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重难突破02 勾股定理之折叠问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解．
【详解】解：在中，，
根据折叠的性质可知：．
∴．
故选：A．
2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出，折叠得到，利用求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
故选A．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
首先根据折叠的性质得到，设，则，然后在中利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的面积为．
故选：C．
5．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，平分，再根据三角形周长公式可得的周长，根据现有条件无法证明，据此可得答案．
【详解】解：∵在纸片中，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，平分，
∴的周长，
故①②④正确；
根据现有条件无法证明，
∴正确的只有①②④，
故选：C．
6．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
【详解】∵，
∴，
∴根据勾股定理得，
根据折叠可得：，
∴，
设，则，
在中：，即，
解得：，
故答案为：B．
7．（2019·山东临沂·一模）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，先根据题意得到，则由线段中点的定义得到，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵点E是的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选A．
8．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，通过勾股定理得，再证明，，进而即可求解.
【详解】解：∵将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处，
∴，
∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理：，
设纸片宽为h，
∴，
∴，
故选：C．
9．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，易得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选B．
10．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．
设与交点为点D，过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标．
【详解】设与交点为点D，过点E作轴于点F，
∵，
∴，，
∵在长方形中，，
∴，
∵由折叠有，
∴，
∴，
设，则，，
∵在长方形中，，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
由折叠可得，
∴，
∵或，
∴，
即，
∴，
∵轴，
∴在中，，
∴点E的坐标为．
故选：A．
11．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
由折叠的性质可知，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故选：B．
12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（）
A．26 B．24 C．21 D．15
【答案】D
【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∵，，
∴，
∵的面积为42，F为中点，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
则，解得，
∴，
则，
，
故选∶D．
13．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．．由折叠的性质可知，，，由勾股定理，得出，进而得到，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．灵活利用勾股定理是解题关键．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
四边形是长方形，
，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
故选：C．
14．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可．
【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于，
由翻折的性质可得：，
为等边三角形，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
设，则，，，
在中，，
，
解得：，
，
，
∴，
，，
设点H到的距离为h，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
15．（2021·重庆南岸·一模）如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（ ）
A． B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】过点D作AB的垂线，垂足为G，过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N， 分别求出△DEA和△DFC的面积，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得结果．
【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G，
∵∠BAC＝120°，
∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，
∴AG＝，DG＝，
设AE＝x， 则BE＝12－x＝DE，
在Rt△DGE中，，
即，
解得：x＝，
∴S△ADE＝DG×AE＝＝，
过D作CF的垂线，垂足为H，过A作BC的垂线，垂足为N，
∵，
∴AN＝AB＝6，BN＝ ，
∴BC＝，
设DF＝y，
则CF＝，
DH＝，CH＝，
则有，即，
解得：，
则S△DFC＝，
∴S△DEF＝ ×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）
＝
＝
＝
故选A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出AE、BF的长是解题关键．
二、填空题
16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识．由翻折的性质可得，，，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
由翻折的性质可知：，，，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
故答案为：5．
17．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，，推出点在上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
点是边上的一点，
，
当是直角三角形时，或，
①当时，则，
将沿折叠，使点落在点处，
，
，
②当时，
将沿折叠，使点落在点处，
，，，
，
点在上，如图，
，，，
，
，
，
，
综上所述，的长为 6或，
故答案为：6或．
18．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，中，，，，将折叠，使B点与的中点D重合，折痕为，则的长为 ．
【答案】13
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理等知识，先得出，再根据折叠可得，结合，，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】∵B点与的中点D重合，，
∴，
∵折叠，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
故答案为：13．
19．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得，，，则，，再由的周长，即可求解．
【详解】解：由折叠可得，，，
，，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
20．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，根据平行线的性质得出，再根据轴对称的性质得出，则，进而得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D和点C关于成轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，
即，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
21．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
【答案】5或2
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当时，先求出及的长，再在中利用勾股定理求出；当时，作，证明出为等腰直角三角形即可求出即可．
【详解】解：当时，如图，
，，
，
，
，
由折叠得，，
，
设，
，
在中，，
，即；
当时，如图，作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5或2．
22．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查翻折变换的知识点．分三种情形分别画出图形解决问题即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
①如图1中，当点落在矩形的对称轴上时，
连接，
∴，又，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
∵，
;
②如图2中，当点落在矩形的对称轴上时，
在中，，
在中，，
，
；
③如图3中，当点在的下方时，
同法可得：，
，
故答案为：或或．
23．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，再将该长方形纸片进行折叠，使长方形的两边均与重合，折痕分别为，；铺开后沿折叠，使点与上的点重合．连接，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．设，根据轴对称和勾股定理推导出用含的式子表示出，即可求解．
【详解】解：设，
由折叠得：，，，
，，，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
24．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），含直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，求得，由折叠的性质得到，，设，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得，，，
，
，
设，
，
，，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
25．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别在边上取点，将沿直线翻折得到，使得点的对应点恰好落在延长线上，当时，的长为 ，当时，的长为 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质可得，先求出，从而可得，再由勾股定理可得，最后由，进行计算即可；令交于，连接，由折叠的性质可得：，，，，由得出，，证明得到，设，则，，根据建立方程，解方程即可得出的长，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，令交于，连接，
，
，
由折叠的性质可得：，，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
，
整理得：，即，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
三、解答题
26．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：，
即．
27．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点．
(1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______；
(2)求点D的坐标；
(3)求点E关于y轴的对称点的坐标．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化对称，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
（1）根据矩形的性质即可解决问题；
（2）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，进而可得点的坐标；
（3）根据折叠的性质和勾股定理即可得的长，可得点的坐标，进而求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
∴，，
∴点的坐标、点的坐标和点的坐标；
故答案为：；；；
（2）解：由折叠可知：，
在中，根据勾股定理，得
，
∴点的坐标；
（3）解：在中，，，
根据勾股定理，得
，
，
解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴点E关于y轴的对称点的坐标为．
28．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，求折痕的长．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，，设，利用三线合一和勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理和折叠的性质，是解题的关键．
【详解】解：在中，，
由折叠可知，，，，
设，则．
在中，，
．
解得，
，
在中，．
29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作：
(1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长；
(2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用．
（1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出．
（2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，
∴在中，
设，则，
即
解得：，
即．
（2）在，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
设，则，，
则，
解
解得：，
即．
30．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．
(1)若，则的度数为_______；
(2)若，，求的长；
(3)当的周长为，，求的面积．（用含m、n的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了折叠性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可得到答案；
（2）由折叠的性质可得，则，勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）根据三角形周长公式得到，由折叠的性质得，由此得到，再根据三角形面积公式得到，利用勾股定理推出，则．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵的周长为，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
31．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【答案】操作一∶；操作二：的长为．
【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程．
(1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶
(2)求出，设，可得，即可解得的长．
【详解】操作一：在中，，，，
，
由翻折可得，，，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理得：，
解得： ，
∴；
操作二：在长方形中，，，
根据折叠的性质得，，
在中，，
根据勾股定理可得，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长为．
32．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知长方形中，，，，点在边上，由往运动，速度为，运动时间为秒，将沿着翻折至，点对应点为，所在直线与边交于点．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，从而得到，由折叠的性质可得，，即可得到，根据等角对等边，即可求解，
（2）延长、交于点，当时，求出的长，由，得到，同理（1）可得到，在中应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
（2）解：延长、交于点，
由矩形的性质可得，，
，
又，
当时，，，
，
，
，
由折叠的性质可得，，
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理，，即：，解得：，
，
故答案为：．
33．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．
(1)求的长；
(2)将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，则由勾股定理可得；
（2）由对折性质可知，，，
设，由勾股定理可得，则，解得，则的长为．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
在中，由勾股定理得．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，
∴；
（2）解：由对折性质可知，，，
设，
在和中，由勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得，
∴的长为．
34．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的值；
(3)若．求的面积．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到，即可证明出是等腰三角形；
（2）连接，根据代数求解即可；
（3）设，则，，在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，
又长方形，
，
，
是等腰三角形
（2）如图所示，连接，
，
（3）设，则，
在中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
35．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．
【纸片规格】
三角形纸片，，，点是底边上一点．
【换作探究】
(1)如图，若，，连接，求的长度；
(2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长；
(3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长．
【答案】(1)
(2)或或
(3)
【分析】（1）作于，求得，从而得出，，进而得出，进一步得出结果；
（2）当时，连接，作于，依次得出，，，，，，从而，进一步得出结果；当时，设交于点交于，可推出，，从而，进一步得出结果；当时，可推出，从而，进一步得出结果；
（3）可推出和及是直角三角形，且，，，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，
作于，
，
，，
，
，，
，
；
（2）解：如图2，
当时，连接，作于，
由翻折得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，，
；
如图3，
当时，设交于点交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图4，
当时，
，
，
，
，
，
综上所述：或或；
（3）解：如图5，
∵，，
，，
，
，
，
将沿所在直线翻折得到，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．
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重难突破02 勾股定理之折叠问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
5．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
7．（2019·山东临沂·一模）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( )
A． B．
C． D．
9．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
10．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，将沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（）
A．26 B．24 C．21 D．15
13．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，小林折叠一张长方形纸片，已知该纸片长，宽，折叠时，小林在边上取一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的处，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·重庆南岸·一模）如图，在纸片中，，折叠纸片，使点落在的中点处，折痕为，则的面积为（ ）
A． B．10 C．11 D．
二、填空题
16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则 ．
17．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在直角三角形中，，点D是边上的一点（不与B、C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，的长为 ．
18．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，中，，，，将折叠，使B点与的中点D重合，折痕为，则的长为 ．
19．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ．
20．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为
21．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
22．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形纸片的两边长分别为，，点是边上的动点，将纸片沿直线折叠，点落到处，设，当点恰好在矩形纸片的对称轴上时，则的值为 ．
23．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，再将该长方形纸片进行折叠，使长方形的两边均与重合，折痕分别为，；铺开后沿折叠，使点与上的点重合．连接，则的值为 ．
24．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是 ．
25．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别在边上取点，将沿直线翻折得到，使得点的对应点恰好落在延长线上，当时，的长为 ，当时，的长为 ．
三、解答题
26．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长．
27．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，长方形的边在轴上，边在轴上，，，在边上取一点，使沿折叠后，点落在轴上，记作点．
(1)请直接写出点A的坐标______，点C的坐标______和点B的坐标______；
(2)求点D的坐标；
(3)求点E关于y轴的对称点的坐标．
28．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，求折痕的长．
29．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，进行如下操作：
(1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长；
(2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长．
30．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．
(1)若，则的度数为_______；
(2)若，，求的长；
(3)当的周长为，，求的面积．（用含m、n的代数式表示）
31．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
32．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知长方形中，，，，点在边上，由往运动，速度为，运动时间为秒，将沿着翻折至，点对应点为，所在直线与边交于点．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，求的长．
33．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知，且，把和拼成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若，．
(1)求的长；
(2)将沿折叠，点B落在点F处，延长与相交于点G，求的长．
34．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，重合部分是，，点是对角线上一点，于点，于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的值；
(3)若．求的面积．
35．（23-24八年级上·江苏·期末）在生活中、折纸是一种大家喜欢的活动、在数学中，我们可以通过折纸进行探究，探寻数学奥秘．
【纸片规格】
三角形纸片，，，点是底边上一点．
【换作探究】
(1)如图，若，，连接，求的长度；
(2)如图，若，连接，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点若所在的直线与的一边垂直，求的长；
(3)如图，将沿所在直线翻折得到，边与边交于点，且，再将沿所在直线翻折得到，点的对应点为点，与、分别交于，，若，请直接写出边的长．
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