中小学教育资源及组卷应用平台
重难突破3 平行四边形之构造中位线问题
一、单选题
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N．
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小，
∴最小值为，的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是上一点，若平分的周长，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，如图，延长至，使得，连接，证明是等边三角形得到，再证明，进而推出是的中位线，则．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接，
，
,
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，即，
是的中位线，
．
故选：B．
3．（2024八年级·全国·竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，根据三角形的中位线定理可得，，由三角形的三边关系可得，即，结合与不平行，即得答案．
【详解】如图，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，
是的中点，是的中点，
，，
即，
又与不平行，
所以．
故选：C．
4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，平分交于点，点为边的中点，已知，那么的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键．
延长交于点F，利用全等三角形的判定和性质求得的长，根据三角形中位线定理求得的长，进而求得的长，从而可求三角形周长．
【详解】解：延长交于点F，
∵平分交于点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点为边的中点，
∴
∴，
∴的周长为
故选：A．
5．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
四边形是矩形，
，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
点是的中点，是的中点，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，，E，F分别为，的中点，若，，则长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】连接，并延长交于点G，可证 ，再证，从而可得，可证是的中位线，，即可求解．
【详解】解：连接，并延长交于点G，
，
，，
E，F分别为，的中点，
，，
在和中，
，
（），
，，
是的中位线，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形性的判定及性质，三角形的中位线定理，掌握判定方法及性质是解题的关键．
7．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且，M、N分别为线段、的中点，则线段的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】连接，取的中点H，连接，，根据中位线性质得出，，根据平行线的性质得出，同理课程，，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：连接，取的中点H，连接，，如图所示：
∵M、N分别为线段、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
8．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．
【解答】解：如图，取的中点M，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选:B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
9．（22-23八年级·全国·假期作业）如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解： ，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，分别是的中点，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解此题的关键．
10．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，点在的内部，平分，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，根据等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：延长交于点，
∵，平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即点是的中点，，
∵点是的中点，
∴，
∴的长为．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据题意，连接，在中，利用勾股定理求出，在中，利用中位线性质即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
在正方形中，，点分别是边的中点，
，
在中，，由勾股定理可得，
在中，点分别是的中点，则是的中位线，
，
故选：B．
【点睛】本题考查求正方形中求线段长，涉及正方形性质、中点定义、勾股定理、中位线判定及性质等知识，熟练掌握勾股定理及中位线的性质求线段长是解决问题关键．
12．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论∶①；②点是中点；③；④．一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质可判定结论①；根据角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质可判定结论②；如图所示，延长，交于点，运用全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质可判定结论③；根据中线的性质可判定结论④．
【详解】解：结论①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②点是中点；
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∵，
∴，
∴，
∴点是中点，故结论②正确；
结论③，
如图所示，延长，交于点，
由结论②正确可得，，
∵，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，则点是的中点，
由结论①正确可得，是直角三角形，
∴在中，是斜边的中线，
∴，即，
∴，故结论③正确；
结论④，
如结论③图，
由结论③正确可得，，
∴，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行四边形与三角形的综合，掌握平行四边的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识是解题的关键．
13．（21-22八年级下·湖北·期末）如图，四边形中，于点，，，，点是的中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，取的中点为，连接、，由勾股定理可求的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解的长，根据三角形的中位线可求解的长，再利用三角形的三边关系可求解．
【详解】解：如图，连接，取的中点为，连接、，
，
，
，，
，
为的中点，
，
是中点，是中点，
是中位线，
，
（当且仅当在线段上时等号成立），
，
最大为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
14．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形中，，E为的中点，F为线段上一动点，P为中点，连接，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大；
【详解】解：如图所示：当点F与点C重合时，点P在点处，
，当点F与点E重合，点P在点处，；
且，
当点F在上除点C、E的位置时，有；
由中位线定理可知:： 且，
点P的运动轨迹是线段，
在矩形中，，E为的中点，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
的长最小，最大，
，
，
，
；
故选A．
【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题时需注意数形结合，根据题干以及图形确定点的运动轨迹是该题解答的重要思路，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
15．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，延长至，使得，将沿翻折，使点落点从处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接交于点，由折叠的性质得出，由勾股定理求出，最后由三角形的中位线定理可以求出的长．
【详解】解：连接交于点，如图所示，
，
将沿翻折，使点落点从处，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
是的中位线，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
16．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理等知识．连接，取中点，连接，，由三角形中位线定理推出，，，，再证明，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，取中点，连接，，交于点H．
∵，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
∵，，
∴，
∵，
，
∴在中，．
故答案为：
17．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，是边的中点，是边上一点，是边的中点，直线交的延长线于点．若，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定及性质．
连接，取的中点F，连接，，可得是的中位线，得到，，从而，同理可得是的中位线，得到，从而，进而证得是等边三角形，，根据即可解答．
【详解】解：连接，取的中点F，连接，，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵点F是的中点，点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4
18．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在的延长线上，，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；取中点N，连接，结合等边三角形的性质、三角形中位线的性质先判断出，得出，再根据线段的和差证明，可得结论．
【详解】取中点N，连接，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点D为的中点，点N为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．
【详解】解：延长相交于点H，设交于点O．
∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为．
故答案为：2．
20．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知四边形中，，点分别是边的中点，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵E、F分别是边的中点，G是的中点，
∴分别是的中位线，
∴且，且，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
21．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三线合一定理，勾股定理，过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵F，M分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当时，最小，即此时最小，
∵当时，，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连AD，E为的中点，连，设的最大值为m，最小值为n，则 ．
【答案】6
【分析】取的中点F，利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形中位线定理推出，再分类讨论可求得m和n的值，即得出答案．
【详解】解：由旋转的性质可得出，
如图，取的中点F，连接，
∵．
∴，，
∵E、F分别是的中点，
∴，
如图，当在上方时，
此时，如果C、E、F三点共线，则有最大值，最大值为，即；
如图，当在下方时，
此时，如果C、E、F三点共线时，有最小值，最小值为，即，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，分类讨论求得的最大值和最小值是解题的关键．
23．（20-21八年级下·安徽芜湖·期末）已知平行四边形，对角线和相交于点，是延长线上一点，连接交于点，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】取的中点G，连接则，取的中点H，连接则利用平行四边形的性质，三角形中位线定理计算即可．
【详解】如图，取的中点G，连接
∵平行四边形，对角线和相交于点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
取的中点H，连接
则，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和中位线定理是解题的关键．
24．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在凸四边形中，，，，，连接，取中点，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】作于，取中点，连接、、，得到是的中位线，求出，由等腰直角三角形的性质求出、的长，得到垂直平分，因此，推出，由勾股定理求出的长，由，即可求出的最小值．
【详解】解：作于，取中点，连接、、，
是中点，
是的中位线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
是中点，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，关键是由三角形中位线定理求出的长，由勾股定理求出的长，由即可解决问题．
25．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，延长至，使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接．若，则的长为 ．
【答案】5
【分析】取中点，连接,根据三角形中位线的判定与性质可得，，且有直线与直线重合，进而可得证明，即可得四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】取中点，连接,如图，
点为中点，点为的中点，，
，，，
∵，直线与直线重合，
∴直线与直线重合，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形中位线的性质，是解答本题的关键．
三、解答题
26．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，是高，是中线，且，是的中点.
(1)求证：；
(2)若，，则 ，的长为 .
【答案】(1)见解析
(2)60，12．
【分析】（1）连接，根据三角形直角中线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的中线，
是的中线．
是高，
，
是的中线．
，
，
，
是的中点，
；
（2）解：，是高，
是中线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
是的中点，
是的中位线，
，
是中线，
，
故答案为：60，12．
【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
27．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，E、F分别是的中点．
(1)如图1，若M是的中点，求证：．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与的延长线交于点M、N，求证：．
(3)如图3，在中，，D点在上，，E、F分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据E、M是的中点，证明是中位线，同理证明是中位线，根据中位线的性质以及角的等量代换，得证是等腰三角形，，即可作答；
（2）连接，作的中点P，连接．根据中位线的判定与性质，得，同理得，然后等边对等角，得，结合角的等量代换，即可作答．
（3）连接，取的中点H，连接，根据中位线的判定与性质，得，，同理，，，然后证明、是等边三角形，结合角的等量代换，得证是直角三角形，即可作答．
【详解】（1）证明：∵E、M是的中点，
∴，
同理可得
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴；
（2）证明：如图，连接，作的中点P，连接．
∵点F是的中点，
∴在中，，，
∴
同理可证：，．
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴；
（3）证明：如图连接，取的中点H，连接，
∵F是AD的中点，
∴，，
同理，，，
∵
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
∴
∴
即是直角三角形．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
28．（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知，如图中，点是边的中点，点是的中点，连接并延长交边于点．求边的长．
【答案】6
【分析】本题考查求线段长，涉及三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，取的中点，连接，如图所示，根据中位线的判定与性质得到，进而利用全等三角形的判定与性质得到，从而得到答案，灵活构造出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵取的中点，连接，如图所示：
是的中位线，
∴，
，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
，
，
∴，
∴．
29．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，的中线，相交于点G，求证：，．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了中位线的判定与性质，中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，延长到D，使，连接，先证明是的中位线，即有，，再证明即可作答．
【详解】证明：延长到D，使，连接，
∵的中线，相交于点G，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，．
30．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，AO是的角平分线，，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，延长AC，BD，两者相交于点．
是的角平分线，．
，．
又，，
，．
又是BC的中点，是的中位线，
．
31．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在上，与均为等边三角形，分别是的中点，连接．求证：为等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，取的中点M，连接，得出为等边三角形，利用等边三角形的性质和中点的性质得出，进而可证出，由此得出，即可得出答案，合理作出辅助线得出三角形全等是解决此题的关键．
【详解】取的中点M，连接，
∵与均为等边三角形，
∴，
∵F，H，G分别是的中点，M为的中点，
∴，
∴，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
32．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．
【答案】[三角形中位线定理]见解析；[应用]；[拓展]见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论；
[应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可；
[拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【详解】解：[三角形中位线定理]，；
理由：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，；
[应用]连接，如图所示，
、分别是边、的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
；
[拓展]证明：取的中点，连接、．
、分别是、的中点，
是的中位线，
且，
同理可得且．
，
，
，，
，，
，
，
．
33．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）在中，，分别以、为斜边，向的内侧作等腰、等腰，点M是的中点，连接．
(1)若，，求的长．
(2)试探求线段、和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理求得，，计算线段的差即可得到的长．
（2）延长，交于点N，证明，得到，，是的中位线，利用中位线定理证明即可．
【详解】（1）∵，，都是等腰直角三角形，
∴，，，
故A，D，E三点共线，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
（2）线段、和的数量关系为．理由如下：
如图，延长，交于点N，
∵，
∴，
∴，，
+
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴线段、和的数量关系为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，勾股定理，熟练掌握中位线定理和勾股定理是解题的关键．
34．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
(2)如图2，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）如图2中，延长交的延长线于．同理可得，进而可得，，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
平分，于点，
∴，，
又∵，
∴，
，，
，
．
（2）如图2中，延长交的延长线于D．
同理可得：，
∴，，
点为的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
35．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【问题背景】
已知，均是等腰三角形，且有公共顶点，，连接，是的中点，连接，．
(1)【思路探究】
如图1，当与在同一直线上时，延长交于点，求证：；
(2)【迁移应用】
如图2，当时，延长，交于点，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先证为等腰直角三角形，推出，进而可证为的中位线，根据中位线的性质可得；
（2）延长交于点，连接，可得，，均为等腰直角三角形，根据三角形中位线的性质可证，，再证，推出，即可证明．
【详解】（1）证明： ，为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
点为线段的中点，
又点为线段的中点，
为的中位线，
．
（2）证明：延长交于点，连接，则易知与均为等腰直角三角形，
，，
点为中点，又点为中点，
．
为等腰直角三角形，，
为等腰直角三角形，
，，
点为中点，
又点为中点，
．
在与中，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
重难突破3 平行四边形之构造中位线问题
一、单选题
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是上一点，若平分的周长，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年级·全国·竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，平分交于点，点为边的中点，已知，那么的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，，E，F分别为，的中点，若，，则长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且，M、N分别为线段、的中点，则线段的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
8．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（22-23八年级·全国·假期作业）如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，点在的内部，平分，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
12．（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论∶①；②点是中点；③；④．一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
13．（21-22八年级下·湖北·期末）如图，四边形中，于点，，，，点是的中点，连接，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，在矩形中，，E为的中点，F为线段上一动点，P为中点，连接，则线段长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，延长至，使得，将沿翻折，使点落点从处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知，延长直角边BC至点D，使，E为直角边AC上的点，且，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则 ．
17．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在中，是边的中点，是边上一点，是边的中点，直线交的延长线于点．若，则的长度为 ．
18．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在的延长线上，，若，则 ．
19．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
20．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知四边形中，，点分别是边的中点，连接，则的长是 ．
21．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为 ．
22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连AD，E为的中点，连，设的最大值为m，最小值为n，则 ．
23．（20-21八年级下·安徽芜湖·期末）已知平行四边形，对角线和相交于点，是延长线上一点，连接交于点，，，则的长为 ．
24．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在凸四边形中，，，，，连接，取中点，连接，则的最小值是 ．
25．（22-23八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，延长至，使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接．若，则的长为 ．
三、解答题
26．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，是高，是中线，且，是的中点.
(1)求证：；
(2)若，，则 ，的长为 .
27．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形中，，E、F分别是的中点．
(1)如图1，若M是的中点，求证：．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与的延长线交于点M、N，求证：．
(3)如图3，在中，，D点在上，，E、F分别是的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并说明理由．
28．（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知，如图中，点是边的中点，点是的中点，连接并延长交边于点．求边的长．
29．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，的中线，相交于点G，求证：，．
30．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，AO是的角平分线，，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．
31．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在上，与均为等边三角形，分别是的中点，连接．求证：为等边三角形．
32．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．
33．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）在中，，分别以、为斜边，向的内侧作等腰、等腰，点M是的中点，连接．
(1)若，，求的长．
(2)试探求线段、和的数量关系，并证明你的结论．
34．（22-23八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，平分，于点，点是的中点．
(1)如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
(2)如图2，若，，求线段的长．
35．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）八年级我们学习了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【问题背景】
已知，均是等腰三角形，且有公共顶点，，连接，是的中点，连接，．
(1)【思路探究】
如图1，当与在同一直线上时，延长交于点，求证：；
(2)【迁移应用】
如图2，当时，延长，交于点，连接，求证：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
