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题组训练02 期中解答易错题组训练
一、解答题
1．（22-23八年级·全国·课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个．
(1)作关于直线的对称图形（不写作法）
(2)在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ．
3．（2021·江苏苏州·二模）计算：．
4．（2021九年级·上海·专题练习）计算：．
5．（22-23七年级下·黑龙江大庆·期末）计算：
(1)；
(2)．
6．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）计算：
（1）
（2）
7．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
8．（22-23八年级下·山东滨州·期末）计算：
(1)；
(2)．
9．（22-23九年级上·广西北海·期中）计算：
10．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）计算：
(1)；
(2)．
11．（22-23八年级下·福建莆田·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，，，为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．判断的形状，并说明理由．
12．（22-23九年级上·河南平顶山·期中）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
13．（2023·浙江湖州·一模）如图，E、F是的对角线上的两点，且，，连接，．
(1)求证：．
(2)连接交于点，若，，求的长．
14．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，对角线相交于点O，已知，， ．
(1)求证：；
(2)过A作于E，求．
15．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在矩形ABCD中AD=12，AB=9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC=5
（1）求BG的长度；
（2）求证：是直角三角形
（3）求证：
16．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，若AB=17，BC=30，AD=8．
（1）试说明AD⊥BC；
（2）试说明△ABC是等腰三角形．
17．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方体中，点E是棱B'C'的中点，已知．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．
18．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠后，点D落在点E处，且与交于F．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)求的面积．
19．（2018九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，和关于AC所在的直线对称，AD和相交于点O，连接．
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
(2)求证：．
20．（山东省枣庄市薛城区薛城区北临城中学2021-2022学年八年级上学期8月月考数学试题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
22．（22-23八年级下·全国·课时练习）已知：如图，在□ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．试说明：四边形ABOE、四边形DCOE也是平行四边形．
23．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，点E是的中点，的平分线交于点D，作，连接并延长交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
24．（2023九年级上·全国·专题练习）已知：矩形中，延长至，使，为中点，连接、．求证：．
25．（22-23八年级下·全国·课时练习）计算：
(1) ＋－－；
(2) b＋b2；
(3)( ＋)－(＋)；
(4) (－)－ (－)．
26．（22-23八年级下·北京通州·期末）已知点，分别是正方形的边，上的动点，并且保持，请你证明的周长是一个只与正方形边长有关的定值．
27．（22-23八年级上·四川内江·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．（精确到0.01）
28．（22-23八年级下·山东威海·期中）计算：．
29．（2017·江苏南通·一模）将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
30．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，E是□ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F．
（1）求证：△AEF≌△DEC．
（2）若CD＝6，求BF的长．
31．（2019·重庆·一模）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG＝AF，连接GF并延长交BC于E．
(1)若AB＝8，BC＝6，求AD的长；
(2)求证：GE⊥BC．
32．（22-23八年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上．
(1)写出点，，的坐标：____，____，____．
(2)求出的面积．
(3)在y轴上确定点P，使得到、的距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置）
33．（22-23八年级上·全国·课时练习）（1）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且+=+，求这个三角形的周长．
34．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，分别是的中点，连结，在上取点F，使得，延长交于点G．
(1)当时，求的度数．
(2)设，探究之间的关系．
35．（22-23九年级下·甘肃定西·阶段练习）问题情境： 在综合实践课上，老师让同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展数学活动．如图①，在中，，，．点是边上一动点，点在边上，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图②，当点与点重合时，若点为边的中点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
解决问题：
(2)如图③，当点为边的中点时，若此时点恰好落在边上，求四边形的面积．
36．（2021九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
37．（2019·江西南昌·一模）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．
38．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）某学校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB=25米，BC=17米，AC=26米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为80元，则学校修建这个花园需要投资多少元
39．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，D是边上的一点，已知 ，，，，求边的长．
40．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，中，，点D是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若点E是边上的动点，连接，求线段的最小值．
41．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，求的值．
42．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，点F是正方形的边上一点，点E是延长线上一点，且．易证，进而证得．
【应用】（1）如图②，在正方形中，点F、G分别在边、上，且．求证：．
【拓展】（2）如图③，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且．若，，则四边形的周长为______．
43．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，等腰直角和等腰直角有公共顶点．且点在边上，点在边上，为的中点，连结、，请写出线段与线段的关系，并证明．
（2）如图2，分别以的边、为底作等腰和等腰，若点在外，为的中点，连结，且．试判断与的关系并证明．
44．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）按要求解答下列各小题．
(1)解方程：；
(2)计算：．
45．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，求四边形的面积．
46．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)延长交于点，若，求的度数．
47．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
48．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90
(1)如图所示，求证：DA+DB=DC
(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.
(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .
49．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知在菱形中，，点E，F，G，H分别是,，，上一点，且始终满足，，的长为4．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)判断直线是否经过某定点？若经过，请指明该点的位置并说明理由；若不经过，也请说明理由；
(3)设菱形的边长为x，的面积记为y，请建立y与x之间的函数关系式并指出x的取值范围．
50．（22-23七年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，10厘米，6厘米，点沿边从点开始向点以2厘米/秒的速度移动;点沿边从点开始向点以1厘米/秒的速度移动．如果同时出发，用 (秒)表示移动的时间．那么：
(1)如图1，用含的代数式表示和，若线段，求的值．
(2)如图2，在不考虑点的情况下，连接，用含t的代数式表示△QAB的面积．
(3)图2中，若△QAB的面积等于长方形的面积的，求的值．
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题组训练02 期中解答易错题组训练
一、解答题
1．（22-23八年级·全国·课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）3
【分析】（1）根据乘法分配律计算即可；（2）利用多项式除以单项式法则进行计算即可；（3）根据多项式乘多项式的计算方法求解即可；（4）根据平方差公式计算即可.
【详解】解：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算法则、运算律、乘法公式仍然适用于二次根式，如果结果中出现同类二次根式，应将其进行合并.
2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图：在正方形网格上有一个．
(1)作关于直线的对称图形（不写作法）
(2)在直线上找一点P，使有最小值，那么最小值为 ．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查轴对称作图．
（1）根据成轴对称的性质，画出，即可；
（2）连接，根据，求出的长即可．
掌握成轴对称的性质，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）连接，则：，
∴最小值即为的长，
由勾股定理，得：；
故答案为：．
3．（2021·江苏苏州·二模）计算：．
【答案】．
【分析】由算术平方根、绝对值的意义，负整数指数幂的运算法则进行化简，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、绝对值的意义，负整数指数幂，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
4．（2021九年级·上海·专题练习）计算：．
【答案】
【分析】直接利用绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂分别化简得出答案．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到了绝对值的意义、二次根式的性质、分数指数幂的性质以及负指数指数幂等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键，体现了数学运算的核心素养．
5．（22-23七年级下·黑龙江大庆·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
【点睛】本题是对二次根式的混合运算的考查，熟练掌握二次根式的化简及运算法则是解决本题的关键．
6．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可求解．
【详解】
．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
7．（22-23八年级上·陕西宝鸡·期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）（2）5；（3）.
【分析】（1）首先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）首先化简二次根式，然后进行加减运算即可；
（2）先利用完全平方公式计算，再进行加减运算即可.
（3）首先利用分配律计算乘法，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
8．（22-23八年级下·山东滨州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行二次根式加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握二次根式混合运算法则即可．
9．（22-23九年级上·广西北海·期中）计算：
【答案】2
【分析】先计算二次根式的乘法，零指数幂，去绝对值，再合并，即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
10．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)15
(2)
【分析】（1）用被开方数相乘除，再化简即可；
（2）先化为最简二次根式，再合同同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
=15；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
11．（22-23八年级下·福建莆田·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，，，为格点（每个小正方形的顶点叫格点）．判断的形状，并说明理由．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】利用勾股定理求出三边的平方，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
由图可知：，，，
，
为直角三角形．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键．
12．（22-23九年级上·河南平顶山·期中）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系： ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
【答案】①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质可得BE＝ AB，从而得到BE＝ BN，即可求解；
（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；
（3）由②得∠ABM＝30°，从而得到△BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．
【详解】①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
【点睛】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
13．（2023·浙江湖州·一模）如图，E、F是的对角线上的两点，且，，连接，．
(1)求证：．
(2)连接交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）利用证明，可得；
（2）结合（1）中条件证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由得：，，
∴四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
14．（22-23八年级下·湖南常德·期中）如图，在中，对角线相交于点O，已知，， ．
(1)求证：；
(2)过A作于E，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)AE=
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得到，，再由可证明是直角三角形，从而得证．
（2）在中，由勾股定理先求得边的长，然后利用面积相等法可求得斜边边上的高．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形
∴，，
∴
∴是直角三角形，
∴；
（2）∵是直角三角形，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积表达式等知识点，解题的关键是灵活运用所学过的这些知识点．
15．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在矩形ABCD中AD=12，AB=9，E为AD的中点，G是DC上一点，连接BE，BG，GE，并延长GE交BA的延长线于点F，GC=5
（1）求BG的长度；
（2）求证：是直角三角形
（3）求证：
【答案】（1）13（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）在Rt△BCG中利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理依次求出BE,EG，再利用勾股定理逆定理即可证明；
（3）由E点为AD中点得到E为FG中点，再根据BE⊥FG得到△BFG为等腰三角形，得到∠F=∠BGF，再根据平行线的性质即可证明.
【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=12，∠C=90°，
∴BG=
（2）∵E为AD中点，∴AE=DE=6，
∴BE=
∵DG=CD-GC=4，
∴EG=
∴BG2=DG2+EG2,
∴是直角三角形
（3）∵AE=DE，∠FAE=∠D=90°，又∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴E为EG中点，又BE⊥FG，
∴△BFG为等腰三角形，
∴∠F=∠BGF，
又BF∥CD，
∴∠F=
∴
【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知勾股定理与全等三角形的判定定理.
16．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，若AB=17，BC=30，AD=8．
（1）试说明AD⊥BC；
（2）试说明△ABC是等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据已知条件计算出BD2+AD2=AB2，从而可判定AD⊥BC；（2）根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，即可得△ABC是等腰三角形．．
【详解】（1）∵AD为中线，
∴BD=CD=15，
∵152+82=172，
∴BD2+AD2=AB2，
∴AD⊥BC，
（2）∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用勾股定理逆定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定是解决问题的关键．
17．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方体中，点E是棱B'C'的中点，已知．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最短距离．
【答案】小虫爬行的最短距离为
【分析】将长方体沿进行展开，将长方体沿进行展开，将长方体沿进行展开，分别计算出三种情况下的长度即可得到答案．
【详解】解：如图1所示，将长方体沿进行展开，
∴；
如图2所示，将长方体沿进行展开，
∴；
如图3所示，将长方体沿进行展开，
∴；
∵，
∴小虫爬行的最短距离为．
【点睛】本题主要考查了长方体表面上的最短距离问题，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
18．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠后，点D落在点E处，且与交于F．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)求的面积．
【答案】(1)是等腰三角形，见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，根据折叠的性质可得，可得，根据等角对等边可得；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得的长，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）是等腰三角形．
理由：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴．
【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等角对等边以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
19．（2018九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，和关于AC所在的直线对称，AD和相交于点O，连接．
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
(2)求证：．
【答案】(1)△AOC，，．
(2)见解析
【分析】（1）先利用轴对称的性质得到，，，则和是等腰三角形，再由平行四边形的性质推出∠OAC=∠OCA，则OA=OC，即可证明△AOC是等腰三角形；
（2）先利用轴对称的性质得到，．再由四边形ABCD是平行四边形，推出，，由对顶角相等得，即可证明．
【详解】（1）解：∵和关于AC所在的直线对称，
∴
∴，，，
∴和是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠OAC=∠ACB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰三角形，
（2）解：∵和关于AC所在的直线对称，
∴．
∴，．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∴，．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，熟知轴对称图形的性质是解题的关键．
20．（山东省枣庄市薛城区薛城区北临城中学2021-2022学年八年级上学期8月月考数学试题）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式进行二次根式的混合运算即可求解；
（2）利用乘法分配律、二次根式性质进行二次根式的乘法和加减法的运算求解即可；
（3）先利用二次根式的乘法运算法则和零指数幂运算法则求解，再化简合并同类二次根式即可；
（4）先利用乘法分配律和二次根式的乘法运算法则求解，再加减合并即可．
【详解】（1）解：
=；
（2）解：
=；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式、二次根式的性质、乘法分配律，熟记公式和运算法则，正确求解是解答关键．
21．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．
【答案】
【分析】根据、由勾股定理可以计算的长，根据，，由勾股定理的逆定理可以判定为直角三角形，再根据四边形的面积为和面积之和即可求解．
【详解】解：，，，
，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中求证是直角三角形是解题的关键．
22．（22-23八年级下·全国·课时练习）已知：如图，在□ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．试说明：四边形ABOE、四边形DCOE也是平行四边形．
【答案】见解析
【详解】试题分析：因为 ABCD，OB=OD，又AODE是平行四边形，AE=OD，所以AE=OB，又AE∥OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE是平行四边形．同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形．
试题解析：∵ ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴OB=OD，
又∵四边形AODE是平行四边形，
∴AE∥OD且AE=OD，
∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
同理可证，四边形DCOE也是平行四边形.
23．（22-23八年级下·广东汕头·期末）如图，在中，，点E是的中点，的平分线交于点D，作，连接并延长交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）先证明，得出，根据，即可得出结论；
（2）当时，四边形是菱形，理由：先求出，根据角的平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
∵，时，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（1）可知四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．
24．（2023九年级上·全国·专题练习）已知：矩形中，延长至，使，为中点，连接、．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据三线合一可得，根据等边对等角可得，从而，利用“边角边”证明，从而，然后求出，即可得证．
【详解】解：联结
在矩形中，，，
∵，F为中点，
∴
∴
∵，F为中点，
∴
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
即，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．（22-23八年级下·全国·课时练习）计算：
(1) ＋－－；
(2) b＋b2；
(3)( ＋)－(＋)；
(4) (－)－ (－)．
【答案】（1）－；（2）6b2；(3) －2；（4） －
【详解】试题分析：首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解.
试题解析：（1） ＋－－
=
=－；
(2) b＋b2
=
=6b2；
(3)( ＋)－(＋)
=
= －2；
(4) (－)－ (－)
=
= － .
26．（22-23八年级下·北京通州·期末）已知点，分别是正方形的边，上的动点，并且保持，请你证明的周长是一个只与正方形边长有关的定值．
【答案】见详解
【分析】延长FD至H点，使得DH=BE，连接AH，先证明△ABE≌△ADH，再证明△EAF≌△HAF，即可得CE+EF+CF=2BC，则问题得解．
【详解】延长FD至H点，使得DH=BE，连接AH，如图，
在正方形ABCD中，有∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD=BC=CD，
即∠ADH=90°，
∵AB=AD，BE=DH，∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE≌△ADH，
∴∠BAE=∠DAH，AE=AH，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠FAD+∠DAH=∠FAH=45°，
∴∠EAF=∠FAH，
∵AE=AH，AF=AF，
∴△EAF≌△HAF，
∴EF=FH，
∵BE=DH，
∴EF=FH=FD+DH=FD+BE，
∵△CEF的周长为CE+EF+CF，
∴CE+EF+CF=CE+BE+FD+CF=BC+CD=2BC，
即△CEF的周长为定值，且等于正方形ABCD边长的2倍．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线并证明△ABE≌△ADH，是解答本题的关键．
27．（22-23八年级上·四川内江·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．（精确到0.01）
【答案】（1）是，见解析；（2）2.08千米
【分析】（1）由题意直接根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）由题意直接根据勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）是．理由如下：
在△CHB中，CB＝2.5，CH＝2，HB＝1.5，
∵CH2+HB2＝22+1.52＝6.25，CB2＝2.52＝6.25，
∴CH2+HB2＝CB2，
∴CH⊥AB，
故CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，则AB＝AC＝x千米，AH＝x﹣1.5（千米）
在Rt△AHC中，由勾股定理得：AH2+HC2＝AC2
∴x2＝（x﹣1.5）2+22
解得：x≈2.08
答：原来的路线AC的长约为2.08千米．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
28．（22-23八年级下·山东威海·期中）计算：．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步去括号、计算加减即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序、运算法则和完全平方公式、平方差公式．
29．（2017·江苏南通·一模）将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
【答案】（1）四边形DHBG是菱形，理由见解析；（2）20．
【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出 DHBG是菱形；
（2）设DH=BH=x，则AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积．
【详解】解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形、是完全相同的矩形，
∴，，．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是菱形．
由，设，则，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的边长．
30．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，E是□ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F．
（1）求证：△AEF≌△DEC．
（2）若CD＝6，求BF的长．
【答案】（1）见解析；（2）12
【分析】（1）运用平行四边形性质，通过角角边证明全等；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．
【详解】（1）证明：在□ABCD中， AB∥DC，AB＝DC，
∴∠F＝∠FCD，∠FAD＝∠D，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS）；
（2）解：由（1），知 △AEF≌△DEC，AB＝DC
∴AF＝DC＝AB
∵CD＝6，
∴BF＝AF＋AB＝6＋6＝12．
【点睛】本题考查平行四边形性质、利用角角边进行全等三角形的判定，和全等性质的应用，掌握全等的证明和性质是本题解题关键．
31．（2019·重庆·一模）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG＝AF，连接GF并延长交BC于E．
(1)若AB＝8，BC＝6，求AD的长；
(2)求证：GE⊥BC．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意可知AD⊥BC，BD＝CD＝3，再根据勾股定理即可解答
（2）根据题意可知GA＝GF，得到∠G＝∠AFG，再通过∠BAC＝∠G+∠AFG＝2∠AFG，∠BAC＝2∠CAD，得到AD∥EG，即可解答
【详解】(1)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，AD＝．
(2)∵GA＝AF，
∴∠G＝∠AFG，
∵∠BAC＝∠G+∠AFG＝2∠AFG，∠BAC＝2∠CAD，
∴∠AFG＝∠CAD，
∴AD∥EG，
∵AD⊥BC，
∴GE⊥BC．
【点睛】此题考查了直角三角形的定理和性质，解题关键在于利用两角相等证明两条线平行
32．（22-23八年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上．
(1)写出点，，的坐标：____，____，____．
(2)求出的面积．
(3)在y轴上确定点P，使得到、的距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置）
【答案】(1)，，
(2)9
(3)点P见解析，最小值为．
【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积；
（3）直接利用对称点求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）解：由图形得，，，，
故答案为：，，；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点P即为所求．
根据两点间线段最短可知，最小值．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标，两点间线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．
33．（22-23八年级上·全国·课时练习）（1）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且+=+，求这个三角形的周长．
【答案】（1）8＜c＜14；（2）这个三角形的周长为12．
【分析】（1）首先利用完全平方公式因式分解，再根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．再由三角形的三边关系就可以求得第三边的范围；
（2）首先利用非负数的性质得出b+c=8，再利用非负数的性质建立方程组求得a、b、c的数值，求得三角形的周长即可．
【详解】（1）∵a2﹣12a+36+=0，
∴（a﹣6）2+=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，
则a=6，b=8，
∴8﹣6＜c＜8+6，
即2＜c＜14，
∵c是三角形的最大边，
∴8＜c＜14．
（2）∵+=+，
∴，
解得，
∴b+c=8，∴，
解得：．
∴这个三角形的周长为3+4+5=12．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系和非负数的性质，根据二次根式的性质，建立方程或方程组以及不等式组解决问题的关键．
34．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，分别是的中点，连结，在上取点F，使得，延长交于点G．
(1)当时，求的度数．
(2)设，探究之间的关系．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用对顶角相等可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；
（2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用对顶角相等可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；．
【详解】（1）如图，连接，
∵，点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2），
理由：∵，点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
即，
35．（22-23九年级下·甘肃定西·阶段练习）问题情境： 在综合实践课上，老师让同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展数学活动．如图①，在中，，，．点是边上一动点，点在边上，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图②，当点与点重合时，若点为边的中点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由；
解决问题：
(2)如图③，当点为边的中点时，若此时点恰好落在边上，求四边形的面积．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，得到，推出是等边三角形，得到，，根据折叠的性质得到，根据平行四边形判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义得到，根据折叠的性质得到，，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：在中，，，．
，
，
，
点为边的中点，
，
，是等边三角形，
，，
将沿折叠，点的对应点为，
，
．，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）在中，，，．
，，
，
点为边的中点，
，
将沿折叠，点的对应点为，
，，，
，
，
，
，
四边形的面积．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
36．（2021九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求得BD=AC，DF=AC，即可求证；
（2）四边形BDFG为平行四边形，再根据（1）中的结论即可求证；
（3）设GF=x，根据勾股定理求得x的长度，即可求得四边形BDFG的周长．
【详解】证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，
∴BD=AC，
∵AG//BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF=AC，
∴BD=DF；
（2）证明：∵BD=DF，四边形BGFD是平行四边形
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、菱形的判定方法以及性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
37．（2019·江西南昌·一模）请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．
【答案】见解析
【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．
【详解】如图所示，PQ即为所求．
【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
38．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）某学校内有一块如图所示的三角形空地ABC，其中AB=25米，BC=17米，AC=26米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为80元，则学校修建这个花园需要投资多少元
【答案】16320元
【分析】过点 作AD⊥BC于点，在中，，在中，，建立等量关系，代入相关数值求解即可．
【详解】解：如下图;
过点作AD⊥BC于点,设BD=x米,则CD=（17-x）米．
在中，AB=25米，BD=x米
由勾股定理得：
即：
在中，AC=26米，CD=（17-x）米
由勾股定理得：
即：
∴
解得：
∴
∵AD＞0
∴AD=24（米）
∴(平方米)
∴总价=（元）
【点睛】本题考查勾股定理，根据勾股定理列方程是关键所在．
39．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，D是边上的一点，已知 ，，，，求边的长．
【答案】的长为13
【分析】根据已知可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的长为13．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键．
40．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，中，，点D是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若点E是边上的动点，连接，求线段的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求得，运用勾股定理逆定理可证，得．
（2）如图，当时，运用勾股定理，中，，运用等积法，求得，得最小值是．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，当时，取得最小值；
中，．
∵，
∴，解得．
∴最小值是．
【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，垂线段最短；直角三角形中运用等积法求线段长是解题的关键．
41．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)设边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是根据题意及所学的三角形的面积公式进行求解．
（1）先计算，再代入海伦公式即可求解；
（2）根据三角形的面积求法即可求出，，即可计算2的值．
【详解】（1）解：根据题意知，
所以，
∴的面积为；
（2）∵，
∴
∴，；
∴．
42．（22-23八年级下·吉林长春·期末）【感知】如图①，点F是正方形的边上一点，点E是延长线上一点，且．易证，进而证得．
【应用】（1）如图②，在正方形中，点F、G分别在边、上，且．求证：．
【拓展】（2）如图③，在四边形中，，，点M、N分别在边、上，且．若，，则四边形的周长为______．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）如图②中，过点C作交延长线于点H．先证明，再证明，得到，由此即可证明．
（2）如图③中，过点C作交延长线于点P．先证明，再证明，得到，由此即可计算四边形的周长．
【详解】（1）证明：如图②中，C作交延长线于点H．
∵四边形为正方形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）如图③中，过点C作交延长线于点P．
∵，，
∴
∴,
∵
∴，
∵，
∴．
∵,
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴四边形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形的综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会由感知部分得到启发，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
43．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，等腰直角和等腰直角有公共顶点．且点在边上，点在边上，为的中点，连结、，请写出线段与线段的关系，并证明．
（2）如图2，分别以的边、为底作等腰和等腰，若点在外，为的中点，连结，且．试判断与的关系并证明．
【答案】（1）相等且垂直，证明见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质：斜边中线等于斜边的一半，即可证明；
（2）延长到，使，连接，，，由线段垂直平分线的性质得到，由得到，即可证明，从而推出，即可证明问题．
【详解】解：（1）线段与线段相等且垂直，理由如下：
，
，
是的中点，
，
同理：，
，
，
，
，
同理：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
线段与线段相等且垂直；
（2）与互补，理由如下：
延长到，使，连接，，，交于，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
44．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）按要求解答下列各小题．
(1)解方程：；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据立方根的定义计算即可．
(2) 根据二次根式的除法运算法则，加减法运算法则计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
=
=
=．
【点睛】本题考查了立方根即如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，二次根式的除法，二次根式的加减运算，准确理解定义，熟练运用运算法则是解题的关键．
45．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，且，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，结合平行四边形的性质得出，进而可证明结论；
（2）先证明是等边三角形，推出，得到，然后根据勾股定理求出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
46．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)延长交于点，若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)65°
【分析】（1）根据正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可证出结论；
（2）根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，
在△BEC和△DEC中
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵∠DEB=140°，
∵△BEC≌△DEC，
∴∠DEC=∠BEC=70°，
∴∠AEF=∠BEC=70°，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠AFE=180°－70°－45°=65°．
答：∠AFE的度数是65°．
【点睛】本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
47．（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为．这里，，其中是一个整数，，a称为实数x的小数部分，记作，所以有．例如，，．
关于取整运算有部分性质如下：
①
②若n为整数，则
请根据以上材料，解决问题：
(1)___________；若，，则___________；
(2)记，求；
(3)解方程：．
【答案】(1)3，
(2)43
(3)或
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）先进行分母有理化，再求和即可；
（3）根据题意可得，求出的取值范围可得，再由是整数，可求的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
故答案为：3，；
（2）
，
，
，
；
（3），
，
，
解得，
，
是整数，
或
解得或
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理数化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
48．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90 ，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90
(1)如图所示，求证：DA+DB=DC
(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.
(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .
【答案】（1）详见解析；（2）DA-DB=DC；(3)
【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，由“AAS”可证△ACD≌△BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=CD，即可得结论；
（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证△ACQ≌△BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且∠QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；
（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证△ACD≌△BCQ，可得AD=BQ，可证△DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．
【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点
∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°
∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC
∴△ACD≌△BCQ（AAS）
∴CD=CQ，AD=BQ
∴DQ=DB+BQ=DB+AD
∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°
∴DQ=CD
∴DB+AD=CD
（2）DA-DB=CD
理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°
∵∠ACB=90°，QC⊥CD
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，点B，点D，点C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°
∵QC⊥CD
∴∠CQD=∠CDQ=45°
∴CQ=CD，且∠QCD=90°
∴QD==CD
∵∠ACB=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD
∴△ACQ≌△BCD（SAS）
∴AQ=BD
∴QD=CD=DA-AQ=DA-BD，
即：DA-DB=
（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，
∵∠ACB=90°，QC⊥CD
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠CDQ=∠CAB=45°
∵QC⊥CD
∴∠CQD=∠CDQ=45°
∴CQ=CD，且∠QCD=90°
∴△DCQ是等腰直角三角形，
∵∠ACB=∠DCQ=90°，
∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD
∴△ACD≌△BCQ（SAS）
∴AD=BQ，
∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3
∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB
∴CH=DH=HQ=DQ=．
故答案为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
49．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知在菱形中，，点E，F，G，H分别是,，，上一点，且始终满足，，的长为4．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)判断直线是否经过某定点？若经过，请指明该点的位置并说明理由；若不经过，也请说明理由；
(3)设菱形的边长为x，的面积记为y，请建立y与x之间的函数关系式并指出x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)直线经过菱形对角线的交点；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质证明，得出，同理，得出，即可得出结论；
（2）连接、交于点O，连接，证明，得出，证出B是的中点，即可得出结论；
（3）设，则，过E作，交的延长线于N，由勾股定理得：，则，根据三角形面积公式可得y与x之间的函数关系式，由三角形的三边关系可得x的取值．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）直线经过菱形对角线的交点；理由如下：
连接、交于点O，连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵四边形是菱形，对角线互相平分，
∴O为、的中点，
∴直线经过菱形对角线的交点；
（3）解：设，则，
在中，
，
∴，
过E作，交的延长线于N，如图2所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
∵
．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决本题的关键．
50．（22-23七年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，10厘米，6厘米，点沿边从点开始向点以2厘米/秒的速度移动;点沿边从点开始向点以1厘米/秒的速度移动．如果同时出发，用 (秒)表示移动的时间．那么：
(1)如图1，用含的代数式表示和，若线段，求的值．
(2)如图2，在不考虑点的情况下，连接，用含t的代数式表示△QAB的面积．
(3)图2中，若△QAB的面积等于长方形的面积的，求的值．
【答案】（1）AP＝2t；AQ＝6－t；t＝2 （2）S△QAB＝﹣5t＋30 (0≤t≤6) （3）t＝2
【分析】（1）根据P点、Q点的运动速度可得AP、AQ的长，再利用AP＝AQ列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形的面积公式表示出△QAB的面积即可解答；
（3）在（2）的基础上，根据题意可列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：（1）由题意知AP＝2t，AQ＝6－t，
当AP＝AQ时，2t＝6－t
解得：t＝2；
故答案为：2t；6－2t；t＝2
（2）由题意可知：S△QAB＝AB·AQ＝×10×(6－t) ＝﹣5t＋30 (0≤t≤6);
（3）由已知可得：S△QAB＝S长方形ABCD，
则﹣5t＋30＝×10×6
解得：t＝2
答：若△QAB的面积等于长方形的面积的， 的值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、三角形的面积公式，弄清题意，正确列代数式表示出AP、AQ的长是解题的关键．
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