中小学教育资源及组卷应用平台
重难突破4 特殊平行四边形之折叠问题
一、单选题
1．（2023·广东东莞·一模）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
2．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
4．（2024·山东青岛·一模）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
故选：B．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片的边上取一点E，将沿翻折，使点B落在点处，边交于点F，第二步：将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上．根据以上的操作，若，是的中点，则线段的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
6．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
7．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将正方形沿折叠，使B落在上点H处，连接、，则下列结论一定成立的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
9．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，点为边上一点，，沿折叠正方形后，点落在平面内处，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在一张菱形纸片中，，，点在边上不与，重合，将沿直线折叠得到，连接，，，有以下四个结论：；；当时，；当平分时，则．以上结论中，其中正确的结论个数是（ ）
A． B． C． D．
14．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
15．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（重庆市开州区开州文峰教育集团2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题）如图，在中，，D是的中点，E是上的点，延长交的延长线于点G， 将沿折叠，得到， 连接，若，，则的长为 ．
17．（2023·河南商丘·二模）如图，动点、分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在点处，若，点是边的三等分点，则的长为 ．
18．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
19．（23-24八年级下·广东中山·开学考试）矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．
20．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，先有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接；当P，A重合时， ．
21．（2023·浙江杭州·二模）如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
22．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形中，，点E上线段上的一点，且满足，连接BE，将沿折叠得到，延长交的延长线于点G，则的面积是 ．
23．（21-22九年级上·四川雅安·期末）如图，正方形纸片的边长为，E，分别是边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点A落在边上的点处，此时点落在点处，已知折痕则的长等于 ．
24．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形，点在边上，连接，将沿直线折叠，使点刚好落在边上的点处．若，，则长为 ．
25．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为 ．
三、解答题
26．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
27．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
28．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．
【琛究】：
（1）如图①，当点在上时，______．
（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．
29．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______．
【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，，，则的面积为______．
30．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上.求证：四边形是正方形.
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上.连结，若，，求菱形的面积
31．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
图1 图2
【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．
【猜想】请直接写出线段的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
32．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．
(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)求的长度．
33．（23-24八年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，重叠部分为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的面积．
34．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）综合与实践：
在《第七章平行线的证明》中我们学行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线：
(1)知识初探：如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
(2)类比再探：如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处.点B落在处，得到折痕，点、G、E、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．
35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图①中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中_______（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请直接写出图④中所有的黄金矩形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
重难突破4 特殊平行四边形之折叠问题
一、单选题
1．（2023·广东东莞·一模）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】
本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据可得，根据折叠前后对应角相等、对应边相等，可得，，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，，列方程即可求解．
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得．
故选D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接交于点，
，
∵，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
【答案】C
【分析】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到，利用勾股定理算出，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可解题．
【详解】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示：
在矩形中，，，，
根据折叠的性质，可得，，，
，
在中，根据勾股定理，得，
设，则，，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故选：C．
4．（2024·山东青岛·一模）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由折叠得，垂直平分，垂直平分，则，，，所以，则，即可推导出，则，所以，由三角形的中位线定理得，，则，再证明，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
连接，，
由折叠得，点与关于直线对称，点与点关于直线对称，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片的边上取一点E，将沿翻折，使点B落在点处，边交于点F，第二步：将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上．根据以上的操作，若，是的中点，则线段的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，根据矩形折叠得到，，，，结合中点及勾股定理求出，从而得到即可得到答案
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，，
∵点恰好为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
6．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质及勾股定理，设，由矩形的性质得出，根据正方形的性质和折叠性质可得，，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案．根据折叠性质表示出的长是解题关键．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，
∴，
在中，，
∴，
解得：，即．
故选：D．
7．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解．
【详解】解：根据翻折可知：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将正方形沿折叠，使B落在上点H处，连接、，则下列结论一定成立的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【分析】作于点M，证明，推出，可证明①正确；与不一定相等，则与不一定相等，故证明②不一定成立；作于点Ⅰ，证明，推出，，再证明，推出，可证明③正确；推出，可证明④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
作于点M，
∴，，
由折叠的性质得，，
∴，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，，
∴与不一定相等，故②不一定成立；
作于点I，
由折叠的性质得，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上，①③④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
9．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，连接，
四边形为菱形，，
为等边三角形，，，
为的中点，
为的平分线，即，
，
由折叠的性质得到，
在中，．
故选：B．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据是的垂直平分线，得到，结合得到是等边三角形，即可得到，根据四边形是菱形得到，根据折叠即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，
∴，
∴，
故选D；
【点睛】本题考查菱形的折叠问题，三角形内角和定理，菱形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是得到是等边三角形．
11．（22-23八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，点为边上一点，，沿折叠正方形后，点落在平面内处，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，根据，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解；
【详解】解：过点作，如图所示：
∵四边形是正方形，点A的坐标是，
∴，，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即点的坐标为
故选：C.
【点睛】主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理．
12．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先判断出，进而判断出，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】解：由折叠补全图形如下图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，
由第一次折叠得：，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
由第一次折叠得：，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了折叠问题，等腰直角三角形的性质及矩形的性质，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关键．
13．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在一张菱形纸片中，，，点在边上不与，重合，将沿直线折叠得到，连接，，，有以下四个结论：；；当时，；当平分时，则．以上结论中，其中正确的结论个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质即可判断结论；
由折叠和菱形性质得：，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：，，得出；
根据折叠性质和菱形性质可证得，即可判断结论；
由折叠和已知可得，根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得平分，从而可证是等边三角形，再证是等腰直角三角形，即可判断结论．
【详解】解：将沿直线折叠得到，
，
只有时，才成立，
故结论不正确；
由折叠得：，
四边形是菱形，
，，
∴，
，
，，
，
故结论正确；
如图，，将沿直线折叠得到，
，，，
四边形是菱形，
，，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
故结论正确；
如图，由折叠得：，，
平分，
，
、分别平分、，
∵三角形三条内角平分线交于一点，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故结论不正确，
综上所述，正确的结论是：②③；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型．
14．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形．即可算出周长．
【详解】由折叠可知，
由折叠可得，
是等边三角形
故
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称图形的性质，以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变化．
15．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明，推出，再证明，再通过线段和差即可得结论．
【详解】由翻折的性质可知，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，，，，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性质及其应用．
二、填空题
16．（重庆市开州区开州文峰教育集团2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题）如图，在中，，D是的中点，E是上的点，延长交的延长线于点G， 将沿折叠，得到， 连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，，进而可证明是等腰直角三角形，得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，则，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（2023·河南商丘·二模）如图，动点、分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在点处，若，点是边的三等分点，则的长为 ．
【答案】或
【分析】
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．
先根据，点P是边的三等分点得出或，设，则，再根据勾股定理列方程可求出x的值．
【详解】
解：四边形是正方形，，点P是边的三等分点，
若，则，
设，则，
由折叠的性质可知，，
∴，
在中，
，即，
解得；
∴；
若，同理可得；
故答案为：或．
18．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可．
【详解】解：如图1，四边形是平行四边形，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ ；
如图2，四边形是平行四边形，作于点G，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴点F与点G重合，
∴，
综上所述，线段的长为2或，
故答案为：2或．
19．（23-24八年级下·广东中山·开学考试）矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，
在中，，
故答案为：
20．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，先有一张矩形纸片，点M，N分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接；当P，A重合时， ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意画出图形可推出四边形是菱形，设，则，根据勾股定理求出即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：垂直平分，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形
设，则
∵
∴
解得：
∴，
∴
∴
故答案为：
21．（2023·浙江杭州·二模）如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则 ，在中，依据勾股定理得到方程 ，求得的值即可得到的长．
【详解】解：如图所示，过作，交的延长线于点，
∴，
设，则，
∵是的中点，
∴，
在中，，
解得，
故答案为：1.2．
22．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在长方形中，，点E上线段上的一点，且满足，连接BE，将沿折叠得到，延长交的延长线于点G，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
由题意知，由折叠的性质可知，，则，如图，作的延长线于，则四边形是矩形，则，设，，由勾股定理得，，即，，即，整理求解得，，将代入②求解得，则，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
如图，作的延长线于，则四边形是矩形，
∴，
设，，
由勾股定理得，，即，
，即，
整理得，，
解得，，
将代入②得，，
解得，，
∴，
∴，
故答案为：．
23．（21-22九年级上·四川雅安·期末）如图，正方形纸片的边长为，E，分别是边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点A落在边上的点处，此时点落在点处，已知折痕则的长等于 ．
【答案】5
【分析】过点作，垂足为，连接，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，由同角的余角相等可证明，从而可证明，则可得，最后在利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵正方形纸片，
∴，
如图，过点作，垂足为，连接，则四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，，
由轴对称的性质可知，
∴，
∵，
∴，
，
在和中，
∵，
∴，
．
设，由翻折的性质可知，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次根式的乘法运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形，点在边上，连接，将沿直线折叠，使点刚好落在边上的点处．若，，则长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是本题的关键．由矩形的性质和折叠的性质可得，设，则， ，由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵将矩形沿直线折叠，
∴，,
∴,
设，则， ，
∵，
∴中，，
∴，
解得 ，
∴，
故答案为：．
25．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解．
【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴四边形是矩形，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵将沿着折叠，边佮好落在边上，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题
26．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）根据矩形和翻折的性质即可解决问题；
（）根据矩形和翻折的性质可得，，即可解决问题；
（）设，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折可知: ，
∴，
∴度数为；
（2）证明：∵四边形是矩形,
∴，
由翻折可知: ，，
∴，，
在和中，
，
∴；
（3）解：设，则，
∵沿翻折后点与点重合，
∴，
在中，由勾股定理得，即 ，
解得，
∴．
27．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，过点D作，交于点G，连接交于点O．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①四边形是菱形，理由见解析；②
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；
（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；
②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．
【详解】（1）证明：根据折叠，，，
四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：①结论：四边形是菱形．
理由：四边形是矩形，
，
，
又 ，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：②，，
．
．
设，
．
在直角中，
，即，
解得，即，
．
【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、翻折不变性进行解答．
28．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．
【琛究】：
（1）如图①，当点在上时，______．
（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．
【答案】[探究]（1）；（2）；应用 ．
【分析】[探究] （1）连接，可推出，从而得出，进一步得出结果；
（2）可证得，从而，进而得出结果；
[应用]设，则，在中，，，，根据勾股定理得，求得的值，进一步得出结果．
【详解】解：[探究] （1）如图①，连接，
垂直平分，
，
由折叠得，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
是等边三角形，则，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
由（1）可知：，，，
，
，
，
，
；
应用 设，则，
由（2）知：，
在中，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
29．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上的点处，得到折痕，点在边上，将纸片还原，连结，若，则四边形的周长为______．
【探究】如图②，点、分别是平行四边形纸片的边、上的点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上的点处，将纸片还原，连结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，，，则的面积为______．
【答案】【感知】16；【探究】（1）见解析；（2）．
【感知】由四边形是平行四边形得，则，求得，即可得到答案；
【探究】【感知】由平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而进而即可求解；
【探究】（1）四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得到，，，则，，，即可得到结论；
（2）过点作交于点，则，进步得到，，求得、的长，由折叠可知，，，设，则，由勾股定理列式解得，得到的长，可求得结论．
【详解】【感知】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知，，，，
，
，
，
四边形的周长为；
故答案为：．
【探究】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上，
，，，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：过点作交于点，则，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
∴，
，
由折叠可知，，，
设，则，
由勾股定理得，
，
解得，
即，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
30．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上.求证：四边形是正方形.
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上.连结，若，，求菱形的面积
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得： ， 则四边形是矩形，然后由，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出是菱形，由菱形面积公式得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形,
，
由折叠的性质得：
∴四边形是矩形，
由折叠的性质得：，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形；
如图，
∵ ，
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、 正方形的判定、 菱形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质、 等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键.
31．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
图1 图2
【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．
【猜想】请直接写出线段的数量关系______．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】[猜想] ；[应用]（1）,理由见解析；（2）5
【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键．
【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解；
【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；
（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：【猜想】矩形纸片沿所在的直线折叠，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：；
【应用】（1）；理由如下：
由四边形折叠得到四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）矩形沿所在直线折叠，
，，，
设，
，
在中，，
，
，
解得，
，
．
32．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．
(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)求的长度．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据翻折变换的对应关系及矩形的性质，易得，和，从而证明；
（2）根据翻折变换的对应关系及矩形的性质，易得，，在中，利用勾股定理求出长度，从而求出长度．
【详解】（1）解：，理由如下：
四边形是长方形，
，，，
，
沿折叠后为，
，
，，
在与中，
，
；
（2）解：四边形是长方形，
，，
，
，
在中，由勾股定理有，
．
【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用相关知识，找准对应边、对应角是解题关键．
33．（23-24八年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，重叠部分为．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查矩形的性质，轴对称，等腰三角形的判定，三角形的面积公式．
（1）由矩形的性质可得，由折叠可得，从而，进而得证结论；
（2）直接根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵在矩形中，，
∴，
∵折叠可得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴
∵在矩形中，，
∴．
34．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）综合与实践：
在《第七章平行线的证明》中我们学行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线：
(1)知识初探：如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
(2)类比再探：如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处.点B落在处，得到折痕，点、G、E、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识点；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可解答；
（2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，最后根据平行线的判定定理即可解答．
【详解】（1）解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴
∴
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴
∴，
∴．
35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）再读教材：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图①中所示的处．
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中_______（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）请直接写出图④中所有的黄金矩形．
【答案】（1）；（2）四边形的形状是菱形，理由见解析．（3）图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形．
【分析】（1）本题考查折叠的性质、正方形性质和勾股定理，利用正方形的性质得出线段和，再由折叠的性质求得线段，最后利用勾股定理即可解题．
（2）本题考查菱形的判定，利用矩形对边平行和折叠的性质，证明四边形为平行四边形，再结合邻边相等的平行四边形是菱形，即可解题．
（3）本题根据题干的定义，宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，即可解题．
【详解】（1）解：连接，如图③，
由题知四边形为正方形，且，
，，
又两个矩形相等，
，
．
（2）解：四边形的形状是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知，，，又图为矩形纸片，
，则，
，
，
四边形为菱形.
（3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形．
理由如下：
，，，
，则，故四边形为黄金矩形，
又，故四边形为黄金矩形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
