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期中押题预测卷01
考试范围：第十六章—第十八章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分，每小题4分）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义：形如叫二次根式．根据二次根式的定义分别进行判定即可．
【详解】解：A、当，无意义，所以A选项错误；
B、是二次根式，所以B选项正确；
C、根指数为3，所以C选项错误；
D、中无根指数，不是二次根式，所以D选项错误．
故选：B．
2．如图，是的中位线，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．掌握三角形中位线定理是解题的关键．
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．， C． D．，，
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理．根据有一个角是直角的三角形为直角三角形，一个三角形的三边满足两短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，进行判断即可．
【详解】解：A、，则，
∴，
∴为直角三角形，不符合题意；
B、，，则，
∴不是直角三角形，符合题意；
C、，即：，
∴，
∴为直角三角形，不符合题意；
D、，，，则，，
，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简和计算．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再逐一判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
5．在中，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得，，先根据求出的度数，再进一步可得的度数．
【详解】解：在中，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【详解】解：如图，
由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
7．如图，在中，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．若，的面积为2，则四边形ABFO的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】如图所示，连接AF，DF，先证明△AOE≌△CFO得到，OE=OF，则，再由ED=2AE推出，再证明，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接AF，DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△CFO（AAS），
∴，OE=OF，
∴，
∵ED=2AE，
∴，
设平行四边形AD边上的高为h，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简．
【详解】＝=，
故选：B．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，正确运用二次根式乘法法则是解答问题的关键．
9．如图，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个判断即可．
【详解】解：A.∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，故此项不符合题意；
B.∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，故此项不符合题意；
C.∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，故此项不符合题意；
D.∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，不一定是正方形，故此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，能正确运用判定定理判断是解题的关键．
10．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①；②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】①易证得，则可证得结论①正确；
②由的值随着点E在运动，先变大，后减少，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③先求得，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；
④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形；
∴，故①正确；
②∵的值随着点E在运动，先变大，后减少，
∴面积也先变大，后减少；故②错误；
③∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴周长的最小值为；故③正确；
④∵，G为中点．
∴，
∴点E在运动过程中，与始终相等，故④正确；
综上，①③④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法，先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可，解题关键是掌握二次根式的乘法法则．
【详解】解：,
故答案为：．
12．如图，点A（4，0），C（，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据题意得出OA=4，OC=1，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=4，OC=1
∴AC=AB=5
在Rt△OAB中，
∴B(0，3)
故答案为：（0，3）．
【点睛】本题考查勾股定理，坐标与图形、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键．
13．线段、为矩形的对角线，若，则 ．
【答案】8
【分析】根据矩形的对角线相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
14．如图，以正方形的边为边作等边，连接，则的度数为 ．
【答案】/15度
【分析】由四边形是正方形，是等边三角形，可求出及推得，从而可求出．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，根据正方形和等边三角形的性质推知是解题的关键．
15．如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用勾股定理可得的长，继而解题．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴，，
∵点G是边的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点、、三点共线时，最小，
由勾股定理得，,
∴，
故答案为：．
16．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ．
【答案】
【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，
设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
三、解答题(共86分)
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据二次根式的运算法则即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及平方差公式的应用，解题关键是二次根式加减时要先化成最简，再合并．
18．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
【答案】这辆卡车能安全通过这个隧道
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．作于M，交于M，作于H，交半圆于F，交于点K，连接，则，米，根据题意得：，在中，根据勾股定理可得米，从而得到米，即可求解．
【详解】解：如图，作于M，交于M，作于H，交半圆于F，交于点K，连接，则，米，
根据题意得：，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴这辆卡车能安全通过这个隧道．
19．如图，在中，．
(1)尺规作图：在上求作一点P，使得；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题．
（1）作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求．
（2）由题意得可得，根据三角形外角的性质可得，即，则，可得是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则，
∴，
则点P即为所求．
（2）证明：设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，我们还可以将其进一步化简：
①；②；
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)化简：；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分子和分母都乘（分母有理化），再根据二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和分母有理化，能正确分母有理化是解此题的关键．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意可画出三边长分别为的三角形即可；
（2）根据题意及勾股定理即可画出边长为、、的直角三角形；
（3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形．
【详解】（1）如图1，三角形为所求；
（2）如图2，三角形为所求；
（3）如图3，正方形为所求．
【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
22．如图，在中，，，点G、F分别是、的中点，过点A作交的延长线于点H．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)请判断四边形的形状并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质，以及线段的中点，得到四边形是平行四边形，再根据，推出是等边三角形，进而得到，即可得证；
（2）易证：四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和菱形的性质，推出，进而得到，即可得到四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，，
∵点G、F分别是、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，证明如下：
∵过点A作交的延长线于点H，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由（1）知： 是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，以及菱形和矩形的判定方法，是解题的关键．
23．请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使，即，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，
由于，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：__________．
(2)化简：（请写出计算过程）．
【答案】(1)
(2)；过程见解析
【分析】（1）根据题意，将转化为完全平方式的形式，即可求解；
（2），根据题意求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由可得，这里,
∵，即，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
24．如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
【答案】（1），理由见解析；（2）1
【分析】（1）结论，延长到，使，连接BH，EH，先证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得， ，再证明，根据全等三角形的性质可得AH=AD，∠3=∠5，即可得∠HAD=60°，所以是等边三角形，由此即可证得结论；
（2）连接EC，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得；取中点，连接FG，可知为中位线，根据三角形的中位线定理可得，即可得，所以点的轨迹为射线，且；当时，最小，由此即可求得线段长度的最小值为1．
【详解】延长到，使，连接BH，EH，
∵点是线段的中点，
∴BF=EF，
∴四边形是平行四边形，
， ，
∴ ，
∵是等边三角形，
∴，，
，
在△ABH和△ACD中，
，
，
∴AH=AD，∠3=∠5，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠4+∠5=60°，
即∠HAD=60°，
∴是等边三角形，
∴HD=AD，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
连接EC，
，
，
取中点，连接FG，
是中点
为中位线
，
的轨迹为射线，且，
∵，
∴，
当时，最小，
中，，
∴．
即线段长度的最小值为1．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质就、三角形的中位线定理及30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
25．在正方形中，点为边上一动点，点关于的对称点为，连接．
(1)如图1，连接，当时，求证： ：
(2)如图2，延长，交于点，连接．
①求的度数：
②用等式表示与之向的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，证明见解析
【分析】（1）设交于点，连接，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）①过点作于点，设，则，得出，则是等腰直角三角形，则进而根据对称性可得，，得出，根据邻补角的定义，即可求解；
②过点作交于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，勾股定理可得，连接，进而证明四边形是正方形，得出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，设交于点，连接，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
又∵，则
∴
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
又，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴
（2）①如图所示，过点作于点，
依题意，点关于的对称点为，
∴，
∴
设，则，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，则
又∵关于对称，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
点与点关于直线对称，，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
在中，，
又，
∴
连接，则，
∴四边形是菱形，
又，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴即．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定；熟练掌握以上知识是解题的关键．
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考试范围：第十六章—第十八章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分，每小题4分）
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的中位线，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．， C． D．，，
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．11 B．47 C．26 D．35
7．如图，在中，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．若，的面积为2，则四边形ABFO的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．化简二次根式得（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知四边形是平行四边形，已知下列结论中错误的（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
10．如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①；②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为；④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．计算： ．
12．如图，点A（4，0），C（，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为 ．
13．线段、为矩形的对角线，若，则 ．
14．如图，以正方形的边为边作等边，连接，则的度数为 ．
15．如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ．
16．如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ．
三、解答题(共86分)
17．计算：
(1)；
(2)．
18．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
19．如图，在中，．
(1)尺规作图：在上求作一点P，使得；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
20．阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，我们还可以将其进一步化简：
①；②；
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)化简：；
(2)．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
22．如图，在中，，，点G、F分别是、的中点，过点A作交的延长线于点H．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)请判断四边形的形状并加以证明．
23．请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使，即，那么便有．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，
由于，即，
所以．
请根据材料解答下列问题：
(1)填空：__________．
(2)化简：（请写出计算过程）．
24．如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．
（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）若，求线段长度的最小值．
25．在正方形中，点为边上一动点，点关于的对称点为，连接．
(1)如图1，连接，当时，求证： ：
(2)如图2，延长，交于点，连接．
①求的度数：
②用等式表示与之向的数量关系，并证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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