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专题03 平行四边形的性质与判定
一、【知识回顾】
【思维导图】
【平行四边形性质与判定知识清单】
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
平行四边形的判定： . 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
二、【考点类型】
考点1：平行四边形的边，角性质
典例1：（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，若，，则（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【分析】先证是等边三角形，得，过点作于，从而 ，，在和在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于，
∴ ，，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
在中，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1】（2024·河南开封·一模）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解．
【详解】解：，，都是的顶点，
∴，，，
即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点，
∴，
∵点是线段边的中点，
∴点的坐标为，即，
过点作轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是线段边的中点，
∴，
∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，
又∵，，
∴沿轴向右平移个单位，
∴．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，中，平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质和角的平分线定义，得到，利用勾股定理的逆定理得到，继而得到，勾股定理计算即可，本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点E，点D的对应点为点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形性质、平行四边形性质、翻折的性质、以及三角形内角和定理，根据等腰三角形性质得到，利用平行四边形性质推出，由翻折的性质可知，，最后根据，即可解题．
【详解】解： ，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
故选：C．
【变式4】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
【答案】②④
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，灵活利用平行四边形的性质寻找条件证全等是解题的关键．
利用全等三角形的判定证出，可得到和的长短关系，即可判断①；利用角的等量代换可判断②和③；利用平行四边形的性质和全等三角形的性质证出为直角三角形，再利用勾股定理建立式子即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故③错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴，故④正确；
故答案为：②④．
【变式5】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，中，于交于点，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形和勾股定理等知识点．取的中点Q，连接，根据平行四边形的性质求出，根据三角形的内角和定理求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理求出，据此求解即可．
【详解】解：如图，取的中点Q，连接，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式6】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
先由证明，得，，再求得，由平行四边形的周长，即可求得答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为，
，，，，
，
在和中，，
，
，，
平行四边形的周长为36，
，
四边形的周长，
故答案为：24．
【变式7】（2024·江苏淮安·一模）如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等，根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到，的长，进而得到的长．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
考点2：平行四边形的对角线性质
典例2：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键．
根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答．
【详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴和关于点O中心对称，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积与的面积比值是．
故选：C．
【变式1】（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，的面积等于．根据作图痕迹，计算出的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线性质得到，得到，得到，根据，得到，得到，得到．
本题主要考查了线段垂直平分线，平行四边形，三角形面积．熟练掌握线段垂直平分线性质，平行四边形性质，等高三角形面积比等于底边比，是解决问题的关键．
【详解】由作图知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是中心对称图形，对称中心是点O，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴E为中点，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④正确；
故正确的个数为个，
故选：B．
【变式3】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，的对角线、交于点，的周长为，直线过点，且与，分别交于点，若，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得，，，，则，进而可证，则，，则，，由，得，则，计算求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点，
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
，，
，，
∵的周长为，
，
，
，
∴四边形的周长是，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
【变式4】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了平行四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
根据平行四边形对角线的性质，得到，，中根据勾股定理得， 中利用勾股定理得，利用线段垂直平分线的性质得，推出周长等于即可．
【详解】
∵中， ，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴故答案为：．
【变式5】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是 ．
【答案】12
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、直角三角形的性质等知识点，确定四边形周长取最小值时点E、F的位置成为解题的关键．
根据平行四边形的性质可得可得，进而确定当取最小值时，四边形周长的最小，即；然后求得取最小值即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
∴四边形周长为，
∴当取最小值时，四边形周长的最小，即,
如图：过A点作,即的长为的最小值，
∵，
∴，即的最小值为2
∴四边形周长的最小值为．
故答案为12．
【变式6】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，M是对角线上一点，过点M分别作，分别交边于点E，F，交边于点G，H．则 （填“>”“＜”或“=”）．
【答案】
【分析】
此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，先证明则，同理可证明即可得到答案．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
同理可证，
∴
∴
即．
故答案为：
【变式7】（22-23九年级上·山西运城·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当 ，使直线把四边形的面积四等分．
【答案】
【分析】过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，则，由平行四边形的面积求出，再证，然后由三角形面积得，即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质以及三角形、四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
【详解】解：如图，过O作于点K，交于点L，过点O作于点Q，交于点P，
由平行四边形是中心对称图形可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，直线，把四边形的面积四等分，
故答案为：．
考点3：平行四边形的判定
典例3：（22-23八年级下·江苏·期中）在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是 ．（只填序号）
【答案】②
【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可．
【详解】①，则一组对边平行且相等，可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
②，无法得到四边形是平行四边形，符合题意；
③，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
④，则此两角都是的补角，而与为同旁内角互补，可推出，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意；
故答案为：②
【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握所有平行四边形的判定定理．
【变式1】（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件：；；；．这个条件可以是 ．
【答案】③④
【分析】由平行四边形的判定依次判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC，AD=BC，
如果AF=CF，
则无法证明四边形AFCE是平行四边形，
故①不合题意；
如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM=FN，
∵AE=CF，
∴△AME≌△FNC（HL）
∴∠AEM=∠FCN，
∴AE∥FC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，
故②不符合题意；
如果∠BAE=∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故③符合题意；
如果∠BEA=∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
故④符合题意；
故答案为：③④
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【变式2】（22-23八年级下·北京·期中）已知,如图，四边形，，交于点，请从给定四个条件①；②；③；④中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形.你的选择是 .
【答案】②④
【分析】根据平行四边形的判定方法选择两个条件并证明即可．
【详解】选择②④，理由如下：
∵ ，
．
在和中，
，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级下·河南许昌·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
【答案】BF=DE（答案不唯一）
【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．
【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下：
证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BF=DE，
∴BO-BF=DO-DE，
即OF=OE，
四边形AFCE为平行四边形，
故答案为：BF=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【变式4】（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，点E、F是四边形的对角线上的两点，．
(1)求证：
(2)四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，平行线的性质与判定；
（1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得到，，进而证明，由此即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：，
在和中
，
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∴四边形是平行四边形．
【变式5】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，结合条件活用对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．连接，交于点，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明．
【详解】如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【变式6】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形对角线交于点O，且O为中点，，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
由已知条件和平行线的性质得出，，由证明，得出对应边相等，即可证出四边形是平行四边形．
【详解】证明：为中点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【变式7】（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若为的角平分线，且，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
考点4：平行四边形判定与性质综合应用
典例4：（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论．
【详解】（1）证明：在中，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键；
（1）根据三角形中位线定理利用一组对边平行且相等的四边形即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质，证明，即可解决问题；
（3）结合（2）证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【详解】（1）证明：点D，E分别是边，的中点，
， ，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
；
（3）解： ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【变式2】（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在中，于点．
(1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(3)连接，若，，，则______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）由，，可得，再证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（3）由直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，由（2）可知，则，进而求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求作，
（2）证明：如图，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（3）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
由（2）知，，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式3】（2019·云南·一模）如图，在四边形中，，，，垂足为E.，连接.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若的面积为，，求四边形的周长.
【答案】（1）见解析；（2）24
【分析】（1）通过证明证明出，从而进一步即可证明四边形是平行四边形；
（2）先设，再利用锐角三角函数求出，根据的面积为得出的长，最后利用勾股定理求出AD，从而进一步得出周长即可.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：设，
∵，，
∴在Rt中，，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形的周长为：.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
错因分析：第1问，没有掌握平行四边形判定方法；第2问，不能由特殊角及三角形面积求出 的长，进而不能求出四边形周长．
考点5：三角形中位线性质
典例5：（2024·陕西咸阳·一模）如图，点D，E分别是，的中点，的平分线交于点F，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边是解题关键．
首先利用中点定义和中位线定理得到，,利用平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，根据可得的长．
【详解】点、分别是边、的中点，，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
【变式1】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理垂线段最短，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
连接，则，当取最小值时，最小，当时，最小，
推出，则，根据勾股定理可得：，即可解答．
【详解】解：连接，
∵点E为的中点，点F为的中点，
∴，
∴当取最小值时，最小，
当时，最小，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点D，点E为边的中点，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质及判定，解题关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半．延长交于点M，根据等腰三角形的性质及判定得由三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：延长交于点M，如图
平分，，
,
,
,
,
是等腰三角形，
，，
E为边的中点，
是中位线，
，
．
【变式3】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是
【答案】4.5//
【分析】先根据等底同高可得，，再根据三角形中位线定理可得，然后根据即可得．
【详解】解：的面积是12，点D是的中点，
由等底同高得：，
同理可得：，
，
，
，
，
点F是的中点，点G是的中点，
是的中位线，
，
则．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形中线的应用、三角形中位线定理等知识点，根据三角形中位线定理求出的面积，是解题关键．
【变式4】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识．
（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）
证明：如图1中，
平分，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
，
，
．
（2）
解：结论：，
理由：如图2中，延长交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
点为的中点，
，
；
故答案为：．
【变式5】（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作．
(1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是平行四边形；理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质可得，，由题意可知，可证得，进而可知，即可证得四边形是平行四边形；
（2）延长，交于，取中点，连接，由平行线的性质可得，，由题意可知为的中位线，先证四边形为平行四边形，可得，进而证得，即可证明，可得，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【变式6】（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)当、所在直线存在什么关系时，．
【答案】(1)是等腰三角形，见解析
(2)当时，，见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质；
（1）根据三角形中位线定理可得，，结合已知证明即可；
（2）延长、交于点E，根据平行线的性质得到，，结合，即可得到此时．
【详解】（1）是等腰三角形；
证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）当时，；
证明：如图，延长、交于点E，
由（1）得：，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，即．
【变式7】（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在四边形 中，P 是对角线的中点，M 是的中点，N 是的中点，连接，，若，试判断与 的数量关系，并说明理由．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，先证明是的中位线，那么等于的一半，同理可得为的一半，根据，那么可得．
【详解】解：P 是对角线的中点，M 是的中点，
是的中位线，
，
N 是的中点，
是的中位线，
，
，
．
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专题03 平行四边形的性质与判定
一、【知识回顾】
【思维导图】
【平行四边形性质与判定知识清单】
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
平行四边形的判定： . 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
二、【考点类型】
考点1：平行四边形的边，角性质
典例1：（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点，若，，则（ ）
A． B．10 C． D．
【变式1】（2024·河南开封·一模）如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，中，平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点E，点D的对应点为点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．
【变式5】（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，中，于交于点，若，则的值为 ．
【变式6】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为 ．
【变式7】（2024·江苏淮安·一模）如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为 ．
考点2：平行四边形的对角线性质
典例2：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，的面积等于．根据作图痕迹，计算出的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，的对角线、交于点，的周长为，直线过点，且与，分别交于点，若，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，对角线，交于点O，，过点O作交于点E，连接．已知，，则的周长是 ．
【变式5】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是 ．
【变式6】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，M是对角线上一点，过点M分别作，分别交边于点E，F，交边于点G，H．则 （填“>”“＜”或“=”）．
【变式7】（22-23九年级上·山西运城·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，过O的两条直线分别交边,，于点E、F，G，H．且，，当 ，使直线把四边形的面积四等分．
考点3：平行四边形的判定
典例3：（22-23八年级下·江苏·期中）在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是 ．（只填序号）
【变式1】（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件：；；；．这个条件可以是 ．
【变式2】（22-23八年级下·北京·期中）已知,如图，四边形，，交于点，请从给定四个条件①；②；③；④中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形.你的选择是 .
【变式3】（22-23八年级下·河南许昌·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是 ．
【变式4】（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，点E、F是四边形的对角线上的两点，．
(1)求证：
(2)四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【变式5】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，E、F为对角线上两点，．求证：四边形是平行四边形．
【变式6】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，四边形对角线交于点O，且O为中点，，，求证：四边形是平行四边形．
【变式7】（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在中，点在上，点在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若为的角平分线，且，，求的周长．
考点4：平行四边形判定与性质综合应用
典例4：（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求的度数．
【变式1】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．
【变式2】（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）已知：在中，于点．
(1)尺规作图：作线段，使交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的基础上，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(3)连接，若，，，则______．
【变式3】（2019·云南·一模）如图，在四边形中，，，，垂足为E.，连接.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若的面积为，，求四边形的周长.
考点5：三角形中位线性质
典例5：（2024·陕西咸阳·一模）如图，点D，E分别是，的中点，的平分线交于点F，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式2】（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点D，点E为边的中点，则的长为 ．
【变式3】（22-23八年级下·山东德州·期末）如图，的面积是，点，，，分别是，，，的中点，则的面积是
【变式4】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论： ．
【变式5】（23-24八年级上·山东泰安·期末）已知，是的中线，过点作．
(1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点A，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
【变式6】（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)判断的形状，并证明；
(2)当、所在直线存在什么关系时，．
【变式7】（23-24九年级上·山西临汾·期中）如图，在四边形 中，P 是对角线的中点，M 是的中点，N 是的中点，连接，，若，试判断与 的数量关系，并说明理由．
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