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重难突破01 二次根式之化简求值问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知，则的值（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
2．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）等式成立的条件是（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）若，，则的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．4或
4．（22-23七年级下·广西河池·期中）实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
8．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．4
9．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级下·河北沧州·期中）已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
11．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
12．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（ ）
A． B．4 C．1 D．8
13．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
14．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）已知，则的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
15．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若，化简二次根式的结果是 ．
17．（2024八年级下·浙江·专题练习）若，则，，，按从小到大的顺序排列为 ．
18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ．
19．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
20．（23-24八年级上·重庆南岸·期末）在进行实数的化简时，我们可以用“” ．如．利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式．
（1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ；
（2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ．
21．（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ．
22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 ．
23．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ．
24．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ．
25．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且=2009，则= ．
三、解答题
26．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）观察，思考，解答：，反之，，即．所以．
(1)仿照上列，化简 ；
(2)已知，求值．（结果需化为最简的二次根式）
27．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
28．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知：
(1) ____________， ____________；
(2)求的值；
(3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
29．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
30．（23-24八年级下·重庆梁平·阶段练习）已知满足．
(1)求，的值；
(2)如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
31．（22-23八年级上·山东青岛·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，即，，那么便有：．
例如：化简：．
解：首先把化为，这里．
因为，
即，，
所以．
根据上述方法完成下列题目：
(1) （直接写化简后结果）；
(2)化简：．（写出解答过程）
32．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
33．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简：_________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
34．（23-24八年级上·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算： ；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
35．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
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重难突破01 二次根式之化简求值问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）已知，则的值（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得的值，将其代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
2．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）等式成立的条件是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质列出不等式组，解不等式组即可得出结论，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故选：．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）若，，则的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．4或
【答案】A
【分析】本题考查二次根式化简求值，先判断的符号，再变形整体代入计算即可，解题的关键是根据已知判断的符号．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：A．
4．（22-23七年级下·广西河池·期中）实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式得性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
．
故选：．
5．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和与的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．
【详解】观察数轴可知：，，，
，，
故选：A
6．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
【详解】∵，
∴，
∴-2．
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
7．（23-24八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.
∴，∴.
∴原式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
8．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）若，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】先利用分母有理化求得的值，得到的值，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化的法则是解题的关键．
9．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把代入计算解题即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
10．（23-24八年级下·河北沧州·期中）已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
【答案】D
【分析】先将x3﹣xy2因式分解为，再计算出，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解和二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
11．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
故选：A．
12．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（ ）
A． B．4 C．1 D．8
【答案】A
【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
13．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知，，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】利用已知，代入求值即可．
【详解】解：，
当，时，
，，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减．
14．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）已知，则的值等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】C
【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求解即可．
【详解】解：∵（x﹣1）2+＝0，
∴x﹣1＝0，y+4＝0，
解得：x＝1，y＝﹣4，
∴＝＝＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键．
15．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
二、填空题
16．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）若，化简二次根式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题的关键．直接利用二次根式的性质得出a，b的符号，进而化简即可．
【详解】∵，有意义，
∴，，
∴．
故答案为．
17．（2024八年级下·浙江·专题练习）若，则，，，按从小到大的顺序排列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键．
根据的取值范围，设，分别求出，，的值，比较大小即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
则，故，
，，
∵，，，
∴；
即．
故答案为：．
18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则原式，
解得，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则的平方根为，
故答案为：．
19．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键．
【详解】解：，
故答案为：．
20．（23-24八年级上·重庆南岸·期末）在进行实数的化简时，我们可以用“” ．如．利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式．
（1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值 ；
（2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为 ．
【答案】 8
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）由题意知，，然后求解作答即可；
（2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，m为正整数，是整数，
∴m的最小值为，
故答案为：；
（2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数，
∴当时，，
∵当n增大时，y减小，
∴当时，，
∴y的最大值与y最小值的差为，
故答案为：8．
21．（23-24八年级上·四川达州·期中）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式： ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式．观察式子可知：，，故可看作平方的结果．
【详解】解：，
．
故答案为：
22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 ．
【答案】
【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．
23．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ．
【答案】11
【分析】由a﹣b＝，b﹣c＝，两式相加可得 a﹣c＝2，全部代入到2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ ca）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2即可得．
【详解】解：∵a﹣b＝，b﹣c＝，
∴a﹣c＝2．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
=×2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca)
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
＝[（）2+（2）2+（ ）2]
＝×22
=11．
故答案为：11
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，由a﹣b、b﹣c得出a﹣c及根据完全平方公式对原式变形是解题的关键．
24．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可．
【详解】解：根据，的三边长分别为5，6，7，
，
故答案为：．
25．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知x、y满足：1＜x＜y＜100，且=2009，则= ．
【答案】．
【分析】把已知的等式变形分解后，得到xy的值．
【详解】∵=2009，
∴ + ++=0，
∴（++）（﹣）=0，
∵1＜x＜y＜100，
∴﹣=0，
∴=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解和二次根式的加减法，分解因式是解本题的关键．
三、解答题
26．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）观察，思考，解答：，反之，，即．所以．
(1)仿照上列，化简 ；
(2)已知，求值．（结果需化为最简的二次根式）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．
（1）根据题目中的例题可以解答本题；
（2）根据题目中的例题，可以将变形，然后再将分式进行化简，代入求值即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：，
．
27．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
（1）进行分母有理化即可；
（2）参照题干给定的方法，先进行分母有理化，再求值即可．
【详解】（1）解：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴．
28．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知：
(1) ____________， ____________；
(2)求的值；
(3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
【答案】(1)
(2)121
(3)
【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可；
（2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可；
（3）求出的值，再求出代数式的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，，
∴
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
∵m为a整数部分，n为b小数部分，
∴，
∴．
29．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求整式的值，因式分解，二次根式的混合运算；
（1）因式分解后，代值计算即可；
（2）因式分解后，代值计算即可；
掌握因式分解，二次根式混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
当，时，
原式
；
（2）原式，
当，时，
原式
．
30．（23-24八年级下·重庆梁平·阶段练习）已知满足．
(1)求，的值；
(2)如果一个三角形的三边长分别是，，，请化简．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查了非负数的性质及三角形的三边关系，
（1）根据完全平方式和绝对值的非负性质求出a、b的值即可；
（2）利用三角形的三边关系化简即可；
熟知任意一个数的绝对值或偶次方都是非负数以及三角形三边关系是解答此题的关键．
【详解】（1）∵ ，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵a、b、c为三角形的三边长，
∴，
∴，，
31．（22-23八年级上·山东青岛·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数，使，即，，那么便有：．
例如：化简：．
解：首先把化为，这里．
因为，
即，，
所以．
根据上述方法完成下列题目：
(1) （直接写化简后结果）；
(2)化简：．（写出解答过程）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解题目给出的算法，本题属于基础题型．
（1）根据题意给出的算法即可求出答案．
（2）根据题意给出的算法即可求出答案．
【详解】（1）解：在中，，，
因为，，即，，
所以；
故答案为：；
（2）解：首先把化为，这里，，
因为，，即，，
所以．
32．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：__________；
(2)请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(3)请利用你发现的规律，计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数式规律探究，二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系是解题的关键．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可得出第四个式子；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律得出算式，最后求出即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：根据规律得：；
（3）解：
．
33．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∴，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简：_________；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出的值，再得出，然后把原式变形得出答案即可．
【详解】（1）解：．
故答案为：；
（2）原式
；
（3）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键．
34．（23-24八年级上·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算： ；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
35．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
；
；
；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：
（为正整数）；
（2）请证明(1) 中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
．
【答案】[观察]，，；[发现]（1）或；（2）证明见解析；[应用]或．
【分析】（1）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；
（2）运用（1）中发现规律，进行计算即可.
【详解】[观察]，，，
[发现]（1）或
（2）左
∵为正整数，
∴
∴左右
[应用]
∴答案为：或.
【点睛】（1）此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比；
（2）此类题目往往无法直接进行计算，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的.
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