中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 整式及其因式分解（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22·23上·陇南·期中）对单项式说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是2
B．的系数是，次数是3
C．的系数是2，次数是2
D．的系数是，次数是3
2．（22·23上·鹤壁·期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23上·巴中·期末）下列四个等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22·23上·荆州·阶段练习）已知是一元二次方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（21-22下·昆明·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23下·毕节·期中）计算的结果是（ ）
A． B．1 C．4 D．0.25
7．（22-23上·长春·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（22·23上·凉山·阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C．0．75 D．
9．（22·23上·保定·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（22·23下·哈尔滨·一模）下列运算中，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（21-22下·青岛·模拟预测）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（21-22上·南通·期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6
C．（a3b2）3＝a6b5 D．（a2）3＝（﹣a3）2
13．（22·23上·三门峡·期末）比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．① ②26 B．① ②
C．① ② D．① ②26
14．（22-23下·泰安·三模）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（22-23上·邢台·期末）多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
16．（22·23上·重庆·期中）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果是71，则输入的x的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
17．（22·23上·沙坪坝·阶段练习）有n个依次排列的整式：第1项是 ，用第1项加上 得到，将乘以x得到第2项，再将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ）
①方程的实数解为 ；② ；③第2023项 ；④当 时，则的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（22-23下·泰安·期末）如图，大正方形由四个相同的长方形和一个小正方形组成，设长方形的两边长为m，n（），大小正方形的边长分别为x，y．观察图案，则以下关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．（22·23下·合肥·期中）如图，点M是线段的中点，点P在上．分别以、为边，在同侧作正方形和正方形，连接和．设、，且，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
20．（22·23上·龙岩·期中）将一列有理数，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数4，那么，“峰6”中的位置是有理数___________，2022应排在、、、、中___________的位置．正确的选项是（ ）
A．， B．30， C．， D．，
二、填空题
21．（22·23上·徐州·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ．
22．（23·24上·厦门·期中）若，，则 ．
23．（21-22上·漳州·阶段练习）若5x＝18，5y＝3，则5x－2y＝
24．（22·23上·长宁·期中）因式分解： ．
25．（21-22上·上饶·期末）已知，那么代数式的值是 ．
26．（22·23上·新乡·阶段练习）代数式的最小值是 ．
27．（22·23上·宝山·期中）对于*运算：如果，， 那么的结果是 ．
28．（22·23上·浦东新·期中）已知，，用、表示为 ．
29．（22·23上·泰安·期中）如果，，那么代数式的值是 ．
30．（22·23上·济宁·期末）等边在数轴上如图放置，点A，C对应的数分别为0和，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点B所对应的数为1，翻转第2次后，点C所对应的数为2，则翻转第2022次后，则数2022对应的点为 ．
31．（22-23上·宣城·期末）如下图是由一些小棒搭成的图案，摆第1个图案，如图①用了5根小棒，摆第2个图案，如图②用了9根小棒，摆第3个图案，如图③用了13根小棒，……，按照这种方式摆下去，摆第个图案用了2021根小棒，则 ．
32．（21-22上·大连·阶段练习）计算(－8m4n＋12m3n2－4m2n3)÷(－4m2n)的结果等于 ．
33．（22·23上·阜新·期中）观察下列式子：
；
；
；
；
…
可猜想第2022个式子为 ．
34．（22-23上·齐齐哈尔·期中）如果，|a﹣2|＋（b＋1）2＝0，则（a＋b）2021的值是 ．
35．（21-22上·海淀·开学考试）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下： 利用以上运算的规律写出 f（n）＝ （n 为正整数）；f（1） f（2） f（3）…f（100）＝ ．
三、解答题
36．（22·23下·沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
37．（22·23上·普陀·期中）根据下面的框图，列出算式，并写出输出结果．
(1)如果输入，，那么输出的数是多少？
(2)如果输入，，那么输出的数是多少？
38．（22·23上·全国·单元测试）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
39．（22·23下·淮安·期中）如下，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式．
例题：化简：
解：原式＝
______．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式A为 ，多项式B为 ，例题的化简结果为 ；
(2)求多项式A与B的积．
40．（22·23上·盐城·期末）化简求值：求代数式的值， 其中a，b满足．
41．（22-23上·宿迁·期中）观察下列两组等式：
①…；
②；；…．
根据你的观察，解决下列问题：
（1）填空：＝ ；＝ ．
（2）试用简便方法计算：．
42．（22-23上·南宁·期中）如图，某校有一块长为，宽为的长方形空地，在建设“美丽校园”活动中，学校计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．
(1)求绿化的面积（用含a，b的式子表示）；
(2)当，时，绿化成本为50元/，则完成绿化工程共需要多少元？
43．（22·23上·青岛·开学考试）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
44．（22·23上·齐齐哈尔·期中）化简：
(1)；
(2)先化简，再求值：其中，．
45．（22·23下·河源·开学考试）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知甲、乙笔记本各一本进价之和为元，且甲种笔记本每本进价比乙种笔记本每本进价贵元．
(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
(2)该文具店购入这两种笔记本共本，花费不超过元，则购入甲种笔记本最多多少本？
(3)店主经统计发现每本笔记本的利润均为元时，平均每天可售出甲种笔记本本和乙种笔记本本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的售价都提高元，如果售价提高不超过元时，每提高元，每天将少售出本甲种笔记本和本乙种笔记本；如果售价提高超过元时，每提高元，则每天将少售出本甲种笔记本和本乙种笔记本．当售价都提高多少元时，才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大？
46．（22·23下·营口·阶段练习）已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
47．（22·23上·淮安·期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：因为，
所以．
所以．
所以，．
所以，．
问题：
(1)若，求的值；
(2)已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长．
48．（22·23上·泉州·期中）在学习乘法公式的运用，我们常用配方法求最值，
例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：
解：
∵，∴当时，的值最小，最小值是0，
∴∴当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)填空：；
(2)若，当______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并求出该三角形的周长．
49．（22·23上·长春·阶段练习）如图①，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即，同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等．即，把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，通过如图②中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________；
(2)如图③，中，，，，，CH是斜边AB边上的高，用上述“面积法”求CH的长；
(3)如图④，等腰中，，点O为底边BC上任意一点，，，，垂足分别为点M、N、H，连接AO，则的值是___________．
50．（21-22上·酒泉·期中）建模是数学的核心素养之一，小明在计算＋＋＋…＋时利用了如图所示的正方形模型．
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为＋；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为＋＋；
…
（1）第n次分割后，空白部分的面积是__________(用含n的代数式表示)．
（2）第6次分割后，阴影部分的面积是__________．
（3）由此计算＋＋＋…＋的结果是__________(用含n的代数式表示)．
【能力提升】
51．（22·23下·苏州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：；
求代数式的最小值；，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________；
(2)求代数式的最大值；
(3)将一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
52．（22·23下·浙江·期中）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是_____________
(2)利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式：之间的数量关系是_________________________．
(3)利用（2）中的结论，计算当时，的值；
(4)将正方形和正方形如图所示摆放，点F在边上，与交于点I，且，长方形面积为35，以边作正方形，设，求图中阴影部分的面积．
53．（23·24上·泰安·阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：例如：．
②拆项法：例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
54．（22·23上·新乡·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
①；
②；
③；
④．
(1)根据你发现的规律，猜想_______．
(2)已知均为整数，且，求的值．
55．（23·24上·青岛·期中）【问题提出】
有编号分别为1，2，3，…， n （n为正整数，且）的n个球, 甲、 乙轮流抓，每次可以抓1个球或相连编号的 2个球．甲先抓，规定谁抓到最后一次谁获胜．甲第1次应该怎样抓才能获胜
【问题探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找规律．
（1）如图①，当n=1时，甲一次抓一个球就可以抓完，显然甲获胜，
（2）如图②，当 n=2时，甲一次抓编号相连的1号和2号2个球就可以抓完，所以甲获胜．
（3）如图③，当n=3时，甲第1次先抓2号球，乙第1次无论抓1号球还是3号球，最后还剩1个球，甲第2次抓就可以抓完，所以甲获胜．
（4）如图④，当n=4时，甲第1次先抓编号相连的2号和3号球，乙第1次无论抓1号球还是4号球，最后还剩1个球，甲第2次抓就可以抓完，所以甲获胜．
（5）如图⑤，当n=5时，甲第1次先抓3号球，乙第1次抓有两类抓法：
一类：一次抓1个球. 若乙第1次从1号和2号中任抓1个球，则甲第2次从4号和5号中任抓1个球，乙第2次无论抓那个球，最后还剩1个球，甲第3次抓就可以抓完，甲获胜．同理，若乙第1次从4号和5号中任抓1个球， 甲也会获胜．
二类：一次抓相连编号的2个球，若乙第1次抓编号相连的1号和2号球，则甲第2次抓编号相连的4号和5号球就可以抓完，甲获胜．同理，若乙第1次抓编号相连的4号和5号球，甲也会获胜．
（6）如图⑥，当n=6时， 甲第1次应该怎样抓第1次应该抓 号球．
（7）如图⑦， 当n=7时， 甲要获胜， 第1次应该抓 号球．
【问题解决】
有编号分别为 1，2，3， ...，n （n为正整数，且n>1）的n个球，甲、 乙轮流抓，每次可以抓1个球或相还编号的2个球．甲先抓，规定谁抓到最后一次谁获胜．甲第1次应该怎样抓才能获胜 （ 只写出结论）．
【拓展应用】
有编号分别为1，2， 3，…，（ n为正整数，且n≥1）的n个球，甲、乙轮流抓，每次可以抓 1个球或相连编号的2个球．甲先抓，规定谁抓到最后一次谁获胜．若甲第1次抓2023号球，最后甲获胜，则n= ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 整式及其因式分解（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22·23上·陇南·期中）对单项式说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是2
B．的系数是，次数是3
C．的系数是2，次数是2
D．的系数是，次数是3
【答案】B
【分析】根据单项式系数和次数的概念解答即可，单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数．
【详解】解：的系数是，次数是3．
故选：B．
【点睛】本题考查单项式系数和次数的概念，将单项式中的数字因数与字母准确分离是解题的关键，注意是数字，而不是字母．
2．（22·23上·鹤壁·期中）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
3．（22·23上·巴中·期末）下列四个等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项正确，符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，掌握上述运算法则是解题的关键．
4．（22·23上·荆州·阶段练习）已知是一元二次方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入一元二次方程，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的解，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
5．（21-22下·昆明·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式和分式的计算规则，分别计算判断即可；
【详解】A：，选项错误；
B：，选项正确；
C：，选项错误；
D：，选项错误．
故选：B
【点睛】本题考查整式和分式的计算，牢记相关运算规则是解题重点．
6．（22-23下·毕节·期中）计算的结果是（ ）
A． B．1 C．4 D．0.25
【答案】D
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果．
【详解】解：
=0.25，
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
7．（22-23上·长春·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等运算法则分别计算，判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
8．（22·23上·凉山·阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C．0．75 D．
【答案】B
【分析】直接把原式变形为进行求解即可．
【详解】解：
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
9．（22·23上·保定·期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算求解．
【详解】解：原式，
故选：B．
【点睛】本题考查积的乘方，掌握乘方和幂的乘方法则是解题基础．
10．（22·23下·哈尔滨·一模）下列运算中，一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：、，故A正确；
、，故B错误；
、与不是同类项，不能合并，故C错误；
、，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，以及合并同类项法则，是解本题的关键．
11．（21-22下·青岛·模拟预测）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据积的乘方和幂的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式以及同底数幂的乘法运算法则分别计算出各项的结果再进行判断即可得到答案．
【详解】解：A.，原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，原选项计算错误，故不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握公式和运算法则是解答此题的关键．
12．（21-22上·南通·期中）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6
C．（a3b2）3＝a6b5 D．（a2）3＝（﹣a3）2
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方逐一判断即可．
【详解】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故A错误；
B、a2 a3＝a5，故B错误；
C、（a3b2）3＝a9b6，故C错误；
D、（a2）3＝（﹣a3）2，正确；
故答案为：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
13．（22·23上·三门峡·期末）比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．① ②26 B．① ②
C．① ② D．① ②26
【答案】B
【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．
【详解】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可以表达为：，
因此，
即；
②设，
因为，
所以，
因为，
所以，解得，
由题意：，
所以，
故选B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和正方形的性质，利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解．
14．（22-23下·泰安·三模）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式运算法则，多项式乘以多项式运算法则，积的乘方与幂的乘方运算法则以及单项式除以单项式运算法则化简各项后再进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，故选项C计算错误，不符合题意；
D、，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式运算，多项式乘以多项式运算，积的乘方与幂的乘方运算以及单项式除以单项式运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
15．（22-23上·邢台·期末）多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接将前两项提取公因式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．
16．（22·23上·重庆·期中）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果是71，则输入的x的值可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】分别计算出直接输出结果、两次才输出结果、三次才输出结果的x的值即可解答．
【详解】解：如果直接输出结果，则，解得：；
如果两次才输出结果：则，解得：；
如果三次才输出结果：则，解得：（不是正整数，不符合题意）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握逆向思维是解本题的关键．
17．（22·23上·沙坪坝·阶段练习）有n个依次排列的整式：第1项是 ，用第1项加上 得到，将乘以x得到第2项，再将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ）
①方程的实数解为 ；② ；③第2023项 ；④当 时，则的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意可以得出规律，，，根据规律逐项求解判断即可．
【详解】解∶∵，用第1项加上得到，将乘以x得到第2项，
∴，
∴，
∵将第2项加上得到，将乘以x得到第3项，
∴，
以此类推，则，，
∴，
∴当方程时，有，解方程，得 或，故结论①错误；
∵，
∴，故结论②正确；
∵，
∴第2023项，故结论③正确；
∵，
∴，
当 时，则，故结论④正确．
∴正确的结论为∶②③④，共3个．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律，，是解答此题的关键，．
18．（22-23下·泰安·期末）如图，大正方形由四个相同的长方形和一个小正方形组成，设长方形的两边长为m，n（），大小正方形的边长分别为x，y．观察图案，则以下关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可求解．
【详解】解：由图形可知：大正方的面积-小正方形的面积=4×长方形的面积，即，故①正确，
∵大正方形的边长x=m+n，小正方形的面积y=m-n，
∴（m+n）（m-n）=xy，即，故②正确，
∵x-y=2n，
∴；故③错误；
∵，
∴两式相加可得，故④正确．
∴正确的为①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
19．（22·23下·合肥·期中）如图，点M是线段的中点，点P在上．分别以、为边，在同侧作正方形和正方形，连接和．设、，且，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】C
【分析】根据两个正方形的面积和，减去两个空白的直角三角形的面积，即为阴影部分的面积．
【详解】解：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，理解图形面积之间的关系是得出正确答案的前提，正确表示各个图形的面积是正确解答的关键．
20．（22·23上·龙岩·期中）将一列有理数，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数4，那么，“峰6”中的位置是有理数___________，2022应排在、、、、中___________的位置．正确的选项是（ ）
A．， B．30， C．， D．，
【答案】A
【分析】观察发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，再求出“峰6”中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用除以5，根据商和余数的情况确定2022所在峰中的位置即可．
【详解】解：∵每个峰需要5个数，
∴，
，
∴“峰6”中C位置的数的是，
∵，
∴2022应排在中A的位置，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字变化规律问题，熟练掌握数字在峰图形中的分别规律，观察出每个峰图形中有几个数，是解题的关键．
二、填空题
21．（22·23上·徐州·阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ．
【答案】2022
【分析】根据相反数，倒数的意义可得，，然后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，
，，
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数的意义是解题的关键．
22．（23·24上·厦门·期中）若，，则 ．
【答案】1
【分析】利用同底数幂的乘除法则求出，可得结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是逆用运算法则求出．
23．（21-22上·漳州·阶段练习）若5x＝18，5y＝3，则5x－2y＝
【答案】2
【分析】先把5x-2y化成5x÷（5y）2，再代值计算即可得出答案．
【详解】解：∵5x=18，5y=3，
∴5x-2y=5x÷52y=5x÷（5y）2=18÷32=2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
24．（22·23上·长宁·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式 再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键．
25．（21-22上·上饶·期末）已知，那么代数式的值是 ．
【答案】9
【分析】根据乘法分配律将代数式变形，然后利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵
∴
=
=
=9
故答案为：9．
【点睛】此题考查的是求代数式的值，掌握利用整体代入法求代数式的值是解题关键．
26．（22·23上·新乡·阶段练习）代数式的最小值是 ．
【答案】
【分析】先把代数式化为再利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】解：
∵
∴
∴代数式的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握“利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键．
27．（22·23上·宝山·期中）对于*运算：如果，， 那么的结果是 ．
【答案】/
【分析】观察等式，发现第一个数为分母的基数，第二个数为分数的个数，据此即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了找规律，找到规律是解题的关键．
28．（22·23上·浦东新·期中）已知，，用、表示为 ．
【答案】
【分析】根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了逆用幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
29．（22·23上·泰安·期中）如果，，那么代数式的值是 ．
【答案】
【分析】将两边进行平方，结合已知得到，利用完全平方公式的形式，求得，对原式进行因式分解，再将式子整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
，
当时，原式，
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解和代数式求值，利用完全平方公式的特点进行求解是解题的关键．
30．（22·23上·济宁·期末）等边在数轴上如图放置，点A，C对应的数分别为0和，若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点B所对应的数为1，翻转第2次后，点C所对应的数为2，则翻转第2022次后，则数2022对应的点为 ．
【答案】A
【分析】根据题意得出每3次翻转为一个循环，2022能被3整除说明跟翻转第3次对应的点是一样的．
【详解】解：翻转第1次后，点B所对应的数为1，
翻转第2次后，点C所对应的数为2
翻转第3次后，点A所对应的数为3
翻转第4次后，点B所对应的数为4
经过观察得出：每3次翻转为一个循环，
∵，
∴数2022对应的点即为第3次对应的点：A．
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
31．（22-23上·宣城·期末）如下图是由一些小棒搭成的图案，摆第1个图案，如图①用了5根小棒，摆第2个图案，如图②用了9根小棒，摆第3个图案，如图③用了13根小棒，……，按照这种方式摆下去，摆第个图案用了2021根小棒，则 ．
【答案】505
【分析】根据题意可以推导出一般性规律为：第个图案，用根小棒；令，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，第1个图案，用5根小棒；
第2个图案，用根小棒；
第3个图案，用根小棒；
推导出一般性规律为：第个图案，用根小棒；
∵摆第n个图案用了2021根小棒
∴
解得：
故答案为：505．
【点睛】本题考查了规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．
32．（21-22上·大连·阶段练习）计算(－8m4n＋12m3n2－4m2n3)÷(－4m2n)的结果等于 ．
【答案】2m2-3mn+n2
【分析】根据多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算后即可选取答案．
【详解】解：（-8m4n+12m3n2-4m2n3）÷（-4m2n），
=-8m4n÷（-4m2n）+12m3n2÷（-4m2n）-4m2n3÷（-4m2n），
=2m2-3mn+n2．
故答案为：2m2-3mn+n2．
【点睛】本题主要考查多项式除单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
33．（22·23上·阜新·期中）观察下列式子：
；
；
；
；
…
可猜想第2022个式子为 ．
【答案】
【分析】根据一系列等式，得出一般性规律，把得出的规律用n表示即可．
【详解】解：，即；
，即；
，即；
，即；
…
若字母n表示自然数，第n个式子为：，
∴第2022个式子为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律的探究，掌握探究的方法找到规律是解题的关键．
34．（22-23上·齐齐哈尔·期中）如果，|a﹣2|＋（b＋1）2＝0，则（a＋b）2021的值是 ．
【答案】1
【分析】根据绝对值和偶次方的非负数性质，即可列出关于a和b的方程，求得a和b的值，进而求得代数式的值．
【详解】∵|a﹣2|+（b+1）2＝0，而|a﹣2|≥0，（b+1）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得a＝2，b＝﹣1，
∴（a+b）2021＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负数性质及求代数式的值等知识，利用绝对值和偶次方的非负数性质是本题的关键．
35．（21-22上·海淀·开学考试）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下： 利用以上运算的规律写出 f（n）＝ （n 为正整数）；f（1） f（2） f（3）…f（100）＝ ．
【答案】
【分析】由已知的一系列等式，归纳总结表示出f（n）；由得出的f（n），分别令n=1，2，3，…，100，代入所求式子f（1） f（2） f（3）…f（100）中，约分后计算，即可得到结果．
【详解】解：由题意总结得：
f（1）= ；
f（2）=；
f（3）＝；
f（4）＝；
f（5）＝；
f（6）＝，
…，f（99）＝ ，
f（100）＝，
则 f（1） f（2） f（3）…f（100）=
故答案为：
【点睛】此题主要考查了定义新及找规律，根据题目已知条件找出规律是解题的关键．
三、解答题
36．（22·23下·沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据平方差公式，去括号法则和合并同类项法则将中括号内的式子进行化简，再利用多项式除以单项式的运算法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值．掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
37．（22·23上·普陀·期中）根据下面的框图，列出算式，并写出输出结果．
(1)如果输入，，那么输出的数是多少？
(2)如果输入，，那么输出的数是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把与的值代入程序中计算即可求出值；
（2）把与的值代入程序中计算即可求出值；
【详解】（1）解：把，代入程序得：，
则输出结果为；
（2）把，代入程序得：，
则输出结果为．
【点睛】此题考查了异分母分数的加法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
38．（22·23上·全国·单元测试）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（4）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）
,
；
（2）
,
；
（3）
，
；
（4）
，
．
【点睛】本题考查因式分解，注意有公因式先提取公因式，再运用公式，最后分解到每个因式都不能再分解为止．
39．（22·23下·淮安·期中）如下，这是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式．
例题：化简：
解：原式＝
______．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式A为 ，多项式B为 ，例题的化简结果为 ；
(2)求多项式A与B的积．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答．
（2）根据平方差公式计算，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：
同理，得：，两边同除以得：，
例题的化简结果为：．
（2）解：多项式A与B的积为：．
【点睛】本题考查了整式的乘除，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键．
40．（22·23上·盐城·期末）化简求值：求代数式的值， 其中a，b满足．
【答案】，
【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确化简所给式子是解题的关键．
41．（22-23上·宿迁·期中）观察下列两组等式：
①…；
②；；…．
根据你的观察，解决下列问题：
（1）填空：＝ ；＝ ．
（2）试用简便方法计算：．
【答案】（1）－；；（2）
【分析】（1）根据数字变化规律裂项即可；
（2）由（1）的规律裂项相消简便计算即可．
【详解】解：（1）由题知，，，
故答案为：，；
（2）
=．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
42．（22-23上·南宁·期中）如图，某校有一块长为，宽为的长方形空地，在建设“美丽校园”活动中，学校计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像．
(1)求绿化的面积（用含a，b的式子表示）；
(2)当，时，绿化成本为50元/，则完成绿化工程共需要多少元？
【答案】(1)
(2)2200
【分析】（1）观察图形，列出代数式，再化简即可求解；
（2）把，代入（1）中的结果，再乘以50，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：绿化的面积为
（2）当，时，
，
∴完成绿化工程共需要元．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
43．（22·23上·青岛·开学考试）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式即可；
（2）先提公因式，再合并同类项即可；
（3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：（1）原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
44．（22·23上·齐齐哈尔·期中）化简：
(1)；
(2)先化简，再求值：其中，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】先去小括号，再合并同类项，即可得出答案．
先去小括号，再合并同类项，然后再讲 ， 的值代入即可得出结果．
【详解】（1）解：
（2）解：
当，时
原式
【点睛】本题考查了整式的加减运算和化简求值，解决本题的关键是熟练掌握运算法则．
45．（22·23下·河源·开学考试）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知甲、乙笔记本各一本进价之和为元，且甲种笔记本每本进价比乙种笔记本每本进价贵元．
(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
(2)该文具店购入这两种笔记本共本，花费不超过元，则购入甲种笔记本最多多少本？
(3)店主经统计发现每本笔记本的利润均为元时，平均每天可售出甲种笔记本本和乙种笔记本本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的售价都提高元，如果售价提高不超过元时，每提高元，每天将少售出本甲种笔记本和本乙种笔记本；如果售价提高超过元时，每提高元，则每天将少售出本甲种笔记本和本乙种笔记本．当售价都提高多少元时，才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大？
【答案】(1)甲种笔记本的进价为元，乙种笔记本的进价为元
(2)本
(3)2元
【分析】（1）设甲种笔记本的进价为元，则乙种笔记本的进价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）购进甲种笔记本本，则解不等式即可求解；
（3）设价格都提高元的总利润为元，根据完全平方公式以及非负数的性质求得最大值即可求解．
【详解】（1）设甲种笔记本的进价为元，则乙种笔记本的进价为元，
则，
解得：．
答：甲种笔记本的进价为元，乙种笔记本的进价为元．
（2）设购进甲种笔记本本，
则，
解得：，
购入甲种笔记本最多本．
（3）设价格都提高元的总利润为元，则
①当时，，
当时，．
②当时，，
当时，，
综上，当时，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程、不等式以及代数式是解题的关键．
46．（22·23下·营口·阶段练习）已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)17
【分析】（1）提取公因式，将变形为，然后代入计算即可；
（2）利用完全平方公式对所求式子变形，然后代入计算即可．
【详解】（1）解： ，，
；
（2）解： ，，
．
【点睛】本题考查代数式求值，平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算．先利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再计算求值更简便．
47．（22·23上·淮安·期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：因为，
所以．
所以．
所以，．
所以，．
问题：
(1)若，求的值；
(2)已知，，是等腰的三边长，且，满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)13或14
【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；
（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出，的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．
【详解】（1），
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴或4，
分两种情况：
当时，的周长为，
当时，的周长为，
所以的周长为13或14
【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
48．（22·23上·泉州·期中）在学习乘法公式的运用，我们常用配方法求最值，
例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：
解：
∵，∴当时，的值最小，最小值是0，
∴∴当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)填空：；
(2)若，当______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并求出该三角形的周长．
【答案】(1)；；4
(2)；小；
(3)为等腰三角形，理由见解析，周长为14
【分析】（1）根据完全平方公式，即可求解；
（2）利用配方法确定最小值，即可求解；
（3）根据完全平方公式，可得，从而得到，再由配方法可得当时，有最大值，这个值是4，即可求解．
【详解】（1）解∶ ；；
故答案为：；；4
（2）解：
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴
∴当时，的值最小，最小值是1，
∴当时，y有最小值，这个值是；
故答案为：；小；
（3）解：为等腰三角形，理由如下：
∴，
∴，
∴，
解得：，
，
∵，
∴，
∴当时，的值最大，最大值是0，
∴，
∴当时，的值最大，最大值是4，
∴当时，有最大值，这个值是4，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
周长为．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并利用类比思想解答是解题的关键．
49．（22·23上·长春·阶段练习）如图①，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即，同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等．即，把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
(1)用上述“面积法”，通过如图②中图形的面积关系，直接写出一个等式：___________；
(2)如图③，中，，，，，CH是斜边AB边上的高，用上述“面积法”求CH的长；
(3)如图④，等腰中，，点O为底边BC上任意一点，，，，垂足分别为点M、N、H，连接AO，则的值是___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先利用长方形的面积公式，把大长方形的面积表示出来，然后根据大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，分别表示出一个小正方形面积与三个长方形的面积，最后再根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，即可得出等式．
（2）首先利用直角边，把的面积算出来，然后根据斜边的高，把的面积表示出来，最后再根据同一图形的面积，用两种不同的方法求得的结果相等，即可得出等式．解出即可得到的长．
（3）利用，分别表示出、、的面积，化简即可得出答案．
【详解】（1）解：大长方形的面积可以表示为，
大长方形的面积也可以表示成一个小正方形面积与三个长方形的面积之和，即．
根据同一图形（大长方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得等式为：．
故答案为：；
（2）中，∵，，
∴，
又∵是斜边边上的高，，
∴，
∵两种不同的方法求得的结果应该相等，
可得：，
解得：；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
可得：.
∵，
∴．
【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，解本题的关键在熟练掌握等面积法求线段的长．
50．（21-22上·酒泉·期中）建模是数学的核心素养之一，小明在计算＋＋＋…＋时利用了如图所示的正方形模型．
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为＋；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为＋＋；
…
（1）第n次分割后，空白部分的面积是__________(用含n的代数式表示)．
（2）第6次分割后，阴影部分的面积是__________．
（3）由此计算＋＋＋…＋的结果是__________(用含n的代数式表示)．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题中给出的规律，可得第次分割图中：，据此解答即可；
（2）根据（1）的结果，计算第6次分割后，阴影部分的面积即可；
（3）由阴影部分面积空白部分面积，据此解答即可．
【详解】解：（1）第1次分割，阴影部分的面积为，空白部分面积为；
第2次分割，阴影部分的面积之和为，空白部分面积为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，；
∴第次分割，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是，
故答案是；
（2）由（1）得第6次分割后，空白部分的面积是，
∴阴影部分的面积是1-，
故答案是1-：
（3）根据第次分割图得：所有阴影部分的面积之和为，空白部分的面积是，
可得等式：，
两边同除以2，得．
故答案是：
【点睛】本题考查了图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
【能力提升】
51．（22·23下·苏州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：；
求代数式的最小值；，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________；
(2)求代数式的最大值；
(3)将一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)17
(3)有，面积的和为
【分析】（1）仿照题干过程，变形为，再分解即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时的值即可；
（3）设一段为，则另一段为，表示出两个正方形的面积之和，利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出最小值，以及此时的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
当时，原式有最大值，最大值为17；
（3）设一段为，则另一段为，
根据题意得：
面积
当时，有最小值，最小值为18，
则两个正方形面积之和有最小值，此时这根铁丝剪成两段后的长度，，这两个正方形面积的和为．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
52．（22·23下·浙江·期中）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是_____________
(2)利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式：之间的数量关系是_________________________．
(3)利用（2）中的结论，计算当时，的值；
(4)将正方形和正方形如图所示摆放，点F在边上，与交于点I，且，长方形面积为35，以边作正方形，设，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由小长方形的边长即可得到答案；
（2）由图2中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案；
（3）由（2）可知，，把代入得到，则，即可得到答案；
（4）由题意得 ，则，得到，即，则正方形面积为，正方形的面积为，由长方形面积为35，得到，由，得到，则，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：图2中阴影部分的正方形的边长是，
故答案为：
（2）图2中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，
∴之间的数量关系是，
故答案为：
（3）由（2）可知，，
当时，，
∴，
∴的值为；
（4）由题意得，，
∴，
∴，即，
∴正方形面积为，正方形的面积为，
∵长方形面积为35，
∴，
∴，即，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键．
53．（23·24上·泰安·阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：例如：．
②拆项法：例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)①②
(2)为直角三角形，理由见详解
【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式；②读懂题意，利用拆项法分解因式；
（2）把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理即可．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
、、为的三条边，，
，
，
，
，
，
．
故为直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握因式分解的方法和非负数的性质．
54．（22·23上·新乡·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
①；
②；
③；
④．
(1)根据你发现的规律，猜想_______．
(2)已知均为整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题例先得到规律，再利用规律得结论；
（2）先利用（1）的结论求出、的和与积，再变形代数式为，整体代入可得结论．
【详解】（1）解：根据题例得到的规律，可得
．
故答案为：．
（2）解：，，
，．
．
【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律探究与整式加减中的化简求值，总结归纳出多项式乘法规律是解决本题的关键．
55．（23·24上·青岛·期中）【问题提出】
有编号分别为1，2，3，…， n （n为正整数，且）的n个球, 甲、 乙轮流抓，每次可以抓1个球或相连编号的 2个球．甲先抓，规定谁抓到最后一次谁获胜．甲第1次应该怎样抓才能获胜
【问题探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找规律．
（1）如图①，当n=1时，甲一次抓一个球就可以抓完，显然甲获胜，
（2）如图②，当 n=2时，甲一次抓编号相连的1号和2号2个球就可以抓完，所以甲获胜．
（3）如图③，当n=3时，甲第1次先抓2号球，乙第1次无论抓1号球还是3号球，最后还剩1个球，甲第2次抓就可以抓完，所以甲获胜．
（4）如图④，当n=4时，甲第1次先抓编号相连的2号和3号球，乙第1次无论抓1号球还是4号球，最后还剩1个球，甲第2次抓就可以抓完，所以甲获胜．
（5）如图⑤，当n=5时，甲第1次先抓3号球，乙第1次抓有两类抓法：
一类：一次抓1个球. 若乙第1次从1号和2号中任抓1个球，则甲第2次从4号和5号中任抓1个球，乙第2次无论抓那个球，最后还剩1个球，甲第3次抓就可以抓完，甲获胜．同理，若乙第1次从4号和5号中任抓1个球， 甲也会获胜．
二类：一次抓相连编号的2个球，若乙第1次抓编号相连的1号和2号球，则甲第2次抓编号相连的4号和5号球就可以抓完，甲获胜．同理，若乙第1次抓编号相连的4号和5号球，甲也会获胜．
（6）如图⑥，当n=6时， 甲第1次应该怎样抓第1次应该抓 号球．
（7）如图⑦， 当n=7时， 甲要获胜， 第1次应该抓 号球．
【问题解决】
有编号分别为 1，2，3， ...，n （n为正整数，且n>1）的n个球，甲、 乙轮流抓，每次可以抓1个球或相还编号的2个球．甲先抓，规定谁抓到最后一次谁获胜．甲第1次应该怎样抓才能获胜 （ 只写出结论）．
【拓展应用】
有编号分别为1，2， 3，…，（ n为正整数，且n≥1）的n个球，甲、乙轮流抓，每次可以抓 1个球或相连编号的2个球．甲先抓，规定谁抓到最后一次谁获胜．若甲第1次抓2023号球，最后甲获胜，则n= ．
【答案】【问题探究】（6）3号球和4号球；（7）4；【问题解决】当，直接可以获胜；当时，①n为奇数时，第一次甲第1次应该抓这个球；②n为偶数时，第一次甲第1次应该抓和两个球，才能获胜；【拓展应用】4047．
【分析】（6）仿照（1）-（5）归纳规律，然后根据规律进行解答即可．
【详解】解：【问题探究】（6）仿照（1）-（5）可知：甲第1次先抓3号球和4号球，则乙第1次抓有两类抓法：
一类：一次抓1个球. 若乙第1次从1号和2号中任抓1个球，则甲第2次从4号和5号中任抓1个球，乙第2次无论抓那个球，最后还剩1个球，甲第3次抓就可以抓完，甲获胜．同理，若乙第1次从5号和6号中任抓1个球， 甲也会获胜．
二类：一次抓相连编号的2个球，若乙第1次抓编号相连的1号和2号球，则甲第2次抓编号相连的5号和6号球就可以抓完，甲获胜．同理，若乙第1次抓编号相连的4号和5号球，甲也会获胜．
故答案为3号球和4号球；
（7）同理：甲第1次先抓4号球可以获胜．
故答案为4．
【问题解决】解：当，直接可以获胜；当时，①n为奇数时，第一次甲第1次应该抓这个球可获胜；②n为偶数时，第一次甲第1次应该抓和两个球，才能获胜．
【拓展应用】解：若甲第1次抓2023号球，最后甲获胜，则有，即．
故答案为4047．
【点睛】本题主要考查了图形规律，理解游戏原理成为解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
