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专题02 勾股定理
一、【知识回顾】
【思维导图】
【勾股定理知识清单】
1.勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a =c - b
2）b =c - a
2.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
【勾股定理的证明知识清单】
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
【勾股数知识清单】
1.勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
2.常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
【勾股定理的逆定理知识清单】
1.内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
注意：
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
【勾股定理的方法技巧】
1.方程勾股，利用勾股定理构建方程求解
2.等面积法
二、【考点类型】
考点1：勾股定理
典例1：（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．
(1)设点P在线段上，连接，若，求的长；
(2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，求：
(1)的长；
(2)的长．
【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
【变式3】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接．
(1)若的周长是，，点是的中点，求的长；
(2)若，，，求的面积．
【变式4】（23-24九年级上·江苏·期末）在中，．
(1)求的长；
(2)求的面积．（结果保留根号）
【变式5】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，．
(1)用直尺和圆规在线段边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，连接，求的长．
考点2：勾股定理的证明
典例2：（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c．
探究：
（1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理；
应用：
（2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【变式1】（23-24八年级下·广东中山·开学考试）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”．
【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，．延长到点，使；过点作的垂线并在垂线上截取，连结和．求证：
(1)．
(2)利用此图的面积表示式证明．
【变式3】（2023八年级上·全国·专题练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中），求证：．
【变式4】（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为．
任务：
(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整．
证明：由图1，知，正方形的边长为 ．
， ， ，
，即．
(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程．
【变式5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．
①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为，又可表示为，所以，所以，所以，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；
③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；
④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．
考点3：勾股定理的应用
典例3：【梯子问题】（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）一架长 13 米的梯子，如图那样斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙5米
(1)此时梯子顶端离地面多少米
(2)若梯子顶端下滑 1米，那么梯子底端将向左滑动多少米
【变式1】【旗杆问题】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
【变式2】【树枝折断问题】（22-23八年级上·陕西西安·期中）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）
【变式3】【筷子与水杯问题】（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
【变式4】【台风是否影响、超速问题】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？
【变式5】【最短路径问题】（22-23八年级上·海南海口·期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；
(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
考点4：勾股数
典例4：（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．
【变式1】（22-23八年级下·全国·课时练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为，则第一步：求，设等于；第二步：求，设等于；第三步：分别用3，4，5乘以得三边长分别为，，．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
【变式2】（22-23八年级下·山东济宁·期末）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，
(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；
(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．
【变式3】（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【变式4】（22-23八年级下·山东德州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
【变式5】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数．
(1)请把下列三组勾股数补充完整：
①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______．
(2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数．
考点5：勾股定理逆定理
典例5：（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，， ．
(1)求的长；
(2)求证：是直角三角形．
【变式1】（22-23八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段；
（4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形．
【变式2】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，每个小正方格的边长为1．用表示点A的位置，用表示点C的位置．
(1)画出平面直角坐标系．
(2)点B关于x轴对称的点的坐标为______，点C关于y轴对称的点的坐标为______．
(3)图中格点三角形ABC的面积为______．
(4)判断三角形的形状，并说明理由．
【变式3】（23-24八年级上·福建福州·期末）有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
【变式4】（23-24八年级上·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
【变式5】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：
（1）与的位置关系为______．
（2）填空：______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知中，，，，则的面积______．
考点6：勾股定理的综合应用（等积法、方程勾股）
典例6：（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．
(1)若，则的度数为_______；
(2)若，，求的长；
(3)当的周长为，，求的面积．（用含m、n的代数式表示）
【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期中）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使落在斜边上，（如图）小宇经过测量得知两直角边，．
(1) ； ； ；
(2)设为，则可用表示为_______；
(3)利用以上结论求出的长．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）；
（2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证；
（3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可）
【变式3】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，交于点，，．
(1)若，则＝______，＝______；
(2)若，求的长．
【变式4】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．
【变式5】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
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专题02 勾股定理
一、【知识回顾】
【思维导图】
【勾股定理知识清单】
1.勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
变式：
1）a =c - b
2）b =c - a
2.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
【勾股定理的证明知识清单】
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
方法一：，，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：，，化简得证
【勾股数知识清单】
1.勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
2.常见的勾股数：如；；；等
扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；
2）（为正整数）
3）（，为正整数）
注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
【勾股定理的逆定理知识清单】
1.内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
注意：
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
【勾股定理的方法技巧】
1.方程勾股，利用勾股定理构建方程求解
2.等面积法
二、【考点类型】
考点1：勾股定理
典例1：（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．
(1)设点P在线段上，连接，若，求的长；
(2)设点M在线段上，若是等腰三角形，求的长．
【答案】(1)；
(2)8或10或．
【分析】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理得到 ， 设，根据勾股定理即可得到结论；
（2）当时，为等腰三角形，当，时，为等腰三角形，过B作于H，当时，为等腰三角形，连接，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：，， ，
，
，
，
设，
，
，
解得：，
；
（2）解：的长为8或10或．
如图，当时，；
如图，当时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，过B作于点H，
则，
，
，
综上所述，的长为8或10或．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，求：
(1)的长；
(2)的长．
【答案】(1)12
(2)16
【分析】本题考查了勾股定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出，再根据等面积法列式，得，再化简代入数值，即可作答．
（2）根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴
（2）解：在中，由勾股定理得，
,
∴
【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平线上的点，到线段两端的距离相等，可得，由等边对等角可得，根据三角形内角和定理，通过等量代换，即可求解，
（2）设，则，在中，应该用勾股定理，即可求解，
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，解题的关键是：选择合适的直角三角形，应用勾股定理，进行求解．
【详解】（1）解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，
（2），，，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即：，
解得，
故答案为：．
【变式3】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接．
(1)若的周长是，，点是的中点，求的长；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理；
（1）根据等腰三角形的性质得，，进而勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：因为点是的中点，，
所以．
因为的周长是，，所以．
因为是等腰三角形，，点是的中点，所以．
在 中，，，所以．
（2）因为，，，
所以，即，所以．
因为，所以，
所以
所以．
【变式4】（23-24九年级上·江苏·期末）在中，．
(1)求的长；
(2)求的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理：
（1）过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再由是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点D，
在中， ，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【变式5】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，．
(1)用直尺和圆规在线段边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，连接，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和勾股定理，
根据题意知在线段边上找一点D，使得即可，结合垂直平分线的性质可知作的垂直平分线与的交点即为点D；
由（1）知，结合，即可求得．
【详解】（1）解：如图，
（2）由（1）知，
∵，，，
∴，解得，
则．
考点2：勾股定理的证明
典例2：（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c．
探究：
（1）用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．
①小正方形的边长为c，大正方形的边长为______；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式______，整理得，从而验证勾股定理；
应用：
（2）将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．
【答案】（1）①②（2）见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握利用数形结合的思想，证明勾股定理．
（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可；
（2）利用等积法进行证明即可．
【详解】解：（1）①由图和题意可知：大正方形的边长为；
故答案为：；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式；
故答案为：；
（2）用两种不同的方法表示出梯形的面积，可得：，
∴，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·广东中山·开学考试）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”．
【答案】见解析
【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键．利用两种求大正方形面积方法列出等式即可．
【详解】解：∵4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，．延长到点，使；过点作的垂线并在垂线上截取，连结和．求证：
(1)．
(2)利用此图的面积表示式证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）证明即可；
（2）梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
整理，得：．
【变式3】（2023八年级上·全国·专题练习）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中），求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【详解】解：利用图1进行证明：
证明：依题意∵且，点C，A，E在一条直线上，
∴，则，
∵，
又∵
∴
∴；
利用图2进行证明：
证明：如图，连接，过点D作边上的高，
则，
∵
又∵
∴
∴．
【变式4】（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为．
任务：
(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整．
证明：由图1，知，正方形的边长为 ．
， ， ，
，即．
(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程．
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键．
（1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为；
（2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证．
【详解】（1）解：由图知，
直角三角形的两个边长为，，
正方形的边长为，
， ，
故答案为，，
（2）根据题意，得，
，
，
，即
【变式5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．
①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为，又可表示为，所以，所以，所以，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；
③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；
④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．
【答案】②见解析；③见解析；④见解析；
【分析】②梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
③连结，过点D作边上的高，则，根据的两种不同表示方法，列出关系式，化简即可得证；
④根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
【详解】解：②梯形的面积为，
也可利用表示为，
∴
即，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
③连结，过点D作边上的高，则，
∵，
又∵，
∴，
∴，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
④如图，分别过点I，H作，分别交延长线于点M，N，交于点P，则，
∴，
在正方形中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
同理，
∴中间小正方形的面积，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键．
考点3：勾股定理的应用
典例3：【梯子问题】（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）一架长 13 米的梯子，如图那样斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙5米
(1)此时梯子顶端离地面多少米
(2)若梯子顶端下滑 1米，那么梯子底端将向左滑动多少米
【答案】(1)此时梯子顶端离地面12米
(2)梯子底端将向左滑动米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】（1）解：如图：
梯子长为13米，梯子底端离墙5米，竖直的墙，
米，米，，
米，
此时梯子顶端离地面12米；
（2）顶端下滑 1米，
米，
米，
又米，
米，
米，
答：梯子底端将向左滑动米．
【变式1】【旗杆问题】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的垂直高度为17.65米；
(2)他应该往回收线5米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键．
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：米，米，
在中，由勾股定理得，，
，
（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，
此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
他应该往回收线5米．
【变式2】【树枝折断问题】（22-23八年级上·陕西西安·期中）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺）
【答案】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
故原处还有尺高的竹子．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理求解．
【变式3】【筷子与水杯问题】（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
【答案】水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答．
【详解】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴
即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺．
【变式4】【台风是否影响、超速问题】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？
【答案】(1)6小时
(2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．
【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案；
（2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，
得，
（小时）；
答：台风中心经过6小时从B点移到D点；
（2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）．
又台风到点D的时间是6小时．
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键．
【变式5】【最短路径问题】（22-23八年级上·海南海口·期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；
(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)图形见解析
(2)两点之间线段最短.
(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的，．
在中，由勾股定理可得：，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
考点4：勾股数
典例4：（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．
【答案】(1)是
(2)见解析
【分析】
本题考查了勾股数和新定义的综合应用，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（2）利用完全平方公式，将已知式配成几个平方数和的形式，利用非负数性质进而求出，即可证明．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
【变式1】（22-23八年级下·全国·课时练习）阅读下列材料，完成文后任务：
清朝皇帝康熙的数学专著中，有一文《积求勾股法》中记载了三边长为3，4，5的整数倍的三角形，如果已知面积，求三边长的方法，把这种方法翻译成我们今天的数学语言是：如果三角形的三边长分别是3，4，5的整数倍，设它的面积为，则第一步：求，设等于；第二步：求，设等于；第三步：分别用3，4，5乘以得三边长分别为，，．
任务：
(1)求当面积为96时，用康熙的“积求勾股法”求三角形的三边长．
(2)你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由．
【答案】(1)，，；
(2)能，理由见解析．
【分析】（1）将，代入，求出，然后乘以3、4、5，可求出三边长；
（2）设直角三角形的三边上分别为、、，求出其面积即可证明结论．
【详解】（1）解：当时，，
∴三边长分别为；
验证：∵3，4，5是勾股数，
设三角形的边长分别为，
故，
∵，
∴
或（舍去），
其边长分别为，，，
故康熙的“积求勾股法”正确；
（2）解：能，
证明：三边为3 4 5的整数倍，设为倍，
则三边为，而三角形为直角三角形且为直角边．
其面积，
，
即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
【点睛】本题主要考查了直角三角形面积的应用，算式平方根的应用，掌握基本概念是求解的关键．
【变式2】（22-23八年级下·山东济宁·期末）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，
(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；
(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）解：① ，
根据勾股定理可知：，
；
（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；
（3）解：由（2）知．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
【变式3】（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
【变式4】（22-23八年级下·山东德州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个．
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)①3，②
(3)
【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，
∴，，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
【变式5】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数．
(1)请把下列三组勾股数补充完整：
①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______．
(2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数．
【答案】(1)①6；②12；③17
(2)见解析
【分析】本题考查勾股数：
（1）根据勾股数的定义求解即可；
（2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴6，8，10是勾股数；
故答案为：6
②∵，
∴5，12，13是勾股数；
故答案为：12
③∵，
∴8，15，17是勾股数．
故答案为：17；
（2）证明：∵，，
∴，
∴三个整数，，是勾股数；
考点5：勾股定理逆定理
典例5：（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，， ．
(1)求的长；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
（）利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；
（）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中， ，
在中， ；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
【变式1】（22-23八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：
（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形；
（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形；
（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段；
（4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；
（2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可；
（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；
（4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可．
【详解】（1）∵，
∴即为所求；
（2）∵EF=FG=GD=DE=，
∴正方形的面积为13；
（3）HI=；
（4）∵KL=，JL=，JK=，
且
∴是直角三角形，且周长为．
【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，每个小正方格的边长为1．用表示点A的位置，用表示点C的位置．
(1)画出平面直角坐标系．
(2)点B关于x轴对称的点的坐标为______，点C关于y轴对称的点的坐标为______．
(3)图中格点三角形ABC的面积为______．
(4)判断三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)5
(4)三角形的形状为直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，轴对称图形、三角形面积、勾股定理逆定理等知识点，准确建立坐标系是解本题的关键．
（1）根据点A的坐标建立坐标系即可；
（2）先确定点B、C的坐标，然后根据坐标与图形确定坐标即可；
（2）运用割补法求解即可；
（4）先运用勾股定理求得，然后再运用勾股定理逆定理判断即可．
【详解】（1）解：如图：直角坐标系即为所求．
（2）解：由（1）的坐标系可得点，
所以点B关于x轴对称的点的坐标为，点C关于y轴对称的点的坐标为．
故答案为：，．
（3）解：
（4）解：三角形的形状为直角三角形，理由如下：
由（1）的坐标系可得：,
∴，即三角形的形状为直角三角形．
【变式3】（23-24八年级上·福建福州·期末）有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了的等边三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）连接，可得是等边三角形，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可求解；
（2）过D作于B，求得的长，进而根据四边形草地的面积即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）过D作于B，
∵，
∴，
∴，
∴四边形草地的面积
，
答：四边形草地的面积为．
【变式4】（23-24八年级上·河南南阳·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．
(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？
【答案】(1)30
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可；
（2）过A作交于点D．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
∴这块试验基地的面积为，
故答案为：30；
（2）解：过A作交于点D．
设，则．
在和
由勾股定理得
，
解得，
在中，由勾股定理得,
∴．
【变式5】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：
（1）与的位置关系为______．
（2）填空：______（用含c的代数式表示）．
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．
【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知中，，，，则的面积______．
【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9
【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质．
问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论．
问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可；
问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：问题初探：（1）；
证明：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；,
（2）∵，
，
故答案为：；,
（3）证明：∵四边形的面积
，
∴四边形的面积
，
∴，
即．
问题再探：解：如图，即为所求；
问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积
．
故答案为：9．
考点6：勾股定理的综合应用（等积法、方程勾股）
典例6：（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．
(1)若，则的度数为_______；
(2)若，，求的长；
(3)当的周长为，，求的面积．（用含m、n的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了折叠性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可得到答案；
（2）由折叠的性质可得，则，勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）根据三角形周长公式得到，由折叠的性质得，由此得到，再根据三角形面积公式得到，利用勾股定理推出，则．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵的周长为，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期中）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使落在斜边上，（如图）小宇经过测量得知两直角边，．
(1) ； ； ；
(2)设为，则可用表示为_______；
(3)利用以上结论求出的长．
【答案】(1)10，6，4
(2)
(3)
【分析】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用勾股定理求出，再利用翻折变换的性质求出，可得结论；
（2）利用线段的和差定义求解；
（3）在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1），，，
，
由翻折的性质可知，，
．
故答案为：10，6，4；
（2），，
．
故答案为：；
（3）由翻折的性质可知，，，
在中，，
，
，
．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）；
（2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证；
（3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可）
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【分析】（1）如图①所示，延长到点，使，连接，先证明，得到，然后根据三角形三边关系即可证得结论；
（2）如图②所示，延长到点，使，连接，，先证明，得到，，进而证得，由勾股定理得，再证，即可证得结论；
（3）如图③所示，延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，即可证得结论．
【详解】解：（1）如图①所示，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
（2）证明：延长到点，使，连接，，如图②，
是边上的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
．
（3）证明：延长到点，使，连接，，如图③，
，，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
又，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，平行线的性质，合理添加辅助线，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键．
【变式3】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，交于点，，．
(1)若，则＝______，＝______；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理定理求出直角三角形的边长即可；
（2）设，则，用勾股定理表示出中和中，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，，，
中，，
中，．
故答案为：，；
（2）设，则，
中，；中，，
，
，
解得，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握用勾股定理表示线段之间的数量关系是解题的关键．
【变式4】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和中，点D在上，，，，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)请直接写出、和之间的数量关系_____；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得到，再利用证明即可；
（2）证明是等腰直角三角形，得到，再根据全等的性质得到，，得到，利用勾股定理即可得到关系；
（3）延长到点，使，连接，证明，得到，，进一步证明，可得，推出，即可证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
；
（2）∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）延长到点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式5】（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）先证明，再证明，问题即可得证；
（2）根据，，，可得；再证明是等边三角形，即有，，进而有，在中，有：，结合，，问题得证．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
∴，．
∴．
又∵平分，
∴．
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴；
（2）∵在（1）中已证明．
∴；，
∵，，，
∴．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，有：，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
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