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重难突破6 一次函数之综合问题
一、单选题
1．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为4，则线段的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2023·广东佛山·一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）如图，在平面立角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上一点，则点与其对应点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
6．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为的中点，点P为y轴上一动点，当的值最小时，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C． D．
7．（22-23八年级下·河北石家庄·阶段练习）对于题目“在平面直角坐标系中的位置如图所示，点若直线与有交点，求的取值范围．”甲的结果是，乙的结果是，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
8．（22-23八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，点D为线段BC的中点，点P为y轴上的一个动点，连接，，，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于A,B两点，将线段AB绕点B逆时针旋转，点A落在处，则点的坐标为 ．
10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）定义：在平面直角坐标系中，点到直线的距离，问：点)到的距离为 ．
11．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ．
12．（22-23八年级下·山东德州·阶段练面直角坐标系中，直线m坐标轴交于 ；若，则直线m的解析式为 ．
13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点是轴上的一点，则当的值最小时，点的坐标为 ．
14．（2021·辽宁锦州·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作交轴于点，以为边向右作正方形；延长交轴于点，以为边向右作正方形；以此类推，作正方形，…，．则点的纵坐标为 ．
15．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点是线段上一点，作直线，点M是直线上一点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，若，则点M的坐标为 ．
16．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，若C为平面直角坐标系内一点，是以线段为底边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ．
三、解答题
17．（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．
18．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为_____；
（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为_____．
19．（2021八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）．
（1）求直线的解析式；
（2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标．
20．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．
21．（22-23九年级上·广西柳州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使成立的的取值范围；
(3)求得面积．
22．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该直线的函数表达式和点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足关系式，
(1)求出A、B两点坐标；
(2)若，连接AD、BC交于点E，设E点坐标为，连接OE，求三角形ABE的面积．
24．（23-24八年级下·山西晋中·期中）综合与探究
(1)模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：；
(2)模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，求直线的函数解析式；
②如图3，长方形，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
25．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）如图，已知在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)M是x轴上一点，当面积为5时，求点M的坐标．
26．（22-23八年级上·福建三明·期中）已知直线与轴交于点，与轴交于点，如图1所示．
（1）直接写出的函数解析式；
（2）如图2，将线段绕着点顺时针方向旋转得到线段，连结，点、在线段上，且点在、之间，，．
①直接写出点的坐标；
②求的面积．
27．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是直线AB上的一点，且P的横坐标为4，C（6，0），求△OPC的面积．
28．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，直线：y=x-2与直线：y=-x交于点A，直线交x轴于点B．CDE是边长为2的等边三角形，点C、D在x轴上(点C在点D的左侧)，点E在x轴的上方，连接AD、OE．
(1)求证：OAB是等边三角形；
(2)求证：四边形OADE是平行四边形；
(3)当点C在x轴的负半轴上时，将CDE沿x轴的正方向平行移动．
①平行四边形OADE有可能是菱形吗？请说明你的理由；
②平行四边形OADE有可能是矩形吗？请说明你的理由，若可能，求出此矩形的面积．
29．．（22-23八年级下·天津南开·期末）将一个矩形纸片放置于平面直角坐标系中，点O，点B，点A在x轴，点C在y轴．在边上取一点D，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处．
(1)如图1，求点E坐标和直线的解析式；
(2)点P为x轴正半轴上的动点，设．
①如图2，当点P在线段（不包含端点A，O）上运动时，过点P作直线ly轴，直线l被截得的线段长为d．求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
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重难突破6 一次函数之综合问题
一、单选题
1．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为4，则线段的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】设P点坐标(x，y)，结合矩形周长求得y与x的函数 关系式，然后利用一次函数性质求得A，B两点坐 标，再利用勾股定理及三角形等面积公式求得OP最小值．
【详解】解：设P点坐标为（x，y），
则：2（x+y）=4，
整理得：y=-x+2，
∵P是线段AB上任意一点，
∴AB所在直线解析式为：y=-x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=2，
∴OA=OB=2，
∴在中，由勾股定理得：，
∴OP⊥AB时，OP最短，
此时，，
即：4=，
解得：OP=，
∴线段的最小值为：，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的几何应用，掌握一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
2．（2023·广东佛山·一模）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
3．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）如图，在平面立角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上一点，则点与其对应点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据沿轴向右平移后得到，点的坐标为，点的对应点在直线上一点，设，可求出的值，即图形平移的规律，由此即可求解．
【详解】解：沿轴向右平移后得到，点的坐标为，点的对应点在直线上一点，
∴设，
把代入直线得，，解得，，
∴沿轴向右平移个单位后得到，
∴点与其对应点间的距离为，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移与一次函数的关系，掌握图形平移的规律是解题的关键．
4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证明得到，进而求得点D坐标，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：延长交x轴于点D，
由入射角等于反射角得，又，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
代入中，得，
∴，
故选：C．
5．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】由于的纵坐标为2，故点在直线上，由图像可知，当为直线与直线的交点时，取最大值；当为直线与直线的交点时，取最小值，故可求得答案．
【详解】解∵点是内部（包括边上）的一点，故点在直线上，如图所示，
由图像可知，当为直线与直线的交点时，取最大值；当为直线与直线的交点时，取最小值，
对于函数，令，即，解得，
对于函数，令，即，解得，
∴的最大值为，的最小值为，
则的最大值与最小值之差为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
6．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是直线l上的一点，且其纵坐标为2，点D为的中点，点P为y轴上一动点，当的值最小时，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可作点D关于y轴的对称点E，然后连接，交y轴于点P，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解．
【详解】解：令，则有，
解得：，
∴，
∵点D为的中点，
∴，即，
令，则有，
解得：，
∴点，
∴，
作点D关于y轴的对称点E，然后连接，交y轴于点F，如图所示：
∴，
由轴对称的性质可知y轴垂直平分，则根据垂直平分线的性质及两点之间线段最短可知当点P与点F重合时，的值最小，即为的长，
∴，
∴的周长为；
故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握轴对称的性质及一次函数的性质是解题关键．
7．（22-23八年级下·河北石家庄·阶段练习）对于题目“在平面直角坐标系中的位置如图所示，点若直线与有交点，求的取值范围．”甲的结果是，乙的结果是，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】先求出直线过三点时的值，进而可得出结论．
【详解】解：当直线过点时，，解得；
当直线过点时，，解得；
当直线过点时，，解得，
的取值范围是或．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数的图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
8．（22-23八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点，点D为线段BC的中点，点P为y轴上的一个动点，连接，，，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，结合点D为线段的中点可求出点D的坐标，作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时的周长最小，由点D，关于y轴对称可得出点的坐标，由点，E的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标．
【详解】解：直线，当时，，
∴点C的坐标为；
当时，，解得：，
∴点B的坐标为．
又∵点D为线段的中点，
∴点D的坐标为．
作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，而，
∴为定值，
∴此时的周长最小，
如图所示．
∵点D，关于y轴对称，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∴ ， 解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴当的周长最小时，点P的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称-最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P的位置是解题的关键．
二、填空题
9．（2020·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于A,B两点，将线段AB绕点B逆时针旋转，点A落在处，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据函数求出点A和点B的坐标，构造三垂直模型，即可求出的坐标．
【详解】如图过作y轴交于点E，
由直线交轴于A,B两点，
可得A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，4），
因为线段AB绕点B逆时针旋转，点A落在处，
可得△AOB≌△BEA',
所以A'E=OB=4,BE=AO=2,
OE=4+2=6,
∴A'坐标为（4，6）．
【点睛】本题主要考查图形旋转的性质，解题关键是通过旋转，构造三垂直模型，利用全等三角形的性质求解．
10．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）定义：在平面直角坐标系中，点到直线的距离，问：点)到的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，根据题意得出：，，，，进而可得出答案．
【详解】解：根据题意得出：，，，，
∴点)到的距离为，
故答案为：4．
11．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ．
【答案】1或7/7或1
【分析】先求出点，根据两点间距离公式求出，设点的坐标为，点P的坐标为，根据折叠的性质求出，，根据两点间距离公式求出，求出或，得出或，再根据两点间距离公式求出结果即可．
【详解】解：联立，
解得：，
∴，
则，
设点F的对应点为，设点的坐标为，点P的坐标为，
根据折叠可知：，，
∴，
即，
解得：或，
∴或，
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上分析可知，点P的横坐标为1或7．
故答案为：1或7．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，折叠的性质，两点间距离公式，求两条直线的交点坐标，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式，准确计算．
12．（22-23八年级下·山东德州·阶段练面直角坐标系中，直线m坐标轴交于 ；若，则直线m的解析式为 ．
【答案】或
【分析】先根据三角形面积求出的长，进而求出点A的坐标，即可求出直线m的解析式
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
设直线m的解析式为，
∴，
∴，
∴直线m的解析式为；
同理当时，求得直线m的解析式为；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出点A的坐标是解题的关键．
13．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点是轴上的一点，则当的值最小时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轴对称路径最短．解决问题的关键是熟练掌握作其中一个点关于x轴对称的点，求对称点和另一点连线与x轴交点的坐标．作点关于x轴的对称点D，得到，连接交x轴于点C，此时有最小值．求得直线的函数表达式为，当时，，即得．
【详解】如图，作点关于x轴的对称点D，
则，
连接交x轴于点C，
此时有最小值，
设直线的函数表达式为，
∵点的坐标为，
∴，
解得，，
∴，
当时，，
∴．
故答案为：．
14．（2021·辽宁锦州·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作交轴于点，以为边向右作正方形；延长交轴于点，以为边向右作正方形；以此类推，作正方形，…，．则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据一次函数解析式求出△A1MO各边的长，得出30°的锐角；然后根据正方形的性质，求出B1的坐标，从而得出第一个正方形的边长，在△B1B2C1中，求出C1的坐标，一次类推求出C2,C3,依次类推总结规律即可．
【详解】解：令x=0，则 ，
∴ ,
令y=0,x= ,
∴OM=3,,
又∵∠, ,
∴,
又∵ ,
∴ ,
又∵ ，
∴
过点C1作C1P1⊥x轴于点P1，则 ,
∴的纵坐标为 ，
又∵ ，
∴ ,
∴，
又∵ ，
∴ ,
过点C2作 轴于点P2，
则 ,
∴C2的纵坐标为，
同理C3的纵坐标为，
以此类推，C2021的纵坐标为，
故填：．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，30°的直角三角形，正方形的性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图像和正方形的性质，探究点的坐标规律是解题的关键．
15．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点是线段上一点，作直线，点M是直线上一点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，若，则点M的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出，进而求出直线解析式为，设，则，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴点M的坐标为或，
故答案为：或．
16．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，若C为平面直角坐标系内一点，是以线段为底边的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，坐标与图形．求出的坐标，分点在直线的两侧，进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：∵，当时，，当时，，
∴，
当点C在的右侧时，如图，过点作轴于点，轴于点，则，四边形为长方形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
当点在左侧时，同法可得：；
故答案为：或．
三、解答题
17．（22-23八年级下·广东深圳·阶段练习）已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象和点A、B的坐标即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
18．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M．
（1）点M坐标为_____；
（2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为_____．
【答案】（1） (，)；（2） (0，)或(0，)或(0，)
【分析】（1）解析式联立，解方程即可求得；
（2）求得BM的长，分两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）解得，
∴点M坐标为（，），
故答案为（，）；
（2）∵直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，
∴B（0，2），
∴BM＝＝，
当B为顶点，则E（0，）或（0，）；
当M为顶点，则MB＝ME，
E（0，），
综上，E点的坐标为（0，）或（0，）或（0，），
故答案为（0，）或（0，）或（0，）．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及等腰三角形的特点．
19．（2021八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）．
（1）求直线的解析式；
（2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标．
【答案】（1）；（2），，或
【分析】（1）由平移和待定系数法求出直线l的解析式；
（2）先求出三角形AOB的面积，进而得出三角形ABP的面积，三角形ABP的面积用三角形PAF和BAF的面积之和建立方程求出m的值．
【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l，
∴设直线l解析式为y＝kx+2，
∵直线l经过点A（﹣4，0）
∴﹣4k+2＝0，
∴k＝，
∴直线l的解析式为y＝x+2，
（2）当x=0时，y=2，
∴
当点P在轴上时，
或；
当点P在y轴上时，
或；
综上所述，点P的坐标为，，或．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的平移，三角形的面积，解本题的关键是分类讨论，求出的长．
20．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，交直线于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)在直线上存在点D（不与C点重合），使，求点D的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据直线的交点是二元一次方程组的解，建立方程组求解即可；
（2）求出B点坐标，依据，所以B是中点，设利用中点坐标公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，
解得：
；
（2）B在直线上，
当时，，
，
，
所以B是中点，
则有，
解得：，
．
【点睛】本题考查了直线的交点坐标、与坐标轴交点坐标以及中点坐标公式；根据直线解析式求点的坐标是解题的关键．
21．（22-23九年级上·广西柳州·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使成立的的取值范围；
(3)求得面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据反比例函数的图象过，，可求得点，的坐标，将点，的坐标代入，即可求得答案．
（2）表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，据此即可求得答案．
（3）设直线与轴，轴分别交于点，点，根据，即可求得答案．
【详解】（1）因为反比例函数的图像过点，得
．
解得：
．
所以，点的坐标为．
同理可得，点的坐标为．
因为一次函数的图象过点，，得：
．
解得：
．
所以，一次函数解析式为．
（2）根据题意可知，表示一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分，此时或．
（3）如图所示，设直线与轴，轴分别交于点，点，可求得点的坐标为，点的坐标为．
．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
22．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B．
(1)求该直线的函数表达式和点B的坐标；
(2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)该直线的函数表达式为，
(2)在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点、代入即可求解；
（2）由题意得，分类讨论当点C为直角顶点时和当点A为直角顶点时两种情况即可求解．
【详解】（1）解：∵直线经过点、，
∴
解得
∴该直线的函数表达式为．
在中，令，得，
∴．
（2）解：∵点C在y轴上，
∴，
∴点B不能成为直角顶点．
①当点C为直角顶点时，点C在的位置，如图．
∵点A在x轴上，点B在y轴上，
∴，
∴点与点O重合，
∴点的坐标为；
②当点A为直角顶点时，点C在的位置，如图．
设，则，，，，
∴，，．
∵，
∴，
解得，
∴．
综上可知，在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或．
23．（22-23七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足关系式，
(1)求出A、B两点坐标；
(2)若，连接AD、BC交于点E，设E点坐标为，连接OE，求三角形ABE的面积．
【答案】(1)点A坐标为（6，0）点B坐标为（0，8）
(2)
【分析】（1）根据非负性求出a、b的值即可；
（2）过点E作,，分别交OA，OB于点N、M，求出点E坐标，由可求．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
点A坐标为（6，0）点B坐标为（0，8）．
（2）解：如图，过点E作,，分别交OA，OB于点N、M
设直线BC解析式为
将点B（0，8），点C（4，0）代入
得解得
∴直线BC解析式为
设直线AD解析式为
将点D（0，2），点A（6，0）代入
得解得
∴直线AD解析式为
联立方程得 解得
∴点E坐标为（，）
∴EN=，EM=
则
∴三角形ABE的面积为．
【点睛】本题是一次函数综合题，掌握非负数的性质、待定系数法求解析式以及割补法求三角形面积是解题的关键．
24．（23-24八年级下·山西晋中·期中）综合与探究
(1)模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：；
(2)模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，求直线的函数解析式；
②如图3，长方形，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，，
【分析】（1）由条件可求得，利用可证明；
（2）①过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
②分三种情况考虑：当时，，可得点在的中垂线上，即点横坐标为，易得点坐标；当时，，设点的坐标为，表示出点坐标为，列出关于的方程，求出的值，即可确定出点坐标；当时，时，同理求出的坐标．
【详解】（1）证明：，过点作于点．
，
，
在和中，
；
（2）①如图2，过作轴于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
令可求得，令可求得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
，，
由（1）同理可证得，
，，
，
，且，
设直线解析式为，
把点坐标代入可得，
解得
直线解析式为，
②∵长方形，点为坐标原点，点的坐标为，
，
如图3，当时，，
点在的中垂线上，即点横坐标为，
当时，，
点坐标；
如图4，当时，，
设点的坐标为，过点P作轴于点E，过点D作交的延长线于点F，则，
∴四边形是矩形，
∴
由（1）同理可证，，
∴
∴
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
得，
点坐标；
如图5，当时，时，
设点的坐标为，过点D作轴于点E，交的延长线于点F，则，
∴四边形是矩形，
∴
由（1）同理可证，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
得，
∴点坐标；
综上所述：点坐标为：，，
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
25．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）如图，已知在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)M是x轴上一点，当面积为5时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)M点的坐标为或
【分析】本题考查一次函数的应用，涉及函数图象上点坐标的特征，三角形面积，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设点，由的面积为5，知，即得M的坐标．
【详解】（1）解：直线交x轴于点，交y轴于点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：M是x轴上一点，，，
设点，
，
面积为5，
，即，
，
或，
M点的坐标为或．
26．（22-23八年级上·福建三明·期中）已知直线与轴交于点，与轴交于点，如图1所示．
（1）直接写出的函数解析式；
（2）如图2，将线段绕着点顺时针方向旋转得到线段，连结，点、在线段上，且点在、之间，，．
①直接写出点的坐标；
②求的面积．
【答案】（1）；（2）①；②15
【分析】（1）设直线为 再把，代入，利用待定系数法求解即可；
（2）①证明可得从而可得答案；②过点作使，，过点作于点，证明，与，可得，，再求解 设，则，再利用勾股定理求解 从而可得答案.
【详解】解：（1）设直线为
则
解得：
直线的函数解析式为；
（2）①过点作轴于点，如图2，
由旋转可得：
点的坐标为；
②过点作使，，过点作于点，连接PM、PN，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
设，则，
由勾股定理知，
∴，解得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是解本题的关键.
27．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若点P是直线AB上的一点，且P的横坐标为4，C（6，0），求△OPC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定A、B两点坐标，再利用两点坐标通过待定系数法求直线AB的函数解析式；
（2）先求出P的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为，
∵OA=OB=10，且A在y轴的正半轴上，B在x轴的正半轴上，
∴A（0，10），B（10，0）
将A、B两点坐标代入直线AB的解析式中，可得
，解得 ，
故直线AB的解析式为；
（2）∵P在直线AB上，且横坐标为4，
∴将带入AB解析式中，得，即点P（4，6），如下图，
∵C（6，0），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式以及利用一次函数解决几何问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
28．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，直线：y=x-2与直线：y=-x交于点A，直线交x轴于点B．CDE是边长为2的等边三角形，点C、D在x轴上(点C在点D的左侧)，点E在x轴的上方，连接AD、OE．
(1)求证：OAB是等边三角形；
(2)求证：四边形OADE是平行四边形；
(3)当点C在x轴的负半轴上时，将CDE沿x轴的正方向平行移动．
①平行四边形OADE有可能是菱形吗？请说明你的理由；
②平行四边形OADE有可能是矩形吗？请说明你的理由，若可能，求出此矩形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)①平行四边形OADE有可能是菱形，理由见解析；②平行四边形OADE有可能是矩形，理由见解析，面积是
【分析】（1）根据直线解析式求出A点和B点的坐标，然后根据三边长度得出△OAB的形状即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AO＝DE，AODE，即可得证结论；
（3）①平移△CDE，使点C和点O重合时， OADE是菱形，根据四边相等即可判断；
②平移△CDE，使∠EOC＝30°时， OADE是矩形，求出此时矩形的面积即可．
【详解】（1）证明：联立直线l1：yx﹣2与直线l2：yx，
得，
解得，
∴A（1，），
对于直线l1：yx﹣2，
当y＝0时，0＝x﹣2，
解得x＝2，
∵直线l1交x轴于点B
∴B（2，0），
∴OA2，OB＝2，AB2，
即OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形；
（2）证明：∵△DEC和△OAB都是边长为2的等边三角形，
∴∠EDC＝∠AOB＝60°，AO＝DE＝2，
∴AODE，AO＝DE，
∴四边形OADE是平行四边形；
（3）解：① OADE有可能是菱形，理由如下：
平移△CDE，使点C和点O重合时，
此时AO＝OE＝ED＝DA＝2，
故此时 OADE是菱形；
② OADE有可能是矩形，理由如下：
平移△CDE，使∠EOC＝30°时，则∠EOA＝∠EOC+∠AOB＝90°，
∵四边形OADE是平行四边形，
∴此时 OADE是矩形；
过点E作EF⊥x轴于F，则∠CFE＝90°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠CEF＝90°－∠DCE＝30°，
∴CF＝CE＝1，
∴EF＝，
∴OE＝2EF＝2，
∴矩形的面积S＝OE OA＝2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
29．（22-23八年级下·天津南开·期末）将一个矩形纸片放置于平面直角坐标系中，点O，点B，点A在x轴，点C在y轴．在边上取一点D，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处．
(1)如图1，求点E坐标和直线的解析式；
(2)点P为x轴正半轴上的动点，设．
①如图2，当点P在线段（不包含端点A，O）上运动时，过点P作直线ly轴，直线l被截得的线段长为d．求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1)，直线的解析式为；
(2)①；②或
【分析】（1）根据翻折的性质、矩形的性质和勾股定理求出，可得点E的坐标，再根据待定系数法求解直线的解析式；
（2）①先根据折叠的性质和勾股定理求出点D的坐标，然后分别求出直线的解析式，分两种情况：当和时，利用d等于两点的纵坐标之差求解即可；
②分为对角线和为边两种情况，分别画出图形，结合菱形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，点O，点B，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵，
∴，
由折叠的性质知：，
设，则，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得，
即，解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
则，，
解得，，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，如图，设l分别与交于点H、G，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，设l分别与交于点H、K，
∵，
∴，
∴；
综上，d关于t的函数关系式为；
②当为对角线时，如图，
∵四边形是菱形，
∴设，则，
在直角三角形中，根据勾股定理可得，
解得，
即，
∵，
∴；
当为边时，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即为点B；
综上，点G的坐标是或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
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