(共21张PPT)
§3 数学建模活动的主要过程
第八章 数学建模活动（一）
【例1】 关于外卖垃圾问题的分析与解决
[选题] 餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展．为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生．“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售．目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐．外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活．本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论．
[开题] 从具体的处理方式考虑．通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式．而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染．因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染，而填埋数量与填埋场的体积有关．目前，填埋场的深度基本已达最大．因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形．在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的，并假设填埋场形状可以为任意形状．在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择．因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染．
[做题] 改变填埋场形状以降低污染
1．问题分析
填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染．我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可．我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展．因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地．因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展．假设垃圾填埋场为规则的立体图形．因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样．所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小．
2．模型建立
我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形，如图：设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S.那么，S＝ab＋2ac＋2bc＋πc2＝ab＋2c(a＋b)＋πc2
(周围为污染区)
(1)圆形
在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比．
(2)正三角形
[结题] 1．模型优点：
A．该模型可以有效的减少土地污染体积；
B．该模型不需要耗费大量的人力、物力．
2．模型缺点：
A．该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；
B．该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场．
3．我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式．而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染．因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染．在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论：在一定的条件下，圆形较好．最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人．
大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法．但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡．只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去．
【例2】 牙膏价格与重量关系的数学建模
[选题] 在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如某品牌牙膏50 g装的每支1.50元，120 g装的每支3.00元．我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜．
2．模型假设
设如下变量：
商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.
3．研究的大体思路、方法与步骤
(1)分析商品价格C与商品重量W的关系．价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素．
(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析．最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议．
4．研究此问题的意义
实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等．在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择．
[做题] 1．模型建立与求解
商品价格由成本决定，商品成本＝生产成本＋包装成本＋其他成本，故C＝C1＋C2＋C3，生产成本与重量W成正比，设C1＝k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1，即圆柱体侧面积．
2．模型解释
c-W的简图如图所示：
由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品．
[结题] 对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；
对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况．§3 数学建模活动的主要过程
【例1】 关于外卖垃圾问题的分析与解决
[选题] 餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展．为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生．“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售．目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐．外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活．本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论．
[开题] 从具体的处理方式考虑．通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式．而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染．因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染，而填埋数量与填埋场的体积有关．目前，填埋场的深度基本已达最大．因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形．在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的，并假设填埋场形状可以为任意形状．在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择．因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染．
[做题] 改变填埋场形状以降低污染
1．问题分析
填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染．我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可．我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展．因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地．因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展．假设垃圾填埋场为规则的立体图形．因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样．所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小．
2．模型建立
我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形，如图：设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S.那么，S＝ab＋2ac＋2bc＋πc2＝ab＋2c(a＋b)＋πc2
(周围为污染区)
在表面积固定的情况下：ab为定值，c、π均为定值，因此使(a＋b)最小即可．由基本不等式可得：a＋b≥2，当且且当a＝b时取等号．因此若使S最小，即a＝b，因此我们得出结论：垃圾填埋场呈正方形比呈长方形要好．
之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好．为了方便计算和更好的解决问题，以下模型均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立．
(1)圆形
在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比．
设正方形边长为d，对四周土地进行污染的半径为c，圆的半径为r.
d2＝πr2，r＝，
正方形总污染为S正方形＝πc2＋4dc＋d2，
圆形总污染为S圆形＝π＝·π＝d2＋2dc＋c2π，
作差得
S圆形－S正方形＝c2π＋2dc＋d2－πc2－4dc－d2
＝2dc－4dc＝2dc(－2)，
又因为－2<0，因此S圆形
(2)正三角形
设正三角形边长为e，则S三角形＝e2，
因为我们要使圆形与三角形的表面积相同，则
e2＝πr2，r＝，
因此通过计算可得
S三角形污染面积＝e2＋πc2＋3ce，S圆形污染面积＝·π＝·π＝e2＋ec＋c2·π，S圆形污染面积－S三角形污染面积＝e2＋ec＋c2·π－e2－πc2－3ce＝ec(－3)<0，
因此S圆形污染面积综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案．因此我们可以通过把长方形的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积．模型优化成立．
[结题] 1．模型优点：
A．该模型可以有效的减少土地污染体积；
B．该模型不需要耗费大量的人力、物力．
2．模型缺点：
A．该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；
B．该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场．
3．我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式．而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染．因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染．在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论：在一定的条件下，圆形较好．最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人．
大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法．但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡．只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去．
【例2】 牙膏价格与重量关系的数学建模
[选题] 在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如某品牌牙膏50 g装的每支1.50元，120 g装的每支3.00元．我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜．
[开题] 1．问题分析
商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本．生产成本与重量W成正比，包装成本与表面积成正比，其他成本与W无关．单位重量商品价格c＝.牙膏可以近似为圆柱体来思考．
2．模型假设
设如下变量：
商品价格为C，商品重量为W，单位重量价格为c，商品包装面积为S，生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.
3．研究的大体思路、方法与步骤
(1)分析商品价格C与商品重量W的关系．价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素．
(2)求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析．最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议．
4．研究此问题的意义
实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等．在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择．
[做题] 1．模型建立与求解
商品价格由成本决定，商品成本＝生产成本＋包装成本＋其他成本，故C＝C1＋C2＋C3，生产成本与重量W成正比，设C1＝k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S1，即圆柱体侧面积．
设此圆柱体的半径为R，高为L，
S1＝2πRL， ①
由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，
则V＝πR2L， ②
设牙膏密度为ρ，则V＝， ③
一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：
设R＝k2L(k2为大于0的常数)， ④
根据②③④，可以得出：
半径R＝， ⑤
由①④⑤得出
S1＝，
我们可以把牙膏盒看成一个长为L，宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积S2＝8R2＋8RL，
再根据④⑤求得S2＝8，
则包装成本C2＝k3＋k48·，k3，k4为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值．
其他成本C3为固定常数，与W，S无关．
即C＝C1＋C2＋C3
＝k1W＋k3＋k48＋C3.
由于k1，k2，k3，k4，ρ都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大．
对于单位重量价格c与商品重量W的关系，我们已知c＝，由于k1，k2，k3，k4，ρ都是大于零的常数，我们发现包装成本与商品重量成正比，可以简化为C2＝k5×，
所以c＝＝k1＋k5×＋C3.
2．模型解释
c-W的简图如图所示：
由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品．
[结题] 对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；
对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况．
模块综合测评
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·天津高考)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则( UB)∪A＝( )
A．{1，3，5} B．{1，3}
C．{1，2，4} D．{1，2，4，5}
A [法一：因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，所以 UB＝{3，5}，又A＝{1，3}，所以( UB)∪A＝{1，3，5}．故选A.
法二：因为A＝{1，3}，所以A ( UB)∪A，所以集合( UB)∪A中必含有元素1，3，所以排除选项C，D；观察选项A，B，因为5 B，所以5∈ UB，即5∈( UB)∪A，故选A.]
2．命题“ x∈R，sin x＋1≥0”的否定是( )
A． x∈R，sin x＋1<0 B． x∈R，sin x＋1<0
C． x∈R，sin x＋1≥0 D． x∈R，sin x＋1≤0
A [把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“ x∈R，sin x＋1<0”，故选A.]
3．已知a，b均为非零实数，则“ab>0且a0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由ab>0且a，得>0，反之，>0ab>0且a0，b<0，所以“ab>0且a0”的充分不必要条件．故选A.]
4．已知函数f (x)＝则f (－1)＋f (log25)＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
D [因为f (－1)＝1＋log2(2－1)＝1，f (log25)＝2log25＝5，所以f (－1)＋f (log25)＝6.]
5．(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
B [法一：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，经检验a＝0时，f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数．故选B.]
6.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是( )
A． B．
C． D．
D [从4个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有2种：4，6和2，8，∴能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P＝＝.故选D.]
7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元的部分享受一定的折扣优惠，并按下表的折扣率累计计算．
可以享受折扣优惠的金额 折扣率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则该顾客购物实际所付金额为( )
A．1 500元 B．1 550元
C．1 750元 D．1 800元
A [设顾客在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，
由题设可知y＝
因为y＝50>25，所以x>1 300，所以0.1(x－1 300)＋25＝50，解得x＝1 550，故该顾客购物实际所付金额为1 550－50＝1 500(元)，故选A.]
8．定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，且x∈[0，1)时，f (x)＝log2(x＋1)．若a＝f ，b＝f ，c＝f ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
B [由f (x＋1)＝f (x)可得，a＝f ＝f ＝f ，c＝f ＝f ＝f .易知函数f (x)在x∈[0，1)上单调递增，由<<，可得f 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )
A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．n的值为200
D．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50，60)元
BC [样本中支出在[50，60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为×60＋60＝132，故B正确；n＝＝200，故C正确；若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600人支出在[50，60)元，故D错误．故选BC.]
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
ACD [设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝，P(A2)＝，且A1，A2相互独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为＝，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P()＝1－＝，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为＝，D正确．故选ACD.]
11．关于函数f (x)＝，下列描述正确的是( )
A．f (x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]
B．f (x)的值域为(－1，1)
C．f (x)在定义域上是增函数
D．f (x)的图象关于原点对称
ABD [由题设有解得－1≤x<0或0三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层随机抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是________．
20 [高三年级的人数为900－240－260＝400，所以在高三年级抽取的人数为×400＝20.]
13.在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14．现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．
[由题意，可知若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6．从1，2，3，4，5中任取两个数字的所有情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1，5)，(2，4)，共2种，所以所求概率P＝.]
14．已知λ∈R，函数f (x)＝当λ＝2时，不等式f (x)<0的解集是________．若函数f (x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
(1，4) (1，3]∪(4，＋∞) [若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得1因为函数f (x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0，1]，求实数m的值；
(2)若A RB，求实数m的取值范围．
[解] 集合A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}．
(1)因为A∩B＝[0，1]，
所以m－2＝0且m＋2≥1，
解得m＝2.
(2) RB＝{x|xm＋2，m∈R}，
由于A RB，从而m－2>1或m＋2<－3，解得m>3或m<－5，
故m的取值范围是(－∞，－5)∪(3，＋∞)．
16．(本小题满分15分)已知a>2，函数f (x)＝log4(x－2)－log4(a－x)．
(1)求f (x)的定义域；
(2)当a＝4时，求不等式f (2x－5)≤f (3)的解集．
[解] (1)由题意得
解得
因为a>2，所以2故f (x)的定义域为(2，a)．
(2)因为a＝4，所以f (2x－5)＝log4(2x－7)－log4(9－2x)，f (3)＝log41－log41＝0.
因为f (2x－5)≤f (3)，
所以log4(2x－7)－log4(9－2x)≤0，
即log4(2x－7)≤log4(9－2x)，
从而
解得故不等式f (2x－5)≤f (3)的解集为.
17．(本小题满分15分)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值．
(2)若轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．
①若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率；
②试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好．
[解] (1)甲厂轮胎宽度的平均值为＝
＝195(mm)．
乙厂轮胎宽度的平均值为＝
＝194(mm)．
(2)甲厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195.
①所选的轮胎是标准轮胎的概率P＝＝.
②甲厂标准轮胎宽度的平均数为195，方差为.
乙厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为195，方差为.
由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差较小，所以乙厂的轮胎相对更好．
18．(本小题满分17分)某水果经销商销售某种水果，售价为每千克25元，成本为每千克15元．销售宗旨是当天进货当天销售．如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完．根据以往的销售情况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图计算该种水果日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；
(2)该经销商某天购进了250千克该种水果，假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500)，利润为y元．求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y不小于1 750元的概率．
[解] (1)＝50×0.001 0×100＋150×0.002 0×100＋250×0.003 0×100＋350×0.002 5×100＋450×0.001 5×100＝265.
故该种水果日需求量的平均数为265千克．
(2)当日需求量不低于250千克时，利润y＝(25－15)×250＝2 500(元)，
当日需求量低于250千克时，利润y＝(25－15)x－(250－x)×5＝15x－1 250(元)，
所以y＝
由y≥1 750，得200≤x≤500，
所以P(y≥1 750)＝P(200≤x≤500)
＝0.003 0×100＋0.002 5×100＋0.001 5×100＝0.7．
故估计利润y不小于1 750元的概率为0.7．
19．(本小题满分17分)已知函数f (x)＝ax2－4x＋2，函数g(x)＝．
(1)若函数f (x)在(－∞，2]和[2，＋∞)上的单调性相反，求f (x)的解析式；
(2)若a<0，不等式g(x)≤9在x∈上恒成立，求a的取值范围；
(3)已知a≤1，若函数y＝f (x)－log2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．
[解] (1)由题意知，函数f (x)＝ax2－4x＋2为二次函数，
其图象的对称轴为直线x＝－＝2，解得a＝1，
所以f (x)＝x2－4x＋2.
(2)依题意得≤9＝，即≤在x∈上恒成立，
转化为ax2－4x＋2≥－2在x∈上恒成立，
即ax2－4x＋4≥0在x∈上恒成立，
转化为a≥＝在x∈上恒成立．
令＝t(t≥2)，则问题可转化为a≥4t－4t2在t∈[2，＋∞)上恒成立，
即a≥(4t－4t2)max(t∈[2，＋∞))，所以a≥－8，又因为a<0，所以a的取值范围是[－8，0)．
(3)y＝f (x)－log2＝ax2－4x＋5－log2x，
设r(x)＝ax2－4x＋5(x∈[1，2])，
s(x)＝log2x(x∈[1，2])，
则由题意知函数r(x)与s(x)的图象在区间[1，2]内有唯一交点．
当a＝0时，r(x)＝－4x＋5在[1，2]上单调递减，s(x)＝log2x在[1，2]上单调递增，
且r(1)＝1>s(1)＝0，r(2)＝－3所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1，2]内有唯一的交点．
当a<0时，r(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝<0，
所以r(x)在[1，2]上单调递减，
又s(x)＝log2x在[1，2]上单调递增，
由题意知，需
得得－1≤a≤1，
所以－1≤a<0.
当0所以r(x)在[1，2]上单调递减，
又s(x)＝log2x在[1，2]上单调递增，
由题意知，需
得得－1≤a≤1，
所以0综上，a的取值范围为[－1，1].