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专题05 数与式综合检测（基础版）
考试范围：数与式；考试时间：150分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．在下列各数中是无理数的有（ ）．
，，0，，，，，，（相邻两个之间依次多一个0）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，0，，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；
∴无理数有：，，（相邻两个1之间依次增加1个0）共3个．
故选：C．
2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数轴上点的移动，根据左移减，右移加，列出算式即可．
【详解】解：由题意，列出算式为；
故选D．
3．某市常住人口数约为人，则数据表示的原数是( )
A．13300 B．133000 C．1330000 D．13300000
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
4．若表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如，，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中给出的信息进行解答即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是理解求出的小数部分．
5．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，是解题的关键．
6．已知的三边长分别为a，2，3，则化简的结果为（ ）
A． B． C．5 D．－5
【答案】A
【解析】略
7．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（）
A．5 B．3 C． 5 D． 3
【答案】B
【分析】先把化成最简二次根，再根据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知：，
则，
，
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
8．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．
【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
D．符合定义，故选项正确，符合题意．
故选：D．
9．若，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质可得，易得，然后求解即可．
【详解】解：由题意，，可知，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质以及整式运算，解题关键是根据绝对值的性质得出．
10．在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的知识和周长的定义，列出算式周长差，再去括号，合并同类项即可求解．
【详解】解：图1中阴影部分的周长，
图2中阴影部分的周长，
周长差．
故若要知道周长差，只要测量图中线段的长．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，周长的定义，关键是得到图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如果某个数的一个平方根是，那么这个数的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】根据平方根的定义及算术平方根的定义即可解答．
【详解】解：∵某个数的一个平方根是，
∴这个数为，
∴的算术平方根为，
故答案为．
【点睛】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，掌握平方根的定义及算术平方根的定义是解题的关键．
12．使分式有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．
13．把分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
14．若，则的值为 .
【答案】
【解析】略
15．若x，y为实数，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根非负，绝对值非负求出x、y的值，问题随之得解．
【详解】∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根非负，绝对值非负的知识，根据非负性求出，，是解答本题的关键．
16．已知实数x、y满足，则 ．
【答案】/或/或
【分析】解方程求出，分别代入根据分式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：解方程，得
，
当时，
；
当时，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，正确掌握一元二次方程的解法及分式的运算法则，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
评卷人得分
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】略
18．已知，，求下列各式的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．
19．诊断与纠错：先化简分式，再代入一个合适的数求值．
请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程．
解：原式 ①
②
③
④
⑤
取，原式 ⑥
错误的是 步．请更正：
【答案】②、⑥，见解析
【分析】本题考查分式的化简求值，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．根据分式化简的步骤进行化简即可．
【详解】错误是第 ②、⑥步．
纠正如下：
原式，
，
，
，
由于且，
取，原式．
20．阅读下列材料：
已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法：
解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得．
这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下列问题：
(1)若，求代数式的值；
(2)若，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确读懂题意仿照题意进行求解是解题的关键．
（1）先求出，进而得到，则，再把整体代入所求式子中求解即可；
（2）先仿照题意求出，则，再把变形为，进一步变形为，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
21．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)或7；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：，，
，．
故答案为：；．
（2）解：，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或7；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
22．已知a，b，c，d四个数满足：，，其中a，b，c为非负数．
(1)若，则___________．
(2)d可取的整数有___________个．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）设，可得，，再根据求出k的值即可求解；
（2）设，可得，，，再根据a，b，c为非负数即可求出k的取值范围，从而求出d的取值范围即可求解．
【详解】（1）设，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，，，
∵a，b，c为非负数，
，，，
，
，
，
∴d可取的整数有15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了比例的性质和不等式的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
23．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】(1)
(2)，49
【分析】（1）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
24．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n个单位长度，得到点．称这样的操作为点P的“升级”，对数轴上的点A，B，C，D进行“升级”操作得到的点分别为．
(1)当，时，
①若点A表示的数为，则它的对应点表示的数为 ．若点表示的数是3，则点B表示的数为 ；
②数轴上的点M表示的数为1，若线段，求点C表示的数；
(2)若线段，请直接写出m的值，不需证明．
【答案】(1)①，4；②或
(2)
【分析】本题考查了数轴、两点间的距离、绝对值、一元一次方程等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．
（1）①由，即可得出对应点表示的数为，设点B表示的数为x，，解得；②设点C表示的数为a，则表示的数为，由，解得或；
（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点表示的数为，点表示的数为，则，解得．
【详解】（1）解：①∵点A表示的数为，
∴，
∴它的对应点表示的数为，
设点B表示的数为x，
∵点表示的数是3，
∴，
解得：．
故答案为：，4．
②设点C表示的数为a，则表示的数为，
，
∴，
解得：或；
故点C表示的数为：或．
（2）解：设点A表示的数为a，点B表示的数为b，
则点表示的数为，点表示的数为，
，
解得：．
∴若线段．
25．探究题:
(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
__________；________；________；
(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：；；；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为_____________________．
(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．
(4)解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；
（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想；
（3）可用完全平方公式进行验证；
（4）多项式ax2＋bx＋c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可列[ （2n＋6）]2＝4（n＋1）（n＋6），进而求出n的值．
【详解】（1）解：；
；
．
故答案为：；；．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：．
故答案为：．
（3）验证结论：可用x2＋4x＋4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴．
（4）根据题意可得：
【点睛】本题主要考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强．
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专题05 数与式综合检测（基础版）
考试范围：数与式；考试时间：150分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．在下列各数中是无理数的有（ ）．
，，0，，，，，，（相邻两个之间依次多一个0）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某市常住人口数约为人，则数据表示的原数是( )
A．13300 B．133000 C．1330000 D．13300000
4．若表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如，，，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．已知的三边长分别为a，2，3，则化简的结果为（ ）
A． B． C．5 D．－5
7．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（）
A．5 B．3 C． 5 D． 3
8．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
10．在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如果某个数的一个平方根是，那么这个数的算术平方根是 ．
12．使分式有意义的x的取值范围是 ．
13．把分解因式的结果是 ．
14．若，则的值为 .
15．若x，y为实数，且，则的值为 ．
16．已知实数x、y满足，则 ．
评卷人得分
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，，求下列各式的值．
(1)．
(2)．
19．诊断与纠错：先化简分式，再代入一个合适的数求值．
请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程．
解：原式 ①
②
③
④
⑤
取，原式 ⑥
错误的是 步．请更正：
20．阅读下列材料：
已知，求代数式的值．下面是小敏的解题方法：
解：由，得，所以，所以，即．把作为整体代入，得．
这种方法是把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下列问题：
(1)若，求代数式的值；
(2)若，求代数式的值．
21．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
22．已知a，b，c，d四个数满足：，，其中a，b，c为非负数．
(1)若，则___________．
(2)d可取的整数有___________个．
23．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
24．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n个单位长度，得到点．称这样的操作为点P的“升级”，对数轴上的点A，B，C，D进行“升级”操作得到的点分别为．
(1)当，时，
①若点A表示的数为，则它的对应点表示的数为 ．若点表示的数是3，则点B表示的数为 ；
②数轴上的点M表示的数为1，若线段，求点C表示的数；
(2)若线段，请直接写出m的值，不需证明．
25．探究题:
(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
__________；________；________；
(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：；；；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为_____________________．
(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．
(4)解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
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