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专题06 数据的分析
一、【知识回顾】
【思维导图】
二、【考点类型】
考点1：算术平均数的计算
典例1：（22-23九年级上·湖南株洲·期末）小明随机抽查了九年级（2）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6，4，6，5，6，7，6，6，8（单位：h）．则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（ ）
A．4h B．5h C．6h D．7h
【变式1】（22-23九年级上·江苏苏州·期末）已知一组数据：6，2，4，x，5，它们的平均数是4，则x的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为（）
A． B． C． D．
【变式3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明所在班级学生平均身高是1.41米，小强所在班级学生平均身高1.4米，小明和小强相比（ ）
A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法确定谁高
考点2：加权平均数的计算
典例2：（23-24八年级下·全国·单元测试）在我国玉树抗震救灾自愿捐款活动中，调查到了某校30名同学的捐款情况如下表：（单位：元）
捐款 5 10 15 20 25 30
人数 11 9 6 2 1 1
则这所学校的同学捐款的平均数为（ ）元．
A．10 B．11 C．15 D．20
【变式1】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表：
成绩 86 90 98 100
人数 1 3 1
已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】（2022·安徽·模拟预测）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：
作品 项目 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占70%，实用性占30%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式3】（22-23九年级上·福建厦门·期中）我校为推荐一项作品参加人工智能的“思创杯”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（满分100）如上表，如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
项目 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点3：中位数的计算
典例3：（2024·浙江宁波·一模）一组数据，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【变式1】（2024年湖南省三湘大联考数学试题）义务教育课程标准对体育课程提出的目标是通过体育课程的学习和训练，培养具有健康 体魄、积极心态、合理饮食和锻炼习惯的学生，为了加强学生的体育锻炼意识，某校定期举行体育竞技．在一次体育竞技中，该校初三10名学生的得分依次为39，40，38，39，37，38，36，39，40，39．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39 B．39，38 C．39，39 D．39，40
【变式2】（2024·江苏南京·模拟预测）如果一组数据，，，，，（为非负整数）的中位数为，则的值有几种可能（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】（2023·贵州铜仁·三模）在一次数学测试中，王蕊的成绩是分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
考点4：众数的求解
典例4：（2024·湖南湘潭·一模）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖，其规定获奖数学家年龄不得超过40岁．截至目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和中位数分别是（ ）
A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．30，31
【变式1】（23-24九年级下·上海·阶段练习）李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步），她将记录的结果绘制成了如图所示的统计图．在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（ ）
A．1.2与1.3 B．1.4与1.35 C．1.4与1.3 D．1.3与1.3
【变式2】（22-23八年级下·河北邢台·期末）一组数据由5个正整数组成，其中位数是3．如果这组数据的唯一众数是4，那么这组数据的和为( )
A．13 B．14 C．15 D．14或15
【变式3】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）某超市试销售某品牌矿泉水，试销期间销售情况如下表．该超市老板决定下次进货时，多进一些装的该品牌矿泉水，影响该超市老板决策的统计量是（ ）
净含量/ 380 550 1500 4000 5000
销售量/瓶 8 40 26 17 30
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
考点5：平均数、众数、中位数综合
典例5：（23-24八年级上·山东泰安·期中）某校七年级运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该队伍有20名同学，统计表如下表．由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到．
鞋码 38 39 40 41 42
人数 5 3 2
下列关于鞋码说法中正确的是（ ）
A．中位数是40，众数是39 B．中位数与众数一定相等
C．平均数满足 D．平均数可能为39
【变式1】（22-23八年级下·河北承德·期末）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计．绘制出如下的统计图1和图2，根据相关信息，下列选项正确的是（ ）
A．的值为 B．平均数为5 C．众数为16 D．中位数为5
【变式2】（2023·广东湛江·一模）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．平均数是20.5
B．众数是4
C．中位数是40
D．这10户家庭月用电量共205度
【变式3】（2023·山东青岛·一模）某次体测中抽取部分同学的成绩统计如下表：
成绩（分） 36 40 43 46
人数（人） 3 7 4 6
对于所抽取同学的成绩，下列说法正确的是( )
A．样本为20名同学 B．众数是5名同学
C．中位数是42分 D．平均数是41.8分
考点6：方差的计算
典例6：（2024·浙江杭州·模拟预测）2023年杭州亚运会，有五位同学将参加“中国舞迎亚运”活动，已知小队中的每个人的身高（单位：cm）分别为：168、167、170、172、158．则这些队员的身高的方差为（ ）
A．116 B．33.4 C．23.2 D．4.8
【变式1】（2023·浙江杭州·二模）分析一组数据时，圆圆列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，可得出n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 92 98 98 91
方差 1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式3】（2023·河北唐山·一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
考点7：方差的意义
典例7：（2024·山西吕梁·一模）农科院的研究员种植了甲、乙两块玉米试验田，为了解试验田中玉米的长势情况，研究员分别从两块试验田中随机抽取了株玉米测量其高度（单位：），具体数据统计如下：
试验田 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 第七株 平均数
甲
乙
根据测量数据，长势比较整体的是（ ）
A．甲试验田 B．乙试验田 C．两块试验田一样 D．无法判断
【变式1】（23-24九年级上·北京·开学考试）奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，，在以下四个推断中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别从中随机抽取50株麦苗测量其高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数相同，且，则下列说法正确的是（ ）
A．甲品种麦苗长得更整齐
B．乙品种麦苗长得更整齐
C．甲、乙品种麦苗长得一样整齐
D．无法确定甲、乙两个品种麦苗谁长得更整齐
【变式3】（23-24八年级上·四川成都·期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，经过计算得到每个人的平均成绩均为9.5环，方差如下表所示：
则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.5 1.92 0.93 0.98
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点8：统计量的选择——中位数
典例8：（23-24八年级下·全国·课后作业）在某校举办的“中学生钢笔字书写”比赛中，有15名同学参加比赛，初赛成绩各不相同，要取成绩前7名的同学参加决赛，小亮已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这15名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．以上都不对
【变式1】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）在学校举行的一年一度的春季运动会中，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，如果小龙知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他11位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
【变式2】（22-23八年级下·河南许昌·期末）为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ）
A．最大数据 B．众数 C．中位数 D．平均数
【变式3】（2023·湖南长沙·模拟预测）某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
决赛成绩/分
人数/名
A．， B．， C．， D．，
考点9：统计量的选择——众数
典例9：（23-24九年级上·江苏扬州·期末）李宁专卖店试销一种新款运动鞋，一周内38码、39码、40码、41码、42码、43码的运动鞋分别销售了25、30、86、50、28、8双，若店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【变式1】（23-24八年级上·云南文山·期末）临近春节某皮鞋店最近一周内各种皮鞋的售出情况记录如下表，该店老板决定下周要多进一些40码的皮鞋，其决策的依据是一周内所销售皮鞋数量的（ ）
码号 37码 38码 39码 40码 41码 42码
售出数量（双） 5 4 6 10 4 3
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【变式2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）某商店销售5种领口大小（单位：）分别为38，39，40，41，42的衬衫． 为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图的扇形统计图． 你认为该商店应多购进的衬衫的领口大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22-23八年级下·河南开封·期末）某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如下：
尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量（双） 3 4 5 11 3 3 1
该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为（ ）
A．平放数 B．众数 C．中位数 D．方差
考点10：统计量的选择——方差
典例10：（2024·四川南充·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
9 9 9 8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式1】（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙、丙、丁四种水稻进行产量稳定实验，各选取了6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，四种水稻的平均产量及方差如下：
水稻 甲 乙 丙 丁
平均产量x（千克/亩） 1200 1100 1200 1100
方差 186.9 325.3 325.3 186.9
为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）为了从甲、乙、丙、丁四人中选出一人去参加市里的比赛，现对他们进行一次测验，四人在相同的条件下各射击次，为了比较四人的成绩，制作了如下的统计图表：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
根据以上结果，现决定派丁去参加比赛，可用来解释这一决定的统计知识是（ ）
A．平均数与中位数 B．平均数和方差 C．中位数和方差 D．平均数
【变式3】（2023·贵州贵阳·模拟预测）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩（平均数和方差）：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择较适宜的是（ ）
运动员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.6 9.6 9.6 9.6
方差 6.7 6.8 6.0 6.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点11：统计量的综合应用
典例11：（23-24八年级下·全国·课后作业）随着全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨．某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级名学生的成绩（满分为分）整理统计如下：
（1）收集数据：名学生的成绩（单位：分）分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格；
成绩/分
人数
（3）分析数据：补全下面的统计分析表；
平均数 中位数 方差
（4）得出结论：
①若全校九年级有名学生，请估计该校九年级有多少名学生成绩达到分及以上；
②若该校八年级学生成绩的平均数为分，中位数为分，方差为，你认为哪个年级的学生成绩较好？请你做出评价．（至少从两个方面说明）
【变式1】（2024·河南·模拟预测）植树节前夕，某社区倡议美化小区环境，鼓励居民共同打造绿色园区，为了了解居民对相关知识的掌握情况，社区对A、B 两小区各500名居民进行问卷调查测试，并从中各随机抽取50名居民的成绩进行整理，部分信息如下：
【信息一】 A小区50名居民成绩的频数直方图如图：（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）
【信息二】 上图中，第四组的成绩如下：
75 75 79 79 79 79 80 80
80 81 81 81 82 82 83 84
【信息三】 A、B 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等统计量如下：
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
A 75 a 79 b 277
B 75 77 76 211
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)估计A 小区500名居民成绩能超过平均数75分的人数；
(3)至少选择两个合适的统计量分析A、B 两个小区参加测试的居民对相关知识的掌握情况．
【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：
七年级88，94，90，94，84，94，99，94，99，100
八年级84，93，88，94，93，98，93，98，97，99
整理数据，按如下分数段整理样本数据并补全表格：
成绩/分
七年级 1 1 5 3
八年级 4 4
分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 94 94 23.64
八年级 93.7 93
得出结论：你认为参赛的学生中哪个年级的成绩较为稳定？并说明理由．
【变式3】（2024·山东聊城·一模）为了解学生的课外阅读情况，学校在每班随机抽取名学生调查当天的阅读时间．七年级（1）班语文教师随机对该班抽取的名学生的课外阅读时间（分钟）进行了收集、整理和分析．
[收集数据]，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
[整理数据]
阅读时间（分钟）
频数 3 4 3 a b
根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如下图
阅读时间扇形统计图
[分析数据]
数据量 平均数 中位数 众数 方差
七年级（1）班 e f
[解决问题]
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据扇形统计图，将阅读时间不低于分钟表彰为“阅读之星”，若七年级（1）有40名学生，估计全班可以被表彰为“阅读之星”的有多少名？
[数据应用]
（3）七年级（2）班名调查同学的阅读时间相关信息如下：
数据量 平均数 中位数 众数 方差
七年级（2）班
根据以上两个班表中的统计量，你认为那个班的阅读水平更高一些？并给出一些合理解释．
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专题06 数据的分析
一、【知识回顾】
【思维导图】
二、【考点类型】
考点1：算术平均数的计算
典例1：（22-23九年级上·湖南株洲·期末）小明随机抽查了九年级（2）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6，4，6，5，6，7，6，6，8（单位：h）．则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（ ）
A．4h B．5h C．6h D．7h
【答案】C
【分析】求平均数即可．
【详解】解：这9位同学一周写数学作业的时间平均数为（小时）；
故选：C．
【点睛】本题考查了平均数的计算，解题关键是理解样本可以估计总体，会熟练的运用平均数公式计算．
【变式1】（22-23九年级上·江苏苏州·期末）已知一组数据：6，2，4，x，5，它们的平均数是4，则x的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据算术平均数的计算公式列方程解答即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：x=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平均数的计算方法，掌握计算公式是解决问题的前提．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知数据、、的平均数为，、、的平均数为，则数据、、的平均数为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平均数的计算．本题说明了一组数据若是由两组数据的和或倍数组成，则数据的平均数是这两组数据的平均数的和或倍数．
把、、的平均数表示出来即可．
【详解】解：∵、、的平均数为、、的平均数为，
，
故选：A．
【变式3】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）小明所在班级学生平均身高是1.41米，小强所在班级学生平均身高1.4米，小明和小强相比（ ）
A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法确定谁高
【答案】D
【分析】小明所在班级学生平均身高是1.41米，并不代表小明的身高就是1.41米，可能比1.41米高，也可能比1.41米矮；小强所在班级学生平均身高1.4米，并不代表小强的身高就是1.4米，可能比1.4米高，也可能比1.4米矮；进而得出结论．
【详解】解：因为平均数表示的是整班学生的平均身高，不能说明每个学生的身高，所以小明和小强的身高是无法比较的．
故选：D．
【点睛】本题考查平均数的意义，解决此题明确平均身高的含义：全部学生的身高总和÷学生人数＝平均身高．
考点2：加权平均数的计算
典例2：（23-24八年级下·全国·单元测试）在我国玉树抗震救灾自愿捐款活动中，调查到了某校30名同学的捐款情况如下表：（单位：元）
捐款 5 10 15 20 25 30
人数 11 9 6 2 1 1
则这所学校的同学捐款的平均数为（ ）元．
A．10 B．11 C．15 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数，用样本估计总体．先求出这30名同学的平均捐款数，利用样本估计总体的思想即可解答．
【详解】30位同学捐款的平均数为：（元），
由此估计这所学校的同学捐款的平均数为11元，
故选：B．
【变式1】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列的知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表：
成绩 86 90 98 100
人数 1 3 1
已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数的定义，分式方程的应用，加权平均数：（其中）；理解定义，掌握公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根；
故选：B.
【变式2】（2022·安徽·模拟预测）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：
作品 项目 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占70%，实用性占30%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁．
【详解】解：根据题意,得:
甲：；
乙：；
丙：；
丁：．
∵，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故选B．
【点睛】本题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
【变式3】（22-23九年级上·福建厦门·期中）我校为推荐一项作品参加人工智能的“思创杯”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（满分100）如上表，如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
项目 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四项候选作品的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可得到答案．
【详解】解：甲的平均成绩（分），
乙的平均成绩（分），
丙的平均成绩（分），
丁的平均成绩（分），
∵，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
考点3：中位数的计算
典例3：（2024·浙江宁波·一模）一组数据，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数和中位数的知识，根据众数的定义先求出a的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案．
【详解】解：∵数据，a，5，3，7有唯一的众数7，
∴，
把这些数从小到大排列为，3，5，7，7，
则这组数据的中位数是5．
故选：C．
【变式1】（2024年湖南省三湘大联考数学试题）义务教育课程标准对体育课程提出的目标是通过体育课程的学习和训练，培养具有健康 体魄、积极心态、合理饮食和锻炼习惯的学生，为了加强学生的体育锻炼意识，某校定期举行体育竞技．在一次体育竞技中，该校初三10名学生的得分依次为39，40，38，39，37，38，36，39，40，39．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39 B．39，38 C．39，39 D．39，40
【答案】C
【分析】本题考查了求中位数和众数，根据中位数和众数的定义求解即可，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键．
【详解】解：在这一组数据中，出现的次数最多，故众数是，
将这组数据从小到大的顺序排列为：36，37，38，38，39，39，39，39，40，40，处在最中间的两个数为39，39，故中位数为，
故选：C．
【变式2】（2024·江苏南京·模拟预测）如果一组数据，，，，，（为非负整数）的中位数为，则的值有几种可能（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
本题考查了中位数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数的概念求出可能的值即可．
【详解】解：将除的数据从小到大排列为：，，，，，这组数据的中位数为，
加入后中位数为，
为非负整数，
的值可能为：，，，．
故选：C．
【变式3】（2023·贵州铜仁·三模）在一次数学测试中，王蕊的成绩是分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】本题主要考查统计量的选择，根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判定即可．
【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，王蕊的成绩是分，超过班级半数同学的成绩，故选用的统计量是中位数，
故选：B．
考点4：众数的求解
典例4：（2024·湖南湘潭·一模）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖，其规定获奖数学家年龄不得超过40岁．截至目前，菲尔兹奖得主中最年轻的8位数学家获奖时年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和中位数分别是（ ）
A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．30，31
【答案】C
【分析】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据中位数和众数的定义求解可得．
【详解】解：∵出现的次数最多，
∴这组数据的众数是31，
把这些数从小到大排列为：，
则中位数是：；
故选：C．
【变式1】（23-24九年级下·上海·阶段练习）李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步），她将记录的结果绘制成了如图所示的统计图．在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（ ）
A．1.2与1.3 B．1.4与1.35 C．1.4与1.3 D．1.3与1.3
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．据此判断即可．
【详解】解：∵这组数据中1.4出现的次数最多，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；
每天所走的步数的中位数是：
，
∴在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3．
故选：C．
【变式2】（22-23八年级下·河北邢台·期末）一组数据由5个正整数组成，其中位数是3．如果这组数据的唯一众数是4，那么这组数据的和为( )
A．13 B．14 C．15 D．14或15
【答案】B
【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案． 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：五个整数从小到大排列后，其中位数是3，这组数据的唯一众数是4，
则：比3大的两个数都是4，比3小的两个数是1和2，
即这5个数据分别是1，2，3，4，4．
∴这组数据的和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，根据题意推断出这五个数是解题的关键．
【变式3】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）某超市试销售某品牌矿泉水，试销期间销售情况如下表．该超市老板决定下次进货时，多进一些装的该品牌矿泉水，影响该超市老板决策的统计量是（ ）
净含量/ 380 550 1500 4000 5000
销售量/瓶 8 40 26 17 30
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【分析】
本题考查利用统计量做决策，涉及平均数意义、中位数意义、众数意义及方差意义等知识，读懂题意，分析题中所给的统计表即可得到答案，熟练掌握统计量的意义，读懂统计图表是解决问题的关键．
【详解】解：由题中所给的统计表可知，该超市老板决定下次进货时，多进一些装的该品牌矿泉水，是因为销售量最高，从而确定影响该超市老板决策的统计量是众数，
故选：C．
考点5：平均数、众数、中位数综合
典例5：（23-24八年级上·山东泰安·期中）某校七年级运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该队伍有20名同学，统计表如下表．由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到．
鞋码 38 39 40 41 42
人数 5 3 2
下列关于鞋码说法中正确的是（ ）
A．中位数是40，众数是39 B．中位数与众数一定相等
C．平均数满足 D．平均数可能为39
【答案】C
【分析】本题考查平均数、众数、中位数，根据它们的概念分析各个选项，即可得出答案．
【详解】由于38、41、42码的人数和为10，而39、40码对应的数不知，故不能确定出中位数和众数，也就不能确定出中位数与众数是否相等，故选项A、B错误；
当39码的数为10，40码的数为0时，此时平均数最小，最小平均数=，
当39码的数为0，40码的数为10时，此时平均数最大，最大平均数=；
∴这组数据的平均数满足，平均数不可能是39，故D选项错误，C选项正确；
故选：C．
【变式1】（22-23八年级下·河北承德·期末）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计．绘制出如下的统计图1和图2，根据相关信息，下列选项正确的是（ ）
A．的值为 B．平均数为5 C．众数为16 D．中位数为5
【答案】D
【分析】仔细观察统计图，根据平均数、众数与中位数的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A. ，则的值为，故选项不符合题意；
B.平均次数是： ，故选项不符合题意；
C.因为5次出现了16次，出现次数最多，所以众数为5，故选项不符合题意；
D.把这些树从小到大排列，则中位数是5，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，平均数、众数与中位数，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
【变式2】（2023·广东湛江·一模）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．平均数是20.5
B．众数是4
C．中位数是40
D．这10户家庭月用电量共205度
【答案】C
【分析】根据加权平均数的计算公式、众数与中位数的定义即可得．
【详解】解：A、这组数据的平均数是，则此项错误；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，则此项错误；
C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是40，此项正确；
D、这10户家庭月用电量共（度），则此项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数、众数与中位数，熟记定义和公式是解题关键．
【变式3】（2023·山东青岛·一模）某次体测中抽取部分同学的成绩统计如下表：
成绩（分） 36 40 43 46
人数（人） 3 7 4 6
对于所抽取同学的成绩，下列说法正确的是( )
A．样本为20名同学 B．众数是5名同学
C．中位数是42分 D．平均数是41.8分
【答案】D
【分析】根据样本的概念、众数、中位数及平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：由表格可得：样本为20名学生的成绩，故A错误；
40分出现的次数最多，总共出现了7次，因此众数是7，故B错误；
把这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个成绩为：40分、43分，
∴ 这组成绩的中位数为：（分），故C错误；
这组成绩的平均数为：（分），
故选：D．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，掌握众数、中位数及平均数的定义是解题的关键．
考点6：方差的计算
典例6：（2024·浙江杭州·模拟预测）2023年杭州亚运会，有五位同学将参加“中国舞迎亚运”活动，已知小队中的每个人的身高（单位：cm）分别为：168、167、170、172、158．则这些队员的身高的方差为（ ）
A．116 B．33.4 C．23.2 D．4.8
【答案】C
【分析】本题考查求方差，掌握方差公式，是解题的关键．
【详解】解：平均数为，
∴方差为；
故选C．
【变式1】（2023·浙江杭州·二模）分析一组数据时，圆圆列出了方差的计算公式，由公式提供的信息，可得出n的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式．
根据方差的定义求解即可得出答案．
【详解】解：由公式知，这组数据为1、2、3、4，
所以，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 92 98 98 91
方差 1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了平均数，方差，根据方差越小越稳定决策即可．
【详解】解：丙的平均数最大，方差最小，
丙成绩好且状态稳定，
故选：C．
【变式3】（2023·河北唐山·一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
【答案】C
【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
考点7：方差的意义
典例7：（2024·山西吕梁·一模）农科院的研究员种植了甲、乙两块玉米试验田，为了解试验田中玉米的长势情况，研究员分别从两块试验田中随机抽取了株玉米测量其高度（单位：），具体数据统计如下：
试验田 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 第七株 平均数
甲
乙
根据测量数据，长势比较整体的是（ ）
A．甲试验田 B．乙试验田 C．两块试验田一样 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查方差的实际应用，解题的关键是掌握方差的计算，然后根据方差的意义（当方差较小时，数据点相对集中在平均值附近，这意味着数据比较稳定；当方差较大时，数据点更加分散，这意味着数据波动较大，稳定性较差）即可得出结论．
【详解】解：∵甲试验田和乙试验田株玉米高度的平均数都为：，
∴甲试验田玉米高度的方差为：
乙试验田玉米高度的方差为：
∵，
∴长势比较整体的是甲试验田．
故选：A．
【变式1】（23-24九年级上·北京·开学考试）奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，，在以下四个推断中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差的意义，灵活运用所学知识是解题的关键．根据甲选手波动小可得；根据统计图可知甲选手的总成绩高，可得，由此即可得到答案．
【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的成绩波动小，
∴；
由统计图可知，甲选手在第二轮，第四轮的成绩比乙选手高，在第一轮和第三轮的成绩比乙选手低，在第五轮的成绩和乙选手相同，并且甲选手第二轮和第四轮比乙选手高出的成绩大于第一轮和第三轮比乙小的成绩，
∴甲选手五轮的总成绩大于乙选手五轮的总成绩，
∴甲选手的平均数比乙选手的高，
∴，
故选B．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别从中随机抽取50株麦苗测量其高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数相同，且，则下列说法正确的是（ ）
A．甲品种麦苗长得更整齐
B．乙品种麦苗长得更整齐
C．甲、乙品种麦苗长得一样整齐
D．无法确定甲、乙两个品种麦苗谁长得更整齐
【答案】A
【分析】本题考查了平均数和方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义判断即可．
【详解】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．
故答案为：A．
【变式3】（23-24八年级上·四川成都·期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，经过计算得到每个人的平均成绩均为9.5环，方差如下表所示：
则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.5 1.92 0.93 0.98
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查的是方差的意义．先比较四个选手的方差的大小，根据方差的意义解答即可．
【详解】解：，
丙的方差最小，
成绩最稳定的是丙．
故选：C．
考点8：统计量的选择——中位数
典例8：（23-24八年级下·全国·课后作业）在某校举办的“中学生钢笔字书写”比赛中，有15名同学参加比赛，初赛成绩各不相同，要取成绩前7名的同学参加决赛，小亮已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这15名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了中位数，根据中位数是数据的中间数据回中间两个数据的平均数，解答即可．
【详解】根据中位数是数据的中间数据回中间两个数据的平均数，
故选B．
【变式1】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）在学校举行的一年一度的春季运动会中，12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，如果小龙知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他11位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（ ）
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到前6名同学的成绩，然后根据众数的意义可知，中位数前面的就是进入决赛的名次，即可得到答案．
【详解】12名学生，按成绩取前6位进入决赛，小龙知道了自己的成绩，而中位数是一组数据排序后中间的数，所以只需知道中位数就可以知道自己是否进入决赛了．
故选：C
【点睛】此题考查了统计量的选择，中位数是将一组数据排序后，位置在最中间或最中间的两个的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，理解各个统计量是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级下·河南许昌·期末）为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ）
A．最大数据 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】C
【分析】分别求得各选项中的统计量，结合中位数的意义可作出选择．
【详解】解：这组数据的最大数据是19，众数是8，中位数是10，平均数为，
根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，说明大约有一半同学可以完成10道数学题，故其依据是统计数据中的中位数，
故选：C．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，理解它们的定义并会利用统计数据作决策是解答的关键．
【变式3】（2023·湖南长沙·模拟预测）某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
决赛成绩/分
人数/名
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根据中位数和众数的定义判断即可．
【详解】解：由题意得共有人进入决赛，
∴中位数为第人的成绩，为分；
∵数据出现了次，最多，
∴这组数据的众数为分．
故选：．
【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数 或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
考点9：统计量的选择——众数
典例9：（23-24九年级上·江苏扬州·期末）李宁专卖店试销一种新款运动鞋，一周内38码、39码、40码、41码、42码、43码的运动鞋分别销售了25、30、86、50、28、8双，若店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【分析】本题考查了众数的意义，掌握各统计量的意义是解题的关键．根据题意选取统计量，要了解哪种型号的运动鞋最畅销应该关注众数．
【详解】解：根据运动鞋销售情况，店长要了解哪种型号的运动鞋最畅销，则店长关注的是上述数据中的众数．
故选：B．
【变式1】（23-24八年级上·云南文山·期末）临近春节某皮鞋店最近一周内各种皮鞋的售出情况记录如下表，该店老板决定下周要多进一些40码的皮鞋，其决策的依据是一周内所销售皮鞋数量的（ ）
码号 37码 38码 39码 40码 41码 42码
售出数量（双） 5 4 6 10 4 3
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数概念和性质，正确理解众数的意义是解题的关键．
根据众数的概念即意义即可解答．
【详解】解：由统计表可以看出：40码的皮鞋售出最多，即这组数据的众数是40，
老板决定下周要多进一些40码的皮鞋，其决策的依据是一周内所销售皮鞋数量的众数．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·广东深圳·期末）某商店销售5种领口大小（单位：）分别为38，39，40，41，42的衬衫． 为了调查各种领口大小衬衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图的扇形统计图． 你认为该商店应多购进的衬衫的领口大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查扇形统计图的应用，根据扇形统计图中的数据，可知占比例最大是众数，即可得答案．
【详解】解：根据扇形统计图中的数据，所占比例最大，
所以众数为,
∴该商店应多进领口大小的衬衫．
故选：C．
【变式3】（22-23八年级下·河南开封·期末）某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如下：
尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量（双） 3 4 5 11 3 3 1
该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为（ ）
A．平放数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数，据此即可得到答案．
【详解】解：观察表格可知，23.5尺码的鞋的销售量最多，即这组数据的众数为23.5，
∴该鞋店决定本月多进一些23.5尺码的鞋，这一决定运用了统计量中刻画数据特征的量为众数，
故选B．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟知众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
考点10：统计量的选择——方差
典例10：（2024·四川南充·一模）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
9 9 9 8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查的是方差和算术平均数．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．据此即可判断．
【详解】解：由表知甲、乙、丙的射击成绩的平均数相等，且大于丁的平均数，
∴从甲、乙、丙中选择一人参加竞赛，
∵丙的方差较小，
∴丙的发挥稳定，
∴选择丙参加比赛．
故选：C．
【变式1】（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙、丙、丁四种水稻进行产量稳定实验，各选取了6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，四种水稻的平均产量及方差如下：
水稻 甲 乙 丙 丁
平均产量x（千克/亩） 1200 1100 1200 1100
方差 186.9 325.3 325.3 186.9
为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题主要考查方差和平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据方差和平均数的意义求解即可．
【详解】∵，
∴甲品种和丁品种的产量最稳定
∵
∴甲品种的平均产量最高，
∴为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为甲．
故选：A．
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）为了从甲、乙、丙、丁四人中选出一人去参加市里的比赛，现对他们进行一次测验，四人在相同的条件下各射击次，为了比较四人的成绩，制作了如下的统计图表：
甲 乙 丙 丁
平均数
中位数
方差
根据以上结果，现决定派丁去参加比赛，可用来解释这一决定的统计知识是（ ）
A．平均数与中位数 B．平均数和方差 C．中位数和方差 D．平均数
【答案】B
【分析】本题考查数据的波动程度，解题的关键是根据中位数、平均数、方差做决策，即可．
【详解】∵甲、乙、丙、丁的平均数从小到大的排序为：，选择平均数较高的参加比赛，
∴在丙、丁中选择一人参加比赛，
∵方差越小数据波动越小，即越稳定，
∴选择方差小的人去参加比赛，
∵丙的方差大于丁的方差，
∴选择丁去参加比赛，
∴选择丁去参加比赛的统计知识为：平均数和方差，
故选：B．
【变式3】（2023·贵州贵阳·模拟预测）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩（平均数和方差）：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择较适宜的是（ ）
运动员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数（环） 9.6 9.6 9.6 9.6
方差 6.7 6.8 6.0 6.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了平均数以及方差的意义，平均数越高的成绩越好，方差越小的成绩越稳定，据此分析即可作答．
【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四名射击运动员的平均数都相等，
∴比较甲、乙、丙、丁四名射击运动员的方差
∵
∴丙最稳定
故选：C
考点11：统计量的综合应用
典例11：（23-24八年级下·全国·课后作业）随着全国两会的隆重召开，中学生对时事新闻的关注空前高涨．某校为了解中学生对时事新闻的关注情况，组织全校学生开展“时事新闻大比拼”比赛，随机抽取九年级名学生的成绩（满分为分）整理统计如下：
（1）收集数据：名学生的成绩（单位：分）分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
（2）整理数据：按如下分组整理样本数据并补全表格；
成绩/分
人数
（3）分析数据：补全下面的统计分析表；
平均数 中位数 方差
（4）得出结论：
①若全校九年级有名学生，请估计该校九年级有多少名学生成绩达到分及以上；
②若该校八年级学生成绩的平均数为分，中位数为分，方差为，你认为哪个年级的学生成绩较好？请你做出评价．（至少从两个方面说明）
【答案】（2）填表见解析；（3）填表见解析；（4）①人；②八年级，理由见解析
【分析】（2）根据已知数据按分组计数可得；
（3）根据中位数的概念可补全统计分析表；
（4）①总人数乘以样本中成绩达到分及以上的学生人数所占比例；②分别从平均数和中位数及方差的意义逐一分析可得．
【详解】解：（2）补全的表格如下：
成绩/分
人数
（3）将数据从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
位于中间（第位）的数据是：，
∴这组数据的中位数是，
补全的表格如下：
平均数 中位数 方差
（4）①根据题意，得：
(人)，
∴估计该校九年级学生成绩达到分及以上的有人；
②从平均数看，两个年级的学生平均成绩相等；
从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数，
∴八年级高分(分)的人数比例高于九年级；
从方差看，八年级的方差小于九年级的方差，
∴八年级学生的成绩比九年级学生的成绩稳定．
综上所述，八年级学生的成绩较好．
【点睛】本题考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解题的关键．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）植树节前夕，某社区倡议美化小区环境，鼓励居民共同打造绿色园区，为了了解居民对相关知识的掌握情况，社区对A、B 两小区各500名居民进行问卷调查测试，并从中各随机抽取50名居民的成绩进行整理，部分信息如下：
【信息一】 A小区50名居民成绩的频数直方图如图：（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）
【信息二】 上图中，第四组的成绩如下：
75 75 79 79 79 79 80 80
80 81 81 81 82 82 83 84
【信息三】 A、B 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等统计量如下：
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
A 75 a 79 b 277
B 75 77 76 211
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)估计A 小区500名居民成绩能超过平均数75分的人数；
(3)至少选择两个合适的统计量分析A、B 两个小区参加测试的居民对相关知识的掌握情况．
【答案】(1)75，
(2)240人
(3)答案见解析
【分析】（1）根据中位数的意义解答即可求出a；先统计出A小区的优秀人数，再求优秀率（80分及以上为优秀）即可；
（2）根据所给数据算出平均数即可，用样本中A小区居民成绩能超过平均数75分的人数的比例乘以500即可作出估计；
（3）从给出的统计量的比较分析A，B两小区参加测试的居民掌握“爱绿护绿”知识的情况即可．
【详解】（1）∵A组数据有小到大排列第25，第26个数据分别为：75，75，
∴，
∵A组80分以上有（人），
∴，
故答案为：75，；
（2）∵样本中超过75分的人数为：（人），
∴A小区500名居民成绩能超过平均数75分的人数为：（人）；
（3）答案不唯一，比如：从中位数看B小区成绩好于A小区；从优秀率看B小区成绩好于A小区；从方差看B小区成绩波动较小，所以B小区成绩好于A小区．
【点睛】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，能从统计图中获取有用信息，并会合理选择统计量进行分析是解题的关键．
【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：
七年级88，94，90，94，84，94，99，94，99，100
八年级84，93，88，94，93，98，93，98，97，99
整理数据，按如下分数段整理样本数据并补全表格：
成绩/分
七年级 1 1 5 3
八年级 4 4
分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 94 94 23.64
八年级 93.7 93
得出结论：你认为参赛的学生中哪个年级的成绩较为稳定？并说明理由．
【答案】补全表格见解析，八年级的成绩较为稳定，理由见解析
【分析】本题考查了中位数，众数，方差，熟练掌握中位数，众数和方差的定义是解题的关键．据此相关性质内容进行列式代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
七年级 1 1 5 3
八年级 1 1 4 4
先把八年级成绩进行排序，得84，88，93，93，93，94，97，98，98， 99
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 93.6 94 94 24.2
八年级 93.7 93.5 93 20.4
八年级的成绩较为稳定，
理由：∵七年级的方差，八年级的方差，
∴八年级的成绩较为稳定．
故答案为：1，1，93.5，94．
【变式3】（2024·山东聊城·一模）为了解学生的课外阅读情况，学校在每班随机抽取名学生调查当天的阅读时间．七年级（1）班语文教师随机对该班抽取的名学生的课外阅读时间（分钟）进行了收集、整理和分析．
[收集数据]，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
[整理数据]
阅读时间（分钟）
频数 3 4 3 a b
根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如下图
阅读时间扇形统计图
[分析数据]
数据量 平均数 中位数 众数 方差
七年级（1）班 e f
[解决问题]
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据扇形统计图，将阅读时间不低于分钟表彰为“阅读之星”，若七年级（1）有40名学生，估计全班可以被表彰为“阅读之星”的有多少名？
[数据应用]
（3）七年级（2）班名调查同学的阅读时间相关信息如下：
数据量 平均数 中位数 众数 方差
七年级（2）班
根据以上两个班表中的统计量，你认为那个班的阅读水平更高一些？并给出一些合理解释．
【答案】（1），，；（2）全班可以被表彰为“阅读之星”的有名；（3）七（2）班的阅读水平更高一些．
【分析】（1）根据给出的数据直接得出、的值，根据频率的定义以及平均数、中位数定义可得出、、的值；
（2）用总人数乘以每天用于课外阅读时间不少于的学生所占的百分比即可求解；
（3）根据两班的平均值、中位数和方差进行判断即可．
【详解】解：（1）根据题意可得，，
，，
将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；
中位数，
故答案是：，，；
（2）阅读不低于分钟的学生的频率为：，
，
故全班可以被表彰为“阅读之星”的有名；
（3）七年级（2）班的阅读水平更高，因为两个班的阅读时间平均数虽然相同，但是七年级（2）班的阅读时间中位数高于（1）班，且（2）班阅读时间的方差小于（1）班．
【点睛】本题考查了数据的统计和分析，中位数，众数，用样本估计总体，方差的意义等知识，准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是解答此题的关键．
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