而可判定③；根据合并同类项法则计算并判定④；根据绝对值的非负性可得式子的最小值是6，从而可判定⑤．
【详解】解：的底数是2，故①错误；
若有理数a，b互为相反数，那么，故②正确；
把1.804精确到0.01约等于1.80，故③正确；
化简合并同类项得0，故④正确；
式子的最小值是6，故⑤错误，
则其中正确的个数3个，
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及绝对值的性质，近似数的求解，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
考点7：实数的大小比较
典例7：（21·22下·烟台·一模）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】，，，，
故选：A
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，化简各个数字是解答本题的关键．
【变式1】（22·23·深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．
【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，
则无法判断大小，那么A不符合题意；
B．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，
则无法判断大小，那么B不符合题意；
C．由图形可得，但无法求得表示的线段长度，
则无法判断大小，那么C不符合题意；
D．由图形可得，，
∵，
∴，
那么D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键．
【变式2】（22·23下·泰州·二模）下列各数中，比大，比小的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴比大，比小的数是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式3】（22·23下·中山·一模）在，，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数进行比较，即可得到答案．
【详解】解：在，，0，这四个数中，，
最小的数是，
故选D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．
考点8：平方根、算术平方根、立方根
典例8：（22·23下·深圳·模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（ ）
A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根
【答案】D
【分析】由纸张的宽为x米，表示出纸的宽和长，根据纸面积为1平方米求出x的值即可．
【详解】解：由图得，当纸张的宽为x米时，纸的宽为米，
∵纸张长与宽的比为，
∴纸的长为米，
∵纸面积为1平方米，
∴，
∴，
∴x的值为的算术平方根．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键．
【变式1】（22·23下·省直辖县级单位·阶段练习）若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先估算出的值的范围，从而求出，然后再估算出的值的范围，即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分为7，
∴，
∴m的算术平方根为，
∵，
∴，
∴的值最接近整数3，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【变式2】（21·22下·凉山·阶段练习）已知点（a+2，a-16）在x轴上，则的平方根等于（ ）
A．2 B．-4 C．±4 D．±2
【答案】D
【分析】根据在x轴上点的纵坐标为0得到a-16=0，求解得a=16，从而可求出，继而由平方根定义可求解．
【详解】解：∵点（a+2，a-16）在x轴上，
∴a-16=0，解得：a=16，
∴，
∴的平方根等于±，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，算术平方根，平方根，熟练掌握在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
【变式3】（21·22下·闵行·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．3次方根是本身的数有0和1
C．的3次方根是 D．时，的平方根为
【答案】C
【分析】根据平方根，立方根的概念理解分析选项即可．
【详解】解：A. 1的平方根是1，∵1的平方根是，故选项说法错误，不符合题意；
B. 3次方根是本身的数有0和1，∵3次方根是本身的数有0和1和，故选项说法错误，不符合题意；
C. 的3次方根是，选项说法正确，符合题意；
D. 时，的平方根为，∵时，的平方根为，故选项说法错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查平方根，立方根的相关概念，解题的关键是要熟练掌握相关概念．
考点9：无理数的估算
典例9：（22·23·巴南·一模）估算的值在（ ）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
【详解】解：，
∵，，而，
∴，
即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式1】（22·23下·沙坪坝·二模）估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】先计算二次根式，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴的值应在3和4之间，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
【变式2】（22·23下·珠海·一模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．1
【答案】D
【分析】首先根据的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】解：∵，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分a与小数部分b的值是解题关键．
【变式3】（22·23·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
考点10：实数的运算
典例10：（22·23下·遂宁·一模）计算：．
【答案】
【分析】根据算术平方根的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值运算及负整数指数幂分别求解，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【变式1】（22·23下·湘西·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】先利用负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则以及绝对值的意义进行计算，然后加减计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂和特殊角的三角函数值，正确求解是解答的关键．
【变式2】（22·23下·惠州·二模）计算：．
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式3】（22·23下·深圳·模拟预测）计算：．
【答案】5
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则、特殊角的三角函数计算即可求出值．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4】（22·23·楚雄·二模）计算：
【答案】
【分析】原式利用化简二次根式，负整指数幂，零指数幂，化简绝对值计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
【点睛】本意考查了化简二次根式，负整指数幂，零指数幂，化简绝对值的计算，掌握相关运算的法则是解决问题的关键．
【变式5】（22·23下·昆明·三模）计算：．
【答案】
【分析】分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查实数的运算，负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂的运算，合并同类二次根式，掌握运算法则是解题的关键．
【变式6】（22·23下·娄底·一模）计算：．
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式7】（21·22·西城·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和零指数幂，再计算乘法，后计算加减．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
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专题01 实数及其运算
考点类型
知识一遍过
（一）实数的分类
（1）实数分类
（2）无理数的几种常见类型
①开方开不尽的数，如，等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；
（二）实数的相关概念
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
（4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
②数轴上a，b两点之间的距离=
（三）科学计数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（四）实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
（五）开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（六）实数运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数）
（5）绝对值运算：
（6）特殊角的三角函数：sin30°=等
实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a．
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
（3）乘法交换律：ab=ba．
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
考点一遍过
考点1：实数的分类
典例1：（22·23下·长沙·模拟预测）在实数，0，1，中，为负数的是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【变式1】（22·23下·温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【变式2】（22·23下·金华·三模）在实数，，，中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·长沙·模拟预测）实数，，0，，，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
考点2：数轴的相关计算
典例2：（22·23下·朔州·模拟预测）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列数量关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23下·安徽·二模）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．2 B． C．6 D．或2
【变式2】（22·23下·西城·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则a，，，中最大的是( )
A．a B． C． D．
【变式3】（22·23上·昆明·期中）已知数的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点3：相反数
典例3：（22·23下·广州·模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式1】（22·23下·西安·二模）下列各组数中，互为相反数的组是( )
A．和 B．2023和
C．和2023 D．和
【变式2】（22·23下·包头·三模）若a，b互为相反数，c的倒数是2，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
【变式3】（22·23上·江苏·专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与1 C．与 D．与
考点4：绝对值
典例4：（22·23上·成都·期末）若，，且，异号，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式1】（22·23下·呼伦贝尔·三模）已知，两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23·24上·包头·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·济南·三模）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．4 D．
考点5：科学计数法
典例5：（22·23下·深圳·模拟预测）国家统计局2022年12月12日发布公告，2022年全国粮食总产量13731亿斤，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23·24下·深圳·模拟预测）2023年4月4日，从南方电网深圳供电局了解到，今年一季度，深圳市全社会用电量亿千瓦时，同比增长，反映出深圳经济活力正全面恢复．将亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23·滁州·一模）中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金亿元，将用科学记数法表示应是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22·23下·河北·模拟预测）据央广网2023年5月19日报道：山东莱州市西岭村金矿勘查项目通过专家评审，初步认定西岭金矿新增金金属量近吨，累计金金属量达吨，按照5月18日国内黄金价格元/克，以此计算，西岭金矿的潜在经济价值为（ ）元．
A． B． C． D．
考点6：近似数
典例6：（22·23下·长沙·二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（ ）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【变式1】（22·23·青岛·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
【变式2】（21·22下·沧州·一模）网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民 奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23上·十堰·期中）下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③把1.804精确到0.01约等于1.80；④；⑤式子的最大值是6，其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．5个 D．4个
典例7：（21·22下·烟台·一模）下列各数：，，0，，，其中比－3小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22·23·深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22·23下·泰州·二模）下列各数中，比大，比小的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（22·23下·中山·一模）在，，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
考点8：平方根、算术平方根、立方根
典例8：（22·23下·深圳·模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（ ）
A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根
【变式1】（22·23下·省直辖县级单位·阶段练习）若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（21·22下·凉山·阶段练习）已知点（a+2，a-16）在x轴上，则的平方根等于（ ）
A．2 B．-4 C．±4 D．±2
【变式3】（21·22下·闵行·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．3次方根是本身的数有0和1
C．的3次方根是 D．时，的平方根为
考点9：无理数的估算
典例9：（22·23·巴南·一模）估算的值在（ ）
A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间
【变式1】（22·23下·沙坪坝·二模）估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式2】（22·23下·珠海·一模）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．1
【变式3】（22·23·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
考点10：实数的运算
典例10：（22·23下·遂宁·一模）计算：．
【变式1】（22·23下·湘西·模拟预测）计算：．
【变式2】（22·23下·惠州·二模）计算：．
【变式3】（22·23下·深圳·模拟预测）计算：．
【变式4】（22·23·楚雄·二模）计算：
【变式5】（22·23下·昆明·三模）计算：．
【变式6】（22·23下·娄底·一模）计算：．
【变式7】（21·22·西城·模拟预测）计算：．
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