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重难突破05 一次函数之实际问题
一、单选题
1．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，李爷爷要围一个长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为24m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+24（0＜x＜12） B．y＝﹣x+12（8＜x＜24）
C．y＝2x﹣24（0＜x＜12） D．y＝x﹣12（8＜x＜24）
【答案】B
【分析】根据菜园的三边的和为24m，进而得出一个x与y的关系式，然后根据题意可得关于x的不等式，求解即可确定x的取值范围．
【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为24m，
即，
所以，
由y＞0得，，
解得，
当时，即，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的运用及根据条件得出不等式求解，理解题意，利用不等式得出自变量的取值范围是解题关键．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h．
C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地．
【答案】C
【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻．
【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确．
乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确．
设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误．
乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
3．（2022·河南驻马店·三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h的值为（ ）
t（min） … 1 2 3 5 …
h（cm） … 2.4 2.8 3.4 4 …
A．2.4 B．2.8 C．3.4 D．4
【答案】C
【分析】根据水位h（cm）是时间t（min）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．
【详解】解：∵水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，
∴每增加一分钟水位上升的值相同，
由表格可得：由1 min到2 min上升了0.4 cm，2 min到5 min共上升了1.2 cm，2 min到3 min上升了0.6 cm，
故可知错误的数据为，
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．（22-23八年级上·甘肃白银·期末）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为；②乙车用了到达城；③甲车出发时，乙车追上甲车
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】求出正比函数的解析式，k值的绝对值表示车的速度；横轴上两个时间点的差表示乙走完全程所用时间，求出一次函数的解析式，确定它与正比例函数的交点坐标，横坐标即为二车相遇时间．
【详解】设甲的解析式为y=kx，
∴6k=300,
解得k=50，
∴=50x，
∴甲车的速度为，
∴①正确；
∵乙晚出发2小时，
∴乙车用了5-2=3（h）到达城，
∴②错误；
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即甲行驶4小时，乙追上甲，
∴③正确；
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，函数图像，交点坐标的确定，解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法，准确求交点的坐标是解题的关键．
5．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【分析】设x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，根据题意，得到y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，设x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而减小，符合一次函数关系．
故选B．
【点睛】本题考查函数的应用．熟练掌握正比例函数，一次函数，反比例函数以及二次函数的性质，是解题的关键．
6．（23-24八年级上·山西运城·期中）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键．
设超过部分的函数解析式为，将点代入确定函数解析式，然后代入求解即可．
【详解】解：设超过部分的函数解析式为，
将点代入得：，
解得：，
∴超过部分的函数解析式为，
当时，即，
解得：，
∴小丽购买的数量为，
故选：D．
7．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某市规定了每月用水立方米以内（含立方米）和用水立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y（元）与关于用水量x（立方米）的函数图象如图所示．若小敏家某月交水费元，则小敏家这个月用水量为（ ）立方米？
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求y关于x的函数表达式,将代入表达式即可求出用水量．
【详解】设函数解析式为 ，
∵直线经过点，，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
由，得用水量超过立方米，
当，，
解得．
所以这个月用水量为立方米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
8．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（ ）个．
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意和函数图象中的数据可以判断各个结论是否正确，最终可解答本题．
【详解】解：由图可知：
甲步行的速度为：米/分，故①正确；
乙走完全程用的时间是分钟，故②错误；
乙追上甲用得时间为：分钟，故③错误；
乙到达终点时，甲离终点还有米，故④错误；
∴不正确的结论有三个，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
9．（22-23八年级·全国·假期作业）小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ．
【答案】1.5千米
【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以计算出经15分钟后小明离家的路程．
【详解】解：由图像可得，
经15分钟后小明离家的路程为3.5﹣2＝1.5（千米），
故答案为：1.5千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
10．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）汽车邮箱中有汽油，如果不再加油，那么邮箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，耗油量为 请写出与的函数关系式 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，根据题意求出函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意可知 ，
故答案为： ．
11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行二百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
【答案】500
【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意求得善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
【详解】解：根据题意，设点、的坐标为：、，
则直线的表达式为：①，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得，
解得：，两图象交点的纵坐标为250，
故答案为：500．
12．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为千米，乘车费为元，那么与之间的关系为 ．
【答案】
【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的付费得出．
【详解】依题意有：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用=起步价+超过3千米的付费．
13．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）某城市按以下规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么该户4月份应交煤气费 元．
【答案】66
【分析】设4月份用了煤气x立方米，4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，根据题意，找出等量关系，再把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以0.88即为煤气费．
【详解】
解：设4月份用了煤气x立方米，
由题意得，，
解得：，
则煤气费为：（元），
故答案为：66．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，准确找出等量关系是解题的关键．
14．（2023·上海金山·二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟．
【答案】5
【分析】分别求出函数的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：设函数，
∴，
∴，
∴，
联立，
解得，
∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中），两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的是 （填序号）
①甲的骑车速度为，乙的骑车速度为；
②的函数表达式为；
③的函数表达式为；
④后两人相遇．
【答案】②③④
【分析】本题考查一次函数的应用，速度、时间、路程之间的关系等知识，根据速度等于路程除以时间，即可求出两人的速度，利用待定系数法求出一次函数和正比例函数解析式即可判定②③正确，利用方程组求出交点的横坐标即可判断④即可．
【详解】解：甲骑车速度为，乙的速度为，故①不正确，
设的表达式为，把 代入得到：，
解得，
∴直线的解析式为，故②正确，
设直线的解析式为，把代入得到，
∴直线的解析式为，故③正确，
由，解得
∴小时后两人相遇，故④正确，
故答案为：②③④．
16．（2022·广西·一模）星期六，王力上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.他离家的距离y (单位：千米) 与时间t (单位：分钟)的关系如图所示，则上午 8 ：45 王力离图书馆 千米．
【答案】0.5/
【分析】首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y＝kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k和b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t＝45代入，求出此时离家的距离，再用2减去此时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y＝kt+b，
∵图象经过（40，2）（60，0），
∴
解得：
∴y与t的函数关系式为y＝﹣t+6，
当t＝45时，y＝﹣×45+6＝1.5，
即此时王力离家的距离为1.5千米，
由题意的图书馆离家的距离是2千米，
故离图书馆的距离为2－1.5＝0.5（千米）
故答案为：0.5．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．
三、解答题
17．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：
种材料（） 种材料（） 所获利润（元）
每个甲种吉祥物
每个乙种吉祥物
该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元．
(1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围：
(2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)，且是整数
(2)生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元
【分析】（1）本题的等量关系是：总利润生产甲吉祥物的利润生产乙吉祥物的利润，可根据此得出函数关系式，然后根据生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，生产甲吉祥物用的材料生产乙吉祥物用的材料，来列出不等式组求出自变量的取值范围；
（2）根据（1）得出的函数关系式，以及自变量的取值范围，依据函数的性质判断出最大利润及生产方案．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
由题意，
解得：，
自变量的取值范围是且是整数；
（2）由（1），
，
随的增大而减小，
又 且是整数，
当时，有最大值，最大值是（元），
生产甲种吉祥物个，乙种吉祥物个，所获利润最大，最大为元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法．
18．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10天，然后乙队加入，两队合作完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系．求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y与天数x间的函数关系式．
【答案】
【分析】观察图象，找出函数图象经过点的坐标，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设所求工作量y与天数x间的函数关系式为y＝kx＋b，
函数图象经过和，
，
解得 ，
∴所求工作量y与天数x间的函数关系式为．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，从所给图象中找出函数图象经过点的坐标是解题的基础，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的过程是解题关键．
19．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）下表是佳佳往朋友家打长途电话的几次收费记载：
时间/分 1 2 3 4 5 6 7
电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）你能帮佳佳预测一下，如果她打电话用时间是10分钟，则需付多少电话费？
【答案】（1）通话时间与电话费；通话时间是自变量，电话费是因变量；（2）6元．
【分析】（1）根据函数的定义可知，通话时间是自变量，电话费是因变量；
（2）观察图表中的数据，1分钟0.6，两分钟1.2，三分钟1.8，每多一分钟，多0.6，据此求解即可．
【详解】解：（1）依题意的：上表反映了通话时间与电话费之间的关系；其中通话时间是自变量，电话费是因变量；
（2）设时间为，电话费为，则依题意得：，
当时，元．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义及其性质，熟悉相关性质是解题的关键．
20．（22-23八年级下·山东临沂·期末）为了学生的身体健康，学校课桌、椅的高度都是按照一定的关系科学设计的，研究表明：课桌的高度与椅子的高度符合一次函数关系．下表给出了一套课桌、椅对应的四档高度．
档次高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高 37 40 42 45
桌高 70 78
(1)上面的表格中，第四档对应的桌高为______；
(2)求课桌的高度与椅子的高度之间的函数关系式；
(3)小欣放学回到家，测量了家里的书桌高度为，椅子的高度为，请你通过计算说明小欣家里的书桌与椅子是否符合科学设计．
【答案】(1)
(2)
(3)小欣家里的书桌与椅子不符合科学设计，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：椅子的高度每增加，课桌的高度增加，即可求解；
（2）利用待定系数法解答，即可求解；
（3）把代入（2）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，椅子的高度每增加，课桌的高度增，
故第四档对应的桌高为，
故答案为：；
（2）设与的函数关系式为，
将点，代入，得，
解得，
与的函数关系式为；
（3）小欣家里的写字台与凳子不符合科学设计，理由如下：
当时，，
小欣家里的书桌与椅子不符合科学设计．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
21．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）非常时期，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销售，销售完后共获利元．进价和售价如下表：
型号价格 甲型口罩 乙型口罩
进价（元/袋） 2 3
售价（元/袋） 3
(1)该超市胸购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
(2)该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，此次用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩袋，超市获利元，试求关于的函数关系式，并求出的取值范围．
【答案】(1)甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋
(2)，
【分析】本题主要考查一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的综合，理解题目中的数量关系列方程，掌握二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题的关键.
（1）根据表格中的数据，设甲型口罩有袋，乙型号口罩有袋，用元购进，获利元，由此列方程组即可求解；
（2）以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，甲种口罩袋，则乙型口罩为袋，用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元，由此可列不等式解.
【详解】（1）解：设甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋，根据题意得：
，
解这个方程组得，，
甲型号口罩有袋，乙型号口罩有袋.
（2）解：以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，甲种口罩袋，
乙型口罩为袋，
用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元，
，
解不等式得，，
获利元，
，
整理得，，
与的函数关系式为：（）.
22．（23-24八年级上·江西九江·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元．
(1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________；
当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________．
(2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元．
(3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时．
【答案】(1)；．
(2)小新家十月份应交电费96元
(3)小明家十月份用电240千瓦时
【分析】本题主要考查一次函数的应用，
（1）根据题意分别列出两个函数关系式即可；
（2）根据题意将其代入（1）中第一个函数关系式即可；
（3）根据题意得出用电量超过了200千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；
理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键．
【详解】（1）解：当时，与的函数关系式是；
当时，与的函数关系式是，即．
故答案为；．
（2）∵，
∴（元）．
答：小新家十月份应交电费96元．
（3）∵小明家十月份的电费超过了120元，
∴用电量超过了200千瓦时．
把代入中，得．
答：小明家十月份用电240千瓦时．
23．（22-23七年级下·广东佛山·期中）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间 0 1 2 3
油箱剩余油量 100 94 88 82
(1)上表反映两个变量中，____________是自变量；____________是因变量；
(2)根据上表的数据，用表示，表达式为：______________；
(3)汽车行驶后，油箱中的剩余油量是多少？
(4)贮满汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时？
【答案】(1)，
(2)
(3)汽车行驶后，油箱中的剩余油量是；
(4)贮满汽油的汽车，理论上最多能行驶小时．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶1小时，油量减少，据此可得t与Q的关系式；
（3）求汽车行驶后，油箱中的剩余油量即是求当时，Q的值；
（4）贮满汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时即是求当时，t的值，即可求得答案．
【详解】（1）解：在这个变化过程中，汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量；
故答案为：，；
（2）解：由题意可知，；
故答案为：；
（3）解：当时，；
即汽车行驶后，油箱中的剩余油量是；
（4）解：当时，，
整理得：，
解得：，
答：贮满汽油的汽车，理论上最多能行驶小时．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是求函数关系式．注意贮满汽油的汽车，最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0时的t的值．
24．（22-23八年级下·上海·期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．
(1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围．
(2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益．
【答案】(1)y1＝﹣120x＋12000，y2＝114x﹣2400，≤x≤100且x为整数
(2)22名，9468元
【分析】（1）根据题意构建一次函数y1、y2，构建不等式求出自变量的取值范围即可；
（2）设每天的收入为w元，则有w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600，因为k＝﹣6＜0，所以w随x的增大而减小，推出x＝22时，w有最大值，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：由题意得： y1＝（100﹣x）×4×30＝﹣120x＋12000，
y2＝[30x﹣（100﹣x）×4×2]×3＝114x﹣2400，
∵，
∴≤x≤100且x为整数；
（2）设每天的收入为w元，
由题意得：w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600，
∵k＝﹣6＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵≤x≤100且x为整数，
∴当x＝22时，w有最大值，最大值为9468元，
答：每天安排22名工人生产半产品，最大收益为9468元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．
25．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y；
(2)写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)
(3)安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元
【分析】（1）根据货车装运苹果和橘子共60吨，列出函数关系即可求解；
（2）根据，代入（1）的解析式，即可求解．
（3）根据装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，求得的范围，根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，
∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨
∴，
即，
∵，
解得，且为3的倍数
∴ 且为3的倍数
（2）解：∵，
∴
（3）
∴，
解得，
∵，且为3的倍数，
∴，且为3的倍数，
∵，
，
∴随增大而减小，
∴当，，此时最大，最大值为（元）
即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
26．（22-23七年级下·福建宁德·期中）五一小长假，小王一家开车去太姥山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间之间的关系如图所示，行驶一段时间到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，为了按时赶到B地，为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．
(1)上述问题中自变量是_______，因变量是_______；
(2)汽车从景区到C地用了_______小时，平均每小时行驶_______千米；
(3)车修好后每小时行驶多少千米？（写出计算过程）
【答案】(1)时间；路程
(2)3；50
(3)车修好后每小时行驶75千米
【分析】（1）根据函数的图像可知横轴表示时间，纵轴表示路程，据此解答即可；
（2）根据函数的图像可以知道汽车行驶的时间和路程，用路程除以时间即可得到速度；
（3）观察图像可以得到汽车在3-4小时之间路程没有增加，说明此时在检修，检修后两小时走了150千米据此可以求得速度．
【详解】（1）解：根据题意得自变量是时间，因变量是路程.
故答案为：时间；路程．
（2）解：由图像可知，汽车从景区到C地用了3小时，
平均每小时行驶千米．
故答案为：3；50．
（3）解：修好后每小时走千米．
所以车修好后每小时行驶75千米．
【点睛】本题主要考查了从函数图像，正确从函数图像获取信息成为解答本题的关键．
27．（2020·吉林长春·三模）在疫情得到控制后，某博物馆正式对外开放，但采取了限流措施，即保持馆内的实际游客人数最多为5000人．经过统计，在博物馆开放的前3个小时内只有进馆的游客，而在闭馆前的2个小时内只有离馆的游客．馆内的实际游客人数（千人）与博物馆开放的时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）求闭馆前的2个小时内游客的离馆速度．
（2）当时，求与之间的函数关系式．
（3）当馆内实际游客人数不少于4000人时，博物馆提供导游讲解服务，故游客能获得最佳的游览体验，求游客能够获得最佳游览体验的时间共有____________时．
【答案】（1）2.5千人/时；（2）；（3）3.4
【分析】（1）根据闭馆前两个小时的人数和闭馆时的人数之和除以所用时间即可得出闭馆前的2个小时内游客的离馆速度；
（2）根据待定系数法求一次函数的解析式即可求出时，求与之间的函数关系式；
（3）由图像可知时和闭馆前的2个小时内是有达到4000人的，求出当馆内实际游客人数达到4000人时的时间点即可求出馆内不少于4000人的时间段．
【详解】（1）（千人/时）．
答：闭馆前的2个小时内游客的离馆速度为2.5千人/时．
（2）设时，与之间的函数关系式为．
依题得，解得
所以．
（3）当时，，解得，
即馆内实际游客人数不少于4000人的时间段是，共1个小时；
当时，馆内实际游客人数等于5000人，共两个小时；
当时，由（1）知离馆速度为2.5千人/时，，解得，
则馆内实际游客人数不少于4000人的时间段是，共小时，
因此游客能够获得最佳游览体验的时间共有1+2+0.4=3.4（小时）．
故答案为：3.4．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，仔细观察图像，分析图像数据，利用一次函数知识是解题的关键．
28．（22-23九年级上·河北保定·期末）某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x（元/千克）（，且x是按0.5元的倍数上涨），销售量为y（千克），销售利润为w元．
（1）完成下表；
销售单价x（元/千克） 35 36 40 45 50
日销售量y（千克） 450
（2）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？
（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）420；300；150；0；（2）；（3）38元/千克；（4）销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元．
【分析】（1）根据题意，填写表格即可；
（2）设，将、代入，可得出、的值，继而得出与的函数关系式；
（3）每天的总利润每天的销量每千克的利润，从而可得一元二次方程，利用配方法求解最值即可；
（4）由（3）知，日销售利润，据此求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，填表如下：
销售单价x（元/千克） 35 36 40 45 50
日销售量y（千克） 450 420 300 150 0
（2）根据题意，知与成一次函数关系．
设其函数表达式为．则
解得，．
∴所求的函数表达式为．
（3）日销售利润为，
由题意，得．
整理，得．
解得，．
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴舍去，保留．
答：为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为38元/千克．
（4）由（3）知，日销售利润，
即．
∵，
∴当时，元．
故这批藜麦的销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出利润与售价的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．
29．（22-23八年级·全国·假期作业）某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地销售，有两种运输方式选择，方案一：汽车运输；方案二：汽车+火车组合运输（中转时间忽略不计），其中汽车的平均速度为60千米/时，途中综合费用300元/时，装卸总费用为200元；火车的装卸总费用400元，途中综合费用3元/千米，已知蔬菜基地距离火车中转站120千米．
(1)求方案二中总费用y（元）与运输总路程x（千米）之间的函数关系式；
(2)若运输总路程为500千米，请你分别算出两种运输方式的费用．
【答案】(1)；
(2)方案一的费用为2700元，方案一的费用为2340元
【分析】（1）根据总费用＝汽车运输费用+火车运输费用可得关系式；
（2）根据汽车的速度和途中费用、装卸费用可得方案一的总费用，把x＝500代入（1）中的关系式可得方案二的总费用．
【详解】（1）解： y＝×300+200+3（x﹣120）+400＝3x+840，
所以方案二中总费用y与运输总路程x之间的函数关系式为y＝3x+840；
（2）当运输总路程为500千米时，
方案一的费用为×300+200＝2700（元），
方案一的费用为y＝3×500+840＝2340（元）．
答：方案一的费用为2700元，方案一的费用为2340元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出y与x的关系式是解题关键．
30．（2022·湖北武汉·模拟预测）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)直接写出平衡价格为______元/件，平衡需求量为______万件；
(2)若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
(3)该商品的每件成本为元，若当时，随着的增大，该商品的销售利润（万元）经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)30；40
(2)35元/件
(3)
【分析】（1）根据题意，当时，列出一元一次方程，即可求解；
（2）根据题意求得的取值范围，进而求得的表达式，根据该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积，可得，进而根据二次函数的性质求得最值；
（3）分当时与时，求得的表达式，根据，即可求解．
【详解】（1）解：，
当时，
解得
当，
平衡价格为30元，平衡需求量为40万件；
（2）∵
∴，当时，，
解得；
当时，，
解得，
∴
∴当时，，
∵，开口向上，对称轴为，
又∵，
∴越大，越大，
∴当时，；
当时，，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，
∴当市场价格为35元/件时，市场销售额最大；
（3）当时，；
当时，，
由已知得
∴
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握二次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
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重难突破05 一次函数之实际问题
一、单选题
1．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，李爷爷要围一个长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为24m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+24（0＜x＜12） B．y＝﹣x+12（8＜x＜24）
C．y＝2x﹣24（0＜x＜12） D．y＝x﹣12（8＜x＜24）
2．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的平均速度为60km/h． B．乙车的平均速度为100km/h．
C．甲乙两车在10：00时相遇． D．乙比甲车先到达B地．
3．（2022·河南驻马店·三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h的值为（ ）
t（min） … 1 2 3 5 …
h（cm） … 2.4 2.8 3.4 4 …
A．2.4 B．2.8 C．3.4 D．4
4．（22-23八年级上·甘肃白银·期末）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为；②乙车用了到达城；③甲车出发时，乙车追上甲车
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（22-23九年级上·广西南宁·阶段练习）“漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
6．（23-24八年级上·山西运城·期中）清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（）与所需金额y（元）的函数关系如图所示．小丽用120元去购买该种水果，则她购买的数量为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某市规定了每月用水立方米以内（含立方米）和用水立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y（元）与关于用水量x（立方米）的函数图象如图所示．若小敏家某月交水费元，则小敏家这个月用水量为（ ）立方米？
A． B． C． D．
8．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（ ）个．
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（22-23八年级·全国·假期作业）小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ．
10．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）汽车邮箱中有汽油，如果不再加油，那么邮箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，耗油量为 请写出与的函数关系式 ．
11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行二百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
12．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为千米，乘车费为元，那么与之间的关系为 ．
13．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）某城市按以下规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么该户4月份应交煤气费 元．
解：设4月份用了煤气x立方米，
由题意得，，
解得：，
则煤气费为：（元），
故答案为：66．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，准确找出等量关系是解题的关键．
14．（2023·上海金山·二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟．
15．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中），两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的是 （填序号）
①甲的骑车速度为，乙的骑车速度为；
②的函数表达式为；
③的函数表达式为；
④后两人相遇．
16．（2022·广西·一模）星期六，王力上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.他离家的距离y (单位：千米) 与时间t (单位：分钟)的关系如图所示，则上午 8 ：45 王力离图书馆 千米．
三、解答题
17．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）某小型企业获得授权生产甲．乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：
种材料（） 种材料（） 所获利润（元）
每个甲种吉祥物
每个乙种吉祥物
该企业现有种材料，种材料，用这两种材料生产甲．乙两种吉祥物共个．设生产甲种吉祥物个，生产这两种吉祥物所获总利润为元．
(1)求出（元）与（个）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围：
(2)该企业如何安排甲．乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？
18．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10天，然后乙队加入，两队合作完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系．求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y与天数x间的函数关系式．
19．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）下表是佳佳往朋友家打长途电话的几次收费记载：
时间/分 1 2 3 4 5 6 7
电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）你能帮佳佳预测一下，如果她打电话用时间是10分钟，则需付多少电话费？
20．（22-23八年级下·山东临沂·期末）为了学生的身体健康，学校课桌、椅的高度都是按照一定的关系科学设计的，研究表明：课桌的高度与椅子的高度符合一次函数关系．下表给出了一套课桌、椅对应的四档高度．
档次高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高 37 40 42 45
桌高 70 78
(1)上面的表格中，第四档对应的桌高为______；
(2)求课桌的高度与椅子的高度之间的函数关系式；
(3)小欣放学回到家，测量了家里的书桌高度为，椅子的高度为，请你通过计算说明小欣家里的书桌与椅子是否符合科学设计．
21．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）非常时期，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某超市老板用元购进甲、乙两种型号的口罩在超市销售，销售完后共获利元．进价和售价如下表：
型号价格 甲型口罩 乙型口罩
进价（元/袋） 2 3
售价（元/袋） 3
(1)该超市胸购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
(2)该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共袋，此次用于购进口罩的资金不少于元，但不超过元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩袋，超市获利元，试求关于的函数关系式，并求出的取值范围．
22．（23-24八年级上·江西九江·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200千瓦时时，按元/千瓦时计费；月用电量超过200千瓦时时，其中的200千瓦时仍按元/千瓦时计费，超过部分按元/千瓦时计费．设每户家庭的月用电量为千瓦时时，应交电费元．
(1)当月用电量不超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________；
当月用电量超过200千瓦时时，与的函数关系式为__________．
(2)小新家十月份的用电量为160千瓦时，求他家十月份应交电费多少元．
(3)小明家十月份交电费146元，求他家十月份用电多少千瓦时．
23．（22-23七年级下·广东佛山·期中）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间 0 1 2 3
油箱剩余油量 100 94 88 82
(1)上表反映两个变量中，____________是自变量；____________是因变量；
(2)根据上表的数据，用表示，表达式为：______________；
(3)汽车行驶后，油箱中的剩余油量是多少？
(4)贮满汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时？
24．（22-23八年级下·上海·期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克．
(1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围．
(2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益．
25．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，请用含x的代数式来表示y；
(2)写出总利润W（元）与x（辆）之间的函数关系式；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，应怎样安排才能获得最大利润，并求出最大利润．
26．（22-23七年级下·福建宁德·期中）五一小长假，小王一家开车去太姥山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程s（千米）与时间之间的关系如图所示，行驶一段时间到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，为了按时赶到B地，为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在24时前下高速．
(1)上述问题中自变量是_______，因变量是_______；
(2)汽车从景区到C地用了_______小时，平均每小时行驶_______千米；
(3)车修好后每小时行驶多少千米？（写出计算过程）
27．（2020·吉林长春·三模）在疫情得到控制后，某博物馆正式对外开放，但采取了限流措施，即保持馆内的实际游客人数最多为5000人．经过统计，在博物馆开放的前3个小时内只有进馆的游客，而在闭馆前的2个小时内只有离馆的游客．馆内的实际游客人数（千人）与博物馆开放的时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）求闭馆前的2个小时内游客的离馆速度．
（2）当时，求与之间的函数关系式．
（3）当馆内实际游客人数不少于4000人时，博物馆提供导游讲解服务，故游客能获得最佳的游览体验，求游客能够获得最佳游览体验的时间共有____________时．
28．（22-23九年级上·河北保定·期末）某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x（元/千克）（，且x是按0.5元的倍数上涨），销售量为y（千克），销售利润为w元．
（1）完成下表；
销售单价x（元/千克） 35 36 40 45 50
日销售量y（千克） 450
（2）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？
（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？
29．（22-23八年级·全国·假期作业）某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地销售，有两种运输方式选择，方案一：汽车运输；方案二：汽车+火车组合运输（中转时间忽略不计），其中汽车的平均速度为60千米/时，途中综合费用300元/时，装卸总费用为200元；火车的装卸总费用400元，途中综合费用3元/千米，已知蔬菜基地距离火车中转站120千米．
(1)求方案二中总费用y（元）与运输总路程x（千米）之间的函数关系式；
(2)若运输总路程为500千米，请你分别算出两种运输方式的费用．
30．（2022·湖北武汉·模拟预测）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)直接写出平衡价格为______元/件，平衡需求量为______万件；
(2)若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
(3)该商品的每件成本为元，若当时，随着的增大，该商品的销售利润（万元）经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围．
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