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专题01 二次根式
一、【知识回顾】
【思维导图】
1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式.
注意：（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；
（2）是一个重要的非负数，即； ≥0.
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3.（重点）二次根式的性质：（1）,（2） ；注意使用.
4.二次根式的乘法法则：（1）；（2）
5.二次根式的除法法则：（1）；（2）；
6.分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
常见有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
6．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.
7．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
8.二次根式的加减法则：只有同类二次根式才可以加减，又称作合并同类二次根式；系数进行合并，根式保持不变
9．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
二、【考点类型】
考点1：二次根式有意义的条件
典例1：（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知实数x，y满足，则的平方根为 ．
【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ．
【变式3】（23-24九年级上·河南周口·期中）使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
【变式4】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若代数式 有意义，则的取值范围是 ．
【变式5】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）（1）已知，则的值是 ．
（2）若，则的平方根是 ．
考点2：二次根式的性质
典例2：（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若，化简二次根式的结果是 ．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）若，化简二次根式 ．
【变式3】（2024八年级·全国·竞赛）已知实数x满足，则 ．
【变式4（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ．
【变式5】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）化简： ．
考点3：二次根式的非负性
典例3：（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知，则 ．
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）已知a，b都是实数，若，则 ．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知为实数，且，则 ．
【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·期中）若x、y都是实数，且，则的平方根为 ．
【变式4】（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）已知满足，则= ．
【变式5】（20-21八年级下·江苏泰州·期末）若、满足，则 ．
考点4：二次根式的乘除
典例4：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】（22-23八年级上·福建漳州·期末）计算：
(1)．
(2)．
【变式3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）计算题：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
(5)
(6)
【变式4】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式5】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点4：同类二次根式
典例4：（22-23八年级下·湖北恩施·期中）若最简二次根式和可以合并，则的平方根是 ．
【变式1】（21-22八年级下·甘肃武威·期中）若最简二次根式和能合并，则＝ ．
【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式．
(1)求、的值；
(2)、平方和的算术平方根．
【变式3】（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知二次根式，
(1)如果该二次根式，求a的值；
(2)已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求．
【变式4】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
【变式5】（21-22八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值：
(1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式；
(2)若二次根式与﹣是同类二次根式．
考点5：二次根式的加减
典例5：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)
【变式3】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式4】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）计算
(1)；
(2)．
【变式5】（23-24八年级上·山东济南·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
考点6：最简二次根式+分母有理化
典例6：（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）观察下列各式：
①；
②；
③．
(1)请根据以上规律，写出第4个式子： ________．
(2)请根据以上规律，写出第n个式子__________；
(3)根据以上规律计算下列式子的值： ．
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【变式2】（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【变式3】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）已知，，分别求出代数式的值．
【变式4】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求．
【变式5】（22-23八年级下·山东泰安·期中）阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，，……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)猜想：的值．（可直接写出结果）
考点7：二次根式混合运算
典例7：（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)已知m是的小数部分，求代数式的值．
【变式1】（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）计算： ；
（2）若，求：的值．
【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）化简
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
考点8：二次根式化简求值
典例8：（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)．
【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【变式2】（21-22八年级下·山东烟台·期中）已知与满足，求代数式的值．
【变式3】（20-21八年级下·河南商丘·期中）已知，求的值．
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专题01 二次根式
一、【知识回顾】
【思维导图】
1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式.
注意：（1）若这个条件不成立，则 不是二次根式；
（2）是一个重要的非负数，即； ≥0.
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
3.（重点）二次根式的性质：（1）,（2） ；注意使用.
4.二次根式的乘法法则：（1）；（2）
5.二次根式的除法法则：（1）；（2）；
6.分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
常见有理化因式： ，， ，它们也叫互为有理化因式
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
6．二次根式化简题的几种类型：
（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.
7．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
8.二次根式的加减法则：只有同类二次根式才可以加减，又称作合并同类二次根式；系数进行合并，根式保持不变
9．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
二、【考点类型】
考点1：二次根式有意义的条件
典例1：（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知实数x，y满足，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，可得x、y的值，最后，再进行计算即可．
【详解】解：∵实数x，y满足，
∴．
∴．
∴的平方根为．
故答案为：．
【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ．
【答案】2010
【分析】
本题考查了绝对值的非负性，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握相关的性质，
根据二次根式有意义的条件可知，再去绝对值，化简后可得，即可求解．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得
，
则．
又，
，
，
，
．
故答案为：20
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则原式，
解得，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则的平方根为，
故答案为：．
【变式3】（23-24九年级上·河南周口·期中）使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查的是根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据四次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】由题意得，，，
解得，，，
故答案为：且．
【变式4】（23-24八年级上·上海杨浦·期中）若代数式 有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：，解得：且．
故答案为：且．
【变式5】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）（1）已知，则的值是 ．
（2）若，则的平方根是 ．
【答案】 19
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，求出，，然后代入求值即可；
（2）根据非负数的性质求出，，然后代入求值即可．
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴
；
故答案为：19；
（2）∵，
∴，，
解得：，，
∴，
16的平方根为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
考点2：二次根式的性质
典例2：（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】/
【分析】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键．
【详解】解：由图可知，，
∴，，，
则
，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若，化简二次根式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题的关键．直接利用二次根式的性质得出a，b的符号，进而化简即可．
【详解】∵，有意义，
∴，，
∴．
故答案为．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）若，化简二次根式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
先将化成，再根据及即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为．
【变式3】（2024八年级·全国·竞赛）已知实数x满足，则 ．
【答案】2013
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故．
故答案为：20
【变式4（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式．观察式子可知：，，故可看作平方的结果．
【详解】解：，
．
故答案为：
【变式5】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】先根据根式有意义的条件判断出x与y的取值范围，再利用根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查根式的化简，掌握根式有意义的条件是解题的关键．
考点3：二次根式的非负性
典例3：（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查非负式和为零的条件，涉及绝对值非负性、二次根式性质等知识及代数式求值，根据得到求出的值，代入代数式求解即可得到答案，熟记非负式和为零的条件是解决问题的关键．
【详解】解： ，
由可知，
，解得，
，
故答案为：．
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）已知a，b都是实数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值和二次根式被开方数的非负性，得出a和b的值，将其代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值和二次根式被开方数的非负性，解题的关键是掌握几个非负性相加和为0，则这几个非负数分别为
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知为实数，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3】（23-24八年级上·江苏泰州·期中）若x、y都是实数，且，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的定义，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值，得到y的值，根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
则，
，
196的平方根是，
故答案为：．
【变式4】（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）已知满足，则= ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为
【变式5】（20-21八年级下·江苏泰州·期末）若、满足，则 ．
【答案】5
【分析】根据完全平方公式与二次根式、绝对值的非负性即可求出a，b，故可求解．
【详解】∵
∴
∴
∴2a+b=0，a-1=0
解得a=1，b=-2
∴5
故答案为：
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知二次根式的运算法则及非负性．
考点4：二次根式的乘除
典例4：（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根等知识．熟练掌握平方差公式，二次根式的乘除，算术平方根是解题的关键．
利用平方差公式计算二次根式的乘法，根据二次根式的除法计算，求算术平方根，最后合并同类项即可．
【详解】解：
．
【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【变式2】（22-23八年级上·福建漳州·期末）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法和除法运算法则、零指数公式将原式化简，再进行加减运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式将原式化简，再进行加减运算即得出答案；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）计算题：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
【分析】（1）分别将各部分化简，再合并即可；
（2）先将除法转化成乘法，然后进行乘法运算，再合并即可；
（3）分别化简二次根式、负指数幂、利用平方差公式化简二次根式，再合并即可；
（4）分别求出立方根、化简绝对值、负指数幂、计算二次根式乘法，再合并即可；
（5）分别化简二次根式再进行处罚运算，再合并即可；
（6）分别把各部分化简，再合并即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
【点睛】本题考查了负指数幂、二次根式的混合运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则．
【变式4】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)2
【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键
【变式5】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法，再计算加法即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算二次根式的加减法即可;
（4）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式的加减法即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
考点4：同类二次根式
典例4：（22-23八年级下·湖北恩施·期中）若最简二次根式和可以合并，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义得出关于、的值，代入计算结果后再求平方根即可得出答案．
【详解】最简二次根式和可以合并，
，
，
的平方根是
故答案为：．
【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的性质是解题的关键．
【变式1】（21-22八年级下·甘肃武威·期中）若最简二次根式和能合并，则＝ ．
【答案】5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式．
(1)求、的值；
(2)、平方和的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值；
（2）将和的值代入代数式得出答案．
【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，，
解得，．
（2）解：当，时 ．
【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知二次根式，
(1)如果该二次根式，求a的值；
(2)已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）两边同时平方得关于的方程，求解即可；
（2）①根据同类二次根式的意义可求出的值，
②根据①的结论确定二次根式，根据二次根式的乘法运算，进一步得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
（2）①∵
又∵为最简二次根式，且与能够合并，，
∴
②
【点睛】本题考查了最简二次根式，二次根式的乘法运算，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【变式4】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下面的解题过程：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
解：因为与能合并，
所以为正整数）．
所以，
所以．
又为正整数，所以为偶数，
所以为奇数．
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为3、31、（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）
请根据上面的信息，回答问题：
已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值．
【答案】1，21，61（答案不唯一）
【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可．
【详解】解： 与能合并，
为正整数），
，
，
又为正整数，
为偶数，
为奇数，
当时，；
当时，；
当时，．
所以满足条件的的值可以为1、21、（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
【变式5】（21-22八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值：
(1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式；
(2)若二次根式与﹣是同类二次根式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；
（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．
【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式，
∴3a＝2，
解得．
（2）∵二次根式与﹣是同类二次根式，
∴3a＝2n2，
解得a＝．
【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
考点5：二次根式的加减
典例5：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
本题考查了二次根式的混合运算；
（1）先利用二次根式的性质化简，再进行计算即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再进行计算即可；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)2
(4)
(5)
【分析】
本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简各二次根式成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可；
（5）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
（5）解：
．
【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）本题考查二次根式的加减混合运算，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）本题考查二次根式的加减乘除混合运算，先计算乘除并化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；
（3）本题考查0指数幂，负指数幂，绝对值及二次根式化简，根据，，及绝对值的性质、二次根式的性质求解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【变式3】（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算．熟练掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行减法运算即可；
（2）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式4】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算正确化简二次根式是解题关键；
（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、完全平方公式化简，进而计算得出答案；
【详解】（1）原式；
（2）原式．
【变式5】（23-24八年级上·山东济南·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并及二次根式的乘法法则；
（1）合并同类二次根式即可；
（2）进行二次根式的乘法运算即可；
（3）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可；
（4）运用平方差公式进行计算；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
考点6：最简二次根式+分母有理化
典例6：（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）观察下列各式：
①；
②；
③．
(1)请根据以上规律，写出第4个式子： ________．
(2)请根据以上规律，写出第n个式子__________；
(3)根据以上规律计算下列式子的值： ．
【答案】(1)
(2)（的整数）
(3)
【分析】
此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化的应用，发现计算规律，掌握分母有理化和合并同类二次根式是解题的关键．
（1）利用题中等式的规律求解；
（2）利用题中等式的规律求解；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】（1）
解：根据题意可知：第4个式子为：
．
故答案为：．
（2）
解：第个式子为：的整数，
故答案为：的整数；
（3）
解：
．
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．解：．
[理解应用]
(1)化简：；
(2)若是的小数部分，化简
(3)化简：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
（2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可；
（3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值．
【详解】（1）解：（1）
；
（2）∵a是的小数部分，且，
∴，
∴；
（3）
．
【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式和估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·广西贵港·期末）阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（均写出一个即可）
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)
(3)11
【分析】（1）根据互为有理化因式的定义，即可求解，
（2）将所求式子，进行分母有理化，即可求解，
（3）参照学习材料二的步骤即可求解，
本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，，
（2）解：
，
故答案为：，
（3）解：．
，
，
，
故答案为：
【变式3】（23-24八年级上·湖南怀化·期末）已知，，分别求出代数式的值．
【答案】；；4
【分析】本题考查代数式求值，平方差公式应用，完全平方公式应用，二次根式化简．根据题意利用平方差公式，完全平方公式，二次根式分别计算代数式的值即可．
【详解】解：当时，
，
=，
；
，
，
，
；
，
，
，
．
综上所述：；；
【变式4】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】
本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，先根据分母有理化求出，，即可求出，，即可得出答案，解题的关键是掌握分母有理化．
【详解】（1）
，
，
∴；
（2）
∵，
∴
，
，
，
．
【变式5】（22-23八年级下·山东泰安·期中）阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，，……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
(1)化简：．
(2)化简：．
(3)猜想：的值．（可直接写出结果）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）参照阅读材料的（三）式化简即可；
（2）参照阅读材料的（三）式化简，然后合并同类二次根式即可；
（3）即可参照阅读材料的（三）式化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）
（2）；
；
（3）
．
【点睛】本题考查了分母有理化在二次根式加减运算中的应用，读懂阅读材料所展示的方法，是解题的关键．
考点7：二次根式混合运算
典例7：（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)已知m是的小数部分，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
(4)3
【分析】（1）利用二次根式的加减混合运算法则求解即可；
（2）首先将括号内根据二次根式的性质化简，然后合并同类项，然后计算除法求解即可；
（3）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
（4）首先根无理数的估算求出，然后代入根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）∵
∴
∵m是的小数部分
∴
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式以及完全平方公式，无理数的估算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
【变式1】（22-23八年级上·四川成都·期中）（1）计算： ；
（2）若，求：的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据乘法分配律，二次根式的乘除运算法则，即可求解，
（2）先将分母有理化，再代入，即可求解，
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简求值，解题的关键是：掌握二次根式的运算法则．
【详解】（1）解：
（2）解： ，
．
【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）化简
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)0
(2)
(3)1
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（3）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（4）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式3】（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，
（1）先化简各式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式除法法则计算即可；
（3）先计算乘法、化简绝对值，然后合并同类二次根式即可；
（4）先利用完全平方公式展开，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
考点8：二次根式化简求值
典例8：（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再由进行计算求解即可；
（2）先求出，，再由进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴
【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题：
原题：已知 求 的值．佳佳先将 利用完全平方公式转化为：
∵
∴，，∴原式
(1)若 求： 的值；
(2)若 求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，
（1）利用完全平方公式将所求代数式转化后直接代入即可；
（2）将所求代数式利用完全平方公式和提取公因式后整体代入即可；
【详解】（1）原式，
（2）∵，
∴原式
【变式2】（21-22八年级下·山东烟台·期中）已知与满足，求代数式的值．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进一步求出，再将其代入代数式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
，
，
∴
．
【点睛】本题考查了代数式求值、二次根式有意义的条件，分母有理化，解题的关键是根据二次根式有意义的条件求出．
【变式3】（20-21八年级下·河南商丘·期中）已知，求的值．
【答案】2020
【分析】根据二次根式的非负性得到b值，代入求出a，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0，
∴b=2020，
∴，
∴===20
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，解题的关键是利用非负性得到a，b的值．
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