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专题04 二次根式（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22·23上·巴中·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23下·永川·期末）若，则的值是（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．2
3．（22·23上·南阳·期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23上·新乡·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23上·长春·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23·全国·假期作业）计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（ ）的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23下·南通·阶段练习）满足不等式的最小整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（22-23上·长沙·阶段练习）当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23·浙江·自主招生）已知，则a的值为（ ）
A． B．5 C． D．3
10．（22·23下·武汉·期中）已知，，则代数式的值为（ ）
A．7 B．14 C． D．
11．（22·23上·太原·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．（23·24上·晋中·期中）已知，均为有理数，若，则的算术平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
13．（22·23下·沙坪坝·期末）估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．7和8之间
14．（22·23上·南阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（22-23下·滨州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（22-23上·鹤壁·阶段练习）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．3－a B．－a－5 C．3a+3 D．3a－5
17．（22·23上·来宾·期末）计算的结果为（ ）．
A．1 B． C．0 D．
18．（22-23下·东营·期末）下列等式一定正确的是（ ）
A．＝±9 B．﹣＝3 C．＝a D．＝-3
19．（22·23下·德宏·期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．（22·23下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（22·23上·渭南·期中）若最简二次根式与能合并，则 ．
22．（22-23下·三门峡·阶段练习）若与的被开方数相同，则 ．
23．（22-23下·宿迁·期末）计算的结果为 ．
24．（22·23下·阳江·一模）若，则 ．
25．（22-23下·天津·期中）计算的结果是 ．
26．（22·23下·浙江·专题练习）下列二次根式化为最简二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
27．（22·23下·驻马店·阶段练习）符号“*”表示一种新的运算，规定，则的值为 ．
28．（22-23上·太原·阶段练习）如图，网格中，每个小正方形的边长为1，则 1．（填“＞”，“＝”或“＜”）
29．（22-23上·鸡西·期末）函数中，自变量的取值范围是 ．
30．（22·23上·内江·阶段练习）若，则 ；
31．（22·23上·巴中·阶段练习）如果代数式的值为7，那么，的值是 ．
32．（22·23上·长沙·阶段练习）已知，，则 ．
33．（22-23下·无锡·阶段练习）等式成立的条件是 ．
34．（22-23上·全国·单元测试）的计算结果是 （用最简二次根式表示）
35．（22-23·北京·专题练习）已知，则的最小值为 ．
三、解答题
36．（22-23下·武汉·期末）计算：
（1） （2）
37．（22·23上·长春·期末）已知x，y为实数，且，求的值．
38．（22·23上·资阳·阶段练习）（1）
（2）．
39．（22·23下·全国·专题练习）已知：，，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
40．（22-23上·巴中·阶段练习）已知，求的值．
41．（22·23下·贺州·期中）已知，，求代数式的值．
42．（22-23上·资阳·期中）化简求值：，其中 - 2．
43．（22-23·杭州·）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
44．（22-23下·东莞·阶段练习）计算：
45．（23·24上·汉中·阶段练习）计算：．
46．（22-23下·临沂·期中）计算：
(1)
(2)
47．（22-23下·昆明·期末）阅读下列计算过程：
（1）根据上面运算方法，直接写出_____________；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）根据上面的知识化简
48．（22·23上·成都·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
49．（22-23下·武汉·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
50．（22-23下·六安·阶段练习）观察下列运算：
①由，得；
由，得；
由，得；
…
(1)由上述规律，直接化简： ；
(2)通过观察你得出什么规律？用含n（且为整数）的式子表示出来： ；
(3)利用（2）中你发现的规律计算： ．
【能力提升】
51（22·23下·福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，．
(1)请你写出的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化；
(3)已知，，求的值．
52（23·24上·泉州·阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．
53（22·23·潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．
【实践应用】
任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
54（22·23上·锦州·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，；
…… ……
其中、、……表示各个直角三角形的面积
(1)请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
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专题04 二次根式（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22·23上·巴中·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（22-23下·永川·期末）若，则的值是（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】利用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入可得x的值，从而得解．
【详解】解：依题意得：
，
解得：，
将代入得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
3．（22·23上·南阳·期末）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．
【详解】解：A．，不能与合并，故该选项不符合题意；
B．，能与合并，故该选项符合题意；
C．，不能与合并，故该选项不符合题意；
D．，不能与合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
4．（22-23上·新乡·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的非负性解题即可．
【详解】解：∵
∴，解得：
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，能够熟练根据性质列不等式计算是解题关键．
5．（22-23上·长春·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式需要满足的条件逐一判断即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
【详解】A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，该二次根式的被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式必须满足的条件是解题的关键.
6．（22-23·全国·假期作业）计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（ ）的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，原式变形后计算即可求出值．
【详解】解：设a＝，
原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a
＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+
＝．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（22-23下·南通·阶段练习）满足不等式的最小整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集为，然后估算出的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴满足不等式的最小整数是3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，无理数的估算，二次根式的混合运算，正确求出不等式的解集是解题的关键．
8．（22-23上·长沙·阶段练习）当是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次根式有意义的条件是，据此解题．
【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．（22-23·浙江·自主招生）已知，则a的值为（ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意得出，，代入等式，解关于的一元一次方程即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴，，
又
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，得出，是解题的关键．
10．（22·23下·武汉·期中）已知，，则代数式的值为（ ）
A．7 B．14 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意将x、y的值分别代入，求出和的值，最后计算可得答案．
【详解】解：当，时，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入．
11．（22·23上·太原·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论，二次根式满足被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式．
【详解】解：、，被开方数含有分母，故本选项不符合题意；
、，被开方数含有分母，故本选项不符合题意；
、，被开方数中含有能开方的因数，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式满足被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式，是解答本题的关键．
12．（23·24上·晋中·期中）已知，均为有理数，若，则的算术平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由，可得，由，均为有理数，可得，，然后求的算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，均为有理数，
∴，，
∴的算术平方根为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，完全平方公式，算术平方根．解题的关键在于确定的值．
13．（22·23下·沙坪坝·期末）估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】先化简计算，再估算判断即可．
【详解】∵，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算思想，熟练掌握二次根式的混合运算的法，正确估算是解题的关键．
14．（22·23上·南阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则即可得到答案．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，计算错误，不符合题意，选项错误；
C、，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，计算正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
15．（22-23下·滨州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算进行计算即可得出结论．
【详解】解：A.，故A选项不正确，不符合题意；
B.，故B选项不正确，不符合题意；
C.，故C选项不正确，不符合题意；
D.，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及分母有理化是解题的关键．
16．（22-23上·鹤壁·阶段练习）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．3－a B．－a－5 C．3a+3 D．3a－5
【答案】D
【分析】根据实数a在数轴上的对应点位置，得到，再利用二次根式性质将代数式化简为，由的范围得到，利用绝对值的代数意义直接化简即可．
【详解】解：如图所示，可知，
，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查整式加减化简代数式，涉及到数轴的定义、绝对值的代数意义和二次根式性质等知识点，熟练掌握二次根式的性质化简，并利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
17．（22·23上·来宾·期末）计算的结果为（ ）．
A．1 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、平方差公式以及积的乘方，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键．
18．（22-23下·东营·期末）下列等式一定正确的是（ ）
A．＝±9 B．﹣＝3 C．＝a D．＝-3
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可判断A、B、C，根据立方根的性质即可判断D．
【详解】解：A．＝9，故本选项不符合题意；
B．﹣＝﹣3，故本选项不符合题意；
C．当a<0时，=-a，故本选项不符合题意；
D．＝﹣3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的性质和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=-a．
19．（22·23下·德宏·期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质和运算法则，逐一选项计算即可．
【详解】解：A. ，故计算错误，不符合题意；
B. 与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；
C. 与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和性质，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键．
20．（22·23下·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
二、填空题
21．（22·23上·渭南·期中）若最简二次根式与能合并，则 ．
【答案】3
【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能合并
∴
解得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
22．（22-23下·三门峡·阶段练习）若与的被开方数相同，则 ．
【答案】
【分析】根据被开方数相同列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
23．（22-23下·宿迁·期末）计算的结果为 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
24．（22·23下·阳江·一模）若，则 ．
【答案】
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性得到的值，再利用乘方的运算法则即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，乘方的运算法则，掌握二次根式及绝对值的非负性是解题的关键．
25．（22-23下·天津·期中）计算的结果是 ．
【答案】0.3．
【分析】根据得到，脱去绝对值即可求解．
【详解】解：原式＝|﹣0.3|=0.3．
故答案为：0.3
【点睛】本题考查了二次根式性质的化简，熟知是解题关键．
26．（22·23下·浙江·专题练习）下列二次根式化为最简二次根式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
27．（22·23下·驻马店·阶段练习）符号“*”表示一种新的运算，规定，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题干信息列式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
28．（22-23上·太原·阶段练习）如图，网格中，每个小正方形的边长为1，则 1．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】＜
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再把和1都进行平方，进行比较大小．
【详解】解：如图，连接AB，
根据题意得∶，
∴＝．
∵，
∴＜1，
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次根式的大小比较，根据勾股定理得到AB的长是解题的关键．
29．（22-23上·鸡西·期末）函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由可得：
，
解得：且．
【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．
30．（22·23上·内江·阶段练习）若，则 ；
【答案】2
【分析】根据因式分解分别将根号内的多项式进行因式分解，再根据x的取值范围，化简二次根式即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查因式分解，二次根式的化简，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
31．（22·23上·巴中·阶段练习）如果代数式的值为7，那么，的值是 ．
【答案】
【分析】根据题意先求出的值，再整体代入所求的式子当中即可.
【详解】由题意得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，解题时要多注意观察，切记不要直接去解一元二次方程求出y的值，这是解题的关键.
32．（22·23上·长沙·阶段练习）已知，，则 ．
【答案】6
【分析】先把和的值分母有理化得到，，则，，再利用完全平方公式变形原式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：，，
，，
，，
原式
．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值；二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
33．（22-23下·无锡·阶段练习）等式成立的条件是 ．
【答案】
【分析】由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】接：∵
∴ ,解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零．
34．（22-23上·全国·单元测试）的计算结果是 （用最简二次根式表示）
【答案】
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项或同类二次根式化简.
【详解】
=1-12-（12-4+1）
=1-12-12+4-1
=-24+4.
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法公式对二次根式的运算同样适应.
35．（22-23·北京·专题练习）已知，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】先对变形，根据绝对值的意义得到和为最小值时x、y的取值，进而得到的最小值．
【详解】解：，
，
可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，
当，的最小值为3；
当时，的最小值为6，
的范围为，的范围为，
当，时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键．
三、解答题
36．（22-23下·武汉·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）先分别化简各项，再作加减法；
（2）先将括号展开，再化简各项，最后计算加减法．
【详解】解：（1）
=
=
（2）
=
=
=4
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
37．（22·23上·长春·期末）已知x，y为实数，且，求的值．
【答案】5
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x、y，根据算术平方根的概念计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
38．（22·23上·资阳·阶段练习）（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
39．（22·23下·全国·专题练习）已知：，，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
【答案】(1)3
(2)13
(3)
【分析】（1）代入求值即可；
（2）代入求值，可将（1）的结果代入；
（3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算．
【详解】（1）解：∵2，，
∴
（2）解：
（3）解：∵m为a整数部分，n为b小数部分，2，，
∴，
∴
，
∴的值．
【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化．
40．（22-23上·巴中·阶段练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】利用完全平方公式可得进而可以求出，同理可得，求出即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确根据题意得到，是解题的关键．
41．（22·23下·贺州·期中）已知，，求代数式的值．
【答案】13
【分析】将x、y的值代入代数式求值即可．
【详解】解：依题意，可得
．
【点睛】本题考查了代数式的求值计算，涉及根式的混合运算，运用完全平方公式和平方差公式简化运算是解题的关键．
42．（22-23上·资阳·期中）化简求值：，其中 - 2．
【答案】，-21
【分析】先通过乘法公式和整式的混合运算法则，化简，再根据二次根式的非负性，求出x，y的值，代入求解即可．
【详解】原式=
=
=
=，
∵ - 2，
∴x-4≥0,4-x≥0，即：x=4，
∴，
∴原式==
【点睛】本题主要考查整式的化简求值以及二次根式的非负性，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算法则，是解题的关键．
43．（22-23·杭州·）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
【答案】（1），；（2），；（3），
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
44．（22-23下·东莞·阶段练习）计算：
【答案】
【分析】利用完全平方公式和二次根式除法计算，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
45．（23·24上·汉中·阶段练习）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法，立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，立方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
46．（22-23下·临沂·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用二次根式的运算性质化简求值即可；
（2）利用二次根式的运算法则和绝对值的运算性质求解即可；
【详解】（1）原式=2
=；
（2）原式=
=
=．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算和去绝对值的技巧．熟练掌握二次根式的运算技巧是解决本题的关键．
47．（22-23下·昆明·期末）阅读下列计算过程：
（1）根据上面运算方法，直接写出_____________；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）根据上面的知识化简
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）观察上面的所给实例，直接写出结果即可；
（2）对每个式子进行化简，然后合并即可；
（3）观察实例，对式子化简即可．
【详解】解：（1）观察实例可以得到
（2）
（3）
【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，观察例题掌握有理化的方法是解题的关键．
48．（22·23上·成都·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用二次根式的性质公式及乘除法运算法则处理；
（2）运用二次根式的性质公式及加减法法则处理；
（3）运用负整数指数幂运算法则、绝对值性质公式、二次根式乘法法则及实数的混合运算法则处理．
【详解】（1）原式＝
；
（2）原式＝
；
（3）原式＝
=
＝．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算以及二次根式的化简、绝对值的化简、负整数指数幂；熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．（22-23下·武汉·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)或7；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：，，
，．
故答案为：；．
（2）解：，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或7；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
50．（22-23下·六安·阶段练习）观察下列运算：
①由，得；
由，得；
由，得；
…
(1)由上述规律，直接化简： ；
(2)通过观察你得出什么规律？用含n（且为整数）的式子表示出来： ；
(3)利用（2）中你发现的规律计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中给出的式子，可以直接写出所求式子的结果；
（2）根据题目中的例子，利用平方差公式，可以写出所求式子的结果；
（3）根据（2）中的结果和所求式子的特点，可以计算出所求式子的值
【详解】（1）解：由题意可得，
，
（2）解：
，
（3）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【能力提升】
51（22·23下·福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，．
(1)请你写出的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解．
【详解】（1）解：，
是的有理化因式，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解： ，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
52（23·24上·泉州·阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．
【答案】(1)5
(2)10年；2.5万元
(3)
【分析】（1）直接利用可得结论；
（2）先求解年平均保养费用，利用可得结论；
（3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
，
当，即时，的最小值为5；
（2）解：由题意得：，
年平均费用．
当时，
，
即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；
（3）解：设直线为：，
把代入解析式得：，
，
直线为：，
令，，
，
令，
，
，
，
由题意知：，
，
由题意得：，
．
当时，即时，最小，
直线为：．
【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键．
53（22·23·潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1，
所以，．
【实践应用】
任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为：．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为，
所以， ．
故答案为：，．
任务二：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……
则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
54（22·23上·锦州·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；
，；
，；
…… ……
其中、、……表示各个直角三角形的面积
(1)请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
【答案】(1)，
(2)第20个
(3)
【分析】（1）观察上述结论，可以发现，即可求解；
（2）根据，即可求解；
（3）的值就是把面积的平方相加即可．
【详解】（1）解：根据题目已知条件可以推出：
，；
（2）若一个三角形的面积是,
∵，
∴，
∴．
说明它是第20个三角形；
（3）
．
【点睛】此题考查了勾股定理、算术平方根、二次根式混合运算等知识，解题的关键是观察题目得到结论，由此结论找出规律进行计算．
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