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题组训练04 期末解答题组训练（50题）
1．（2022春·广东中山·九年级开学考试）计算：
【答案】
【详解】解：原式=
= ……6分
2．（2022·贵州毕节·二模）先化简再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
3．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是______，小数部分是______；
（2）的整数部分是______，小数部分是_____；
（3）若设整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
【答案】解：（1）2，；（2）2，；（3）.
【分析】（1）估算出的取值范围即可得答案；
（2）先估算出的取值范围，再得出1+的取值范围，即可得答案；
（3）先估算出2+的取值范围，得出x、y的值，再代入求值即可.
【详解】解：（1）∵4<5<9，
∴<<，即2<<3，
∴的整数部分是2，小数部分是-2.
故答案为2，
（2）∵1<2<4，
∴1<<2，
∴2<1+<3，
∴1+的整数部分是2，小数部分是-1.
故答案为2，
（3）∵1<3<4，
∴1<<2，
∴3<2+<4，
∵整数部分是x，小数部分是y，
∴x=3，y=-1，
∴x﹣y=3-（-1）=.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算， “夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质进行求解即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值，分母有理化等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）二次根式计算
（1）
（2）（1﹣）2+÷．
【答案】（1）﹣；（2）3
【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式＝
＝﹣；
（2）原式＝
＝3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（2022春·吉林·八年级吉林省实验校考期中）已知：，，求的值．
【答案】40
【分析】先利用完全平方公式变形，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：
把，代入得：
原式
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，是解题的关键．
7．（2022秋·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式求解即可；
（2）先化简二次根式，分母有理数，计算零指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，分母有理化，实数的混合计算，零指数幂，乘法公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．（2022秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长是1，
①在图①中画出一个斜边是的直角三角形；
②在图②中画出一个面积是8的正方形．
【答案】①见解析；②见解析
【分析】①利用数形结合的思想画出直角三角形即可．
②利用数形结合的思想画出边长为2的正方形即可．
【详解】解：①如图①中，△ABC即为所求．
②如图②中，正方形ABCD即为所求．
【点睛】此题考查了勾股定理和网格的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理和网格的性质．
9．（2022春·上海·七年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】运用乘法的交换律，根据二次根式的乘除法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法．注意乘法交换律的运用．
10．（2022秋·八年级课时练习）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次．从1936年到2010年，共有53人获奖，获奖者获奖时的年龄分布如下，请计算获奖者的平均获奖年龄．（结果精确到0.1岁）
【答案】35.6岁
【分析】将所有人的年龄加起来除以总人数即可．
【详解】解：
（岁）．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟知平均数的计算方法是解本题的关键．
11．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由．
【答案】
【分析】根据勾股定理求得AB= ，AD=，然后利用三角形三边关系得出结果．
【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°，
∴AB= ，
∵CD=BC-BD=2
由勾股定理得：AD= ，
在△ABD中，∵AD+BD＞AB，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理主要有两个作用：已知两边求出第三边，把勾股定理作为等量关系列方程．
12．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）“珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书， 于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题:
（1）小明家到学校的距离是__ _米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由，
【答案】（1）1500；（2）4；（3）2700；（4）不在安全限度内，理由见解析
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可的答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
【详解】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，
故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500；
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从8～12分钟，
故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4；
（3）一共行驶的总路程=1200+(1200-600)+(1500-600)
=1200+600+900=2700米；
故答案为：2700；
（4）由图象可知：12～14分钟时，平均速度为：米/分，
∵450＞300，
∴12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
13．（2022春·湖南长沙·八年级统考期末）已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】直接将代入所求式子，根据二次根式运算法则求解即可．
【详解】解：，
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
14．（2022秋·八年级单元测试）阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______．
（2）如图，于，，，，，求的长度．
（3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹）
【答案】（1）10；（2）；（3），见解析
【分析】（1）依据勾股定理进行计算，即可得到这个直角三角形斜边长；
（2）依据勾股定理得AD=，进而得出BD=AD=；
（3）依据勾股定理，即可得到点A表示的数以及点B的位置．
【详解】解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为10
故答案为：10
（2）∵
∴∠ADC=90°
在中，
（3）点在数轴上表示的数是：
如图，在Rt△OBC中，OB=OC=
∴点B即为所求
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键．
15．（2022秋·浙江湖州·七年级校联考期中）如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示-的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
【答案】（1）5，；（2）①②作图见解析；（3）A.
【分析】（1）依据正方形的面积即可得到正方形的边长；
（2）依据10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，即可得到该正方形，并在数轴上画出表示-的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
【详解】（1）拼成的正方形的面积是5，边长是，
故答案为5，；
（2）①10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，如图所示：
②表示-的点如图所示：
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
故选A．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
16．（2022秋·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值．
【答案】MP-NP的值最大为2．
【分析】作N点关于BD的对称点N'，连接MN'交BD于点P，过点M作MG⊥AC交于点G，当M、N、P三点共线时，MP-NP的值最大，求出MN'即为所求．
【详解】解：作N点关于BD的对称点N'，连接MN'交BD于点P，过点M作MG⊥AC交于点G，
∵NP=N'P，
∴MP-NP=MP-N'P≤MN'，
当M、N、P三点共线时，MP-NP的值最大，
∵BC=8，BM=6，
∴CM=2，AC=8，
∵N是AO的中点，
∴AN=2，
∴CN'=2，
在Rt△MCG中，∠GCM=45°，
∴CG=MG=，
∴N'G=，
在Rt△MN'G中，MN'=2，
∴MP-NP的值最大为2．
【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，正方形的性质是解题的关键．
17．（2022春·江苏·八年级校联考期中）某鱼塘中养了某种鱼2000条，为了估计鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中随机捕捞了3次，取得的数据如下：
（1）求样本中平均每条鱼的质量；
（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为12元，求出售的收入y（元）与出售的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
【答案】（1）1.8kg;(2) 鱼塘中该种鱼的总质量是3600kg；(3) y=12x（0≤x≤3600）
【分析】（1）根据表格中的数据和加权平均数的求法可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以解答本题；
（3）根据题意可以写出出售的收入y（元）与出售的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
【详解】（1）=1.8kg，
即样本中平均每条鱼的质量是1.8kg；
（2）2000×1.8=3600kg，
答：鱼塘中该种鱼的总质量是3600kg；
（3）由题意可得，
出售的收入y（元）与出售的质量x（kg）之间的函数关系是：y=12x（0≤x≤3600）．
【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用加权平均数的知识求出每条鱼的质量．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，动点在的延长线上，是以为斜边的直角三角形，是的中点，连接，，且．
(1)证明：、、三点共线；
(2)连接．
①试判断线段与的数量关系，并给出证明；
②当，且线段取到最小值时，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)①EC=OA，证明见解析；②．
【分析】（1）证明∠AFE+∠AFB=180°，可得结论；
（2）①结论：EC=AO．连接EO，OC，证明△EOC是等腰直角三角形，可得结论；
②如图2中，取AE的中点J，连接OJ．证明OJ∥EB，推出OF⊥OJ时，OF的值最小，此时四边形OFEJ是矩形，利用勾股定理求出OA，可得结论．
【详解】（1）证明：∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∵2∠CBF+∠EAF=135°，
∴∠CBF=45°，
∵∠C=90°，
∴∠CFB=90°-45°=45°，
∴∠CFB=∠AFE，
∵∠CFB+∠AFB=180°，
∴∠AFE+∠AFB=180°，
∴E、F、B共线．
（2）解：①结论：EC=OA．
理由：如图1中，连接EO，CO．
∵∠AEB=∠ACB=90°，OA=OB，
∴OE=OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠OEB=∠OBE，
∵∠BOC=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠OBE，
∴∠BOC+∠AOE=2∠CAO+2∠OBE=2（∠OAC+∠OBE）=2∠CFB=90°，
∴∠EOC=90°，
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EC=EO=OA；
②如图2中，取AE的中点J，连接OJ．
∵AJ=EJ，AO=OB，
∴OJ∥EB，
∴OF⊥OJ时，OF的值最小，此时四边形OFEJ是矩形，
∴EF=AE=OJ=2，AJ=EJ=1，
∴，
∴EC=OA=．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．
19．（2022春·安徽淮南·八年级统考期中）请认真完成下列数学活动
典例再现：如图1， ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
尝试发现
（1）按图1填空：
①若 ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为 ；
②若 ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是 ．
应用发现
（2）如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝，AD＝6，求四边形ABFE的面积．
应用拓展
（3）如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝，则△ABC的面积是 ．
【答案】证明见解析；（1）①16；②10；（2）；（3）4
【分析】典例再现：由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论；
（1）①由△AOE≌△COF可得AE=CF，OE=OF，从而得四边形ABFE的周长为AB+BC+EF，由四边形ABCD的周长可得AB+BC，从而进一步可得结论；②由四边形ABEF的面积=的面积可得结论；
（2）运用勾股定理求出OD的长，从而得出BD的长，再运用菱形的面积公式求解即可；
（3）应用倍长中线模型构造，运用勾股定理求出CE的长，再根据面积公式求解即可．
【详解】典例再现：证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC OA＝OC
∴∠EAO＝∠FCO
又∵∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF
∴OE＝OF；
尝试发现：（1）①∵四边形ABCD的周长为24
∴AB+BC=12
由典例再现可得，△AOE≌△COF
∴AE=CF，OE=OF
∴EF=2OE=6
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=12+6=18；
故答案为：18；
②∵四边形ABCD的面积为20，
∴
由①知△AOE≌△COF
∴
∴
故答案为：10
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∵ OA＝OC＝
∴在Rt△AOD中，OD＝
∴S菱形ABCD＝
∴S四边形ABFE＝S菱形ABCD =
（3）如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在和中，
∴≌
∴，
∴
∴
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
20．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．
（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．
（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）4；（2）CE－CF＝4，证明见解析．
【分析】（1）由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即得到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC；
（2）由∠BAC＝∠EAF＝60°，可得∠EAB＝∠FAC，然后根据∠ABC＝∠ACD＝60°，∠ABE＝∠ACF＝120°，可证得△ABE≌△ACF，即可得出结论．
【详解】解：（1）连接AC，
在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB//CD，
∵ ∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B，
∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，
∴ ∠BAE＝∠CAF，
∴ △ABE≌△ACF（ASA），
∴ BE＝CF．
∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4；
（2）CE－CF＝4．连接AC如图所示．
∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴ ∠EAB＝∠FAC．
∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°，
∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°，
∵ AB＝AC，
∴ △ABE≌△ACF（ASA），
∴ BE＝CF，
∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，并会作适当辅助线来辅助解答．
21．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）为了解学生对急救知识的掌握情况，甲、乙两校各组织了急救知识测试（同一份题），现从两校各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析（成绩采取百分制并用x表示，共分成四组：A．，B．，C，，D．），成绩得80分以上（含80分）即为优秀．部分信息如下：甲校抽取的学生成绩是：69，70，70，74，74，75，75，75，76，77，78，80，80，80，80，84，86，86，87，90；乙校抽取的学生成绩的扇形统计图如图所示．且分布在C组的数据是：80，80，82，83，83，85，86，86，88．根据以上信息，解答下列问题：
（1）计算：m的值，乙校抽取的学生成绩的中位数是多少分；
（2）经计算，甲、乙两校抽取的学生成绩的平均分均为78.3分，你认为甲、乙两校中哪所学校的学生对急数知识掌捏的比较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）若两校各有学生数800人，请估计两校成绩优秀的学生人数分别是多少人．
【答案】（1），80分；（2）乙校的学生对急数知识掌捏的比较好，理由为成绩为优秀的学生人数，乙校多于甲校；（3）甲校成绩为优秀的学生总数为人，乙校成绩为优秀的学生总数为人
【分析】（1）根据题意，得乙校分布在C组的学生人数，从而计算得乙校分布在C组的学生比例，结合扇形统计图的性质计算，即可得到m的值，再根据中位数的性质计算，即可得到答案；
（2）结合扇形统计图的性质，通过计算并对比两校成绩为优秀的学生人数，即可得到答案；
（3）结合（2）的结论，根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵乙校抽取的学生分布在C组的数据是：80，80，82，83，83，85，86，86，88
∴乙校分布在C组的学生人数为：9人
∵两校各随机抽取20名学生的成绩进行分析
∴乙校分布在C组的学生比例为：
∴乙校分布在B组的学生比例为：
∴
根据题意，乙校抽取的学生成绩的中间两个数均为：80分
∴乙校抽取的学生成绩的中位数是80分；
（2）甲校成绩为优秀的学生人数为：9人
乙校成绩为优秀的学生人数为：人
∵成绩为优秀的学生人数，乙校多于甲校
∴乙校的学生对急数知识掌握的比较好；
（3）甲校成绩为优秀的学生比例为：
乙校成绩为优秀的学生比例为：
∴甲校成绩为优秀的学生总数为：人
乙校成绩为优秀的学生总数为：人．
【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握抽样调查、扇形统计图、中位数、用样本评估总体的性质，从而完成求解．
22．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB//EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
（2）由四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE；
（2）∵四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是由平行四边形的性质通过角的关系证矩形．
23．（2022秋·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿AC折叠，使点B与点E重合，AD与EC相交于点F．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求△AEF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）9.6
【分析】（1）根据翻折的性质，可得AB=AE，∠E=∠B的关系，根据AAS，可得△AEF≌△CDF，可得AF＝CF；
（2）设EF＝DF＝x， AF＝AD﹣DF＝10﹣x，在直角三角形中运用勾股定理列方程求出EF的值，再运用三角形面积公式即可计算出结果.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形沿AC折叠，使点B与点E重合，AD与EC相交于点F，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°．
∵∠AFE与∠CFD是对顶角，
∴∠AFE＝∠CFD．
在△AFE和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF＝CF；
（2）由（1）得AD＝BC＝10，AE＝AB＝6，
设EF＝DF＝x， AF＝AD﹣DF＝10﹣x，
由勾股定理，得 EF2+AE2＝AF2，
x2+62＝（10﹣x）2，
x＝3.2，即EF＝3.2，
∴△AEF的面积=EF×AE=×3.2×6=9.6
【点睛】本题考查了翻折变换，利用了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质．
24．（2023春·八年级单元测试）在平行四边形中，，，垂足为E、F．
(1)求证：．
(2)连接，交于点M，交于点N，请直接写出图中所有的全等三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)；；；；
【分析】（1）先证明四边形DEBF是平行四边形，即可得出；
（2）根据题目所给的条件以及全等三角形的判定定理写出图中所有的全等的三角形即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
即；
（2）解：图中所有的全等的三角形有：；；；；．
理由如下：根据题目给的条件和第（1）题的解，得
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；．
∵，，
∴
在和中，
，
∴．
在和中，
，
∴
在和中，
．
∴．
在和中，
．
∴．
在和中，
．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定；熟记有关性质与判定定理是解决问题的关键．
25．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）已知某正比例函数的图像经过点．
(1)求此正比例函数的表达式；
(2)将该正比例函数的图像向上平移3个单位长度，写出平移后所得直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，写出平移后直线与坐标轴的交点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图像．
【答案】(1)
(2)
(3)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．函数的图像见解析
【分析】（1）运用待定系数法确定即可．
（2）根据上加下减的平移规律写出解析式即可．
（3）利用两点确定一条直线计算即可．
【详解】（1）设正比例函数的表达式为．
把代入，得到，
所以此正比例函数的表达式为．
（2）将该正比例函数的图像向上平移3个单位长度，得到直线．
（3）在中，令，得；令，得，
所以平移后的直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．
画出该函数的图像如图所示．
．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数的平移，图像的画法，熟练掌握待定系数法和平移规律是解题的关键．
26．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，在中，，D为AB的中点．E为线段AC上一点，，F为EC的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】方法1，连接BE，取BE的中点M，连接MF，MD，根据中位线定理得出//，且，//，且，所以，，因为，得出，即可求证；
方法2，延长AC至点N，使，连接BN，得出//，且，因为，所以，即可求证
【详解】方法1 如图所示，连接BE，取BE的中点M，连接MF，MD．
∵F为EC的中点，D为AB的中点，
∴//，且，
//，且．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
方法2 如图所示，延长AC至点N，使，连接BN，
，
，
∵F为EC的中点，
∴．
∴．
∴//，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
27．（2022秋·北京西城·八年级北师大实验中学校考阶段练习）如图，在中，，厘米，厘米，点P从点B出发，沿以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x（s） 0 1 2 3 4 5 6 7
y（） 0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7 m 3.6
m的值是______．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图像，解决问题：在曲线部分的最低点时，在中画出点P所在的位置，此时P运动的时间为______秒
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）P点位置见解析，
【分析】（1）根据题意，P点走6s时，得到CP为3厘米，即可证明为等边三角形，所以BP=3，即m=3．
（2）描点，连线即可画出图像．
（3）由点到直线的距离垂线最短，即可得出时，图像有最低点．由图结合勾股定理可求出CP长度，即可求出x．
【详解】（1）根据表可知，运动6s，即BC+CP=6．
∵BC=3, ∴CP=6-3=3
∵
∴是等边三角形，所以BP=3，即m=3
故答案为3
（2）描点，连线，画图像如下．
（3）P点位置如图，此时曲线位置为最低点，
∵,∴．
所以运动时间．
故答案为
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等边三角形的判定，在坐标系中描点，画图像．了解直线外一点到直线的线段中，垂线最短是解本题的关键．
28．（2022·内蒙古包头·中考真题）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；
(2)求当时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
【答案】(1)40千克
(2)
(3)第10天的销售金额多
【分析】（1）把x=14代入求出y值即可；
（2）用待定系数法求解，设m与x之间的函数关系式为，把(4,24),(12,16)代入，求出k，b值即可求解；
（3）把x=8，x=10分别代入y=12x，求出y，再把x=8，x=10分别代入（2）问所求解析式求出m值，然后分别求出my值，比较即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴当时，（千克）．
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）解：当时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为，
∵点在的图像上，
∴解得
∴函数关系式为．
（3）解：∵当时，，
∴当时，，
当时，．
∵当时，，
∴当时，，当时，．
∴第8天的销售金额为：（元），
第10天的销售金额为：（元）．
∵，
∴第10天的销售金额多．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图像，能从函数图像获取有用作息，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
29．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t．
(1)判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
(2)若CE＝AB．
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值．
【答案】(1)GH∥AE，GH=2；
(2)①5；②t的值为秒或4秒或秒．
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求解；
（2）①取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，先确定线段GH所扫过区域是 AOMN，根据平行四边形的面积公式计算可得结论；
②分FH=FG、GH=FG、GH=HF三种情况讨论，即可求得t的值；
（1）
解：∵AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，
∴AE=4，
∵G，H分别是AF，EF的中点，
∴GH∥AE，GH=AE=2；
（2）
解：①∵CE=AB=5，
∴AC=，
取EC的中点M，AC的中点N，AE的中点O，线段GH所扫过区域是 AOMN，
EM=CE=，
∴线段GH所扫过区域的面积=MN EM=GH EM=2×=5；
；
②当FH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE，
∵∠FEA+∠FEC=90°，∠FAE+∠FCE=90°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∴FE=FA=FC，
∴AF=AC=，
∴t的值为（秒）；
当GH=FG时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=FA=4，
∴t的值为4（秒）；
当GH=HF时，△FGH是等腰三角形，
此时AE=EF=4，连接EG，
∵G是AF的中点，
∴EG⊥AC，
∵S△AEC=AE EC=AC EG，
∴EG=，
∴AG=，
∴AF= 2AG，
∴t的值为（秒）；
综上，t的值为秒或4秒或秒．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
30．（2022春·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩，小丽乘私家车从上海出发30分钟后，小明乘坐火车从上海出发，先到苏州北站，然后再乘出租车去游乐园（换乘时间忽略不计），两人恰好同时到达苏州乐园，他们离上海的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解决下面问题：
（1）本次火车的平均速度_________千米/小时？
（2）当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有多少千米？
【答案】（1）180；（2）48千米.
【分析】（1）由图象可知，火车0.5小时行驶90千米，利用路程除以时间得出速度即可；
（2）首先分别求出两函数解析式，进而求出小时小丽行驶的距离，进而得出离苏州乐园的距离．
【详解】（1）v==180．
故本次火车的平均速度是每小时180千米．
故答案为180；
（2）设l2的解析式为y=kt+b，
∵当t=0.5时，y=0，当t=1时，y=90，
∴，
解得：，
∴l2的解析式为y=180t﹣90，
把t=代入，得y=180×﹣90=60，
∵（，60）在直线l1上，
∴直线l1的解析式为y=72t，
∴当t=1时，y=72，
120﹣72=48（千米），
故当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有48千米．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意结合函数图象得出一次函数解析式是解题关键．
31．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）按要求完成下列各题．
（1）计算：；
（2）如果直角三角形的两直角边分别为和，求斜边的长．
【答案】（1）；（2）4
【分析】（1）根据二次分式的运算法则计算即可；
（2）根据勾股定理以及二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
=
=
=；
（2）根据勾股定理可得：斜边长=．
【点睛】本题考查二次根式的运算、勾股定理，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
32．（2022春·湖北鄂州·九年级统考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先对括号里的分式进行通分，再计算，然后运用分式的除法运算法则计算，最后将x的值代入化简结果，计算后即可求得结果．
【详解】解：原式＝
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序及各运算法则是解题的关键．
33．（2022春·全国·七年级专题练习）如图所示的图象记录了某地一月份某天的温度随时间变化．的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：
(1)20时的温度是 ℃，温度是0℃时的时刻是 时，最暖和的时刻是 时，温度在-3℃以下的持续时间为 时；
(2)从图象中还能获取哪些信息 (写出1~2条即可)
【答案】(1)-1，12，14，8；(2)见解析.
【详解】试题分析：
（1）找到图象上与相应时间（或温度）对应的点的纵坐标（或横坐标）即可得到本题答案；
（2）本题答案不唯一，符合函数图象所反映的实际情况的信息都可以.
试题解析：
（1）由图象可知：①20时的温度是“-1℃”；②温度是0℃的时刻是12时；③最暖和的时刻是14时；④温度在-3℃以下持续的时间为8小时；
（2）从图象中还能获取：从4时到14时，温度逐渐升高；最低气温约为-4.5℃；最高气温是2℃；温度在0℃以上的时刻是在12时到18时等信息．
34．（2022秋·全国·八年级期末）小明根据学习函数的经验，对函数y＝﹣|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题．
（1）如表y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 0 1 2 3 2 1 a ﹣1 …
①a＝ ；
②若A（b，﹣7），B（10，﹣7）为该函数图象上不同的两点，则b＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
①该函数有 （填“最大值”或“最小值”）；并写出这个值为 ；
②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积；
③观察函数y＝﹣|x|+3的图象，写出该图象的两条性质．
【答案】（1）①0；②-10；（2）图象见解析；①最大值，3；函数图象在第二象限内所围成的图形的面积为；③函数图象为轴对称图形，对称轴为y轴；当x<0时，y随x的增大而增大，当x >0时，y随x增大而减小．
【分析】（1）①将x=3代入函数解析式即可求得a；
②当y=-7时，根据函数解析式可求得b；
（2）根据题意画出函数图象，
①根据图象特征即可求得；
②求得图象与x轴负半轴的交点，与y轴正半轴的交点，利用三角形面积公式求得即可；
③根据图象求得即可．
【详解】解：（1）①当x=3时，求得a=0，
故答案为：0；
②由题意，当y=7时，得|x|+3=7，
解得：x=10或10，
所以b=10，
故答案为：10．
（2）函数图象如下图所示：
①由图知，该函数有最大值3，
故答案为：最大值，3；
②由图知，函数图象与x轴负半轴的交点为（3，0），与y轴正半轴的交点为（0，3），
因此函数图象在第二象限内所围成的图形的面积为：3×3×；
③由图象知可知函数y=|x|+3有如下性质：
函数图象为轴对称图形，对称轴为y轴；
当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的画法以及一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的画法以及根据一次函数图象表示出一次函数的性质是解决本题的关键．
35．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，，满足等式.
(1)求，，的值；
(2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.
【答案】(1)，，；(2)以，，，为边能构成直角三角形，面积为.
【分析】（1）由二次根式有意义的条件可求出b的值，再根据非负数的性质可求出a和c的值；
（2）根据三角形三条边的关系可判断能否构成三角形，根据勾股定理逆定理可判断三角形的形状，根据三角形的面积公式可求出三角形的面积.
【详解】解：(1)由题设得，，，
∴，，.
(2)∵，，，∴，
∴以，，，为边能构成三角形.
∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积为：.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质，三角形三条边的关系，勾股定理逆定理及三角形的面积公式，熟练掌握二次根式有意义的条件及勾股定理逆定理是解答本题的关键.
36．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；
（3）当M点在何处时，2AM＋BM的值最小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小；见解析；（3）当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小；见解析．
【分析】（1）根据旋转的性质得BM=BN，∠MBN=60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；
（2）根据M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小进行判断即可；
（3）连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，由此可得结论．
【详解】（1）证明：∵△ABE是等边三角形
∴BA＝BE，∠ABE＝60°
∵∠MBN＝60°
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN
即∠MBA＝∠NBE
又∵MB＝NB
∴△AMB≌△ENB（SAS）
（2）解：当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小
连接AC，交BD于点O
∵四边形ABCD是正方形
∴AC与BD互相垂直平分
∴AM＝CM
∴当M点落在BD的中点时（与点O重合），A、M、C三点共线，AM＋CM的值最小即2AM的值最小
（3）解：如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小．
理由如下：连接MN.，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN＋MN＋CM取得最小值，最小值为EC．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
即2AM＋BM的值最小
【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题．
37．（2023秋·湖南张家界·八年级统考期末）计算：
（1）； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）原式先根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，然后再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）原式根据零指数幂和绝对值的代数意义进行化简即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
（2）
＝
＝
【点睛】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
38．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的数学学业水平，在某次测试中，从两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分.
（1）请根据乙校的数据补全条形统计图：
（2）两组样本数据的平均数.中位数众数如下表所示，写出、的值：
平均数 中位数 众数
甲校
乙校
（3）两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好些，请为他们各写出条可以使用的理由；甲校：____.乙校：________.
（4）综合来看，可以推断出________校学生的数学学业水平更好些，理由为________.
【答案】（1）见解析；（2）；；（3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；（4）答案不唯一.
【分析】（1）根据表格中的数据可以得到乙校70-79的和60-69的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据表格中的数据将乙校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；
（3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；
（4）答案不唯一，理由需支撑推断结论．
【详解】解：（1）由表格可得，
乙校，70-79的有5人，60-69的有2人，
补全条形统计图，如下图
各分数段条形统计图
（2）乙校数据按照从小到大排列是：57、61、63、71、72、73、76、79、80、83、84、84、84、85、85、87、87、88、89、89、90、90、91、92、92、92、92、92、94、94，
∴这组数据的中位数是：，；
（3）甲校：我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好；
乙校：我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好；
故答案为我们学校的平均分高于乙校，所以我们学校的成绩好；我们学校的众数高于甲校，所以我们学校的成绩好；
（4）综合来看，甲校学生的数学学业水平更好一些，理由：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好
【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
39．（2022春·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，点C为线段AB外一点．
(1)求作平行四边形ABCD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设点P，Q分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AC，BD，PQ相交于同一点．
【答案】(1)画图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接BC，分别以A，C为圆心，BC，AB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD即可．
（2）记AC，BD的交点为K，连接KP，KQ．利用三角形中位线定理，证明可得结论．
(1)
解：如图，平行四边形ABCD即为所求作．
(2)
证明：记AC，BD的交点为K，
连接KP，KQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴KA=KC，KB=KD，AD∥BC，
∵AP=PB，DQ=QC，
∴
∴P，K，Q共线．
∴AC，BD，PQ交于K点．
【点睛】本题考查作图-尺规作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
40．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学阶段练习）如图，供电所张师傅要安装电线杆，按要求电线杆要与地面垂直，因此，从离地面8m高的处向地面拉一条长10m的钢绳，现测得地面钢绳固定点到电线杆底部的距离为6m，请问：张师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由．
【答案】张师傅的安装方法符合要求．理由见解析.
【分析】根据已知数据，利用勾股定理可证明△ABC是直角三角形，即做法是正确．
【详解】张师傅的安装方法符合要求．
理由是：依题意，可知BC=8，AC=10，AB=6
∵BC2+AB2=82+62=100，AC2=102=100
∴BC2+AB2=AC2
∴△ABC是Rt△
∴∠ABC=90°
∴BC⊥AB．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
41．（2023春·八年级课时练习）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：
(1)关于的方程的解是______；关于的方程的解是______；
(2)关于的不等式的解集是______；
(3)若点，请直接写出关于的不等式的解集；
(4)请直接写出关于的不等式组的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y=0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
（3）利用两直线交点坐标，结合图象得出答案；
（4）根据函数图像分别解不等式，再取公共部分即可．
【详解】（1）∵一次函数和的图象，分别与轴交于，，
∴关于的方程的解是；关于的方程的解是；
（2）根据图象可以得到：关于的不等式的解集是
（3）∵一次函数和的图象交于点
∴根据图象可以得到：关于的不等式的解集为
（4）根据图象可以得到：关于的不等式的解集为，
关于的不等式的解集为
∴关于的不等式组的解集为
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键．
42．（2022春·八年级单元测试）化简求值：其中
【答案】x+y，2.
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式= = x+y．
∵，
∴ 原式=+=2.
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
43．（2023秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△COB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB=10；（2）y=2x+6；（3）存在，满足条件的P点的坐标为（3，2）或（-4，8）．
【分析】（1）利用直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，即可求解；
（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，设OC=n，则CD=n，AC=8﹣n，在Rt△ACD中，由勾股定理可列出关于n的方程，解出方程即可求出点C，然后根据待定系数法即可求解；
（3）设M（m，2m+6），，然后进行分类讨论：①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B；②当AB为矩形的对角线时，如图所示有矩形 ，然后根据勾股定理结合中点公式即可解答．
【详解】（1）∵对于直线，当x=0时，y=6；当y=0时，x=-8，
∴A(-8，0)， B(0，6)，
∴OA=8，OB=6，
在直角△AOB中，
（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴OC=CD， BD=OB=6，AD=AB-BD=4，
设OC=n，则CD=n，AC=8﹣n，
∵在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
解得：n=3．
即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．
设直线BC解析式为，
将点B(0，6)， C(-3，0)代入 ，得：
解得： ，
∴直线BC的解析式是 ；
（3）
∵点M在直线BC：y=2x+6上，
∴可设M（m，2m+6），
①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，
可有AB2+AM12=BM12
∵A（-8，0），B（0，6）
∴AM12=(8+m)2+(2m+6)2=5m2+40m+100，
BM12=m2+(6-2m-6)2=5m2，
根据AB2+AM12=BM12 ，得100+5m2+40m+102=5m2，解得m=-5，
∴M1（-5，-4），
∴ 的中点坐标为 ，即 的中点也为，
则有 ，解得： ，
∴ ；
②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，
即100=5m2+40m+100+5m2，m=-4或m=0（舍去），
∴M2（-4，-2），
AB的中点坐标为 ，即 的中点也为，
则 ，解得：
∴ ，
综上所述，满足条件的P点的坐标为（3，2）或（-4，8）．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，及中点公式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，及分类思想．
44．（2022春·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足 ．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），，或，
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）根据，构建方程求解即可．
（3）分两种情形：当时，当时，分别构建方程求解即可．
【详解】解：（1），
又，，
，
，，
，
，．
（2）由题意得：，，
则：，，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：．
（3）当时，过作，
,
由题意得：，
解得：，
故，，
当时，过作轴，
由题意得：，，
，
解得：，
，
故，，，．
综上所述：，，或，，，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
45．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明；
【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证： ；
②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长．
【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②；（3）至少需要围挡40米．
【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明，即可证明；
（2）①由（1）可得，，，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，即可证明结论；
②延长和相交于点E，由（1）可知，，得到，，进而得到，根据三角形中线性质，得到，当时，最大，即最大，利用勾股定理求出，即可得到的长；
（3）延长交于点D，延长交于点E，由（1）可知，，，得到，，进而证明，得到，再利用勾股定理得到，设，，则，，，，从而得到，即可求出的周长，得到答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）①证明：在中，是角平分线，，
由“情境建模”的结论得，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
②延长和相交于点E，
平分，，
由“情境建模”的结论得：，
，，
，
，
为中点，
，
当最大时，最大，即时，最大，
，，
，
；
（3）延长交于点D，延长交于点E，
、分别平分和，，，
由“情境建模”的结论得：，，
，，
在和中，
，
，
，，，
，
设，，
，，
，，
，，
，
，
的周长，
答：至少需要围挡40米．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的有关计算，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题关键．
46．（2022秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．
（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠NAM＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明；
（3）如图3，延长对角线BD至Q，延长DB至P，连CP，CQ，若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则PC＝ ．（直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2）MN2＝BN2+DM2，证明见解析；（3）
【分析】（1）由直角三角形的性质得AO＝MO＝BE＝BO＝EO，得∠ABO＝∠BAO，∠OBM＝∠OMB，证出∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2∠ABO+2∠MBO＝2∠ABD＝90°即可；
（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF＝AN，连接DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN＝DF，∠DAF＝∠ABN＝45°，则∠FDM＝90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN＝MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得 ，进而得出结论；
（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ＝∠PCQ＝135°，EQ＝PQ＝9，得∠PCE＝90°，则∠BCE＝∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，得CE＝CP＝PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE＝∠CDB＝∠CBD＝45°，则∠EBQ＝∠PBE＝90°，由勾股定理求出BE＝4，PE＝6，即可得出PC的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵ME⊥BD，
∴∠BME＝90°，
∵O是BE的中点，
∴AO＝MO＝BE＝BO＝EO，
∴∠ABO＝∠BAO，∠OBM＝∠OMB，
∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2∠ABO+2∠MBO＝2∠ABD＝90°；
（2）解：MN2＝BN2+DM2，理由如下：
在AD上方作AF⊥AN，使AF＝AN，连接DF、MF，如图2所示：
则∠NAF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠NAF＝90°，
∴∠BAN＝∠DAF，
∵∠NAM＝45°，
∴∠FAM＝45°＝∠NAM，
在△ABN和△ADF中，，
∴△ABN≌△ADF（SAS），
∴BN＝DF，∠ADF＝∠ABN＝45°，
∴∠FDM＝∠ADB+∠ADF＝90°，
∵∠NAM＝45°，
∴∠FAM＝45°＝∠NAM，
在△NAM和△FAM中，，
∴△NAM≌△FAM（SAS），
∴MN＝MF，
在Rt△FDM中，FM2＝DM2+FD2，
即MN2＝BN2+DM2；
（3）解：作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，如图3所示：
则△PCQ≌△ECQ，∠ECQ＝∠PCQ＝135°，EQ＝PQ＝9，
∴∠PCE＝360°﹣∠PCQ﹣∠ECQ＝90°，
∴∠BCE＝∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，
∴CE＝CP＝PE，
在△BCE和△DCP中，，
∴△BCE≌△DCP（SAS），
∴∠CBE＝∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴∠EBQ＝90°，
∴∠PBE＝90°，
∵PB＝2，PQ＝9，
∴BQ＝PQ﹣PB＝7，
∴BE＝＝＝4，
∴PE＝＝＝6，
∴PC＝PE＝3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、勾股定理的应用、轴对称的性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．
47．（2022秋·江苏苏州·八年级统考期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB=10，BC=6，AC=8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按CBAC的方向匀速移动到点C停止； 机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是 ；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4.8；（2）存在，7秒，7.6秒，6.5秒，11秒
【分析】（1）根据三角形的面积列出关系式即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，分为四种情况讨论，逐一列出方程求解即可．
【详解】（1）设点C到AB边的距离是d
根据三角形的面积公式，得：，
∴
∴点C到AB边的距离是4.8；
（2）存在，
若△PBC为等腰三角形，则有三种情况①PB=PC，②PB=BC，③PC=BC
∵
∴△ABC为直角三角形
作
∵且
∴
∴，即
①∵△ABC为直角三角形
又∵PB=PC
∴P只能位于AB上
此时
即
∴，解得
②∵PB=BC=6时， P只能位于AB上
即，解得t=7
③第一种情况：
P在AB上，作
根据勾股定理
由①得，
解得t=7.6
第二种情况：P在AC上，
即，解得t=11
综上所述，t=7秒或7.6秒或6.5秒或11秒．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，问题的关键是要分四种情况讨论．
48．（2022秋·江苏无锡·九年级阶段练习）已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°.
（1）如图1，填空：∠BAD= ；= ；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH=∠BCH，连接BH，求∠CBH的度数；
（3）如图3，点P是BE上一点，过A、E两点分别作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分别为N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面积．
【答案】（1）150°，（2）15°；（3）．
【详解】（1）先求出∠BAC的度数，然后得出∠BAD的度数，先求BC、CD等于多少CA，然后就能求出的值；
（2）连结CE、AH， 先证等边△ACE，然后再证△AEH≌△ACH，得出H点是内心，从而解出∠CBH的值；
（3）先证△AEF≌△DAG，然后利用边的关于求出DG，再利用三角形的面积公式求出．
49．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）在矩形ABCD中，直线MN经过点A，BE⊥MN于点E，CF⊥MN于点F，DG⊥MN于点G.
(1)当MN绕点A旋转到图①位置时，求证:BE +CF =DG; .
(2)当MN绕点A旋转到图②和图③位置时，线段BE，CF，DG之间又有怎样的数量关系
请写出你的猜想，不需要证明;
(3)在(1)(2)的条件下，若CD =2AE =6，EF =，则CF= ．
【答案】(1)证明见解析；(2)或.（3）或
【分析】（1）过点C作CH⊥DG于点H，证和四边形HGFC为矩形即可得出答案；
（2）图②过点C作CH⊥BE于点H，可知四边形FCGE为矩形，△BCH≌△DMG即可得出答案，图③过点D作DH⊥CF于点H，可知四边形FCDH为矩形，△ABE≌△DCH，即可得出答案；
（3）由（1）（2）的结论可知，可分为两种情况求CF得长度，结合CD =2AE =6，，分别求出CF的长度即可．
【详解】解：(1)证明：过点C作CH⊥DG于点H，则∠DHC＝∠AEB=90°
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠BAE+∠DAG=90°
∴∠ABE=∠DAG
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠CDH=90°，
∴∠DAG=∠CDH
∴∠ABE=∠CDH
在△ABE与△CDH中，∠ABE=∠CDH，∠BEA=∠CHD=90°,AB=DC
∴△ABE≌△CDH
∴BE=DH
∴四边形HGFC为矩形
(2)图②：
理由：过点C作CH⊥BE于点H，与（1）同理四边形FCGE为矩形，CF=EH，
∴CH∥MN，∠BHC=90°
∴∠HBC+∠HCB=90°
又∵∠HBC+∠ABE=90°
∴∠ABE=∠HCB
∵∠BAE+∠DMG=90°，∠BAE+∠ABE=90°
∴∠DMG=∠ABE=∠HCB
在△BCH与△DMG中，∠BHC=∠DGM=90°，∠HCB=∠DMG，BC=DM
∴△BCH≌△DMG
∴BH=DG
∴
图③：
理由：过点D作DH⊥CF于点H，与（1）同理四边形FCDH为矩形，DG=FH，
∵∠CDH+∠ADH=90°，∠ADH+∠GDA=90°
∴∠CDH=∠GDA
∵∠GAD+∠GDA=90°，∠GAD+∠EAB=90°
∴∠GDA=∠EAB
∴∠EAB=∠CDH
在△ABE与△DCH中，∠BEA=∠CHD=90°，∠EAB=∠CDH，AB=DC
∴△ABE≌△DCH
∴BE=CH
∴CF-CH=CF-BE=FH=DG
（3）如图②，
由（1）可知，△ABE≌△CDH，
∴BE=DH，AE=CH=FG，CF=HE，
∵CD =2AE =6，
∴AB=2AE=6，则在Rt△ABH中，
∠CDH=30°，AE=3，
∴，
在Rt△ADH中，CH=EF，∠BCH=30°，
∴BH=4，
∴CF=；
如图③，
此时AG=EF，，
∴FH=GD=4，
∴CF=CH+FH；
综合上述，或.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质和矩形的性质，能够选择合适的判定方法证明三角形全等是解题的关键.
50．（2023春·全国·八年级期中）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②
(3)
【分析】（1）由二次根式有意义的条件和相反数的性质可得出a=6，b=3，然后根据正方形的性质即可得出答案；
（2）①取OA的中点K，连接KE，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出，解得x=2，根据计算求解即可得出答案；
（3）在外角平分线上取点E，使CF=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，进而可得出答案．
【详解】（1）解：∵a，b满足式子，
∴a=6，b=3，
∴，；
（2）解：①取OA的中点K，连接KE，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，K为OA的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
在△AKE和△ECF中，
，
∴，
∴；
②延长CD，并在延长线上截取，连接AH，如图所示，
∵四边形AOCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，，，
由①可知，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又，
设，则，
∴，
∴，
在Rt△ECG中，，
解得，
∴，
∴．
（3）解：在外角平分线上取点F，使，如图所示，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，
过点F作轴于点R，
在Rt△ORF中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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题组训练04 期末解答题组训练（50题）
1．（2022春·广东中山·九年级开学考试）计算：
2．（2022·贵州毕节·二模）先化简再求值：，其中．
3．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是______，小数部分是______；
（2）的整数部分是______，小数部分是_____；
（3）若设整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
4．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值，其中．
5．（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）二次根式计算
（1）
（2）（1﹣）2+÷．
6．（2022春·吉林·八年级吉林省实验校考期中）已知：，，求的值．
7．（2022秋·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）计算：
(1)
(2)
(3)
8．（2022秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，每个小正方形的边长是1，
①在图①中画出一个斜边是的直角三角形；
②在图②中画出一个面积是8的正方形．
9．（2022春·上海·七年级校考期中）计算：
10．（2022秋·八年级课时练习）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次．从1936年到2010年，共有53人获奖，获奖者获奖时的年龄分布如下，请计算获奖者的平均获奖年龄．（结果精确到0.1岁）
11．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由．
12．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）“珍重生命，注意安全!”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书， 于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题:
（1）小明家到学校的距离是__ _米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）我们认为骑车的速度超过了米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由，
13．（2022春·湖南长沙·八年级统考期末）已知，求代数式的值．
14．（2022秋·八年级单元测试）阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______．
（2）如图，于，，，，，求的长度．
（3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹）
15．（2022秋·浙江湖州·七年级校联考期中）如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示-的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
16．（2022秋·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一个动点，求PM﹣PN的最大值．
17．（2022春·江苏·八年级校联考期中）某鱼塘中养了某种鱼2000条，为了估计鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中随机捕捞了3次，取得的数据如下：
（1）求样本中平均每条鱼的质量；
（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；
（3）设该种鱼每千克的售价为12元，求出售的收入y（元）与出售的质量x（kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．
18．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，动点在的延长线上，是以为斜边的直角三角形，是的中点，连接，，且．
(1)证明：、、三点共线；
(2)连接．
①试判断线段与的数量关系，并给出证明；
②当，且线段取到最小值时，求的长度．
19．（2022春·安徽淮南·八年级统考期中）请认真完成下列数学活动
典例再现：如图1， ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．
尝试发现
（1）按图1填空：
①若 ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为 ；
②若 ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是 ．
应用发现
（2）如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝，AD＝6，求四边形ABFE的面积．
应用拓展
（3）如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝，则△ABC的面积是 ．
20．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．
（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．
（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．
21．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）为了解学生对急救知识的掌握情况，甲、乙两校各组织了急救知识测试（同一份题），现从两校各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析（成绩采取百分制并用x表示，共分成四组：A．，B．，C，，D．），成绩得80分以上（含80分）即为优秀．部分信息如下：甲校抽取的学生成绩是：69，70，70，74，74，75，75，75，76，77，78，80，80，80，80，84，86，86，87，90；乙校抽取的学生成绩的扇形统计图如图所示．且分布在C组的数据是：80，80，82，83，83，85，86，86，88．根据以上信息，解答下列问题：
（1）计算：m的值，乙校抽取的学生成绩的中位数是多少分；
（2）经计算，甲、乙两校抽取的学生成绩的平均分均为78.3分，你认为甲、乙两校中哪所学校的学生对急数知识掌捏的比较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）若两校各有学生数800人，请估计两校成绩优秀的学生人数分别是多少人．
22．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是矩形．
23．（2022秋·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿AC折叠，使点B与点E重合，AD与EC相交于点F．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求△AEF的面积．
24．（2023春·八年级单元测试）在平行四边形中，，，垂足为E、F．
(1)求证：．
(2)连接，交于点M，交于点N，请直接写出图中所有的全等三角形．
25．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）已知某正比例函数的图像经过点．
(1)求此正比例函数的表达式；
(2)将该正比例函数的图像向上平移3个单位长度，写出平移后所得直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，写出平移后直线与坐标轴的交点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图像．
26．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，在中，，D为AB的中点．E为线段AC上一点，，F为EC的中点．求证：．
27．（2022秋·北京西城·八年级北师大实验中学校考阶段练习）如图，在中，，厘米，厘米，点P从点B出发，沿以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x（s） 0 1 2 3 4 5 6 7
y（） 0 1.0 2.0 3.0 2.7 2.7 m 3.6
m的值是______．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图像，解决问题：在曲线部分的最低点时，在中画出点P所在的位置，此时P运动的时间为______秒
28．（2022·内蒙古包头·中考真题）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；
(2)求当时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
29．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=3，AB=5，连接AC，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH．设点F运动的时间为t．
(1)判断GH与AE的位置关系和数量关系，并求出GH的长；
(2)若CE＝AB．
①求点F由点A向点C匀速运动的过程中，线段GH所扫过区域的面积；
②若△FGH是等腰三角形，求t的值．
30．（2022春·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩，小丽乘私家车从上海出发30分钟后，小明乘坐火车从上海出发，先到苏州北站，然后再乘出租车去游乐园（换乘时间忽略不计），两人恰好同时到达苏州乐园，他们离上海的距离y（千米）与乘车时间t（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解决下面问题：
（1）本次火车的平均速度_________千米/小时？
（2）当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有多少千米？
31．（2022春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）按要求完成下列各题．
（1）计算：；
（2）如果直角三角形的两直角边分别为和，求斜边的长．
32．（2022春·湖北鄂州·九年级统考期中）先化简，再求值：，其中．
33．（2022春·全国·七年级专题练习）如图所示的图象记录了某地一月份某天的温度随时间变化．的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题：
(1)20时的温度是 ℃，温度是0℃时的时刻是 时，最暖和的时刻是 时，温度在-3℃以下的持续时间为 时；
(2)从图象中还能获取哪些信息 (写出1~2条即可)
34．（2022秋·全国·八年级期末）小明根据学习函数的经验，对函数y＝﹣|x|+3的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题．
（1）如表y与x的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 0 1 2 3 2 1 a ﹣1 …
①a＝ ；
②若A（b，﹣7），B（10，﹣7）为该函数图象上不同的两点，则b＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
①该函数有 （填“最大值”或“最小值”）；并写出这个值为 ；
②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积；
③观察函数y＝﹣|x|+3的图象，写出该图象的两条性质．
35．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知，，满足等式.
(1)求，，的值；
(2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.
36．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；
（3）当M点在何处时，2AM＋BM的值最小，并说明理由．
37．（2023秋·湖南张家界·八年级统考期末）计算：
（1）； （2）
38．（2022春·辽宁抚顺·八年级统考期末）甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的数学学业水平，在某次测试中，从两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分.
（1）请根据乙校的数据补全条形统计图：
（2）两组样本数据的平均数.中位数众数如下表所示，写出、的值：
平均数 中位数 众数
甲校
乙校
（3）两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好些，请为他们各写出条可以使用的理由；甲校：____.乙校：________.
（4）综合来看，可以推断出________校学生的数学学业水平更好些，理由为________.
39．（2022春·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，点C为线段AB外一点．
(1)求作平行四边形ABCD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)设点P，Q分别为平行四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AC，BD，PQ相交于同一点．
40．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学阶段练习）如图，供电所张师傅要安装电线杆，按要求电线杆要与地面垂直，因此，从离地面8m高的处向地面拉一条长10m的钢绳，现测得地面钢绳固定点到电线杆底部的距离为6m，请问：张师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由．
41．（2023春·八年级课时练习）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与轴交于点，，两直线交于点．已知点，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：
(1)关于的方程的解是______；关于的方程的解是______；
(2)关于的不等式的解集是______；
(3)若点，请直接写出关于的不等式的解集；
(4)请直接写出关于的不等式组的解集．
42．（2022春·八年级单元测试）化简求值：其中
43．（2023秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△COB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2022春·广东珠海·八年级珠海市第四中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且a，b满足 ．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出B，C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
45．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）【情境建模】（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着逆向思考：如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明；
【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：
①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证： ；
②如图3，在四边形中，，，平分，，当的面积最大时，请直接写出此时的长．
【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求至少需要围挡多少米？（步道宽度忽略不计）
46．（2022秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．
（1）如图1，连AO、MO，试证明∠AOM＝90°；
（2）如图2，连接AM、AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠NAM＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明；
（3）如图3，延长对角线BD至Q，延长DB至P，连CP，CQ，若PB＝2，PQ＝9，且∠PCQ＝135°，则PC＝ ．（直接写出结果）
47．（2022秋·江苏苏州·八年级统考期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB=10，BC=6，AC=8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按CBAC的方向匀速移动到点C停止； 机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是 ；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
48．（2022秋·江苏无锡·九年级阶段练习）已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°.
（1）如图1，填空：∠BAD= ；= ；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH=∠BCH，连接BH，求∠CBH的度数；
（3）如图3，点P是BE上一点，过A、E两点分别作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分别为N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面积．
49．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）在矩形ABCD中，直线MN经过点A，BE⊥MN于点E，CF⊥MN于点F，DG⊥MN于点G.
(1)当MN绕点A旋转到图①位置时，求证:BE +CF =DG; .
(2)当MN绕点A旋转到图②和图③位置时，线段BE，CF，DG之间又有怎样的数量关系
请写出你的猜想，不需要证明;
(3)在(1)(2)的条件下，若CD =2AE =6，EF =，则CF= ．
50．（2023春·全国·八年级期中）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值．
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