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专题02 整式及其因式分解
考点类型
知识一遍过
（一）整式的相关概念
（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
（5）代数式及求值
①概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；
③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
④代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
（二）整式运算
（1）整式加减
①合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数．
②添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变加号．
（2）幂的运算法则
①同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）．
②幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．
③积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．
④同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）．
（3）整式乘除
①单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
②单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
③多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
④单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
⑤多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
（4）乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)22ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2
（三）因式分解
（1）提公因式法：mambmc m(a+b+c).
（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解的一般步骤：
一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查）
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．
（4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式.
易错知识辨析：
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点一遍过
考点1求代数式的值
典例1：（23·24上·德州·阶段练习）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2018 C．2015 D．2016
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】∵a，b是方程的两个实数根，
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键．
【变式1】（23·24上·珠海·期中）若时，代数式的值为4，则时，代数式的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据时，代数式的值为4，推出，把代入得出，即可求解．
【详解】解：∵时，代数式的值为4，
∴，则，
把代入得：，
∵，
∴代数式的值为1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出，具有整体代入的思想．
【变式2】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据实数是一元二次方程的根，即得出，．整体代入可得，化简即可．
【详解】将代入，得：，即，．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
【变式3】（23·24上·武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A．0 B．7 C．13 D．6
【答案】A
【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，
∴，，，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形．
考点2：整式的有关概念
典例2：（23·24上·广州·期中）下列判断正确的是（ ）
A．两个四次多项式的和一定是四次多项式 B．和都是单项式
C．单项式的次数是3，系数是 D．是三次三项式
【答案】D
【分析】根据整式的加法，多项式的定义，单项式的定义、次数、系数逐项判断即可解答．
【详解】解：A、两个四次多项式的和不一定是四次多项式，故该选项不符合题意；
B、 是多项式，故该选项不符合题意；
C、 单项式的次数是4，系数是，故该选项不符合题意；
D、是三次三项式,说法正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的加法，多项式的定义，单项式的定义、次数、系数等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．
【变式1】（23·24上·西安·期中）下列说法中正确的有（ ）个．
①与是同类项；
②单项式的系数是；
③多项式的一次项系数是
④是二次三项式
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据单项式次数和系数的定义，多项式次数和项的定义，同类项的定义逐一判断即可．
【详解】解： 与是指数相同，但底数不同，此说法错误；
单项式的系数是，此说法错误；
多项式的一次项系数是，此说法正确；
是三次三项式，此说法错误；
综上，说法正确的只有一个，
故选：．
【点睛】此题考查了单项式次数和系数的定义，多项式次数和项的定义，同类项的定义，熟知相关定义是解题的关键．
【变式2】（23·24上·德阳·阶段练习）对于多项式，若为该多项式的次数，为该多项式的项数，则代数式的值为（ ）
A．16 B．20 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据多项式的次数及项数概念求得，的值，然后将其代入中计算即可．
【详解】解：已知多项式，
则其次数为，项数为4，
则，，
那么，
故选：．
【点睛】本题考查多项式及代数式求值，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
【变式3】（22·23上·榆林·期末）下列说法错误的是（ ）
A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2
C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式
【答案】D
【分析】根据整式的定义，单项式的定义，多项式的定义，单项式的项和次数的定义，多项式的项和次数的定义依次判断即可．
【详解】A. 是多项式，是单项式，是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意；
B. 单项式的系数是，次数是2，故B选项正确，不符合题意；
C. 多项式的项是，，故C选项正确，不符合题意；
D. 多项式是三次三项式，故D选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了整式的相关概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的相关概念是解题的关键．
考点3：幂的运算
典例3：（23·24上·广州·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则及完全平方公式和合并同类项则逐一判断即可．
【详解】解：A.，故错误，不符合题意；
B.，正确，符合题意；
C.，故错误，不符合题意；
D.，故错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解答关键．
【变式1】（22·23下·洛阳·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则、平方差公式逐项进行判断即可解答．
【详解】解：A.，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.和不是同类项，不能合并，因此选项C不符合题意；
D. ，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法以及合并同类项等知识点，掌握平方差公式的结构特征、幂的乘方与积的乘方的计算性质、同底数幂的除法的计算方法是正确判断的前提．
【变式2】（22·23下·青岛·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用合并同类项的法则，积的乘方与幂的乘方的法则，多项式乘多项式的法则和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原运算不正确，不符合题意，选项错误；
B、，原运算不正确，不符合题意，选项错误；
C、，原运算正确，符合题意，选项正确；
D、，原运算不正确，不符合题意，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，积的乘方与幂的乘方的法则，多项式乘多项式的法则和完全平方公式，熟练掌握实数法则与公式是解题的关键．
【变式3】（22·23下·达州·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别运用同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法运算即可．
【详解】解：A、，所以此选项错误；
B、，不能运算，所以此选项错误；
C、，所以此选项错误；
D、，所以此选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
考点4：整式的乘除运算
典例4：（22·23下·深圳·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和单项式除以单项式的方法解答即可；
（2）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式1】（22·23上·璧山·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘多项式计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟记多项式乘多项式，积的乘方运算规则是解题的关键．
【变式2】（21·22上·北京·期中）计算：
(1)
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用积的乘方运算法则，计算，用单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项；
（2）用单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项；
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及知识点：积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、合并同类项，熟练掌握运算法则是关键．
【变式3】（22·23下·邯郸·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)4
(2)
(3)
【分析】（1）先算乘方，零指数幂和负指数幂以及绝对值，再算乘法，最后计算加减法；
（2）利用幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法则计算，再合并；
（3）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则展开，再合并．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
考点5：乘法公式
典例5：（22·23下·深圳·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意；
B. ，原计算错误，不合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，原计算错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，掌握相关公式是解题的关键．
（23·24上·海淀·阶段练习）在下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了乘法公式，熟记平方差公式和完全平方公式是解题关键．
【变式1】（23·24上·内江·期中）已知，则（ ）
A．1 B． C．5 D．2
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行变形，然后根据偶次方的非负性求出a，b，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【变式2】（23·24上·长春·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式得，，两式相减即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴①，
∵，
∴②，
①②得，解得．
故选B．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
【变式3】（23·24上·渝中·阶段练习），，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】把，代入，再计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴；
故选B
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键．
【变式5】（23·24上·邢台·阶段练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式6】（23·24上·威海·阶段练习）已知、、是的三边，且满足，的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】先利用完全平方公式，将原式化为，再利用平方的非负性，得出，即可判断的形状．
【详解】解：，
，
，
，
是直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，勾股定理得逆定理，根据已知等式的特点，将原式转化为完全平方公式是解题关键．
【变式7】（23·24上·汕头·阶段练习）若，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】利用求差法判定两式的大小，将与代入中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．
【详解】解：
，
∴，
故选A
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质．解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
考点6：乘法公式的几何背景
典例6：（23·24上·武汉·期中）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
【详解】解：图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，
∵两图中阴影部分的面积相等，
，
∴可以验证成立的公式为，
故选：D．
【变式1】（22·23·攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
【变式2】（22·23下·西安·阶段练习）用4张形状、大小完全相同的长方形拼成下图所示的正方形，利用面积的不同表示方法可以得到一个代数恒等式，若长方形的长、宽分别为、，则该图可以表示的代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积=小正方形的面积个长方形的面积．
【详解】解：，，，
∵大正方形的面积=小正方形的面积个长方形的面积，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
【变式3】（22·23下·菏泽·期中）边长分别为a和b（其中）的两个正方形按下图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25 B． C．13 D．
【答案】B
【分析】利用两个正方形面积再加上阴影三角形的面积减去空白三角形的面积，即可得到部分阴影部分的面积．
【详解】解：∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为：，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，解题的关键是将阴影部分看作两部分进行求解．
考点7：整式的混合运算
典例7：（23·24上·宜春·阶段练习）计算：
(1)
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；
（2）根据积的乘方和单项式乘法法则计算即可；
（3）先计算积的乘方，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握幂的运算法则、整式的乘法法则和乘法公式是解题的关键．
【变式1】（23·24上·静安·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）按照多项式乘多项式的法则计算；
（2）按照多项式乘多项式的法则计算；
（3）先按照平方差公式、完全平方公式计算，再去括号，合并同类项；
（4）先按照多项式乘多项式的法则计算，再去括号，合并同类项．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，乘法公式，熟练掌握多项式乘多项式，乘法公式是解题的关键．
【变式2】（23·24上·南阳·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）用简便方法计算：；
（4）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）0；（2）；（3）；（4），
【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则将各项化简，再进行计算即可；
（2）先将括号展开，再合并同类项即可；
（3）根据积的乘方的逆运算进行简便计算即可；
（4）根据完全平方公式和平方差公式，将括号展开，再进行计算，最后将a和b值代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
，
当时，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则，以及完全平方公式和平方差公式．
【变式3】（22·23下·佛山·阶段练习）计算（能用公式的请用公式计算）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）利用多项式乘以多项式运算法则计算即可；
（4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（5）利用多项式乘以多项式的法则展开后合并同类项即可；
（6）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
（5）
．
（6）
．
【点睛】此题考查了乘法公式、多项式的乘法运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
考点8：因式分解——提公因式、公式法
典例8：（23·24上·西城·期中）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别对各项因式分解，再逐一判断即可．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，
原来分解错误，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式1】（23·24上·渝中·阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式错误，不符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，原式正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式2】（23·24上·梅州·阶段练习）把因式分解得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.
【详解】解：；
故选：C.
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.
【变式3】（22·23上·武汉·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据公式法分别判断即可．
【详解】A．，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C． ，故原选项错误；
D． ，故原选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式4】（23·24上·西城·期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别利用完全平方公式和平方差公式、提取公因式法及十字相乘法对各项进行因式分解即可判断．
【详解】解：A. ，故符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式5】（22·23下·鹰潭·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．
【详解】A． ，故不正确；
B． 在实数范围内不能因式分解，故不正确；
C． ，正确；
D． 的右边不是积的形式，故不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式6】（23·24上·达州·开学考试）因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解后再进行判断即可．
【详解】解：A、，正确，本选项符合题意；
B、，分解不彻底，本选项不符合题意；
C、，是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意；
D、，分解错误，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是正确判断的前提．
【变式7】（22·23下·杭州·阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式、完全平方差公式和十字相乘法进行因式分解即可判断．
【详解】解：A. ，故此项不符合题意；
B. ，故此项不符合题意；
C. ，故此项不符合题意；
D. ，故此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
考点9：因式分解——十字相乘
典例9：（23·24上·普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（ ）
A．5； B．； C．7； D．．
【答案】D
【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可．
【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为，
∴另一个因式是，
即，
∴k的值为．
故选：D．
【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式1】（23·24上·保定·开学考试）若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】解：已知等式整理得：，
可得，，
解得：，，
故答案为：D．
【点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】（22·23下·达州·期末）将多项式分解因式后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
【变式3】（22·23下·邵阳·期末）多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2023
【答案】B
【分析】先分解因式，求出、的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，
又多项式可因式分解成，
，或，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键．
考点10：因式分解的应用
典例10：（22·23下·西安·阶段练习）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先将等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，由可得或，进而判定三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，将等式化为或是解题的关键．
【变式1】（23·24上·东营·阶段练习）已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式2】（22·23下·周口·阶段练习）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原式各因式利用平方差公式化简，计算即可得到结果．
【详解】
，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及其运算是解题的关键．
【变式3】（22·23下·宜昌·模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于就可以把“”为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法和顺序产生的密码是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对多项式利用提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算即可确定出密码．
【详解】解：，
当，时，，，，
组成密码的数字应包括，，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式，立意新颖，熟记公式结构是解题的关键．
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专题02 整式及其因式分解
考点类型
知识一遍过
（一）整式的相关概念
（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
（5）代数式及求值
①概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；
③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
④代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
（二）整式运算
（1）整式加减
①合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数．
②添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变加号．
（2）幂的运算法则
①同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）．
②幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．
③积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．
④同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）．
（3）整式乘除
①单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
②单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
③多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
④单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
⑤多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
（4）乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)22ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2
（三）因式分解
（1）提公因式法：mambmc m(a+b+c).
（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解的一般步骤：
一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查）
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．
（4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式.
易错知识辨析：
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点一遍过
考点1求代数式的值
典例1：（23·24上·德州·阶段练习）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2018 C．2015 D．2016
【变式1】（23·24上·珠海·期中）若时，代数式的值为4，则时，代数式的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式3】（23·24上·武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ）
A．0 B．7 C．13 D．6
考点2：整式的有关概念
典例2：（23·24上·广州·期中）下列判断正确的是（ ）
A．两个四次多项式的和一定是四次多项式 B．和都是单项式
C．单项式的次数是3，系数是 D．是三次三项式
【变式1】（23·24上·西安·期中）下列说法中正确的有（ ）个．
①与是同类项；
②单项式的系数是；
③多项式的一次项系数是
④是二次三项式
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】（23·24上·德阳·阶段练习）对于多项式，若为该多项式的次数，为该多项式的项数，则代数式的值为（ ）
A．16 B．20 C．8 D．9
【变式3】（22·23上·榆林·期末）下列说法错误的是（ ）
A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2
C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式
考点3：幂的运算
典例3：（23·24上·广州·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23下·洛阳·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22·23下·青岛·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22·23下·达州·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点4：整式的乘除运算
典例4：（22·23下·深圳·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式1】（22·23上·璧山·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式2】（21·22上·北京·期中）计算：
(1)
(2)；
【变式3】（22·23下·邯郸·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
考点5：乘法公式
典例5：（22·23下·深圳·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（23·24上·海淀·阶段练习）在下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23·24上·内江·期中）已知，则（ ）
A．1 B． C．5 D．2
【变式2】（23·24上·长春·阶段练习）若，，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式3】（23·24上·渝中·阶段练习），，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5】（23·24上·邢台·阶段练习）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】（23·24上·威海·阶段练习）已知、、是的三边，且满足，的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式7】（23·24上·汕头·阶段练习）若，，则M与N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
考点6：乘法公式的几何背景
典例6：（23·24上·武汉·期中）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（22·23·攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（22·23下·西安·阶段练习）用4张形状、大小完全相同的长方形拼成下图所示的正方形，利用面积的不同表示方法可以得到一个代数恒等式，若长方形的长、宽分别为、，则该图可以表示的代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22·23下·菏泽·期中）边长分别为a和b（其中）的两个正方形按下图摆放，如果，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25 B． C．13 D．
考点7：整式的混合运算
典例7：（23·24上·宜春·阶段练习）计算：
(1)
(2)；
(3)；
【变式1】（23·24上·静安·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式2】（23·24上·南阳·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）用简便方法计算：；
（4）先化简，再求值：，其中，．
【变式3】（22·23下·佛山·阶段练习）计算（能用公式的请用公式计算）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
考点8：因式分解——提公因式、公式法
典例8：（23·24上·西城·期中）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23·24上·渝中·阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23·24上·梅州·阶段练习）把因式分解得（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22·23上·武汉·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（23·24上·西城·期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（22·23下·鹰潭·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6】（23·24上·达州·开学考试）因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7】（22·23下·杭州·阶段练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点9：因式分解——十字相乘
典例9：（23·24上·普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（ ）
A．5； B．； C．7； D．．
【变式1】（23·24上·保定·开学考试）若分解因式则的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【变式2】（22·23下·达州·期末）将多项式分解因式后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22·23下·邵阳·期末）多项式可因式分解成，其中，均为整数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2023
考点10：因式分解的应用
典例10：（22·23下·西安·阶段练习）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式1】（23·24上·东营·阶段练习）已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
【变式2】（22·23下·周口·阶段练习）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·宜昌·模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于就可以把“”为一个六位数的密码对于多项式，取，，用上述方法和顺序产生的密码是（ ）
A． B． C． D．
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