(共12张PPT)
章末综合提升
第一章 预备知识
巩固层·知识整合
类型1 集合及其数学思想
1．交集思想
许多数学问题是求同时满足若干个条件p1，p2，…，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，…，An，则Q＝A1∩A2∩…∩An就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现．
提升层·题型探究
2．并集思想
有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，…，An，则Q＝A1∪A2∪…∪An就是问题的解集．
3．补集思想
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
【例1】 (1)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则 U(A∪B)＝( )
A．{1，3，4} B．{3，4}
C．{3} D．{4}
(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k的取值范围是__________.
(3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是____________.
√
－1≤k≤1
{m|m≤－1}
类型2 充分条件与必要条件
1．充分条件、必要条件的判断方法
定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．
集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．
3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化．
【例2】 (1)若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_______．
√
－1
(1)A (2)－1 [(1)若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0.故选A.
(2)由题意知：{x|x＜a} {x|x＜－1，或x＞1}，所以a≤－1.]
√
类型4 全称量词命题与存在量词命题
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【例4】 (1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是______________________；
(2)若对任意x∈[1，2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．
(1)对任意x∈R，x3＋1≠0 (2)a≤1 [(1)命题的否定为：对任意x∈R，x3＋1≠0.
(2)对任意x∈[1，2]，x2－a≥0，
则a≤(x2)min＝1.]
对任意x∈R，x3＋1≠0
a≤1类型1 集合及其数学思想
1．交集思想
许多数学问题是求同时满足若干个条件p1，p2，…，pn的解，如果把满足各条件的对象表示成集合A1，A2，…，An，则Q＝A1∩A2∩…∩An就是问题的解集．如列方程组或不等式组解应用题等，都是运用交集思想方法解题的具体体现．
2．并集思想
有些数学问题需要分若干种情况讨论，若将问题分为n类，每类问题的解集为A1，A2，…，An，则Q＝A1∪A2∪…∪An就是问题的解集．
3．补集思想
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决困难时，我们可以从其反面入手解决．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
【例1】 (1)已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则 U(A∪B)＝( )
A．{1，3，4} B．{3，4}
C．{3} D．{4}
(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，则实数k的取值范围是_______.
(3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是_______.
(1)D (2)－1≤k≤1 (3){m|m≤－1} [(1)∵A∪B＝{1，2，3}，∴ U(A∪B)＝{4}．
(2)由A∪B＝A，得A B，又B≠ ，则解得－1≤k≤1.
(3)设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝.
若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，
则解得m≥，
∵在U中的补集为{m|m≤－1}．
∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．]
类型2 充分条件与必要条件
1．充分条件、必要条件的判断方法
定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．
集合法：若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
2．判断指定条件与结论之间关系的基本步骤：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．
3．利用充要条件可进行命题之间的等价转化．
【例2】 (1)若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_______．
(1)A (2)－1 [(1)若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，则不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0.故选A.
(2)由题意知：{x|x＜a} {x|x＜－1，或x＞1}，所以a≤－1.]
类型3 利用基本不等式求最值
使用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等构造定值的方法，和对等号能否成立的验证．
【例3】 (1)设a＞b＞0，则a2＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．
(1)D (2) [(1)a2＋＝a2－ab＋ab＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4.
当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立．
如取a＝，b＝满足条件．
(2)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，
∴1＝(2x＋y)2－·2xy≥(2x＋y)2－·＝(2x＋y)2，
∴－≤2x＋y≤，故2x＋y的最大值为.]
类型4 全称量词命题与存在量词命题
与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【例4】 (1)命题“至少有一个实数x，使x3＋1＝0”的否定是________；
(2)若对任意x∈[1，2]，x2－a≥0，则实数a的取值范围是________．
(1)对任意x∈R，x3＋1≠0 (2)a≤1 [(1)命题的否定为：对任意x∈R，x3＋1≠0.
(2)对任意x∈[1，2]，x2－a≥0，
则a≤(x2)min＝1.]
章末综合测评(一) 预备知识
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“ x∈R，x2≥0”的否定是( )
A． x∈R，x2＜0 B． x∈R，x2≤0
C． x∈R，x2≥0 D． x∈R，x2＜0
D [命题“ x∈R，x2≥0”的否定是“ x∈R，x2＜0”，故选D.]
2．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{1} B．{1，2}
C．{3，4，5} D．{2，3，4，5}
A [图中阴影部分所表示的集合为A∩( UB)，故选A.]
3．已知集合A＝，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝( )
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{1} D．{1，2，3}
A [∵A＝＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{1，2}．]
4．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2” 的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解不等式x3＞8，得x＞2，解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，
所以“x3＞8”是“|x|＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]
5．(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
C [因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.]
6．满足条件M∪{1，2}＝{1，2，3}的集合M的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
A [∵M∪{1，2}＝{1，2，3}，∴3∈M，且M可能含有元素1，2，
∴集合M的个数为集合{1，2}子集的个数4.故选A.]
7．已知实数a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，c－b＝a2－4a＋4，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
A [∵c－b＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴c≥b；
又b＋c＝3a2－4a＋6，
∴2b＝2a2＋2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋＞0，
∴b＞a，∴c≥b＞a.]
8．已知a＞0，b＞0，若不等式恒成立，则m的最大值为 ( )
A．4 B．16
C．9 D．3
B [，即m≤；
又＝＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当a＝b时，取等号，
∴m≤16，故选B.]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是( )
A． B．R
C． D．
BCD [因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是BCD.]
10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中为假命题的是( )
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b>0，c>d，则ac>bd
ABD [A中，若a>b，c<0时，ac
d>0时，ac>bd，D错误．故选ABD.]
11．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
ABC [x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1，4}．当a＝0时，A＝{0，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{0，1，2，4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1，2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2，4}，B＝{1，4}，A∪B＝{1，2，4}，其元素之和为1＋2＋4＝7．则实数a的取值集合为{0，1，2，4}．综合选项知选ABC.]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．若0＜a＜1，则不等式(a－x)＞0的解集是________.
[原不等式可化为(x－a)＜0，由0＜a＜1，得a＜，∴a＜x＜.]
13．“ x∈[0，3]，x2－a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[9，＋∞) [由题意得“ x∈[0，3]，x2－a≤0”是真命题，即a≥x2，所以a≥(x2)max＝9．]
14．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
20 [由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩( UB)；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解] (1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，
∴B＝{x|x＜3}，
∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，
则 UB＝{x|3≤x＜4}，
∴A∩( UB)＝{x|3≤x＜4}．
(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，
由A∩B＝A得A B，
∴m≥4，即实数m的取值范围是[4，＋∞)．
16．(本小题满分15分)解下列不等式：
(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.
[解] (1)原不等式化为x2－2x－3≤0，
即(x－3)(x＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，
当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a＜1时，原不等式的解集为(a，1)．
17．(本小题满分15分)已知集合A＝，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＜0}，p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．
[解] 由＞0，得－1＜x＜3，∴A＝{x|－1＜x＜3}．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＜0，得m－1＜x＜m＋2.
∴B＝{x|m－1＜x＜m＋2}，
∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A.
∴(等号不能同时取得)，
∴0≤m≤1，
经检验符合题意，∴m的取值范围为[0，1].
18．(本小题满分17分)已知a>0，b>0，且(a＋b)·＝1.
(1)求的最小值；
(2)是否存在a，b，使得的值为？并说明理由．
[解] ∵a>0，b>0，且(a＋b)＝1，∴a＋b＝，
又a＋b≥2(当且仅当a＝b时取等号)，
∴≥2，∴ab≤.
(1)≥2＝≥4，当且仅当a＝b时取等号．
(2)∵a>0，b>0，∴≥2＝，当且仅当a＝b时取等号．
∵<，∴不存在a，b，使得的值为.
19．(本小题满分17分)已知“ x∈{x|－1(1)求实数m的取值范围构成的集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题意，知m＝x2－x＝－.
由－1(2)由x∈N是x∈M的必要条件，知M N.
①当a>2－a，即a>1时，N＝{x|2－a.
②当a<2－a，即a<1时，N＝{x|a③当a＝2－a，即a＝1时，N＝ ，不满足M N.
综上可得，实数a的取值范围为.