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专题04 二次根式
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式的相关概念
（1）二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即中，
（二）最简二次根式与同类二次根式
（1）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含分数；分母不含根式；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
（三）二次根式的性质
（1）（a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
（2）（）2＝a（a≥0）．
（3）
（四）二次根式的有理化
在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。
①。
②
（五）二次根式的运算
（1）二次根式的加减运算：
（类比同类项的加减运算）
（2）二次根式的乘除运算：
①乘法运算：。推广：。
②乘法逆运算：。
③除法运算：。推广：。
④除法逆运算：。
（3）二次根式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
考点一遍过
考点1：二次根式的概念
典例1：（23·24上·内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意；
B、不是二次根式，则此项符合题意；
C、是二次根式，则此项不符合题意；
D、是二次根式，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键．
【变式1】（22·23下·驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．
【变式2】（22·23下·天津·期中）已知为整数，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据开平方的运算即可求解．
【详解】解：∵为整数，
∴是某个数的平方，
∴当时，，
∴正整数的最小值为，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键．
【变式3】（22·23下·江门·期中）如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件：根据其有意义的条件列出不等式，并解不等式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选C．
【变式4】（23·24上·郑州·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．9
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出，进而得出，将x和y的值代入即可求解．
【详解】解：∵和有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
【变式5】（23·24上·新乡·阶段练习）下列各式：①；②；③；④．其中是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二次根式的定义，即可求解．
【详解】解：①无意义，不是二次根式；
②不是二次根式；
③当时无意义，不是二次根式；
④是二次根式；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握形如的式子是二次根式是解题的关键．
【变式6】（23·24上·青岛·阶段练习）已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中一定是二次根式的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义（根指数是2 ， 被开方数是非负数） 判断即可 ．
【详解】解： 二次根式有①③④， 共 3 个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义， 形如的式子叫二次根式 ．
【变式7】（22·23下·红河·期末）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】由于代数式既为分式又含二次根式，故的取值应当同时使分式和二次根式有意义．
【详解】解：若使代数式有意义，则，即，
解得：且，
故选：C．
【点睛】此题同时考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，要注意，二者必须同时成立才能使代数式有意义．
考点2：二次根式的性质
典例2：（23·24上·天水·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后判断即可．
【详解】解：A．，原式错误；
B．，原式错误；
C．，正确；
D．，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式1】（23·24上·海淀·期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断的符号，将还原成，再化简即可．
【详解】解： ，
，
，
原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和有意义的条件是本题解题关键．
【变式2】（22·23下·昭通·期中）若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
【变式3】（23·24上·临汾·阶段练习）已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a的范围判断出与的正负，利用二次根式的性质和绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的性质、整式的加减、绝对值的代数意义等，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4】（23·24上·内江·阶段练习）实数在数轴上的对应点如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断，可得，，再化简绝对值和算术平方根，合并同类项即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握算术平方根的含义与化简绝对值是解本题的关键．
【变式5】（23·24上·眉山·阶段练习）若化简的结果为，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质得出，分为三种情况①，②，③，再逐个判断即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
①当时，
，此时符合的结果为；
②当时，
，
③当时，
，
即当时，|的结果为，
所以的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式性质与化简，绝对值等知识点，能进行分类讨论是解此题的关键．
【变式6】（23·24上·佛山·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴上点的位置关系得出，再根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键．
【变式7】（22·23下·新乡·期末）若，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，求一个数的立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点3：二次根式的运算
典例3：（22·23下·孝感·阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；
【详解】解： ，无意义，①错误； ，②错误； 成立的前提是，③错误；④，④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式1】（22·23下·宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键．
【变式2】（22·23下·许昌·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
【变式3】（22·23下·阿克苏·阶段练习）下列计算中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键．
【变式4】（23·24上·郑州·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算，即可解答．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；、
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．
【变式5】（23·24上·新乡·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式加减乘除法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、不能合并，故错误，不符合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则．
【变式6】（23·24上·新乡·阶段练习）估算的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，然后在估算计算的结果即可．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴，
∴，
故的值应在到之间．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式7】（22·23下·乌鲁木齐·阶段练习）计算的结果是（ ）
A．10 B．20 C．14 D．16
【答案】C
【分析】先化简各二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算括号内的，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
考点4：最简二次根式
典例4：（23·24上·白银·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念、二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
【变式1】（23·24上·南阳·阶段练习）在中最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对能化简的二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义进行判断．
【详解】解：，，，不是最简二次根式，不是二次根式，是最简二次根式，有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质和最简二次根式的定义是解题的关键．
【变式2】（23·24上·周口·阶段练习）下列各式，，，中，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可．
【详解】解：，被开方数含有分母不是最简二次根式，是最简二次根式，，不是最简二次根式，，不是最简二次根式，故只有1个最简二次根式，
故选A．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征．
【变式3】（23·24上·天水·期中）二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
【答案】C
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再判断即可．
【详解】解：①，能与合并；
②，不能与合并；
③，不能与合并；
④，能与合并；
所以能与合并的是①和④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式4】（22·23下·镇江·阶段练习）下面与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将各个选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A、，故A和不是同类二次根式，不符合题意；
B、，故B和不是同类二次根式，不符合题意；
C、，故C和是同类二次根式，符合题意；
D、，故D和不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的判断，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，最简二次根式的特征，以及同类二次根式的定义．
【变式5】（23·24上·平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
【变式6】（22·23下·泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B．，0 C．1， D．0，0
【答案】A
【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
．
【变式7】（22-23下·烟台·期末）已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】先化简，根据最简二次根式的定义可得，解方程组即可求解．
【详解】解：∵ ，最简二次根式与二次根式可以合并成项，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据二次根式的性质化简，根据题意列出方程组是解题的关键．
考点5：分母有理化
典例5：（23·24上·黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．然后根据题意就可以求出其解．
【详解】由题意，得的有理化因式是：，
故选：A．
【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方差公式的那个多项式．
【变式1】（23·24上·青岛·自主招生）化简：的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案．
【详解】解：
同理可得….
故选B．
【点睛】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2】（22·23下·盐城·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】首先分别求出、、的倒数，比较出、、的倒数的大小关系，然后根据：几个正实数，倒数越大这个数越小，判断出，，的大小关系即可．
【详解】解：，，，
，，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，几个正实数，倒数越大这个数越小．
【变式3】（22·23下·池州·期中）已知，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，然后把代入，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算运算是解题的关键．
【变式4】（22·23下·江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论：
①；
②若，，则；
③，且，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断；
②先化简a、b，然后代入求值即可；
③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可．
【详解】解：①，故①正确；
②，
，
∴
，故②正确；
③
，
，
∵，
∴，
∴，
即，
，
∴，
∴，故③正确；
综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
【变式5】（22·23下·江苏·期末）如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把b分母有理化，再比较．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．
【变式6】（22·23上·乐山·期末）若的小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：，
∴的整数部分是3，小数部分是，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
【变式7】（22·23下·鄂州·阶段练习）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：，
乙：．
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
【答案】B
【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：甲同学在计算时，将分子和分母都乘以，而是有可能等于0，此时变形后分式没有意义，
所以甲同学的解法错误；
乙同学的解法正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，二次根式的混合计算，平方差公式，熟知分式的性质是解题的关键．
考点6：二次根式的化简求值
典例6：（23·24上·松江·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先根据二次根式的性质，分式的性质，将代数式化简，将的分母有理化，再代入原式即可求解．
【详解】解：
，
且，，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
【变式1】（23·24上·绵阳·开学考试）化简求值：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】(1)按照有理数一边，无理数一边，整理条件等式，后平方，变形代入所求代数式即可．
(2)求出和的值，再通分，根据完全平方公式进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
（2）∵，，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，能正确根据分式和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【变式2】（22·23下·陇南·阶段练习）先化简，再求值：已知，，求的值．
【答案】
【分析】先将a，b的值分母有理化，再将因式分解，最后将a，b的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，熟练并准确进行分母有理化是解题的关键．
【变式3】（22·23下·临沂·期末）计算：
(1)已知，，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得，，然后将转化为，再代入计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再合并即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
【变式4】（22·23下·龙岩·期中）在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
．
．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果；
（2）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果．
【详解】（1）原式
；
（2）
．
．
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键．
【变式5】（22·23下·衡阳·期中）先化简，再求值：已知，．求代数式的值．
【答案】
【分析】根据已知得出，将代数式因式分解即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式6】（22·23下·十堰·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可．
【详解】原式
；
∴当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题的关键．
【变式7】（22·23下·海淀·期中）先化简，再求值：，其中：，．
【答案】，．
【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
考点7：二次根式的应用
典例7：（23·24上·咸阳·期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．
(1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积；
(2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由海伦公式计算即可；
（2）用空地A的面积除以空地面积求解即可．
【详解】（1）解：，
∴三角形空地A的面积为；
（2）解：．
∴空地A的面积是空地面积的倍．
【点睛】本题属于二次根式应用类型的题，解题的关键是掌握二次根式的性质和正确的代入公式并进行计算．
【变式1】（22·23上·南阳·期末）阅读与思考
如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度米，米，米，如何求三角形钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求的面积．
(1)甲同学：我们知道，已知的三边长a，b，c，设，即p为周长的一半，那么利用海伦公式就可求出的面积．
(2)乙同学：如图2，过点A作于点D，设米，然后用含x的代数式表示出，根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出的长，再计算的面积．
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】（1）按照甲同学的思路，先求出p的值，然后再代入数据求出的面积即可；
（2）按照乙同学的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵米，米，米，
∴（米），
∴
（平方米）；
（2）解：过点A作于点D，设米，则米，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴（平方米）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于x的方程．
【变式2】（22·23下·全国·期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得，．
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【答案】(1)
(2)肇事汽车已经超速
【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；
（2）比较两个速度的大小即可．
【详解】（1）解：当，时，
，
答：肇事汽车的速度是；
（2）解：，
肇事汽车已经超速．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式求出速度是解题的关键．
【变式3】（22·23下·商丘·阶段练习）海啸，是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时千米，在几小时内就能横过大洋；波长可达数百千米、可以传播几千米而能量损失很小海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的速度，表示海水的深度，表示重力加速度若在海洋深度处发生海啸，求其行进的速度．
【答案】行进的速度为
【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．
【详解】由题意可得：，，
则 ．
答：其行进的速度为．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
【变式4】（22-23下·厦门·期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12和27的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【答案】(1)45平方分米
(2)3块，理由见详解
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出和的范围，根据题意解答．
【详解】（1）∵两个正方形的面积分别为12和27，
∴这两个正方形的边长分别为 和 ，
由图可知，矩形的长为：+，宽为，
则原矩形的面积为：（）
答：原矩形的面积为45；
（2）最多能裁出3快，理由如下：
根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为 和 ，
即此时阴影部分的宽为： ，
长为：
∵，
∴，
∴，
∴，，
即可知，阴影部分可以最多裁剪出3块长1.5dm宽1dm的木条．
【点睛】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．
【变式5】（22-23下·定西·期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）①，
②；
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
【变式6】（22-23上·唐山·阶段练习）观察下列等式：
解答下列问题：
（1）写出一个无理数，使它与的积为有理数；
（2）利用你观察的规律，化简；
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由平方差的运算法则，即可得到答案；
（2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案；
（3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴这个无理数为：；
（2）==；
（3）
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．
【变式7】（23·24上·大渡口·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)或7；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：，，
，．
故答案为：；．
（2）解：，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或7；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
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专题04 二次根式
考点类型
知识一遍过
（一）二次根式的相关概念
（1）二次根式：式子（a≥0）叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即中，
（二）最简二次根式与同类二次根式
（1）最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含分数；分母不含根式；
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
（三）二次根式的性质
（1）（a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
（2）（）2＝a（a≥0）．
（3）
（四）二次根式的有理化
在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。
①。
②
（五）二次根式的运算
（1）二次根式的加减运算：
（类比同类项的加减运算）
（2）二次根式的乘除运算：
①乘法运算：。推广：。
②乘法逆运算：。
③除法运算：。推广：。
④除法逆运算：。
（3）二次根式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
考点一遍过
考点1：二次根式的概念
典例1：（23·24上·内江·阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23下·驻马店·阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式2】（22·23下·天津·期中）已知为整数，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·江门·期中）如果有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23·24上·郑州·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．9
【变式5】（23·24上·新乡·阶段练习）下列各式：①；②；③；④．其中是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6】（23·24上·青岛·阶段练习）已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中一定是二次根式的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7】（22·23下·红河·期末）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
考点2：二次根式的性质
典例2：（23·24上·天水·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23·24上·海淀·期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23下·昭通·期中）若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23·24上·临汾·阶段练习）已知，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23·24上·内江·阶段练习）实数在数轴上的对应点如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（23·24上·眉山·阶段练习）若化简的结果为，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】（23·24上·佛山·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式7】（22·23下·新乡·期末）若，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
考点3：二次根式的运算
典例3：（22·23下·孝感·阶段练习）以下各式：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1】（22·23下·宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23下·许昌·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·阿克苏·阶段练习）下列计算中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式4】（23·24上·郑州·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（23·24上·新乡·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6】（23·24上·新乡·阶段练习）估算的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【变式7】（22·23下·乌鲁木齐·阶段练习）计算的结果是（ ）
A．10 B．20 C．14 D．16
考点4：最简二次根式
典例4：（23·24上·白银·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23·24上·南阳·阶段练习）在中最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（23·24上·周口·阶段练习）下列各式，，，中，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（23·24上·天水·期中）二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
【变式4】（22·23下·镇江·阶段练习）下面与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（23·24上·平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【变式6】（22·23下·泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（ ）
A．0， B．，0 C．1， D．0，0
【变式7】（22-23下·烟台·期末）已知最简二次根式与二次根式可以合并成项，则整数，的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点5：分母有理化
典例5：（23·24上·黄浦·期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23·24上·青岛·自主招生）化简：的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（22·23下·盐城·阶段练习）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【变式3】（22·23下·池州·期中）已知，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【变式4】（22·23下·江津·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论：
①；
②若，，则；
③，且，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式5】（22·23下·江苏·期末）如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式6】（22·23上·乐山·期末）若的小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7】（22·23下·鄂州·阶段练习）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：，
乙：．
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
考点6：二次根式的化简求值
典例6：（23·24上·松江·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【变式1】（23·24上·绵阳·开学考试）化简求值：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，，求的值．
【变式2】（22·23下·陇南·阶段练习）先化简，再求值：已知，，求的值．
【变式3】（22·23下·临沂·期末）计算：
(1)已知，，求的值；
(2)求的值．
【变式4】（22·23下·龙岩·期中）在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
．
．
．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【变式5】（22·23下·衡阳·期中）先化简，再求值：已知，．求代数式的值．
【变式6】（22·23下·十堰·期中）先化简，再求值：，其中．
【变式7】（22·23下·海淀·期中）先化简，再求值：，其中：，．
考点7：二次根式的应用
典例7：（23·24上·咸阳·期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为，，，记，即为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式．
(1)现有一块三角形空地A，它的三边长分别为，，，求这块地的面积；
(2)有一块空地的面积为，则空地A的面积是空地面积的几倍．
【变式1】（22·23上·南阳·期末）阅读与思考
如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度米，米，米，如何求三角形钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求的面积．
(1)甲同学：我们知道，已知的三边长a，b，c，设，即p为周长的一半，那么利用海伦公式就可求出的面积．
(2)乙同学：如图2，过点A作于点D，设米，然后用含x的代数式表示出，根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出的长，再计算的面积．
【变式2】（22·23下·全国·期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数，在某次交通事故调查中测得，．
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【变式3】（22·23下·商丘·阶段练习）海啸，是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时千米，在几小时内就能横过大洋；波长可达数百千米、可以传播几千米而能量损失很小海啸的行进速度可按公式计算，其中表示海啸的速度，表示海水的深度，表示重力加速度若在海洋深度处发生海啸，求其行进的速度．
【变式4】（22-23下·厦门·期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12和27的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【变式5】（22-23下·定西·期中）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【变式6】（22-23上·唐山·阶段练习）观察下列等式：
解答下列问题：
（1）写出一个无理数，使它与的积为有理数；
（2）利用你观察的规律，化简；
（3）计算：．
【变式7】（23·24上·大渡口·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
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