(共13张PPT)
章末综合提升
第三章 指数运算与指数函数
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1 指数的运算
指数运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．
类型2 函数图象及其应用
指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换．
√
A B C D
√
类型3 指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
1．当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
2．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
√
角度2 函数性质综合应用
1．关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0
2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过考查f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝
f (φ(x))的单调性．类型1 指数的运算
指数运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．
【例1】 化简：(1)×÷；
(2)()4()4.
[解] (1)原式＝×÷
＝2-1×103×＝2-1×＝.
(2)原式＝·＝a2·a2＝a4.
类型2 函数图象及其应用
指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换．
由解析式判断函数图象
【例2】 定义运算a b＝则函数f (x)＝1 2x的图象是( )
A B C D
A [∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，
∴f (x)＝1 2x＝故选A.]
应用函数图象研究函数性质
【例3】 设函数y＝x3与y＝的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B [在同一坐标系中画出y＝x3与y＝的图象，如图，由图知当xx3，当x>x0时，代入x＝2，＝1<23，
∴2>x0．再代入x＝1，得＝2>13，
∴x0>1.]
类型3 指数函数的性质及应用
比较大小
1．当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
2．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0小于等于1”“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
【例4】 (1)比较，23.1，的大小关系是( )
<23.1
<23.1
(2)比较数的大小：27，82.
(1)C [∵幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，1.5<2，
.
又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，
<3.1，
<23.1，
<23.1.]
(2)[解] ∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.
函数性质综合应用
1．关于指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是02．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过考查f (u)和φ(x)的单调性，求出y＝f (φ(x))的单调性．
【例5】 已知f (x)＝a＋(a∈R)．
(1)若函数f (x)为奇函数，求实数a的值；
(2)用定义法判断函数f (x)的单调性；
(3)若当x∈[－1，5]时，f (x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)若函数f (x)为奇函数，
∵x∈R，∴f (0)＝a＋1＝0，得a＝－1，
验证当a＝－1时，
f (x)＝－1＋＝为奇函数，
∴a＝－1.
(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝
＝，
由x1>0，又＋1>0，
故f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(3)当x∈[－1，5]时，
∵f (x)为减函数，
∴f (x)max＝f (－1)＝＋a，
若f (x)≤0恒成立，
则满足f (x)max＝＋a≤0，
得a≤－，∴a的取值范围为.
章末综合测评(三) 指数运算与指数函数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知am＝4，an＝3，则的值为( )
A． B．6
C． D．2
A [∵am＝4，an＝3，∴am-2n＝＝，
∴＝＝.故选A.]
2．已知函数f (x)＝(a∈R)，若f ( f (－1))＝1，则a＝( )
A． B．
C．1 D．2
A [由题意得f (－1)＝2－(-1)＝2，f ( f (－1))＝f (2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝.]
3．设f (x)＝，x∈R，那么f (x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上单调递增
B．偶函数且在(0，＋∞)上单调递增
C．奇函数且在(0，＋∞)上单调递减
D．偶函数且在(0，＋∞)上单调递减
D [∵f (－x)＝＝＝f (x)，∴f (x)是偶函数．
当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减．故选D.]
4．函数f (x)＝的值域是( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B [∵3x＋1>1，∴0<<1，∴函数的值域为(0，1)．]
5．已知函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－3，0)
C．[0，1) D．(0，1)
A [由题意，知f (a)<1等价于或解得－36．函数y＝的图象大致是( )
A B C D
B [当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]
7．要得到函数y＝23-x的图象，只需将函数y＝的图象( )
A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位
A [∵y＝23-x＝，∴y＝的图象向右平移3个单位得到y＝，即y＝23-x的图象，故选A.]
8．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
D [因为函数f (x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1．因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1．综上，b>a>c.故选D.]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列运算结果中错误的为( )
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝－a6
ABC [对于A选项：a2·a3＝a2+3＝a5，所以A选项错误；对于B，D选项：(－a2)3＝－a6，而(－a3)2＝a6，所以B选项错误，D选项正确；对于C选项：0的0次幂没有意义，当a＝1时，(－1)0无意义．]
10．已知函数f (x)＝，g(x)＝，则f (x)，g(x)满足( )
A．f (－x)＋g(－x)＝g(x)－f (x)
B．f (－2)C．f (x)－g(x)＝π－x
D．f (2x)＝2f (x)g(x)
ABD [A正确，f (－x)＝＝－f (x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f (－x)＋g(－x)＝g(x)－f (x)；B正确，可知函数f (x)为增函数，所以f (－2)11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．已知函数f (x)＝，e是常数，e＝2.718 281…，则关于函数g(x)＝[f (x)]的叙述中正确的是( )
A．g(x)是偶函数
B．f (x)是奇函数
C．f (x)在R上是增函数
D．g(x)的值域是{－1，0，1}
BC [根据题意知，f (x)＝＝.∵g(1)＝[f (1)]＝＝0，g(－1)＝[f (－1)]＝＝－1，∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f (－x)＝＝＝－f (x)，∴f (x)是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知f (x)＝在R上是增函数，C正确；∵ex>0，∴1＋ex>1，∴－三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知函数f (x)＝ax-2＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标为________．
(2，2) [由题意，令x＝2，可得f (2)＝a2-2＋1＝2，所以函数f (x)＝ax-2＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P(2，2)．]
13．已知函数f (x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是____________________________．
0 [当x≥0时，g(x)＝f (x)＝2x－为增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f (－x)＝2－x－为减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.]
14．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
[由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2-2＝，(2α)β＝2αβ＝．]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)化简下列各式(式中字母均为正数)．
(1)；
(2)(－)÷(－)(结果为分数指数幂)．
[解] (1)＝＝＝a.
(2)原式＝4×(－3)×·＝．
16．(本小题满分12分)求不等式a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
[解] 对于a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)．
当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；
当0故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；
当017．(本小题满分12分)已知+＝3，求的值．
[解] 法一：∵+＝3，
∴两边平方，得＝9，即x＋x-1＝7.
两边再平方得x2＋x-2＝47，
将等式+＝3两边立方，
得+＋3+3＝27，
即+＝18.
∴原式＝＝.
法二：设=t，则＝，t＋＝3，t2＋＝7，
∴原式＝
＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝.
(1)画出函数f (x)的图象；
(2)根据图象写出f (x)的单调区间，并写出函数的值域．
[解] (1)先作出当x≥0时，f (x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f (x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图所示．
(2)函数f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1].
19．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f (x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f (x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解] (1)因为f (x)是奇函数，所以f (0)＝0，
即＝0，解得b＝1.
(2)由(1)知，f (x)＝＝－.
任取x1因为函数y＝2x在R上是增函数且x10.
又>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以f (x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因为f (x)是奇函数，f (t2－2t)＋f (2t2－k)<0，
所以f (t2－2t)<－f (2t2－k)＝f (k－2t2)．
因为f (x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而知判别式Δ＝4＋12k<0，
解得k<－，即k的取值范围是.