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4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
第六章 统计
§4 用样本估计总体的数字特征
学习任务 核心素养
1．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点)
2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点) 1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养．
2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养．
必备知识·情境导学探新知
1．分层随机抽样的均值和方差的计算公式是什么？
2．百分位数的概念是什么？如何求解？有何意义？
3．什么是四分位数？
3．百分位数
(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数__________它的可能性是p.
(2)常用的百分位数：
①四分位数：____，____，____，
②其它常用的百分位数：1%，___，10%，____，____，____．
小于或等于
25%
50%
75%
5%
90%
95%
99%
(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：
第一步，按照_________排列原始数据；
第二步，计算i＝np；
第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为_________；若i是整数，则p分位数为第i项与第_______项数据的______．
从小到大
第j项数据
(i＋1)
平均数
[提示] (1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
体验1．下列一组数据的25%分位数是( )
2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6.
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
A [把该组数据按照由小到大排列，可得：
2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6.
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]
√
体验2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为
( )
A．5万元 B．8万元
C．6.5万元 D．7.4万元
√
关键能力·合作探究释疑难
类型1 分层随机抽样的均值与方差
【例1】 工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2．现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．
[跟进训练]
1．在某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值与样本方差．
类型2 百分位数的计算
【例2】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用25%，50%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
(3)由(1)可知样本数据的25%分位数是8.15 g，50%分位数为8.5 g，95%分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
反思领悟 百分位数的计算问题，先理解清楚百分位数的概念，再利用百分位数求解步骤逐步计算即可．
[跟进训练]
2．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
分别求这些运动员成绩的中位数，25%分位数和75%分位数．
[解] 这组数据有17个数，17×25%＝4.25，17×75%＝12.75，
这些运动员成绩的中位数是x9＝1.70，
25%分位数是x5＝1.60，75%分位数是x13＝1.75.
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
类型3 百分位数的综合应用
【例3】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民日用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份月用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(3)根据(2)中求得的数据计算月用电量的75%分位数．
[母题探究]
(变设问)根据本例(2)中求得的数据计算月用电量的15%分位数．
[解] 设15%分位数为x，
因为月用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100×100%＝10%，
月用电量不超过200千瓦时的占30%，
所以15%分位数为x在[100，200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，
解得x＝125千瓦时，即月用电量的15%分位数为125千瓦时．
反思领悟 根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．
[跟进训练]
3．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，
92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和
平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对
“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈你的感想．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数． ( )
(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重． ( )
(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23． ( )
2
4
3
题号
1
5
[提示] (1)正确．
(2)正确．
(3)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.
√
√
×
2．临近学期结束，某中学要对本校高中部一线任课教师进行“评教评学”调査，经调査，高一年级80名一线任课教师好评率为90%，高二年级75名一线任课教师好评率为92%，高三年级80名一线任课教师好评率为95%.依此估计该中学高中部一线任课教师的好评率约为( )
A．92% B．93% C．94% D．95%
√
2
4
3
题号
1
5
3．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，
则这15人成绩的80%分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91 D．91.5
√
2
4
3
题号
1
5
4．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数是________．
2
4
3
题号
1
5
8.4 [因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.]
8.4
2
4
3
题号
1
5．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
5
9.2 4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
学习任务 核心素养
1．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．(难点、重点) 2．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(难点、重点) 1．通过计算分层随机抽样的样本的均值和方差，培养数学运算素养． 2．通过学习分层随机抽样的样本均值和样本方差的意义，培养数据分析素养．
1．分层随机抽样的均值和方差的计算公式是什么？
2．百分位数的概念是什么？如何求解？有何意义？
3．什么是四分位数？
1．分层随机抽样的均值
设样本中不同层的平均数和相应权重分别为，…，和w1，w2, …，wn，则这个样本的平均数为w1＋w2＋…＋wn．为了简化表示，引进求和符号，记作w1＋w2＋…＋wn＝．
2．分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为，…，，方差分别为，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝，中为样本平均数．
3．百分位数
(1)定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)常用的百分位数：
①四分位数：25%，50%，75%，
②其它常用的百分位数：1%，5%，10%，90%，95%，99%．
(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下：
第一步，按照从小到大排列原始数据；
第二步，计算i＝np；
第三步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
(1)甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81分吗？方差是＝3吗？为什么？
(2)“这次数学测试成绩的70%分位数是85分”这句话是什么意思？
[提示] (1)不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的．
(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
1．下列一组数据的25%分位数是( )
2．1, 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
A [把该组数据按照由小到大排列，可得：
2．1, 3.0, 3.2, 3.4, 3.8, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6.
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数．]
2．某单位共有员工100人，其中年轻人有20人，平均年薪为5万元，中年人有80人，平均年薪为8万元，则该单位员工的平均年薪为( )
A．5万元 B．8万元
C．6.5万元 D．7.4万元
D [由题意可知＝×5＋×8＝7.4(万元)．]
类型1 分层随机抽样的均值与方差
【例1】 工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2．现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．
[解] 设抽到甲的一个样本数据为x1，x2，…，x10，乙的一个样本数据为y1，y2，…，y12，
则合在一起后的样本容量为22，
w甲＝，w乙＝，
样本方差为b2＝w甲w乙＝[1＋(5－5.55)2]＋[2＋(6－5.55)2]≈1.79.
求分层随机抽样背景下的样本平均数、方差
设样本中不同分层的平均数、方差和相应权重分别为，…，、…，和w1，w2，…，wn，则样本平均数＝w1＋w2＋…＋wn＝.样本方差s2＝.
[跟进训练]
1．在某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值与样本方差．
[解] 由题意知，甲同学抽取的样本容量m＝10，样本平均值为＝×5＋×6≈5.44．样本方差为w甲[s2＋(5－5.44)2]＋w乙[t2＋(6－5.44)2]＝＋(16＋0.562)≈12.36.
类型2 百分位数的计算
【例2】 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用25%，50%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，
则25%分位数是＝8.15，
75%分位数是＝8.75，
95%分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.
(3)由(1)可知样本数据的25%分位数是8.15 g，50%分位数为8.5 g，95%分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
百分位数的计算问题，先理解清楚百分位数的概念，再利用百分位数求解步骤逐步计算即可．
[跟进训练]
2．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的中位数，25%分位数和75%分位数．
[解] 这组数据有17个数，
17×25%＝4.25，17×75%＝12.75，
这些运动员成绩的中位数是x9＝1.70，
25%分位数是x5＝1.60，75%分位数是x13＝1.75.
类型3 百分位数的综合应用
【例3】 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民日用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份月用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(3)根据(2)中求得的数据计算月用电量的75%分位数．
[解] (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即月用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)设月用电量的75%分位数为m，
因为月用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100×100%＝60%，
月用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300，400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，
解得m＝375千瓦时，即月用电量的75%分位数为375千瓦时．
[母题探究]
(变设问)根据本例(2)中求得的数据计算月用电量的15%分位数．
[解] 设15%分位数为x，
因为月用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100×100%＝10%，
月用电量不超过200千瓦时的占30%，
所以15%分位数为x在[100，200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，
解得x＝125千瓦时，即月用电量的15%分位数为125千瓦时．
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．
[跟进训练]
3．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．
(1)求x；
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
(3)以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“中国梦”的伟大构想的认知程度，并谈谈你的感想．
[解] (1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100.
(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的100人的年龄的50%分位数在[30，35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的100人的年龄的50%分位数为32.
(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，
这10人成绩的平均数为(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.
评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则75%分位数大于25%分位数． ( )
(2)计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重． ( )
(3)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23． ( )
[提示] (1)正确．
(2)正确．
(3)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．临近学期结束，某中学要对本校高中部一线任课教师进行“评教评学”调査，经调査，高一年级80名一线任课教师好评率为90%，高二年级75名一线任课教师好评率为92%，高三年级80名一线任课教师好评率为95%.依此估计该中学高中部一线任课教师的好评率约为( )
A．92% B．93%
C．94% D．95%
A [由题意，知该校高中部共有一线任课教师N＝80＋75＋80＝235(名)，≈，依此估计该中学高中部一线任课教师的好评率约为92%.]
3．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，
则这15人成绩的80%分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91 D．91.5
B [把成绩按从小到大的顺序排列为：
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，
因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80%分位数是＝90.5.]
4．数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数是________．
8.4 [因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.]
5．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．
9.2 [＝×8＋×10＝9.2(万元)．]
课时分层作业(三十七) 分层随机抽样的均值与方差百分位数
一、选择题
1．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
C [因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，故选C.]
2．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80%分位数是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
D [由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：
－3，－2，－1，－1，0，0，1, 2, 2, 2，
因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的80%分位数是＝2.]
3．有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A，B两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为( )
A．18元/千克 B．24元/千克
C．21元/千克 D．22元/千克
D [＝×18＋×24＝22元/千克．]
4．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为( )
A． B．1
C． D．2
B [设两组数据的权重分别为w1，w2，由w1×8＋w2×12＝10，又w1＋w2＝1，可解得w1＝w2＝，所以这两组数据的权重比值为1.]
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 2
乙 30 3
其中＝，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
C [由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为
s2＝＋()2]＋＋()2]
＝[2＋()2]＋[3＋()2]
＝×2＋×3
＝2.6． ]
二、填空题
6．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的四分位数分别为________________．
3，5.5，8 [样本容量为10，＝2.5，故25百分位数是3，＝5，故50百分位数是5.5，＝7.5，故75百分位数是8.]
7．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是__________．
8.6 [由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.]
8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.
200 [由题意可知s2＝w男＋()2]＋w女＋()2]，即w男[502＋(70－60)2]＋(1－w男)[602＋(50－60)2]＝602，解得w男＝，w女＝，因为样本中有20名男员工，则样本中女员工的人数为200.]
三、解答题
9．如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的10%分位数和日最低气温的80%分位数．
[解] 由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24, 24.5, 24.5, 25, 26，26, 27，
因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10%分位数是第1个数据，为24 ℃.
把日最低气温按照从小到大排序，得12, 12, 13, 14, 15, 16, 17，
因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80%分位数是第6个数据，为16 ℃.
10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．
[解] 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为＝＝45，
年龄的方差为＝[3(58－45)2＋5(40－45)2＋2(38－45)2]＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.
11．数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65%分位数是4.5，则实数x的取值范围是( )
A．[4.5，＋∞) B．[4.5，6.6)
C．(4.5，＋∞) D．(4.5，6.6]
A [因为8×65%＝5.2，所以这组数据的65%分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.]
12．一班有学生54人，二班学生人数未知，现用分层随机抽样的方法从一班和二班抽出16人参加数学竞赛，赛后统计得知这16名学生得分的平均数为87，一班学生得分的平均数是80，二班学生得分的平均数是96，则二班的学生人数为( )
A．54 B．42
C．48 D．56
B [由题意，设一班学生在16名学生的权重为w1，则80w1＋96(1－w1)＝87，解得w1＝，则二班学生在16名学生的权重为1－＝，故二班学生的人数为54×＝42.]
13．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3小时，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为＝2.6，＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为＝＝＝3，则高三学生每天读书时间的平均数＝________．
3.3或2.7 [由s2＝可得2.003＝[1＋(2.6－3)2]＋[2＋(3.2－3)2]＋[3＋(－3)2]，解得＝3.3或2.7.]
14．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50，60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.
[解] (1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴×10＝1，
∴a＝0.030.
(2)成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65，
落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65＋×0.025＝0.75，得m＝84，故第75百分位数为84.
(3)由图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20，故＝＝62.
设成绩在[50，60)中10人的分数分别为x1，x2，x3，…，x10；成绩在[60，70)中20人的分数分别为y1，y2，y3，…，y20，则由题意可得－542＝7，
－662＝4，
所以＝＝87 200，
所以s2＝)－
＝－622＝37，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
