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第1课时 函数的单调性
§3 函数的单调性和最值
第二章 函数
学习任务 核心素养
1．理解函数的单调区间、单调性等概念．(重点)
2．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，并理解其作用和实际意义．(重点、易混点)
3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 1．通过对单调区间、单调性等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
1．增函数、减函数的概念是什么？
2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
3．增函数、减函数的图象有什么特点？
4．所有函数都具有单调性吗？
知识点1 增函数、减函数的概念
设函数y＝f (x)的定义域是D.
如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数y＝f (x)是______．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f (x)在区间I上________．区间I叫作函数y＝f (x)的单调递增区间．
如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就称函数y＝f (x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f (x)在区间I上单调递减．区间I叫作函数y＝f (x)的单调递减区间．
f (x1)＜f (x2)
增函数
单调递增
思考1．定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？
[提示] 不能．
④ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0时，f (x)在(a，b)上是增函数；
⑤ x1，x2∈(a，b)，且x1
A．1 B．2
C．3 D．4
√
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上__________________，那么就称函数y＝f (x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为________．
②
单调递增或单调递减
单调区间
关键能力·合作探究释疑难
反思领悟 利用定义证明函数单调性的4个步骤
类型2 求函数的单调区间
【例2】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[母题探究]
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
[解] 函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；
单调减区间为(－∞，－1]，[1，3].
反思领悟 求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
[跟进训练]
2．如图所示为函数y＝f (x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f (x)的单调增区间是_________________．
[－1.5，3]和[5，6] [由图象知单调增区间为[－1.5，3]和[5，6].]
[－1.5，3]和[5，6]
类型3 函数单调性的应用
【例3】 (1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是_____________；
(2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为____________．
(－∞，－4]
(－∞，1)
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f (x)的单调增区间为(－∞，3]，求a的值．
[解] 由题意知－a－1＝3，即a＝－4.
2．(变条件)若本例(1)的函数f (x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
∴a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
3．(变条件)若本例(2)的函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
反思领悟 函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
[跟进训练]
4．若函数f (x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f (a)>f (2a) B．f (a2)C．f (a2＋a)D [因为f (x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f (a2＋1)√
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数． ( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性． ( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”． ( )
2
4
3
题号
1
×
×
×
2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是( )
√
2
4
3
题号
1
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
3．函数f (x)＝x2＋2x的单调递增区间是______________．
2
4
3
题号
1
[－1，＋∞)
2
4
3
题号
1
(－∞，4] §3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
学习任务 核心素养
1．理解函数的单调区间、单调性等概念．(重点) 2．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，并理解其作用和实际意义．(重点、易混点) 3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 1．通过对单调区间、单调性等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过用定义证明函数的单调性，培养逻辑推理素养．
1．增函数、减函数的概念是什么？
2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
3．增函数、减函数的图象有什么特点？
4．所有函数都具有单调性吗？
知识点1 增函数、减函数的概念
设函数y＝f (x)的定义域是D.
如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就称函数y＝f (x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f (x)在区间I上单调递增．区间I叫作函数y＝f (x)的单调递增区间．
如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就称函数y＝f (x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f (x)在区间I上单调递减．区间I叫作函数y＝f (x)的单调递减区间．
1．定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？
[提示] 不能．
1．下列命题中真命题的个数为( )
①定义在(a，b)上的函数f (x)，如果 x1，x2∈(a，b)，当x1②如果函数f (x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f (x)在区间I1和I2上就一定是减函数；
③ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f (x)在(a，b)上为减函数；
④ x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0时，f (x)在(a，b)上是增函数；
⑤ x1，x2∈(a，b)，且x1A．1 B．2
C．3 D．4
C [①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
由f (x)＝，可知②是假命题；
∵<0等价于[f (x1)－f (x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于或
即或
∴f (x)在(a，b)上为减函数，③是真命题，同理可得④也是真命题．
若要说明函数f (x)在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x12．下列函数f (x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f (x2)的是________(填序号)．
①f (x)＝x2; ②f (x)＝；
③f (x)＝|x|; ④f (x)＝2x＋1.
[答案] ②
知识点2 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f (x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间．
2．(1)区间A一定是函数的定义域吗？
(2)函数y＝在定义域上是减函数吗？
[提示] (1)不一定，可能是定义域的一部分．
(2)y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
3．(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________．
(2)函数y＝的递增区间是________．
(1) (2) [(2)由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上是增函数，y＝在定义域内是增函数，所以y＝的单调递增区间是.]
类型1 函数单调性的判定与证明
【例1】 求证：函数f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．
[证明] 对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1有f (x1)－f (x2)＝＝
＝.
∵x1>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴函数f (x)＝在(－∞，0)上单调递增．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f (x1)－f (x2)＝.
∵0>0.
∴f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)．
∴函数f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减．
利用定义证明函数单调性的4个步骤
[跟进训练]
1．判断并证明函数f (x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解] 函数f (x)＝－＋1在(0，＋∞)上是单调递增．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f (x1)－f (x2)＝＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
又由x1于是f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴f (x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．
类型2 求函数的单调区间
【例2】 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解]
y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上单调递增，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上单调递减，所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．
[母题探究]
(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？
[解]
函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞)；单调减区间为(－∞，－1]，[1，3].
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
[跟进训练]
2．如图所示为函数y＝f (x)，x∈[－4，7]的图象，则函数f (x)的单调增区间是________．
[－1.5，3]和[5，6] [由图象知单调增区间为[－1.5，3]和[5，6].]
3．求函数f (x)＝的单调减区间．
[解] 函数f (x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f (x1)－f (x2)＝＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)．
所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x)在(1，＋∞)上也单调递减．
综上，函数f (x)的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
类型3 函数单调性的应用
【例3】 (1)若函数f (x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________；
(2)已知函数y＝f (x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x－3)>f (5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f (x)＝－2(a＋1)x＋3的图象开口向下，要使f (x)在(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4．∴实数a的取值范围为(－∞，－4].
(2)∵f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f (2x－3)>f (5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
[母题探究]
1．(变条件)若本例(1)的函数f (x)的单调增区间为(－∞，3]，求a的值．
[解] 由题意知－a－1＝3，即a＝－4.
2．(变条件)若本例(1)的函数f (x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，
即a≤－3或a≥－2.
∴a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
3．(变条件)若本例(2)的函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．
[解] 由题意可知，
解得x>.∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
[跟进训练]
4．若函数f (x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f (a)>f (2a) B．f (a2)C．f (a2＋a)D [因为f (x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f (a2＋1)5．已知函数f (x)＝x－在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] 设11.
∵函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f (x1)－f (x2)＝x1－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，
∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，
∴a≥－1．∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数． ( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性． ( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是( )
A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4]
C．[－3，1] D．[－3，4]
[答案] C
3．函数f (x)＝x2＋2x的单调递增区间是________．
[答案] [－1，＋∞)
4．已知函数f ＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，4] [因为函数f ＝2x2－ax＋5的单调递增区间是，
所以[1，＋∞) ，
所以≤1，解得a≤4.]
课时分层作业(十六) 函数的单调性
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
A [因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减；反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上单调递减．故选A.]
2．函数f (x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
B [函数f (x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．]
3．函数f (x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．
C． D．
D [当k＝0时，f (x)＝－2x－5在R上单调递减，不符合题意．当k≠0时，因为函数f (x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，
所以解得k≥，
综上所述，k的取值范围是.]
4．若函数f (x)是R上的减函数，a＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．f (a2)＜f (a) B．f (a)＜f
C．f (a)＜f (2a) D．f (a2)＜f (a－1)
D [函数f (x)是R上的减函数，a＞0.
A选项，a2－a＝a(a－1)，当a＞1时，a2＞a，
所以f (a2)＜f (a)；
当0＜a＜1时，a2＜a，所以f (a2)＞f (a)，即A不一定成立．
B选项，当a＞1时，a＞，所以f (a)＜f ；当0＜a＜1时，a＜，所以f (a)＞f ，即B不一定成立．
C选项，当a＞0时，2a＞a，所以f (a)＞f (2a)，即C不成立．
D选项，a2－(a－1)＝a2－a＋1＝＋＞0，则a2＞a－1，所以f (a2)＜f (a－1)，即D一定成立．故选D.]
5．函数f (x)＝( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(－1，＋∞)上单调递减
C．在(1，＋∞)上单调递增
D．在(1，＋∞)上单调递减
C [因为f (x)＝＝＝1－，画出函数f (x)的图象如图所示．所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，故选C.
]
二、填空题
6．如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f (x)的图象，则函数f (x)的单调递减区间是________，在区间________上单调递增．
[－2，1]，[3，5] [－5，－2]，[1，3] [观察图象可知函数f (x)的单调递增区间为[－5，－2]，[1，3]，单调递减区间为[－2，1]，[3，5].]
7．已知函数f (x)为定义在区间(－1，1)上单调递减，则满足f (x)>f (0)的实数x的取值范围为________．
(－1，0) [由题设得解得－1＜x<0.]
8．已知函数f (x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f (m＋2)(－2，0) [∵f (x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴－＝1，∴a＝－2．如图．
∵f (m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2，0)．]
三、解答题
9．作出函数f (x)＝的图象，并指出函数f (x)的单调区间．
[解] f (x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f (x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞)．
10．设函数f (x)＝(a>b>0)，求f (x)的单调区间，并说明f (x)在其单调区间上的单调性．
[解] 在定义域内任取x1，x2，且使x1则f (x2)－f (x1)＝＝＝.
∵a>b>0，x10.
只有当x1当x1∴y＝f (x)在(－∞，－b)上是单调递减，在(－b，＋∞)上也是单调递减．
∴y＝f (x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．
11．(多选)下列四个函数在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．y＝|x|＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x＋
CD [A.y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上单调递减；B.y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不单调递增也不单调递减；C.y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上单调递增；D.y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上单调递增．故选CD.]
12．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有( )
A．>0
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C．f (a)≤f (x1)D．f (x1)>f (x2)
AB [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f (x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f (x1)－f (x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于C、D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f (x1)与f (x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．]
13．已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
(0，2] [依题意得实数a满足
解得014．设f (x)是定义在R上的增函数，f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (－2)>1的解集为________．
[由条件可得f (x)＋f (－2)＝f (－2x)，又f (3)＝1，
∴不等式f (x)＋f (－2)>1，即为f (－2x)>f (3)．
∵f (x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f (x)＋f (－2)>1的解集为.]
15．已知函数f (x)对任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)－1，且当x>0时，f (x)>1.
(1)求证：f (x)是R上的增函数；
(2)若f ＝f (x)－f (y)，f (2)＝1，解不等式f (x)－f ≤2.
[解] (1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f (x2－x1)>1，
所以f (x2)－f (x1)
＝f [(x2－x1)＋x1]－f (x1)＝f (x2－x1)＋f (x1)－1－f (x1)＝f (x2－x1)－1>0，
所以f (x1)(2)因为f ＝f (x)－f (y)，
所以f (y)＋f ＝f (x)．
在上式中取x＝4，y＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)，
因为f (2)＝1，所以f (4)＝2.
于是不等式f (x)－f ≤2等价于f [x(x－3)]≤f (4)(x≠3)．又由(1)，知f (x)是R上的增函数，
所以解得－1≤x<3或3所以原不等式的解集为[－1，3)∪(3，4].