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专题05 一次函数
一、【知识回顾】
【思维导图】
【知识清单】
【自变量的取值范围考虑因素】
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
【一次函数的图像与性质】
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 范 围 X为全体实数（实际问题根据实际情况判断）
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限 k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限 k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限 k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的 平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位，得到y=kx+b； b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位，得到y=kx+b. 平移口诀：左加右减，上加下减
【函数解析式的确定】
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、【考点类型】
考点1：函数的定义
典例1：（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）下列关系式中不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·陕西西安·期中）下列图形中，不能表示是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级下·福建福州·期中）下列图象中，能表示y是x的函数的是
A． B．
C． D．
【变式3】（22-23八年级下·北京石景山·期末）如图，用一根长的铁丝围成一个矩形，小石发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数 ②S是a的函数 ③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
考点2：自变量的取值范围
典例2：（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
【变式1】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）函数自变量x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（22-23八年级下·宁夏固原·期末）若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3（2023·黑龙江绥化·二模）在函数中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．且
考点3：函数图像的识别
典例3：（22-23七年级下·四川成都·期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以近似的刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（min）的变化情况的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·北京石景山·一模）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点，长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22-23八年级下·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：
第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：
第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系；
第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间的关系．
用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1）
考点4：由函数图像获取信息
典例4：（2023·河南周口·模拟预测）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
A．体内血乳酸浓度和时间是变量
B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【变式1】（23-24七年级下·河南·期中）如图1，四边形是长方形，点P从边上点E出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿运动到点C，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y关于x变化的函数图象．根据图象下列判断不正确的是（ ）
A．
B．点E为的中点
C．当时，的面积为6
D．当时，长度的最小值为1
【变式2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知：如图，甲、乙两个工程队合作修一条长为3000米的公路，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的．甲队单独做了20天后，乙队加入合作完成剩下的全部工程．完成的工程量y（米）与工程时间x（天）的关系如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．完成该工程一共用了30天 B．乙工程队在该工程中一共工作了10天
C．甲工程队每天修路50米 D．乙工程队每天修路200米
【变式3】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）甲、乙两工程队分别同时铺设两条600米长的管道，所铺设管道长度（米）与铺设时间（天）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天铺设管道100米；
B．从第三天开始，乙队每天铺设管道50米；
C．甲队比乙队提前3天完成任务；
D．当或6时，甲乙两队所铺设管道长度相差100米．
考点5：动点问题的函数图像
典例5：（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，点M为曲线的最低点，则边的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式1】（2024·甘肃天水·一模）如图：菱形的对角线上有一动点，的长关于点运动的路程的函数图像如图，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
【变式2】（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，且，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离与时间的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶； B．从F口出比从G口出多行驶；
C．甲车从G口出，乙车从F口出； D．立交桥总长为
考点6：一次函数、正比例函数定义
典例6：（2023八年级下·全国·专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【变式1】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如果是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
考点7：判断一次函数图像
典例7：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（ ）
A．B． C． D．
【变式1】（2024九年级下·广东·专题练习）关于x的正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）在同一坐标系内，直线和的位置可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式3】（22-23八年级下·福建福州·期末）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点8：一次函数图像性质——增减性
典例8：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数中，y的值随x增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·浙江·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）一次函数的图像过点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点9：一次函数图像性质——与k、b关系
典例9：（2023·云南·模拟预测）一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）一次函数的图像不经过第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）直线经过第一、三、四象限，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点10：一次函数图像性质——平移问题
典例10：（2024·湖南长沙·模拟预测）直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，以下各点在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【变式2】（2023八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将向下平移6个单位 B．将向下平移2个单位
C．将向右平移6个单位 D．将向右平移2个单位
【变式3】（23-24八年级上·山西晋中·期中）将一次函数图象平移后恰好经过坐标原点．下列关于平移方法正确的是（ ）
A．一次函数图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．一次函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．一次函数图象向右平移4个单位长度
D．一次函数图象向下平移2个单位长度
考点11：一次函数与一元一次方程
典例11：（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）
A． B． C． D．无法确定
【变式2】（22-23七年级上·山东济宁·期末）已知函数的部分函数值如表所示，则关于x的方程的解是（ ）
… 1 …
… 5 3 …
A． B． C． D．
【变式3】（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
考点12：一次函数与一元一次不等式
典例12：（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集是( )
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．方程的解是
C．当时，
D．不等式的解集是
【变式2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
【变式3】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．
考点13：一次函数的应用——方案选择问题
典例13：（2023·河南安阳·模拟预测）新郑大枣“甜如蜜”，作为河南的名片，新郑大枣已经远销海内外．现外地某经销商准备从新郑购进A，B两种不同包装的大枣，已知购进3件A包装和2件B包装的大枣需要850元；购进2件A包装和3件B包装的大枣，需要900元．
(1)求A，B两种包装的大枣的进货单价分别是多少元？
(2)若该经销商购进A包装的大枣300件，B包装的大枣200件，并且准备把这些大枣全部运往甲、乙两家分店来进行销售，已知每件A运往甲、乙两家店的运费分别是15元和20元，每件B运往甲、乙两家店的运费分别是20元和18元．根据往年的销售情况，该经销商决定向甲店运260件大枣，向乙店运240件大枣．
①设该经销商运往甲店的A包装的大枣x（件），所花的总运费为w（元），请写出w关于x的函数关系式；
②怎样调运A，B两种包装的大枣可使总运费最低？最低费用是多少？
【变式1】（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
型 型
价格（万元/辆）
年载客量（万人/年） 60 100
若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
(1)求，的值；
(2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案
(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少 最少费用是多少万元
【变式2】（23-24八年级上·四川达州·期末）某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品，老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元．
(1)请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好、两个商场对甲奖品搞促销活动，其中商场按原价9折销售：商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品，设在商场购买个甲奖品需要元，在商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出与之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出去哪个商场购买甲奖品更省钱的方案．
【变式3】（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表：
种 类 成本（元/件） 售价（元/件）
A 25 30
B 28 35
假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题：
(1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？
(2)该商店如何进货获得利润最大？
(3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？
考点14：一次函数的应用——销售利润问题
典例14：（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 70 90
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【变式1】（2024·湖南湘潭·一模）为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，某校计划组织高一的师生共1302人到韶山开展红色研学活动．已知1台A型大巴车可以坐乘客49人，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人，每日租金780元．
(1)若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满，问需租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆？
(2)为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，且总费用不超过27200元，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【变式2】（2024·广东深圳·二模）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元．
(1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价；
(2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？
【变式3】（2024·江西抚州·一模）某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务．根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同．
(1)求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？
(2)新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m；
(3)该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？
考点15：一次函数的应用——调配问题
典例15：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值：
总计/
总计/
(2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【变式1】（22-23八年级上·山东·期末）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
(1)若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
(2)设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式；
(3)运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的，两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而库的容量为70吨，库的容量为110吨．从甲、乙两库到，两库的路程和运费如下表（表中“元/吨．千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库 20 15 12 12
库 25 20 10 8
(1)若甲库运往库粮食吨，请写出将粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式，并求出的取值范围；
(2)当甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【变式3】（22-23八年级下·贵州·期末）赫章樱桃素有“春果第一枝”之称，备受广大消费者青睐，樱桃成熟之际总是远销贵阳、昆明和成都等地，赫章已成为名副其实的“中国樱桃之乡”．赫章某樱桃种植基地欲将n吨樱桃运往贵阳、昆明和成都三地销售，要求：①运往各地的樱桃质量均为整数吨；②运往成都的樱桃质量是运往贵阳的樱桃质量的2倍．设安排x吨樱桃运往贵阳．
(1)当时：
①根据表中的已有信息将表补充完整．
贵阳 昆明 成都 合计
樱桃质量/吨 x 20
运费/元 300x 500x
②若运往昆明的樱桃的质量不多于运往贵阳的樱桃质量，且总运费不超过5520元，则具体有哪几种运输方案？
(2)若总运费为7360元，求n的最小值.
考点16：一次函数的应用——行程问题
典例16：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）、（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)A，B两城相距________千米；
(2)分别求出甲乙两车离开A城的距离和关于t的函数关系式；
(3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距50千米时，求出乙车行驶的时间．
【变式1】（22-23八年级下·吉林长春·期中）小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离（米）（分钟）的函数关系如图所示．
(1)a=______；
(2)求CD所在直线的函数表达式；
(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【变式2】（23-24八年级下·上海金山·期中）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1)___________分，___________分，___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
【变式3】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时；
(2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由．
考点17：一次函数综合应用
典例17：（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
(1)直接写出点A，B两点的坐标 ；
(2)如图2，若，，分别平分，求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P（点P与点C不重合），使得的面积和的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知如图，点和点分别在轴和轴上，且，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是等腰直角三角形，点在直线上且横、纵坐标相等，点是轴上一动点，且；
①如图1，当点运动到原点时，求点的坐标；
②是否存在点，使得点落在直线上，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．
(1)点的坐标是______；
(2)求折痕所在直线的解析式；
(3)在x轴上是否能找到一点P，使的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．
【变式3】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
(1)点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N，
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题05 一次函数
一、【知识回顾】
【思维导图】
【知识清单】
【自变量的取值范围考虑因素】
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
【一次函数的图像与性质】
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 范 围 X为全体实数（实际问题根据实际情况判断）
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限 k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限 k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限 k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的 平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位，得到y=kx+b； b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位，得到y=kx+b. 平移口诀：左加右减，上加下减
【函数解析式的确定】
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、【考点类型】
考点1：函数的定义
典例1：（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）下列关系式中不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义，在一个变化的过程中，有两个变量与，若每取一个值，都有唯一的一个值与它相对应，则是的函数，逐项进行判断即可．
【详解】解：选项、、中，每一个值都有一个值与它对应，
选项、、中是的函数，
选项中，给一个正值，有两个值与之对应，
选项中不是的函数，
故选：．
【点睛】本题考查了函数的定义，解此类题的关键是掌握，在一个变化的过程中，有两个变量与，若每取一个值，都有唯一的一个值与它相对应，则是的函数．
【变式1】（22-23八年级下·陕西西安·期中）下列图形中，不能表示是函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案．
【详解】A、对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以能表示是的函数，不符合题意；
B、对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以能表示是的函数，不符合题意；
C、对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以能表示是的函数，不符合题意；
D、对于自变量的每一个确定的值，都有两个值与之对应，不能表示是的函数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，x叫自变量．
【变式2】（22-23八年级下·福建福州·期中）下列图象中，能表示y是x的函数的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，根据函数的概念即可求出答案．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
其中A，C，D选项中的图，对于自变量x的某个值，y有两个值与自变量x的值对应，不符合函数定义，不符合题意；
所以能表示y是x的函数是B选项的图．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【变式3】（22-23八年级下·北京石景山·期末）如图，用一根长的铁丝围成一个矩形，小石发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数 ②S是a的函数 ③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据题意可得，从而可得，即可判断①；再利用矩形的面积可得，从而可得，即可判断②；根据，然后利用配方法可得，从而可得，即可判断③．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
是的函数，
故①正确；
，
，
是的函数，
故②正确；
，
，
，
，
，
，
不是的函数，
故③不正确；
所以，所有正确的结论的序号是：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的概念，常量与变量，熟练掌握配方法是解题的关键．
考点2：自变量的取值范围
典例2：（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据二次根式被开方数非负，以及分式分母不为零，建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故选：B．
【变式1】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）函数自变量x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件、一元一次不等式组的解集在数轴上的表示．利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件即可求得，把解集在数轴上表示出来即可求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：，
把在数轴上表示为：
，
故选：A．
【变式2】（22-23八年级下·宁夏固原·期末）若函数有意义，则自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于以及分式有意义的条件，进行计算即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：根据题意可知且，
，
解得：，
在数轴上表示如下：
故选：．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【变式3（2023·黑龙江绥化·二模）在函数中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：
解得
即自变量x的取值范围是且
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质和定义是解题关键．
考点3：函数图像的识别
典例3：（22-23七年级下·四川成都·期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以近似的刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（min）的变化情况的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力， 根据三个阶段甲容器的水面高度随时间的增长速度确定出此题正确的结果．
【详解】解：刚开始时注水都在甲容器，水面高度增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、联通部分和乙三个容器水面一起升高，但升高速度较慢；
当水面超过联通部分，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升比三个容器一起上升的快，但速度比只有甲容器时慢，
选项C中图象符合该变化过程．
故选：C．
【变式1】（2023·北京石景山·一模）匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．
根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高．
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
【变式2】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点，长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出甲乙两人到达地的时间，再结合已知条件即可解决问题．
【详解】解；由题意得：甲跑到地所花费的时间为：，甲在地休息的时间为，甲从地跑到地花费的时间为：，总共花费时间为，
乙跑到地所花费的时间为：，
由此可知正确的图象是A，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是理解题意求出两人到达地的时间，属于中考常考题型．
【变式3】（22-23八年级下·江苏镇江·期末）周末，小丽同学做了以下几件事情：
第一件：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数的关系：
第二件：小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，小丽离家的距离与时间的关系；
第三件：小丽和奶奶聊天时，了解到：奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间的关系．
用下面的函数图像刻画上述事情，排序正确的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（1）（3）（2） D．（2）（3）（1）
【答案】C
【分析】小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系；小丽去奶奶家吃饭，小丽离家的距离从0开始变大，到达奶奶家吃饭的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至变为0；奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数的关系，据此即可得到答案．
【详解】解：小丽去文具店购买黑色水笔，支付费用与购买黑色水笔支数成正比例关系，
该变化对应图象（1），
小丽去奶奶家吃饭，饭后，和奶奶聊一会天，然后再按原速度原路返回，
该变化对应图象（3），
奶奶用的手机是含有月租费的计费方式，奶奶每月支付的话费与通话时间成一次函数关系，
该变化对应图象（2），
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
考点4：由函数图像获取信息
典例4：（2023·河南周口·模拟预测）根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
A．体内血乳酸浓度和时间是变量
B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
、体内血乳酸浓度和时间均是变量，该说法正确，故选项不合题意；
、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，该说法正确，故选项不合题意；
、采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项符合题意；
、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法正确，故选项不合题意；
故选：．
【变式1】（23-24七年级下·河南·期中）如图1，四边形是长方形，点P从边上点E出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点B，最后沿运动到点C，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y关于x变化的函数图象．根据图象下列判断不正确的是（ ）
A．
B．点E为的中点
C．当时，的面积为6
D．当时，长度的最小值为1
【答案】D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形面积的相关计算，垂线段最短，在解题时根据函数的图象求出有关的线段的长度，分析各个选项即可得到答案．
【详解】解：由题意知，当P与B重合时，，最大，
当点P在上运动，逐渐减小，直至P与C重合时，则，
，的最大值，
，A正确；
由函数图象可知，当时，的面积始终为12，
设边的高为h，
此时，
如图，点P在上，
，，
，
点E是的中点，B正确；
点E是的中点，，
，
当时，，C正确；
点P从的中点出发，作，，连接，
则，，
，
，
当时，长度的最小值为，
D错误．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知：如图，甲、乙两个工程队合作修一条长为3000米的公路，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的．甲队单独做了20天后，乙队加入合作完成剩下的全部工程．完成的工程量y（米）与工程时间x（天）的关系如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．完成该工程一共用了30天 B．乙工程队在该工程中一共工作了10天
C．甲工程队每天修路50米 D．乙工程队每天修路200米
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象获取信息以及一元一次方程的工程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据甲队单独做了20天，完成1000米，得出甲工程队每天修路50米，因为甲、乙两个工程队的工作效率是一定的，则列式，得出乙工程队每天修路150米，结合图象性质，即可作答．
【详解】解：从图象可知，工程时间，所对应的是
∴完成该工程一共用了30天，故A是正确的；
∵（天）
∴乙工程队在该工程中一共工作了10天，故B是正确的；
∵甲队单独做了20天，完成1000米，
∴
即甲工程队每天修路50米；故C是正确的；
设乙工程队每天修路x米,
则
解得
∴乙工程队每天修路150米，故D是错误的
故选：D
【变式3】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）甲、乙两工程队分别同时铺设两条600米长的管道，所铺设管道长度（米）与铺设时间（天）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天铺设管道100米；
B．从第三天开始，乙队每天铺设管道50米；
C．甲队比乙队提前3天完成任务；
D．当或6时，甲乙两队所铺设管道长度相差100米．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图像，从函数图像获取信息是解题的关键；由图像知，甲队6天铺设了600米，则可求得甲队每天铺设管道的长度，从而判断选项A；由图像知，乙从第三天开始到第六天，4天共铺设了200米，则可求得每天铺设管道的长度，从而判断选项B；根据乙从第三天开始铺设的速度可计算出完成管道铺设的时间，与甲完成的时间比较即可判断选项C；根据前面选项A与B的计算，即可对选项D作出判断，最后确定答案．
【详解】解：由图像知，甲队6天铺设了600米，则甲队每天铺设管道的长度为（米），故选项A正确；
由图像知，乙从第二天后到第六天，4天共铺设了200米，则每天铺设管道的长度为（米），故选项B正确；
∵乙从第三天开始铺设的速度为每天50米，
∴乙完成剩下管道铺设的时间为：（天），完成整个管道铺设的时间为（天），
∴甲比乙提前完成的时间为（天），故选项C错误；
当时，甲乙两队所铺设管道长度相差（米）；
当时，甲乙两队所铺设管道长度相差（米），
故选项D正确，
故选：C．
考点5：动点问题的函数图像
典例5：（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，点M为曲线的最低点，则边的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】作，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：作，垂足为，
当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即，
当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的特征．读懂函数图象是解题的关键．
【变式1】（2024·甘肃天水·一模）如图：菱形的对角线上有一动点，的长关于点运动的路程的函数图像如图，则该菱形的面积为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，菱形的性质，点到直线的距离，连接，根据函数图象知当时，，，即可得到，根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：连接，交于点O，
由函数图象知当时，最短，
此时，即，，
，
该菱形的面积为：，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查动点问题的函数图象，矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到我们需要的信息，利用数形结合的思想解答．
过点C作于点E，首先根据的面积是得到，然后得到四边形是矩形，设，则，，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点C作于点E，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，
当点P与点B重合时，的面积是，
，
解得，
又，，，
，，
四边形是矩形，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
．
故选：D．
【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F，G为出口，其中直行道为，且，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离与时间的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲车在立交桥上共行驶； B．从F口出比从G口出多行驶；
C．甲车从G口出，乙车从F口出； D．立交桥总长为
【答案】D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为，通过直行道时，每段用时为，据此逐一判断即可．
【详解】解：由图象可知，两车通过，，弧时每段所用时间均为，通过直行道时，每段用时为．
因此，甲车所用时间为，故A正确，不符合题意；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长，之和，用时为，则多走，故B正确，不符合题意；
根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，乙车从F口出，故C正确，不符合题意；
根据题意立交桥总长为，故D错误，符合题意；
故选：D．
考点6：一次函数、正比例函数定义
典例6：（2023八年级下·全国·专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【分析】根据正比例函数定义即可得答案．
【详解】A．根据正方形的周长公式可得，这是一个正比例函数；
B．根据速度路程时间可得，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度总长减去的长度可得，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键．
【变式1】（22-23八年级上·江苏扬州·期末）规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义（的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1）是解题的关键．
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：一次函数有：①；②；③；④不是一次函数；
综上所述，正确的有3个 ，
故选：B．
【变式3】（22-23八年级上·湖北宜昌·期中）如果是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，且，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，准确列式是解决问题的关键．
考点7：判断一次函数图像
典例7：（22-23八年级上·江苏盐城·期末）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意；
故选：A．
【变式1】（2024九年级下·广东·专题练习）关于x的正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，根据正比例函数与一次函数的图象性质作答，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象及一次函数的图象
的性质．
【详解】解：令时，，
当时，正比例函数图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，两直线的交点在第一象限；
当时，正比例函数图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，两直线的交点在第二象限；
当时，正比例函数图象经过二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，两直线的交点在第二象限；
故选：．
【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）在同一坐标系内，直线和的位置可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题词的关键．
衔求得两一次函数图象的交点，根据交点可排除A，D选项，再根据当时，C选项符合题意，当时，排除B选项．
【详解】解∶联立两函数解析式得：，
解得：，
∴与的交点坐标为
，
，
交点必在轴上方，故可排除A，D选项．
当时， C选项符合题意，
当，与轴的交点应在轴下方，故又可排除B选项．
故选：C．
【变式3】（22-23八年级下·福建福州·期末）已知函数的图象如图所示，函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可知，然后根据一次函数是性质即可判断．
【详解】解：由一次函数的图象可知，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是通过图像知道和的取值范围以及熟知一次函数的图像性质．
考点8：一次函数图像性质——增减性
典例8：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数中，y的值随x增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．熟练掌握一次函数中，当时，y随x的增大而增大．当时，y随x的增大而减小，是解决问题的关键．
根据一次函数自变量的系数的正负，判定一次函数的增减性，进行解答即可．
【详解】A. ，
∵，
∴y的值随x增大而减小，
∴此选项不符合题意；
B. ，
∵，
∴y的值随x增大而减小，
∴此选项不符合题意；
C. ，
∵，
∴y的值随x增大而增大，
∴此选项不符合题意；
D. ，
∵，
∴y的值随x增大而减小，
∴此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键．
根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围．
【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小，
∴，
解得：
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·浙江·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交轴于，交轴于，画出图象，结合一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：当时，，则此直线交轴于，
当时，，解得：，则此直线交轴于，
画出一次函数的图象如图所示：
，
若，且，
，，
此时，但的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意；
若，且，
，，
此时，，故，故B选项正确，符合题意；
若，且，
或，
当时，，此时的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意；
若，且，
，，此时，但的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）一次函数的图像过点，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性求解即可．
本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】，
∴y随x增大而减小，
，
，
即，
故选：A．
考点9：一次函数图像性质——与k、b关系
典例9：（2023·云南·模拟预测）一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，尤其是图象的位置与、的关系．根据确定、的符号，然后根据一次函数的图象和性质即可确定其所过象限，即可解题．
【详解】解：一次函数解析式为，，，
一次函数图象可能经过一、二、三象限，
一次函数的图象一定不经过第四象限，
故选：D．
【变式1】（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）一次函数的图像不经过第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系：①，的图象在一、二、三象限；②，的图象在一、三、四象限；③，的图象在一、二、四象限；④，的图象在二、三、四象限．
【详解】解：∵的图象不经过第四象限，
∴，
解得：，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级下·甘肃定西·阶段练习）直线经过第一、三、四象限，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】此题考查了各象限点的特征，根据直线经过第一、三、四象限得到m、n的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限，
∴，
∴
∴
∴点所在象限为第三象限，
故答案为：C
【变式3】（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴，，
故选：．
考点10：一次函数图像性质——平移问题
典例10：（2024·湖南长沙·模拟预测）直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，以下各点在直线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据“上加下减”的原则求解即可．熟知函数图像上点的坐标满足解析式是解题的关键．
【详解】解：直线沿轴向下平移个单位后与轴的交点坐标是，
将，代入中，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
A．当时，，故此选项不符合题意；
B．当时，，故此选项不符合题意；
C．当时，，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的平移变化，根据一次函数平移变化的规律“左加右减，上加下减”结合题目既可得出答案，牢记平移变化的规律是解题的关键．
【详解】根据抛物线平移变化的规律“左加右减，上加下减”知先向上平移n个单位长度，得，
再向右平移m个单位长度，得
即
，
，
故抛物线先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度．
故选B．
【变式2】（2023八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移的做法正确的是（ ）
A．将向下平移6个单位 B．将向下平移2个单位
C．将向右平移6个单位 D．将向右平移2个单位
【答案】D
【分析】利用一次函数图像的平移规律解答即可；掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：∵将直线平移后得到直线，
∴，解得：，
故将向右平移2个单位长度．
故选：D．
【变式3】（23-24八年级上·山西晋中·期中）将一次函数图象平移后恰好经过坐标原点．下列关于平移方法正确的是（ ）
A．一次函数图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．一次函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．一次函数图象向右平移4个单位长度
D．一次函数图象向下平移2个单位长度
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据一次函数图象平移的规律即可求解，熟练掌握一次函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：A、的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到：，次函数图象不经过原点，故不符合题意；
B、的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到：，此函数图形经过原点，故符合题意；
C、的图象向右平移4个单位长度得到：，此函数图象不经过原点，故不符合题意；
D、的图象向下平移2个单位长度得到：，此函数图象不经过原点，故不符合题意；
故选B．
考点11：一次函数与一元一次方程
典例11：（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解．
【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得，
与轴交点为，
直线与轴交点坐标为，
的解为，
故选：C．
【变式1】（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图为函数（k、b为常数，）的图象，则关于x的方程的解为（）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】观察图象找到当时的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点，
即当时，
所以关于的方程的解为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
【变式2】（22-23七年级上·山东济宁·期末）已知函数的部分函数值如表所示，则关于x的方程的解是（ ）
… 1 …
… 5 3 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表中的信息，得到时，，故的解就可以判定了．
【详解】∵时，，
∴方程的解是．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级下·河北廊坊·阶段练习）一次函数和的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数图象的交点坐标进行判断即可求解．
【详解】解：∵一次函数和的图象相交于点，
∴关于的方程的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程．理解方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点的横坐标是解决问题的关键．
考点12：一次函数与一元一次不等式
典例12：（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与不等式，先求得交点的坐标，进而结合函数图象，即可求解．
【详解】解：将代入，
∴，
解得：，
∴
将代入
∴
解得：
∴
当时，，即与轴的交点为，
根据函数图象可得关于的不等式组的解集是，
故选：D．
【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．方程的解是
C．当时，
D．不等式的解集是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键．
【详解】解：一次函数的图象与轴，轴的交点为，，
当时，，故错误，不符合题意；
方程的解是，故正确，符合题意；
当时，，故错误，不符合题意；
不等式的解集是，故错误，不符合题意；
故选：．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．根据函数的图象判断即可．
【详解】解：如图，直线和b是常数且交x轴，y轴分别于点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，则，
解得，故B正确，符合题意；
由图象可知方程的解是，故A错误，不合题意；
不等式的解集是，故C错误，不合题意；
等式的解集是，故D错误，不合题意．
【变式3】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数，交轴于，交轴于，已知，下列说法正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．
【答案】A
【分析】本题考查利用一次函数图像与性质解不等式，根据题中条件及函数图像，数形结合，逐项验证即可得到答案，熟练掌握利用一次函数图像解不等式的方法是解决问题的关键．
【详解】解：A、由图可知一次函数与交点的横坐标为，一次函数与轴交点的横坐标为，当时，，选项正确，符合题意；
B、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，，一次函数与交点的横坐标为，当时，，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
C、由图可知一次函数与交点的横坐标为，则时，；直线与直线平行，根据与轴交点的横坐标为，则根据对称性得到与轴交点的横坐标为，从而得到的解集是，选项错误，不符合题意；
D、由一次函数图像可知；由交轴于，交轴于，已知，可知，，，且，则，选项错误，不符合题意；
故选：A．
考点13：一次函数的应用——方案选择问题
典例13：（2023·河南安阳·模拟预测）新郑大枣“甜如蜜”，作为河南的名片，新郑大枣已经远销海内外．现外地某经销商准备从新郑购进A，B两种不同包装的大枣，已知购进3件A包装和2件B包装的大枣需要850元；购进2件A包装和3件B包装的大枣，需要900元．
(1)求A，B两种包装的大枣的进货单价分别是多少元？
(2)若该经销商购进A包装的大枣300件，B包装的大枣200件，并且准备把这些大枣全部运往甲、乙两家分店来进行销售，已知每件A运往甲、乙两家店的运费分别是15元和20元，每件B运往甲、乙两家店的运费分别是20元和18元．根据往年的销售情况，该经销商决定向甲店运260件大枣，向乙店运240件大枣．
①设该经销商运往甲店的A包装的大枣x（件），所花的总运费为w（元），请写出w关于x的函数关系式；
②怎样调运A，B两种包装的大枣可使总运费最低？最低费用是多少？
【答案】(1)150元和200元
(2)①；②当时，运费最低为8300元
【分析】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用＝购进商品的费用+运费列出函数关系式．
（1）设A，B两种包装的大枣的进货单价分别是m和n元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）①根据投资总运费运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即可；
②根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用．
【详解】（1）设A，B两种包装的大枣的进货单价分别是m和n元．
由题意，得．
解得
答：A，B两种包装的大枣的进货单价分别是150元和200元．
（2）①，
，
解得．
即；
②是x的一次函数，且，
随x的增大而减小．
当时，运费最低，最低费用为（元）．
答：当时，运费最低为8300元．
【变式1】（23-24八年级上·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
型 型
价格（万元/辆）
年载客量（万人/年） 60 100
若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
(1)求，的值；
(2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案
(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少 最少费用是多少万元
【答案】(1)的值为100，的值为150；
(2)有4购买方案
(3)购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式．
（1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案；
（3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
【详解】（1）解：依题意得：，解得：，
答：的值为100，的值为150；
（2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，
依题意得：
解得：
又为整数
有4购买方案；
（3）解：设购车总费用为万元，
则，（且为整数）
，
随的增大而减小
当时，最小，最小值为（元），
购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元．
【变式2】（23-24八年级上·四川达州·期末）某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品，老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元．
(1)请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好、两个商场对甲奖品搞促销活动，其中商场按原价9折销售：商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品，设在商场购买个甲奖品需要元，在商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出与之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出去哪个商场购买甲奖品更省钱的方案．
【答案】(1)甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元
(2)，
(3)当购买的奖品少于8个时，选择商场购买甲种商品更省钱；当购买奖品8个时，两个商场消费一样；当购买的商品多于8个时，选择商场购买甲种商品更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意；
（1）根据“购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元”，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以分别写出；
（3）根据（2）中的结果，利用分类讨论的方法，可以得到选择哪个商场更省钱．
【详解】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别是a元、b元，由题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元；
（2）由题意可得，
在商场购买个甲奖品需要；
由于，则在商场购买个甲奖品需要；
（3）令，
解得，
当时，得，
当时，得，
答：当购买的奖品少于8个时，选择商场更省钱；当购买奖品8个时，、两个商场消费一样；当购买的奖品多于8个时，选择购商场更省钱．
【变式3】（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）某学生用品商店，计划购进A、B两种背包共80件进行销售，购货资金不少于2090元，但不超过2096元，两种背包的成本和售价如下表：
种 类 成本（元/件） 售价（元/件）
A 25 30
B 28 35
假设所购两种背包可全部售出，请回答下列问题：
(1)该商店对这两种背包有哪几种进货方案？
(2)该商店如何进货获得利润最大？
(3)根据市场调查，每件B种背包的市价不会改变，每件A种背包的售价将会提高a 元（a>0），该商店又将如何进货获得的利润最大？
【答案】(1)有3种方案：A：48、B：32；A：49、B：31；A：50、B：30
(2)464元
(3)购A种背包48件， 购B种背包32件
【分析】（1）设购A种背包件，则B种背包件，根据题意即可得到答案；
（2）根据题意，可得到，利润与购A种背包的一次函数，即可解答哪种利润最大；
（3）根据题意，可得到，利润与购A种背包的一次函数，根据a的取值，分类讨论解答．
【详解】（1）解：设购A种背包件，则B种背包件，
则，
解得，
∴当购A种背包48件, 则B种背包32件，
当购A种背包49件, 则B种背包31件，
当购A种背包50件, 则B种背包30件，
∴有3种方案：A．48、B．32；A．49、B．31；A．50、B．30．
（2）解：利润，
∵，则y随x增大而减小，
∴当购A种背包48件，B种背包32件时，（元）；
（3）解：，
当时，则y随x增大而增大，
∴当购A种背包50件，B种背包30件时，利润最大；
当时，均可采用；
当时，则y随x增大而减小，
当购A种背包48件，B种背包32件时，利润最大．
【点睛】本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，弄清题意，先建立函数关系式，然后根据实际情况，分类讨论解答．
考点14：一次函数的应用——销售利润问题
典例14：（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）信阳毛尖是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．某茶叶专卖店经销A，B两种品牌的毛尖，进价和售价如下表所示：
品牌 A B
进货（元/袋） x
销售（元/袋） 70 90
(1)第一次进货时，该专卖店用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
(2)第二次进货时，A品牌毛尖每袋上涨5元，B品牌毛尖每袋上涨6元．该茶叶专卖店计划购进A，B两种品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍．销售时，A品牌毛尖售价不变，B品牌毛尖售价提高，则该茶叶专卖店怎样进货，能使第二次进货全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)x的值为50
(2)购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用；
（1）根据用4000元购进A品牌毛尖，用5280元购进B品牌毛尖，且两种品牌所购得的数量相同列出方程求解即可；
（2）设A为m袋，则B为袋，根据B品牌毛尖的数量不超过A品牌毛尖数量的2倍列出不等式求出，设总利润为w元，根据总利润A的单件利润数量B的单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，
∴x的值为50．
（2）解：设A为m袋，则B为袋，
由题知：，
解得，
设总利润为w元，，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，，
∴购进A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次进货全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
【变式1】（2024·湖南湘潭·一模）为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，某校计划组织高一的师生共1302人到韶山开展红色研学活动．已知1台A型大巴车可以坐乘客49人，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人，每日租金780元．
(1)若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满，问需租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆？
(2)为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，且总费用不超过27200元，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【答案】(1)A型大巴车16辆，型大巴车14辆
(2)三种方案见解析，A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，总费用最低为26760元
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意，可以列出相应的二元次方程组，从而可以求得租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆；
（2）根据题意，可以求得的取值范围，再根据为整数，即可得到有多少种租车方案，再写出w与的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到哪种租车方案最省钱，并求出最低费用．
【详解】（1）解：设租赁A型大巴车x辆，B型大巴车y辆，
由题意得：，
解得，
答：租赁型大巴车16辆，型大巴车14辆．
（2）设租赁型大巴车辆，租赁型大巴车辆，
则由题意得：，
解得：，
为正整数，
．．
有三种方案，第一种：A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，
总费用为最低；
第二种：A型大巴车11辆，B型大巴车21辆，
总费用为；
第三种：A型大巴车12辆，B型大巴车20辆，
总费用为；
故第一种方案“A型大巴车10辆，B型大巴车22辆”，总费用最低，最低为26760元．
或：设总费用为元，则有：，
，
当取最小值10时．总费用有最小值，最小值为26760元．
【变式2】（2024·广东深圳·二模）晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元．
(1)求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价；
(2)该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？
【答案】(1)鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；
(2)当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数解决实际问题．
（1）设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件，根据“购买4件鸟尊工艺品和3件木板漆画工艺品需花费1068元，购买2件鸟尊工艺品和1件木板漆画工艺品需花费468元”即可列出二元一次方程组，求解即可解答；
（2）设购买鸟尊工艺品m件，费用为w元．则，根据“鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的”可列出不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件．根据题意，得
，
解得：，
答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件；
（2）解：设购买鸟尊工艺品m件．费用为w元．则
，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，w最小，最小值为（元），
答：当购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，为14136元．
【变式3】（2024·江西抚州·一模）某公司欲订购一种纪念品在五一期间回馈老客户，工厂接到此订单后计划通过引进一条新生产线来完成任务．根据以往经验，一名熟练工人比一名普通工人每小时制作的纪念品数量多5件，且一名熟练工人制作120件纪念品与一名普通工人制作80件纪念品所用的时间相同．
(1)求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能制作多少件纪念品？
(2)新生产线的目标产能是每小时生产200件纪念品，该工厂计划在本地招聘n名普通工人，并从其他生产线上调用m名熟练工人共同完成新生产线的任务，请用含n的代数式表示m；
(3)该工厂在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工量为150元，而且从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，则在（2）的条件下，该工厂如何安排工人，才能使支付的工资最少？
【答案】(1)一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品
(2)与的函数关系式是
(3)招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少
【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成多少个纪念品，注意分式方程要检验；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以得到含n的代数式表示m；
（3）然后根据一次函数的性质，即可得到该企业如何招聘工人，使得工人工资的总费用最少．
【详解】（1）解：设一名普通工人每小时完成个纪念品，则一名熟练工人每小时完成个纪念品，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
即一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成15个纪念品、10个纪念品；
（2）解：由题意可得，
，
则，
即与的函数关系式是；
（3）解：设工人工资的总费用为元，
，
随的增大而增大，
从其他生产线上调用的熟练工人不超过10人，
，即，
解得，
当时，取得最小值，此时，，
答：招聘普通工人5人，调用熟练工人10人时，支付工资的总费用最少．
考点15：一次函数的应用——调配问题
典例15：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值：
总计/
总计/
(2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为；
(2)，调运方案见解析；
(3)调运方案见解析．
【分析】（）根据题意，用减可得需要从处调运的数量，用减去可得从调研往处的数量，用减去即为从调运往处的数量；
（）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解；
（）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分、和三情况解答即可；
本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：（）填表如下：
总计/
总计/
依题意得：，
解得，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为；
（2）解：与之间的函数关系为：
由题意得：，
∴，
∵在中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，总运费最小，
此时调运方案为：
总计/
总计/
（3）解：由题意得，
∴当时，（）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变；
当时，总费用最小，其调运方案如下：
总计/
总计/
【变式1】（22-23八年级上·山东·期末）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
(1)若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
(2)设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式；
(3)运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
【答案】(1)铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克
(2)y1=0.58x，y2=0.28x+600
(3)运输2000千克时，两种方式均可；运输少于2000千克时，铁路划算；故当运输超过2000千克时，公路划算．
【分析】（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，然后根据“公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元”列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出函数关系式即可；
（3）分y1=y2、y1＞y2、y1＜y2三种情况解答即可．
【详解】（1）解：设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克
由题意可得： ，解得：
答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克．
（2）解：由题意可得：y1=0.58x，y2=0.28x+600．
（3）解：当y1=y2,时，0.58x=0.28x+600，解得x=2000
故当运输2000千克时，两种方式均可
当y1＜y2,时，0.58x＜0.28x+600，解得x＜2000
故当运输少于2000千克时，铁路划算
当y1＞y2,时，0.58x=0.28x+600，解得x＞2000
故当运输超过2000千克时，公路划算．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、列函数关系式以及一次函数的应用等知识点，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的，两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而库的容量为70吨，库的容量为110吨．从甲、乙两库到，两库的路程和运费如下表（表中“元/吨．千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库 20 15 12 12
库 25 20 10 8
(1)若甲库运往库粮食吨，请写出将粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式，并求出的取值范围；
(2)当甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【答案】(1)
(2)从甲库运往库70吨粮食，从甲库往库运送30吨粮食，从乙库运往库0吨粮食，从乙库运往库80吨粮食时，总运费最省为37100元
【分析】本题考查了一次函数和不等式的综合题目，
（1）设甲库运往库粮食吨，则甲库运到库吨，乙库运往库吨，乙库运到库吨，根据路程和运费的关系列出函数关系式即可；
（2）直接利用一次函数的增减性进行求解即可；
准确理解题意，找出数量关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）依题意有：设甲库运往库粮食吨，则甲库运到库吨，乙库运往库吨，乙库运到库吨，
则，解得，
∴
（）
（2）上述一次函数中，
∴随的增大而减小，
∴当吨时，总运费最省，
最省的总运费为（元），
答：从甲库运往库70吨粮食，从甲库往库运送30吨粮食，从乙库运往库0吨粮食，从乙库运往库80吨粮食时，总运费最省为37100元．
【变式3】（22-23八年级下·贵州·期末）赫章樱桃素有“春果第一枝”之称，备受广大消费者青睐，樱桃成熟之际总是远销贵阳、昆明和成都等地，赫章已成为名副其实的“中国樱桃之乡”．赫章某樱桃种植基地欲将n吨樱桃运往贵阳、昆明和成都三地销售，要求：①运往各地的樱桃质量均为整数吨；②运往成都的樱桃质量是运往贵阳的樱桃质量的2倍．设安排x吨樱桃运往贵阳．
(1)当时：
①根据表中的已有信息将表补充完整．
贵阳 昆明 成都 合计
樱桃质量/吨 x 20
运费/元 300x 500x
②若运往昆明的樱桃的质量不多于运往贵阳的樱桃质量，且总运费不超过5520元，则具体有哪几种运输方案？
(2)若总运费为7360元，求n的最小值.
【答案】(1)①，，；
②有下列两种方案：方案一：运往贵阳5吨樱桃，昆明5吨樱桃，成都10吨樱桃；方案二：运往贵阳6吨樱桃，昆明2吨樱桃，成都12吨樱桃
(2)29
【分析】（1）①根据运往地产品吨数总吨数运往地的产品吨数运往地的产品吨数，地运费总运费 地运费 地运费；
②根据总运费不超过5520元列出不等式组，求出的取值范围，由于只能取整数，列出方案．
（2）总运费 地运费 地运费 地运费，进而根据函数的增减性，求出的取值范围，即可求出n的最小值．
【详解】（1）①（从左至右，从上至下），，
②由题意，得解得．
是整数，
或6或7．
当时，，；
当时，，．
当时，，不合题意，舍去．
故有下列两种方案：
方案一：运往贵阳5吨樱桃，昆明5吨樱桃，成都10吨樱桃；
方案二：运往贵阳6吨樱桃，昆明2吨樱桃，成都12吨樱桃．
（2）由题意，得，
整理，得，
．
，
解得．
是整数，
当时，n有最小值，最小值为．
【点睛】考查一元一次不等式组的应用，解题的关键在于理解题意，认真读懂表格信息，难点在于运费条件在表格中得到．
考点16：一次函数的应用——行程问题
典例16：（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）、（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)A，B两城相距________千米；
(2)分别求出甲乙两车离开A城的距离和关于t的函数关系式；
(3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距50千米时，求出乙车行驶的时间．
【答案】(1)300
(2)，
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据函数图象分析即可求解；
（2）设出直线的直线解析式，利用待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，A，B两城相距300千米，
故答案为：300；
（2）解：设把代入中得：，
∴，
∴；
设
把，代入代入中得，
∴
∴；
（3）解：由题意得，，
∴
∴或
解得或
∴乙行驶的时间为或。
【变式1】（22-23八年级下·吉林长春·期中）小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为米/分钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离（米）（分钟）的函数关系如图所示．
(1)a=______；
(2)求CD所在直线的函数表达式；
(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【答案】(1)
(2)
(3)分钟
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键．
（1）根据路程速度时间运算求解即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）利用待定系数法求出弟弟的函数表达式，再联立哥哥的函数表达式求出交点即可．
【详解】（1）解：由图象可得，小林家与公园之间的路程为：12×50=600（米）；
（2）解：设哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是，
∵哥哥单程的时间为：，
∴，，
所以把点和代入得：
∴，
解得：，
即哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式是；
（3）解：设弟弟从家出发过程中与之间的函数关系式是，
由图可得：，
∴把代入可得：，
解得：，
∴，
∴联立可得：，
解得：，
∴小林出发分钟后与哥哥第二次相遇．
【变式2】（23-24八年级下·上海金山·期中）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
(1)___________分，___________分，___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象获取信息，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据速度路程时间，求出的值，进而求出的值，再根据速度路程时间，求出的值即可；
（2）由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，分别求出段和段的关系时，求出路程相等时的值，进而求出行驶的路程，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米；②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，折线为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段为小明行驶的路程与时间的关系图，
分钟，
分钟，
米/分，
故答案为：，，；
（2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，
设段的关系式为，
将点和代入，得：
，解得：，
段的解析式为，
小明的速度是120米/分，
段的关系式为，
，即，
解得：，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分，
此时行驶的路程，
距图书馆的距离是米，
故答案为：，；
（3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米，
则，
解得：；
②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，
则，
解得：，
即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是或分，
故答案为：或
【变式3】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图1，公路上依次有A、B、C三个汽车站，，，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午准时到达C站，设汽车出发小时后离A站，图2中折线表示按到通知前y与x之间的函数关系．
(1)根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______千米/时；
(2)求线段所表示的y与x之间的函数关系式；
(3)接到通知后，汽车仍按原速行驶，能否准时到达？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键
（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为，计算求解即可；
（2）由题意知，休息后按原速继续前进的时间为小时，，，待定系数法求线段所表示的y与x之间的函数关系式即可；
（3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断作答即可．
【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为（千米/时），
故答案为：；
（2）解：由题意知，休息后按原速继续前进的时间为（小时），，
∴，
设线段所表示的y与x之间的函数关系式为，
将，代入得，，
解得，，
∴线段所表示的y与x之间的函数关系式为；
（3）解：不能准时到达，理由如下：
由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为（小时），
∵，
∴不能准时到达．
考点17：一次函数综合应用
典例17：（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
(1)直接写出点A，B两点的坐标 ；
(2)如图2，若，，分别平分，求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P（点P与点C不重合），使得的面积和的面积相等？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、待定系数法求函数解析式、绝对值和算术平方根的非负性：
（1）根据题意得，解得即可求解；
（2）过点作交轴于，根据平行线的性质及角平分线的性质求得，，再根据即可求解；
（3）分类讨论：①当点在轴上时，②当点在轴上时，设直线的解析式为，求得，再利用分割法即可求解；
利用分割法表示三角形的面积及分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：由得：
，
解得：，
，．
（2）过点作交轴于，如图：
，
，
，，
，
分别平分，，
，，
，，
．
（3）存在，理由如下：
由（1）得：，，
，
，
，
①当点在轴上时，设，
则，
解得：或3（与点重合，舍去），
，
②当点在轴上时，设，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
，
当时，，
，
则，
即：，
,
解得：或，
或，
综上所述：点的坐标为或或．
【变式1】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知如图，点和点分别在轴和轴上，且，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若是等腰直角三角形，点在直线上且横、纵坐标相等，点是轴上一动点，且；
①如图1，当点运动到原点时，求点的坐标；
②是否存在点，使得点落在直线上，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的表达式为；
(2)①点的坐标为；②点的坐标为或．
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，得到、两点关于轴对称，即可求解；
②当点在点的上方时，证明，即可求解；当点在点的下方时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得，点、的坐标分别为：、，
设直线的表达式为：，
则，解得：，
则直线的表达式为；
（2）解：①点在直线上，且横纵坐标相等，设点，
又点在直线上，
，即，
故点．
当点运动到原点时，由已知可知，，
，
，
轴平分，
又，
、两点关于轴对称．
点；
②存在这样的点，理由如下：
设点，过点作轴，垂足为点，
当点在点的上方时，过点作轴，垂足为点，作轴于点，
如图所示，由（1）可知点，，
，，
，
，，
．
，，
，即点，
点在直线上，
，即．
点；
当点在点的下方时，过点作轴，垂足为，
如图所示，
同理可得：点，．
，，
，即点，
点在直线上，
，即，
点，
综上所述，点的坐标为或．
【变式2】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．
(1)点的坐标是______；
(2)求折痕所在直线的解析式；
(3)在x轴上是否能找到一点P，使的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合，考查了折叠的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）由长方的性质及翻折的性质可得，在中，由勾股定理即可求得的长，从而求得点的坐标；
（2）设，则，由翻折的性质，在中由勾股定理建立关于t的方程，解得t，则可得点M的坐标，用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）由面积条件可求得的长，再根据点P的位置即可确定点P的坐标．
【详解】（1）解：在长方形中，
∴，，
∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点，
∴，
在中，，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：
（2）解：设，则，
∵，
在中，，
即，解得，
∴M点的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得，
，解得∶ ，
∴直线的解析式为；
（3）解：存在，理由：
设点P的坐标为，
∵的面积为9，
∴，即，
∴，
∵，
∴当点P在点的右侧时，点P的坐标为；
当点P在点的左侧时，点P的坐标为；
∴点P的坐标为或．
【变式3】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
(1)点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N，
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)①N的坐标为或；②Q的坐标为或
【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交于点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）①根据题意设点M、N的坐标，根据列方程求解即可；②分、
二种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：直线：与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把代入，得：，
把代入，得：，
与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为，，
直线与交于点C，
联立得方程组：，解得：，
故点；
（2）①设点M、N的坐标分别为、，
根据题意可得：，
解得：或，
所以点N的坐标为或；
②y轴上存在点Q，使为等腰直角三角形，理由如下:
设M、N、Q的坐标分别为、、，使是以为直角边的等腰直角三角形，
如图，当时，
则，即：，
解得：，
，
点坐标为，
如图，当时，
则，即：，
解得：，
，
点坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
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