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题组训练01 期中选填易错题组训练
一、单选题
1．（22-23八年级上·山西·期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（ ）
A．12 B．13 C．5 D．17
2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是( )
A． B．
C． D．
3．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
4．（22-23八年级下·河北衡水·期中）图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙：，分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
5．（22-23八年级下·山东济宁·期中）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）在中，已知，则（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
8．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．2，3，4 D．1，1，2
9．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
10．（22-23九年级上·四川资阳·期末）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
12．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
14．（22-23八年级下·广西钦州·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（22-23八年级下·山西忻州·期中）若菱形的周长为，有一条对角线为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（22-23八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，长方形 AOBC 中，点 A 的坐标为（0，8)，点 D 的纵坐标为 3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( )
A．30 B．32 C．34 D．36
18．（22-23八年级下·河北唐山·期中）平行四边形具有的性质是( )
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．四个角都是直角
19．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图（1）将一个边长为a的正方形纸片，剪去两个小矩形，得到一个“” 图案，如图（2）再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图（3）则新矩形的周长可以表示为（ ）
A． B． C． D．
21．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）估算的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
22．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ）
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
23．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则线段BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．（22-23七年级下·浙江台州·阶段练习）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝70°，则∠AED′等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
25．（22-23八年级下·广东韶关·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图所示， ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )
A． B． C． D．
27．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，∠AOB＝60°，则这个矩形的对角线长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
28．（2022·重庆·一模）使得有意义的b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣3 B．b＞3 C．b＞﹣3 D．b≥3
29．（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
30．（22-23八年级下·全国·单元测试）下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
31．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
32．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，中，是的平分线，则周长为（ ）
A．20 B．24 C．32 D．40
33．（22-23八年级下·北京·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
34．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图 ，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A．a B． a C． D．
35．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，点O是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边、相交，交点分别为D、E，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
36．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是( )
A．① B．② C．③ D．没有错误
37．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
38．（22-23八年级下·河北唐山·期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是正方形
39．（2018·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B（8,6），将△OCE沿OE折叠，使点C恰好落在对角线OB上D处，则E点坐标为 ( )
A．（3，6） B．（，6） C．（，6） D．（1，6）
40．（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，再分别以C，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点E，作射线，若，则C，D两点之间距离为（ ）
A．10 B．6 C．13 D．12
41．（22-23八年级下·山东泰安·期中）若有意义，则（ ）
A． B．且 C． D．且
42．（22-23八年级·全国·假期作业）下列计算中，正确的是( )
A． B． C．＝ D．
43．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为( )
A． B． C． D．
44．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
45．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是：
A． B． C． D．
46．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5 B．5，7，8 C．8，15，17 D．1，
47．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，点M，N分别位于BC，CD上，且CM＝DN，点P在对角线BD上运动．则MP+NP的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
48．（2022·河北保定·二模）如图，在矩形中，，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；再以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
49．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．13 C．11 D．10
50．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
51．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）下列几组数中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A．32，42，52 B．3，4，4 C．2，3，5 D．，，
52．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）若是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
53．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，，若，则的度数为
A． B． C． D．
54．（23-24八年级上·山东济南·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
55．（22-23八年级下·四川广安·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得AC=21m，BC=32m，DE=18m，则AB=（ ）
A．40m B．36m C．32m D．21m
56．（22-23八年级上·上海长宁·期中）等式有意义，则的取值范围为（ ）
A．3 B． C． D．
57．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
58．（22-23八年级上·江苏南通·期末）下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
59．（2023·湖北襄阳·模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的有（ ）
A．①③ B．①② C．只有① D．②③
60．（2019·四川绵阳·一模）如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，点A在直线l上．过点C作CE⊥1于点E，过点B作BF⊥l于点F，测量得CE=3，BF=2，则AF的长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．7
二、填空题
61．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算的结果是 ．
62．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）二次根式有意义，则实数的取值范围是 ．
63．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为 ．
64．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，平分交于E点，已知，，则长为 ．
65．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： ．
66．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）矩形ABCD的对角线AC和 BD所夹得锐角为50°，则∠BAC的度数为 度．
67．（2022·河北邢台·一模）已知．
（1） ．
（2） ．
68．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得，延长交于点F，则 ．
69．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝8cm，现将该长方形沿BC方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为6cm2，则长方形ABCD向右平移的距离为 cm．
70．（22-23八年级下·广东广州·期末）当二次根式的值最小时，= ．
71．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，，则 ．
72．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，在中，、是对角线上的两点，要使，还需添加一个条件为 ．（只需添加一个即可）
73．（2022·山东滨州·二模）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝4，则AD的长为 ．
74．（22-23八年级下·江西宜春·期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”（1步=5尺）．译文：“当秋千静止时，秋干上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知尺，尺，人的身高尺，则 尺．
75．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）计算的结果是 ．
76．（2022·河南·模拟预测）若的小数部分是x，则x2＋4x＋2＝ ．
77．（22-23八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ．
78．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上，为原点，点A表示－2，过点A作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是 ．
79．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标(8，4)，将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则OF的长度是 .
80．（2023·河北·模拟预测）如图，点在直线上，点在的同侧，，若，则的长为 ．
81．（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ．
82．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某同学用如图中的一副七巧板拼成如图的“帆船图”，已知正方形的边长为，则图中的值为 ．
83．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，点A、C、D分别在上，四边形为平行四边形，且，则四边形的周长是 ．
84．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，矩形纸片中，，，先按图操作：将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图操作，沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则线段的长为 ．
85．（22-23八年级上·山东威海·期中）如图，是一个两级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B点的最短路程是 m ．
86．（22-23七年级下·江苏·课后作业）若式子有意义,则化简|1-x|+|x+2|= .
87．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为 ．
88．（22-23九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，取边的中点E，作交于点D，交于点F，得到四边形，它的面积记作；取边的中点E1，作交于，交于点得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则的值为 ．
89．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，已知，P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边和连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 ．
90．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ．
91．（22-23八年级上·四川广安·期中）如图，中，，，平分交于点D，，则 的面积为 ．
92．（2019·河北石家庄·一模）如图，在中，，,,以为斜边作，使，的面积记为，则 ；再以为斜边作，使，的面积记为，……，以此类推，则 .（用含的式子表示）
93．（22-23八年级上·全国·课时练习）现规定一种新运算：，则 .
94．（22-23八年级下·河南开封·期末）如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成个直角三角形，拼成如图②中的四边形(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，若，四边形的面积为，则中间空白处的四边形的面积为 ．
95．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在菱形ABCD中，，，点P为对角线BD上一个动点，点M，N分别为BC，CD边上的中点．
（1）对角线BD的长为 ；
（2）的最小值为 ．
96．（22-23八年级下·河南安阳·期末）将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是，那么拼成的平行四边形较长的对角线长是 ．
97．（22-23八年级下·河南许昌·期中）给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，则这个三角形是直角三角形，其中，正确命题为 （选填序号）．
98．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，，、、分别是、、上的点，连接、、，，当、、、中有两个直角三角形，两个等腰三角形时，的长为 ．
99．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，等边内部有一点D，，在上分别有一动点E、F，且，则的最小值是 ．
100．（22-23八年级下·浙江舟山·阶段练习）如图，已知AB//CD，AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=8，∠A=60°，
将点A翻折到CD边上得到点A'，此时折痕交AB边于点M.
①当点A'与点C重合时，AM= .
②当点A'从点D运动至点C时，点M相应的运动路径长为 .
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题组训练01 期中选填易错题组训练
一、单选题
1．（22-23八年级上·山西·期中）如果直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长是（ ）
A．12 B．13 C．5 D．17
【答案】B
【分析】直接根据勾股定理计算即可．
【详解】∵直角三角形两直角边长分别为5和12，
∴由勾股定理得，斜边长．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理．掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题关键．
2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）下列各式计算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二次根式的运算分别化简即可.
【详解】A、不是同类二次根式无法相加减，故错误；
B、 ，正确；
C 、不是同类二次根式无法相加减，故错误；
D、，故错误；
故选B.
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简,正确化简二次根式是解题关键.
3．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若，则重合部分四边形的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是所以这个平行四边是菱形，进而计算其边长可得周长．
【详解】解：∵，，
∴四边形平行四边形，
∴，
过点A作于点E，作于点F，
∴，
∴，,
∴平行四边是菱形，
∴重合部分四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解决此题的关键是掌握对菱形的性质和判定．
4．（22-23八年级下·河北衡水·期中）图中的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名同学将它们分别沿着两条垂直的虚线（乙：，分别是小正方形一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
【答案】A
【分析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．
【详解】解：∵原来图形的面积为5，
∴拼成与原来面积相等的正方形边长为，
甲图可以拼成，如图所示：
乙图可以拼成，如图所示：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题的关键．
5．（22-23八年级下·山东济宁·期中）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项运算错误；
B. ，故该选项运算正确；
C. ，故该选项运算错误；
D. ，故该选项运算错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（22-23七年级下·广西南宁·阶段练习）若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离的定义（直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离）即可得．
【详解】解：是直线上的一点，是直线外一点，，且，
点到直线的距离是5，
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记定义是解题关键．
7．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）在中，已知，则（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角相等是解题的关键．
8．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．2，3，4 D．1，1，2
【答案】B
【分析】利用勾股定理求解即可.
【详解】A和C选项可以构成三角形，但不是直角三角形；D选项构不成三角形；B选项可以构成直角三角形.
【点睛】熟记直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.
9．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若＝3﹣a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】B
【分析】先把被开方式用公式变成平方式，利用二次根式的性质化简变，利用绝对值性质来确定符号求解即可．
【详解】解：∵，，
∴3﹣a≥0，
∴a≤3，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，会用二次根式的性质，化去根号变成绝对值，利用绝对值等式确定符号是解题关键．
10．（22-23九年级上·四川资阳·期末）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】最简二次根式的两个条件（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，同时满足的二次根式就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A．同时满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故选项正确，符合题意；
B．被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；
C．被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；
D．被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟记最简二次根式必须满足两个条件．
11．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形；
B、∵，∴能构成直角三角形；
C、∵，∴能构成直角三角形；
D、∵，∴能构成直角三角形
故选：A
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
12．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分判断．
【详解】平行四边形对边平行且相等，错误，不符合题意；
平行四边形对角线互相平分，正确，符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，错误，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形性质是解题的关键．
13．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】找面积相等的三角形即找到等底等高的三角形即可．
【详解】 E为的中点，，
F为中点，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
是的中线，是的中线，是的中线，
，
能表示的与面积相等的（除外）三角形有5个，
故选：C．
【点睛】本题考查中位线的性质、平行四边形的性质、中线的性质，熟记三角形的中线把一个三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
14．（22-23八年级下·广西钦州·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分别判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
15．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
16．（22-23八年级下·山西忻州·期中）若菱形的周长为，有一条对角线为，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知可求得菱形的边长，根据勾股定理可求得其另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求得其面积．
【详解】解：因为菱形的周长为，所以其边长，
从而可得：，
∴ ，
∴，
从而得到菱形的面积= ．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半，如果不能熟练掌握菱形的性质，可先画出图形，这样有助于另一条对角线的得出．
17．（22-23八年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，长方形 AOBC 中，点 A 的坐标为（0，8)，点 D 的纵坐标为 3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上的 E 处，那么图中阴影部分的面积为( )
A．30 B．32 C．34 D．36
【答案】A
【分析】根据A、D的纵坐标即可求得CD的长，根据勾股定理即可求得BE的长，然后在直角△OAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的长，则根据即可求解．
【详解】解：设AC=x，则AC=AE=OB=x，
∵点A的坐标为（0，8），
∴OA=BC=8，
∵点D的纵坐标为3，
∴CD=DE=BC-BD=8-3=5，
在直角△BDE中，BE==4，
则OE=x-4，
在直角△AOE中，，即，
解得：x=10，
则=AC CD=×10×5=25，
=10×8=80，
则=80-25-25=30．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得AC的长是关键．
18．（22-23八年级下·河北唐山·期中）平行四边形具有的性质是( )
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．四个角都是直角
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质进行分析即可.
【详解】平行四边形的两组对边分别相等，故A选项错误；
平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，故B选项错误，C选项正确，
平行四边形的两组对角分别相等，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的边、角、对角线具有的性质是解题的关键.
19．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠ABD的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵∠BAD=50°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=180°-50°-90°=40°，
∵平行四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，
∴OB=OD，
∵E是边AD的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴EOAB，
∴∠1=∠ABD=40°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，得出EO是△ABD的中位线是解题关键．
20．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图（1）将一个边长为a的正方形纸片，剪去两个小矩形，得到一个“” 图案，如图（2）再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图（3）则新矩形的周长可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意，剪下的两个小矩形的长为，宽为 ，所以这两个小矩形拼成的新矩形的长为，宽为，然后计算这个新矩形的周长．
【详解】解：根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解题的关键用和表示出剪下的两个小矩形的长与宽．
21．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）估算的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【答案】B
【分析】先化简题干中的二次根式，然后计算，再估算大小.
【详解】
=
=，
因为，所以在7到8之间，故答案选B.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式．也考查了无理数的估算．
22．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（ ）
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
【答案】D
【分析】将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得．
【详解】A、若四边形是平行四边形，则四边形一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意；
B、若四边形是矩形，则四边形一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意；
C、若四边形是菱形，则四边形一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意；
D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
23．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若CD＝3，BD＝5，则线段BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到DE=DC=3，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵DE⊥AB于E，CD=3，
∵AD是角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC=3，
∵BD=5,
∴
故选C．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，勾股定理，关键是根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得到DE=DC．
24．（22-23七年级下·浙江台州·阶段练习）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝70°，则∠AED′等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】先根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB，再由翻折变换的性质得出∠D′EF＝∠DEF，由平角的定义即可得出结论．
【详解】解：∵AD∥BC，∠EFB＝70°，
∴∠DEF＝∠EFB＝70°，
∵四边形EFC′D′由四边形EFCD翻折而成，
∴∠D′EF＝∠DEF＝70°，
∴∠AED′＝180° ∠DEF ∠EFB＝180° 70° 70°＝40°，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
25．（22-23八年级下·广东韶关·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则依次进行判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除法则是解题的关键．
26．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图所示， ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；
【详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，
设小正方形的边长为1，
则BD=AD=3，AB=
∴cos∠B= ；
故选C.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键.
27．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，∠AOB＝60°，则这个矩形的对角线长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【分析】矩形的两条对角线相等且互相平分，结合等边三角形的判定方法解题即可．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝4cm，
∴AC＝2AO＝8cm．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．（2022·重庆·一模）使得有意义的b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣3 B．b＞3 C．b＞﹣3 D．b≥3
【答案】A
【分析】二次根式有意义即根式下的数要大于或等于0，据此条件列出不等式，即可得解．
【详解】∵二次根式有意义，
∴，解得，
即b的取值范围为：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及解不等式的知识，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
29．（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明，得到，推出，由此判断B；由得到，由此依据B判断C选项；添加，由此证明，得到，推出，由此判断D；由此得到A选项符合题意．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能；
故选：A．
【点睛】此题考查了添加条件证明平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
30．（22-23八年级下·全国·单元测试）下列四个结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质进行估算比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A、C错误；
∵，，
∴，
∴，故B错误，D正确；
故选：D．
【点睛】题目主要考查利用平方法及夹逼法估算二次根式的大小，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
31．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可求解．
【详解】解：由题意得
大正方形的边长为，
阴影部分面积为
．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算及应用，掌握二次根式的运算方法是解题的关键．
32．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，中，是的平分线，则周长为（ ）
A．20 B．24 C．32 D．40
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可得，，，则，由是的平分线，可得，则，，根据周长为，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
33．（22-23八年级下·北京·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【分析】
【详解】A对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
B对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故错误；
C对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故错误；
D对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故正确．
故选D
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
34．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图 ，矩形 ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点 M，CN⊥AN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
A．a B． a C． D．
【答案】C
【分析】根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．
【详解】∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴=CD，
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°=a.
故选C.
【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=
35．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰中，，点O是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边、相交，交点分别为D、E，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质，求出，，根据证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵等腰直角中，，点O是的中点，
∴，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，同理得，
∴，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
36．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是( )
A．① B．② C．③ D．没有错误
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵①，②，
∴③，以上推导错误的一步是：①，
应该为：∵，而，
∴③，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简是解题关键．
37．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解；
【详解】解：延长交于点E，
在中，，，
∴，
∵平分，且，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，证明是解决问题的关键．
38．（22-23八年级下·河北唐山·期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是正方形
【答案】A
【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D．四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
39．（2018·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B（8,6），将△OCE沿OE折叠，使点C恰好落在对角线OB上D处，则E点坐标为 ( )
A．（3，6） B．（，6） C．（，6） D．（1，6）
【答案】A
【详解】分析：根据矩形的性质得到OA、OC、AB、BC的长，然后根据勾股定理求得OB的长，再根据折叠的性质求得OD的长，然后利用方程思想，由勾股定理求得CE的长，从而得到点E的坐标.
详解：∵矩形OABC，点B（8,6）
∴∠OAB=90°，AO=BC=8，AB=OC=6
∴OB==10
∵将△OCE沿OE折叠，使点C恰好落在对角线OB上D处，
∴OD=OC=6，CE=DE
∴DB=OB-OD=4
设CE=x，则DE=x，BE=8-x
根据勾股定理得x2+42=（8-x）2
解得x=3，
∴E点的坐标为（3，6）.
故选A.
点睛：此题主要考查了矩形中的折叠问题，根据矩形的性质和折叠的性质，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可.
40．（22-23八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，再分别以C，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点E，作射线，若，则C，D两点之间距离为（ ）
A．10 B．6 C．13 D．12
【答案】D
【分析】连接交OE于H点，连接，利用基本作图得到平分，，则根据等腰三角形的性质得到，，则，接着根据勾股定理计算出，从而得到．
【详解】解：连接交于H点，连接，如图，
由作法得平分，，
∵，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即C，D两点之间距离为．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的作图、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
41．（22-23八年级下·山东泰安·期中）若有意义，则（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得，且，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
42．（22-23八年级·全国·假期作业）下列计算中，正确的是( )
A． B． C．＝ D．
【答案】C
【分析】根据二次根式加法法则、乘法法则、除法法则依次计算得到结果，即可作出判断.
【详解】、原式不能合并，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；
、原式，不符合题意.
故选：C.
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
43．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题．
【详解】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
44．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理. 已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，
∴S△=，
大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13，
所以大正方形的边长为．
故选B．
【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键．
45．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是：
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【详解】解: =3，=2 ，=
而为最简二次根式．
故选A．
【点睛】本题考查最简二次根式：熟练掌握最简二次根式满足的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）．
46．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3，4，5 B．5，7，8 C．8，15，17 D．1，
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断各项后即可解答．
【详解】选项A，32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度；
选项B，52+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度；
选项C，82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度；
选项D，12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形是解决问题的关键．
47．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，点M，N分别位于BC，CD上，且CM＝DN，点P在对角线BD上运动．则MP+NP的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】作点M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于点P，此时MP+NP的值最小，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC，然后证得MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
【详解】解：作点M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于点P，如图所示 ：
由轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时MP+NP的值最小，即为NQ的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，，OA=OC，OB=OD，
∵AC＝12，BD＝16，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵CM＝DN，
∴，
∴四边形BCNQ是平行四边形，
∴，
∴的最小值为10；
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、勾股定理及菱形的性质，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理及菱形的性质是解题的关键．
48．（2022·河北保定·二模）如图，在矩形中，，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；再以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】】先根据勾股定理求得，再利用基本作图得BF平分∠CBD，BE=BD=6，则根据角平分线的性质得到F点到BC和BD的距离相等，接着利用面积法得到CF：DF=3：5，所以CF=3，DF=5，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到EF的长．
【详解】解：在矩形中，，，
作法得BF平分∠CBD，BE=BD=6，
∴F点到BC和BD的距离相等，
∴S△BCF：S△BDF=BC：BD=3：6=1：2，
∴S△BCF：S△BDF=CF：DF=1：2，
∴CF=，DF=，
在Rt△BCF中，BF=，
∴EF=BE-BF=6-．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
49．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD的周长是（ ）
A．16 B．13 C．11 D．10
【答案】A
【详解】根据平行四边形的性质，得
AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE=3，CF=AE，
根据平行四边形的对边相等，得
CD=AB=4，AD=BC=6，
故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD=OE+OF+AE+ED+CD=3+3+6+4=16，
故选A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是能够根据平行四边形的性质发现全等三角形，再根据全等三角形的性质求得相关线段间的关系．
50．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对前三个，不是最简二次根式的分别化成最简二次根式，然后再进行运算，即可判断正确与否；对第四个，根据二次根式商的性质判断即可．
【详解】A：由于两个最简二次根式的被开方数不相同，它们不能相加，故不正确；
B：化成最简二次根式后，其被开方数与的被开方数相同，它们可以合并，且合并结果正确，故正确；
C：由于，故不正确；
D：根据二次根式商的性质，要求被开方数中的被除数非负，除数为正数，故不正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简、运算及性质，对于二次根式的性质，一定要注意使用的前提条件．
51．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）下列几组数中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A．32，42，52 B．3，4，4 C．2，3，5 D．，，
【答案】D
【详解】根据勾股定理的逆定理，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.易得D.
52．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）若是整数，则满足条件的自然数n共有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义求出，在此范围内要使是整数，n只能是3或8或11或12，求出即可．
【详解】解：∵要使有意义，
必须，解得
∵是整数，
∴n只能是3或8或11或12，
∴满足条件的n有4个
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对二次根式的定义的应用，关键是能根据已知求出n．
53．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠A+∠B=180°，即可得出答案．
【详解】∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-135°=45°；
故选：A．
【点睛】此题考查平行四边形的判定以及平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
54．（23-24八年级上·山东济南·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、同类二次根式、二次根式加减乘法运算等知识，熟记二次根式性质及相关运算法则逐项判断是解决问题的关键．
【详解】解：A、根据合并二次根式运算法则，，该选项正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、根据二次根式乘法运算法则，，该选项错误，不符合题意；
D、根据二次根式性质，，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
55．（22-23八年级下·四川广安·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得AC=21m，BC=32m，DE=18m，则AB=（ ）
A．40m B．36m C．32m D．21m
【答案】B
【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=36m．
【详解】∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵DE=18m，
∴AB=2DE=36m，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
56．（22-23八年级上·上海长宁·期中）等式有意义，则的取值范围为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0以及分母不为0求解即可．
【详解】由题意，得x-3≥0且4-x＞0，
解得3≤x＜4．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确解不等式是解题关键．
57．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N．
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小，
∴最小值为，的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．
58．（22-23八年级上·江苏南通·期末）下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B、化简得：和是同类二次根式；
C、化简得：和，不是同类二次根式；
D、化简得：和不是同类二次根式．
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．
59．（2023·湖北襄阳·模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的有（ ）
A．①③ B．①② C．只有① D．②③
【答案】C
【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题；
②利用①中结论可以证明，可以解决问题；
③利用①③中的结论，确定四边形的面积与的面积比，正方形面积与的面积比，可以解决问题．
【详解】∵四边形是正方形，为对角线
∴，
∴、是等腰直角三角形
∵，分别为，的中点，
∴，，
∵,
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又∴
∴、是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∴
又∵
∴、、三点共线
∴
又∵，分别为，的中点
∴
连接，如图，
∵，
∴是的中位线，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴是等腰直角三角形
∴图中的三角形都是等腰直角三角形
故①正确；
∵是等腰直角三角形
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
在中，
即
∵
∴四边形不是菱形
故②错误；
∵，，，
∴
∴
∵
即
又∵
∴
故③错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．
60．（2019·四川绵阳·一模）如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，点A在直线l上．过点C作CE⊥1于点E，过点B作BF⊥l于点F，测量得CE=3，BF=2，则AF的长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．7
【答案】B
【分析】过点C作CD⊥BF，交FB的延长线于点D，易证△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF+BF=2CE，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CD⊥BF，交FB的延长线于点D，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，
∴∠CEA=∠D=90°，
∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠ECD=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，
即∠ACE=∠BCD，
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴AE=BD，CE=CD，
又∵四边形CEFD为矩形，
∴四边形CEFD为正方形，
∴CE=EF=DF=CD，
∴AF+BF=AE+EF+BF
=BD+EF+BF
=DF+EF
=2CE，
∵CE=3，BF=2，
∴AF=6-2=4．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题
61．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知相关计算法则是解题的关键．
62．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）二次根式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】任意实数
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，列式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴为任意实数．
故答案为：任意实数．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键．
63．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】120
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】解：菱形ABCD的面积
【点睛】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
64．（22-23八年级下·广东珠海·期中）如图，在平行四边形中，平分交于E点，已知，，则长为 ．
【答案】1
【分析】根据四边形平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．
65．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： ．
【答案】
【分析】直接根据二次根式除法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．
66．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）矩形ABCD的对角线AC和 BD所夹得锐角为50°，则∠BAC的度数为 度．
【答案】65或25/25或65
【分析】设AC与BD的交点为O，根据四边形ABCD为矩形，AO=BO=CO=DO，然后利用等腰三角形底角性质结合三角形内角和得出∠BAO=∠ABO=或利用三角形外角性质求解即可．
【详解】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵矩形ABCD的对角线AC和 BD所夹得锐角为50°，
∴∠AOB=50°或∠AOD=50°
∴∠BAO=∠ABO=，或∠OAB=∠OBA=25°
∴∠BAC=65°或25°．
故答案为65或25．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，掌握矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和是解题关键．
67．（2022·河北邢台·一模）已知．
（1） ．
（2） ．
【答案】 -6 1
【分析】化简后，可得a、b的值，然后代入代数式求值即可．
【详解】解：∵ 且
∴ a＝3，b＝-2
（1）3×（﹣2）＝﹣6
故答案为：﹣6．
（2）
＝1
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，代数式的化简求值，完全平方公式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
68．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得，延长交于点F，则 ．
【答案】2
【分析】由已知可得DF⊥AB，∠D＝∠AEF＝30°，设AF＝x，根据含30°角的直角三角形性质和勾股定理算出线段长即可．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠CED+∠D，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°，
∴设AF＝x，则AE＝2x，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴AB＝AC＝BC＝4x，
∴BF＝3x，
∵CD＝CE，
∴BD＝6x，
∴，
∴ED＝，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用是解题关键．
69．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝8cm，现将该长方形沿BC方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为6cm2，则长方形ABCD向右平移的距离为 cm．
【答案】6
【分析】先根据重叠部分的面积求出的长度，然后线段AD与线段作差，即可求出平移距离
【详解】解：∵重叠部分为矩形，其中CD＝AB＝3cm，
∴ cm，
∵AD＝BC＝8cm，
∴ cm
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了平移的性质、矩形的性质，解决问题的关键是熟练掌握矩形面积计算公式．
70．（22-23八年级下·广东广州·期末）当二次根式的值最小时，= ．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】∵二次根式的值最小，
∴，解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
71．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，，则 ．
【答案】5
【分析】由矩形的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
设，则，
，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
72．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，在中，、是对角线上的两点，要使，还需添加一个条件为 ．（只需添加一个即可）
【答案】或或或等
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，∠ADF=∠CBE．根据全等三角形的判定可添加或或等，答案不唯一．
【详解】解：添加DF=BE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE，
∵DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
另外还可以添加或或等；
故答案：DF=BE或或或等．
【点睛】本题是一道开放性的题目，考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质是解题的关键．
73．（2022·山东滨州·二模）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝4，则AD的长为 ．
【答案】
【分析】根据等边三角形、等腰三角形的性质，先求出∠BAD的度数和BD的长，再利用勾股定理求出AD．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∵CD=AC，
∴∠D=∠CAD．
∵∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠D=30°．
∴∠BAD=180°-∠D-∠B
=90°．
在Rt△ABD中，∵∠D=30°，
∴BD=2AB=8．
∴AD===4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，利用等边三角形和等腰三角形的性质求出∠BAD的度数是解决本题的关键．
74．（22-23八年级下·江西宜春·期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”（1步=5尺）．译文：“当秋千静止时，秋干上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知尺，尺，人的身高尺，则 尺．
【答案】14.5
【分析】设OA=OB=x尺，可得OE=（x-4）尺，在中，由勾股定理，列出方程，即可求解．
【详解】解：设OA=OB=x尺，
根据题意得：CE=BD=5尺，
∵尺，
∴AE=4尺，
∴OE=（x-4）尺，
在中，，
∴，
解得：x=14.5，
即OA=14.5尺．
故答案为：14.5
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
75．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的减法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的减法计算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
76．（2022·河南·模拟预测）若的小数部分是x，则x2＋4x＋2＝ ．
【答案】3
【分析】先根据2＜＜3得出的整数部分为2，从而知其小数部分x=-2，代入计算可得．
【详解】解：∵＜＜，即2＜＜3，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分为-2，即x=-2，
则x2＋4x＋2
=（-2）2+4（-2）+2
=5-4+4+4-8+2
=3，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，关键是正确确定x的值．
77．（22-23八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ．
【答案】（，0）
【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解．
【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，
∵OB＝＝＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．
78．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上，为原点，点A表示－2，过点A作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出，则，由此即可得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，
∴，
∴点P表示的数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
79．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标(8，4)，将长方形沿EF折叠，使点B落到原点O处，点C落到点D处，则OF的长度是 .
【答案】5
【分析】连接，设，根据翻折原理可得，然后根据勾股定理即可求解.
【详解】连接，如图所示：
设
根据翻折原理可得：
∵B点坐标(8，4)
∴
∴
∵长方形ABCO
∴
∴
∴
解得：，即
∴OF的长度是
故填：5.
【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、翻折问题，根据勾股定理列出式子是关键.
80．（2023·河北·模拟预测）如图，点在直线上，点在的同侧，，若，则的长为 ．
【答案】8
【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形性质得出，求出即可．
【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明．
81．（22-23八年级上·上海长宁·期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，
∴其面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
82．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某同学用如图中的一副七巧板拼成如图的“帆船图”，已知正方形的边长为，则图中的值为 ．
【答案】
【分析】根据七巧板的结构可知分成的三角形都是等腰直角三角形，根据勾股定理、等腰三角形三线合一，计算出大、中、小三角形的边长，从而确定．
【详解】解：从七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形，
其中，大等腰直角三角形的斜边正方形的边长，
中等腰直角三角形的斜边大等腰直角三角形的边长，
则中等腰直角三角形的斜边上的高它的斜边上的中线，
小等腰直角三角形的斜边，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查七巧板的知识点，七巧板分成的三角形都是等腰直角三角形，从而由勾股定理可以确定各个三角形的各边长度．
83．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，点A、C、D分别在上，四边形为平行四边形，且，则四边形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识．由平行四边形的性质结合题意间接证明是解题关键．根据平行四边形的性质可得出，从而可推出，结合题意即可证，由等角对等边可推出，进而可求出，最后即可求得四边形的周长．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长是．
故答案为：16．
84．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，矩形纸片中，，，先按图操作：将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图操作，沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】根据矩形性质、折叠性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：由矩形得：，，，
由折叠性质得：，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握矩形性质和折叠性质是解答的关键．
85．（22-23八年级上·山东威海·期中）如图，是一个两级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B点的最短路程是 m ．
【答案】1.7
【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
86．（22-23七年级下·江苏·课后作业）若式子有意义,则化简|1-x|+|x+2|= .
【答案】2x+1
【分析】先根据题意得出x的范围，在进行化解.
【详解】由题意得:x＞1
∴1－x＜0,x＋2＞0;
∴|1－x|＋|x＋2|＝x－1＋x＋2＝2x＋1
故答案为2x＋1.
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，熟练掌握x的范围是解题的关键.
87．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接EF，因为AE是∠BAD的角平分线，所以∠BAE等于∠EAD，再根据AD平行BC，可以推出∠EAD等于∠AEB，所以∠BAE等于∠AEB，可以推出△ABE为等腰三角形，根据角平分线的画法，AB和AF是半径，所以AB等于AF，证明ABEF是菱形，所以AE⊥BF，根据已知条件结合勾股定理可求得AE的长．
【详解】解：连接EF，如图所示：
∵AE是∠BAD的角平分线
∴∠BAE=∠EAD
∵AD//BC
∴∠EAD=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE
∵AB=AF
∴BE=AF
∵BE//AF
∴四边形ABEF为菱形
∴AE⊥BF
∵
∴BO=
∵
∴AO=
∴AE=2AO=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、菱形的证明和勾股定理，能够熟练运用角度等量代换和熟悉菱形的判定方法是解决本题的关键．
88．（22-23九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，是边长为1的等边三角形，取边的中点E，作交于点D，交于点F，得到四边形，它的面积记作；取边的中点E1，作交于，交于点得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形中线的性质、图形类规律探索问题，先根据是等边三角形可求出的高，再根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值．熟练掌握相关知识点，准确找出规律是解题的关键．
【详解】解：是边长为1的等边三角形，
的高，
、是的中位线，
，
，
同理可得，；
，
；
．
故答案为：．
89．（22-23八年级下·浙江·期中）如图，已知，P是线段AB上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边和连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 ．
【答案】
【分析】分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，
∵△APC和△BPD是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴△AHB是等边三角形，
∵∠A=∠DPB=60°，
∴AH∥PD，
∵∠B=∠CPA=60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，
∵△ABH是等边三角形，
∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．
∴MN=AB=，即G的移动路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
90．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ．
【答案】或/或
【分析】如图所示，分别以为x轴，y轴建立坐标系，取的中点E、F，连接，则，，根据可知点D在直线上，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此利用两点距离公式求出点D的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别以为x轴，y轴建立坐标系，取的中点E、F，连接，
∵ ，，
∴，
∴，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴点D在直线上，
∵，
∴，
设，
∴，
解得或，
当时，则，
∴；
当时，则，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线，正确建立坐标系灵活运用所学知识是解题的关键．
91．（22-23八年级上·四川广安·期中）如图，中，，，平分交于点D，，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的定义和性质求得， ，再由直角三角形中所对的边等于斜边的一半以及勾股定理求得，，，最后求得的面积．
【详解】解：如图，过点D作于点H，
，，
，
平分，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，还考查了角平分线的定义和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质定理并能灵活运用．
92．（2019·河北石家庄·一模）如图，在中，，,,以为斜边作，使，的面积记为，则 ；再以为斜边作，使，的面积记为，……，以此类推，则 .（用含的式子表示）
【答案】 或或．
【分析】首先计算得出△ABC1的面积，进一步利用含30°角的直角三角形的特性以及勾股定理求得Rt△AC1C2和Rt△AC2C3的面积，找出规律得出结论．
【详解】∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，
∴AC=BC=2，
∴S△ABC= BC AC=2，
在△ABC1中，
∵∠CAC1=30°，
∴CC1═AC=，
∵∠BAC=∠CAC1，∠ACB=∠AC1C=90°，
∴△ACB∽△AC1C，
∴，
∴S1= S△ABC=，同理可得，S2= S1=（）2 S△ABC，S3=（）3 S△ABC，
根据此规律可得，Sn=（）n S△ABC=，
故答案为；或或.
【点睛】此题考查勾股定理、含30°角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点，规律型题目，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会找规律，利用规律解决问题.
93．（22-23八年级上·全国·课时练习）现规定一种新运算：，则 .
【答案】0
【分析】根据题目中所给的运算法则代入化简计算即可求解.
【详解】∵，
∴
＝
＝
＝0.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，根据题目中所给的运算方法正确列出算式是解决问题的关键.
94．（22-23八年级下·河南开封·期末）如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成个直角三角形，拼成如图②中的四边形(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，若，四边形的面积为，则中间空白处的四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质可得四边形是正方形，可得，求出，中间空白处的四边形也是正方形，其面积，即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形和四边形是正方形，
∵正方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴中间空白处的四边形的面积为，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出是解题的关键．
95．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在菱形ABCD中，，，点P为对角线BD上一个动点，点M，N分别为BC，CD边上的中点．
（1）对角线BD的长为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于O，利用含30角的直角三角形的性质求出AO的长，再利用勾股定理求出BO的长即可得到答案；
（2）如图所示，取AB中点E，连接PE，EN，证明△EBP≌△MBP得到PE=PM，则当E、P、N三点共线时PE+PN最小即PM+PN最小，最小值即为EN，再证明四边形BENC是平行四边形，即可得到EN=BC=2，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC⊥BD，BD=2BO，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，取AB中点E，连接PE，EN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AB=CD=BC，∠EBP=∠MBP，
∵E、M、N分别为AB，BC，CD的中点，
∴，
又∵BP=BP，
∴△EBP≌△MBP（SAS），
∴PE=PM，
∴PM+PN=PE+PN，
∴当E、P、N三点共线时PE+PN最小即PM+PN最小，最小值即为EN，
∵BE=CN，，
∴四边形BENC是平行四边形，
∴EN=BC=2，
∴PM+PN的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
96．（22-23八年级下·河南安阳·期末）将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是，那么拼成的平行四边形较长的对角线长是 ．
【答案】
【分析】根据题意拼图，再运用勾股定理求解即可
【详解】如图，
将直角边为的边长对齐拼成平行四边形，
它的对角线最长为：（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及勾股定理的应用，能够画出正确的图形，并作简单的计算．
97．（22-23八年级下·河南许昌·期中）给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，则这个三角形是直角三角形，其中，正确命题为 （选填序号）．
【答案】③④
【分析】根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断．
【详解】解：①在直角三角形中，已知两边长为3和4，
当4是直角边时，第三边，
当4是斜边长时，第三边
则第三边长为5或，本说法是假命题；
②三角形的三边、、满足，则，本说法是假命题；
③中，若，
设、、分别为、、，
则，
解得，，
则、、分别为、、，
则是直角三角形，本说法是真命题；
④中，若，
设、、分别为、、，
，，
，
这个三角形是直角三角形，本说法是真命题，
故答案为：③④．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是掌握判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
98．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，，、、分别是、、上的点，连接、、，，当、、、中有两个直角三角形，两个等腰三角形时，的长为 ．
【答案】．
【分析】当， 时和，时，以及，这三种情况即可求解．
【详解】①如图：当， 时，此时，为等腰三角形，，为直角三角形，
，
平分
②如图：当，时，此时，为等腰三角形， ，为直角三角形，
，
四边形为平行四边形
为等腰三角形
设
③如图：当，时，此时，为等腰三角形， ，为直角三角形，
，
四边形为平行四边形
，
为等腰三角形
设
综上所述的长为：，，
故答案为：，，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质是解题关键．
99．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，等边内部有一点D，，在上分别有一动点E、F，且，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】过点C作，使，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为．
【详解】解：如图，过点C作，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，
在中，，
∴，
∴的最小值是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的最值问题等，解题的关键是正确作辅助线，将所求线段进行转化．
100．（22-23八年级下·浙江舟山·阶段练习）如图，已知AB//CD，AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=8，∠A=60°，
将点A翻折到CD边上得到点A'，此时折痕交AB边于点M.
①当点A'与点C重合时，AM= .
②当点A'从点D运动至点C时，点M相应的运动路径长为 .
【答案】 5.6/ 9.6－4
【分析】①作，交延长线于，根据含30°角的直角三角形的性质可得，的长度，设，则，在中，利用勾股定理列方程，即可得出答案；
②分：当与重合时，和当时，最短，和当与重合时，最大，三种情况进行讨论，分别得出的长度，从而解决问题．
【详解】解：①如图，作，交延长线于，
∴
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
设，则，
在中，，
，
解得:，
∴，
故答案为：；
②当与重合时，如图甲所示，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
当时，所图乙所示，此时最短为，故最短为，
当与重合时，如图丙所示，此时最大，
由①可知：此时最大为，
∴点的运动路径长为，
故答案为：．
图甲 图乙 图丙
【点睛】此题主要考查了翻折的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握折叠前后线段相等以及利用图形的特殊性求出线段长度是解题的关键．
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