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4.3 一元二次不等式的应用
§4 一元二次函数与一元二次不等式
第一章 预备知识
学习任务 核心素养
1．掌握简单的分式不等式的解法．(重点)
2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．(重点、难点) 1．借助分式不等式的求解，培养数学运算素养．
2．通过构建一元二次函数模型，培养数学建模素养．
必备知识·情境导学探新知
利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么？
1．分式不等式的解法
类型 同解不等式
对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．
类型 同解不等式
2．利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中所给的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；
(2)转化为同解的整式不等式；
(3)解整式不等式．
√
[跟进训练]
2．已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
类型3 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
反思领悟 解不等式应用题的步骤
[跟进训练]
3．某单位在对一个长800 m，宽600 m的荒地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，
如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面
积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
学习效果·课堂评估夯基础
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
√
2
4
3
题号
1
5
C [设售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得12
2
4
3
题号
1
5
{x|x>－a，或x(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a，或x{x|x>－a，或x2
4
3
题号
1
5
{t|3≤t≤5}4.3 一元二次不等式的应用
学习任务 核心素养
1．掌握简单的分式不等式的解法．(重点) 2．能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．(重点、难点) 1．借助分式不等式的求解，培养数学运算素养． 2．通过构建一元二次函数模型，培养数学建模素养．
利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么？
1．分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二：>0
≥0(其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二：
>k(其中a，b，c，d，k为常数) 先移项转化为>0，再求解
对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．
已知集合A＝，则集合 RA与相等吗？
[提示] 不相等， RA＝.
2．利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中所给的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
类型1 分式不等式的解法
【例1】 解不等式≤3.
[解] 原不等式可化为－3≤0，即≤0，
∴≥0，
∴解得x≥或x<0.
故原不等式的解集为.
分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；
(2)转化为同解的整式不等式；
(3)解整式不等式．
[跟进训练]
1．不等式≥0的解集是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)
D [原不等式可化为
解得x≥2或x＜1，
故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞)．]
类型2 不等式恒成立问题
【例2】 若x2－x＋3<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知当m＋1＝0，
即m＝－1时，
原不等式可化为2x－6<0，
解得x<3，不符合题意，应舍去．
当m＋1≠0时，
若x2－x＋3<0对任何实数x恒成立，则有
解得m<－.
综上所述，实数m的取值范围是.
一元二次不等式在R上的恒成立问题
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是
注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或
[跟进训练]
2．已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数x恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理得所以
所以a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
类型3 一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解] (1)降低税率后的税率为%，农产品的收购量为a万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．
依题意：y＝200a%＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得：a≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0∴x的取值范围是.
解不等式应用题的步骤
[跟进训练]
3．某单位在对一个长800 m，宽600 m的荒地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
[解] 设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋60 000≥0，
解得x≤100或x≥600(舍去)，
由题意知0＜x＜300，
所以0＜x≤100.
即当花坛的宽度取值范围为(0，100]时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1，或x≥2}
C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2，或x≤1}
D [由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.故选D.]
2．不等式≥1的解集是( )
A．{x|x<－1，或－1C．{x|x≤2} D．{x|－1D [∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，等价于(x－2)(x＋1)≤0且x＋1≠0，故－13．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为( )
A．12元 B．16元
C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
C [设售价定为每件x元，利润为y，
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，解得12所以每件售价应定为12元到16元之间．]
4．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
{x|x>－a，或x(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为{x|x>－a，或x5．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
{t|3≤t≤5} [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
课时分层作业(十二) 一元二次不等式的应用
一、选择题
1．不等式≥1的解集是( )
A． B．
C． D．
B [不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为或解得≤x<2，则原不等式的解集为，故选B.]
2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1，或x<－2} B．{x|1C．{x|x>2，或x<－1} D．{x|－1C [∵x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，
等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.]
3．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4，或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
A [由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，
∴－1≤a≤4，故选A.]
4．某商品在最近30天内的价格m(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15}
C．{t|10B [由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15.]
5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )
A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}
C．{x|15≤x<20} D．{x|10≤x<20}
C [设这批台灯的销售单价为x元，
由题意得，[30－(x－15)×2]x>400，
即x2－30x＋200<0，
∴10又∵x≥15，
∴15≤x<20.故选C.]
二、填空题
6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0150 [生产者不亏本时有y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，
即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．
故生产者不亏本时的最低产量是150台．]
7．若不等式＋m<0的解集为{x|x<3，或x>4}，则m的值为________．
－3 [原不等式可化为<0 [(m＋1)x＋m2－1](x＋m)<0，
由已知可得m＋1<0，且3和4是方程[(m＋1)x＋m2－1](x＋m)＝0的根，
∴1－m＝4，－m＝3，
∴m＝－3.]
8．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________．欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________．
100 60≤x≤100 [由于“汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L”，所以＝11.5，解得k＝100，故每小时油耗为－20，依题意得－20≤9，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，故60≤x≤100．所以速度x的取值范围为60≤x≤100.]
三、解答题
9．解不等式：(1)<0；(2)≤1.
[解] (1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴－1≤0.
∴≤0.
即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0，且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
10．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．
[解] 设增加成本后的日利润为y元．
y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1)．
要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1 000，且0＜x＜1，即
解得0＜x＜.所以为保证日利润有所增加，x的取值范围是.
11．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．(0，4) B．[0，4)
C．(0，4] D．[0，4]
D [当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．
当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．
当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，
需解得012．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )
A．(0，2)
B．(－2，1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1，2)
B [由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，
∴x2＋x－2<0，解得－213．设函数y＝2x2＋bx＋c，若不等式y＜0的解集是1＜x＜5，则y＝________；若对于任意1≤x≤3，不等式y≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．
2x2－12x＋10 t≥－10 [由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以y＝2x2－12x＋10.
不等式y≤2＋t在1≤x≤3时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在1≤x≤3时有解，只要t大于等于2x2－12x＋8的最小值即可，不妨设g＝2x2－12x＋8，1≤x≤3，则当x＝3时，g有最小值－10，所以t≥－10.]
14．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
－＜a≤1 [①当a2－1≠0，即a≠±1时，
解之得－②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R.]
15．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0.
(1)若不等式的解集为(1，6)，求实数k的值；
(2)若k＞0，且不等式 x∈(2，4)都成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)∵不等式kx2－2x＋6k＜0的解集为(1，6)，
∴1和6是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k＞0，
由根与系数的关系得1＋6＝，解得k＝.
(2)令y＝kx2－2x＋6k，
当x＝2时，y＝y1，当x＝4时，y＝y2，
则原问题等价于
即解得k≤.
又k＞0，∴实数k的取值范围是.