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§1 生活中的变量关系
第二章 函数
学习任务 核心素养
1．了解生活中两个变量之间的依赖关系．(重点)
2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点) 通过对生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养．
必备知识·情境导学探新知
怎样的依赖关系是函数关系？
1．依赖关系
一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
2．函数关系
一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有________的值与之对应时，变量x，y之间具有____关系，并且y是x的函数．
唯一确定
函数
思考 (1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
(2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，把摩天轮的转动时间作为自变量，他的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
[提示] (1)该人的高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
(2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
体验1．下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
√
体验2．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________(填序号)．
①③④ [由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．]
①③④
关键能力·合作探究释疑难
类型1 依赖关系与函数关系的辨析
【例1】 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
③正三角形的面积和它的边长．
反思领悟 判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化．而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
[跟进训练]
1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系．
[解] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系．
综上可知，(1)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
类型2 变量关系的表示
【例2】 声音在空气中传播的速度简称声速，实验测得声速与气温的一些数据如下表：
(1)根据表内数据作图；
(2)用x表示y；
(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米．
气温x/℃ 0 5 10 15 20
声速y(米/秒) 331 334 337 340 343
[解] (1)此图反映的是变量声速随气温的变化．
反思领悟 借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
[跟进训练]
2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系(其中0≤x≤20)：
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
[解] (1)画出图如右：
此图反映了提出概念所用的时间x和对概
念的接受能力y两个变量之间的关系；其
中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个人受教育的程度与他的能力之间的关系是依赖关系． ( )
(2)圆上的点的纵坐标与横坐标之间的关系是函数关系． ( )
(3)若y是x的函数，则x一定是y的函数． ( )
2
4
3
题号
1
5
√
×
×
2．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
√
2
4
3
题号
1
5
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )
√
2
4
3
题号
1
5
A [开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.]
A B C D
4．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图．
2
4
3
题号
1
5
该汽车在这段时间内的最高时速是_________．
80千米/时 [由图知最高时速为80千米/时．]
80千米/时
2
4
3
题号
1
5．下列关系不是函数关系的是________(填序号)．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
5
②③ [对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．]
②③§1 生活中的变量关系
学习任务 核心素养
1．了解生活中两个变量之间的依赖关系．(重点) 2．能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系．(重、难点) 通过对生活中的变量关系的学习，培养数学建模素养．
怎样的依赖关系是函数关系？
1．依赖关系
一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．
2．函数关系
一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数．
(1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
(2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，把摩天轮的转动时间作为自变量，他的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
[提示] (1)该人的高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．
(2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．
1．下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着价格与视力
[答案] D
2．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________(填序号)．
①③④ [由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．]
类型1 依赖关系与函数关系的辨析
【例1】 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
③正三角形的面积和它的边长．
[解] ①中在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；
②中家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；
③中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上可知①②③中两个变量间都存在依赖关系，其中①③是函数关系．
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，另一个变量是否随之变化．而判断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
[跟进训练]
1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系．
[解] (1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系．
综上可知，(1)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
类型2 变量关系的表示
【例2】 声音在空气中传播的速度简称声速，实验测得声速与气温的一些数据如下表：
气温x/℃ 0 5 10 15 20
声速y(米/秒) 331 334 337 340 343
(1)根据表内数据作图；
(2)用x表示y；
(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米．
[解] (1)此图反映的是变量声速随气温的变化．
(2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，声速加快3米/秒，又过点(0，331)，故所求函数关系式为y＝x＋331.
(3)由(2)可知气温为22 ℃时，声速y＝×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×＝66＋1 655＝1 721(米)．
借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发现规律．
[跟进训练]
2．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系(其中0≤x≤20)：
提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
[解] (1)画出图如下：
此图反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量．
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个人受教育的程度与他的能力之间的关系是依赖关系． ( )
(2)圆上的点的纵坐标与横坐标之间的关系是函数关系． ( )
(3)若y是x的函数，则x一定是y的函数． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
[答案] D
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．下图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )
A B C D
A [开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.]
4．如图是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况示意图．
该汽车在这段时间内的最高时速是________．
80千米/时 [由图知最高时速为80千米/时．]
5．下列关系不是函数关系的是________(填序号)．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
②③ [对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．]
课时分层作业(十三) 生活中的变量关系
一、选择题
1．下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
C [A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．]
2．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
C [这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C错．]
3．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是( )
A．x，y之间有依赖关系
B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数
D．x是y的函数
D [当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．]
4．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
A [下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．]
二、填空题
5．当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________是自变量，____________是因变量．
[答案] 圆柱底面半径 圆柱的体积
6．自变量x与因变量y之间的关系如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 4 6 8 …
(1)写出x与y的关系式：________．
(2)当x＝2.5时，y＝________．
[答案] (1)y＝2x (2)5
7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．
(2)乙在这次赛跑中的速度为________ m/s.
(1)甲 (2)8 [(1)由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s、12.5 s，故甲先到达终点．
(2)v乙＝＝8(m/s)．]
三、解答题
8．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
[解] (1)上午8时气温是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到，全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到．
(2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．
9．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
[解] (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00，他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．
10．国内某快递公司快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x(km) 0邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安用这家快递邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km 的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．无法确定
C [∵800 g<1 000 g，∴适用表格给出的邮资标准．
∵1 000<1 200<1 500，∴应付邮资7.00元．]
11．星期天，小明从家出发，出去散步，下图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
B [水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．]
12．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图①所示，那么水瓶的形状是图②中的( )
图①
A B C D
图②
B [通过图象反映的两个变量h与V的变化情况知，注水量随高度的变化是先快后慢，再结合选项中四个容器的形状来判断，只有B符合要求．]
13．现有含盐7%的食盐水200克，生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x克，则x的范围是________．
(100，400) [由题设得0.05＜＜0.06，解得100＜x＜400.]
14．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
[解] (1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，
对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，
所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2．圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
