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专题01 不等式与不等式性质
考点类型
知识一遍过
（一）不等式及其解集
①不等式：用不等号(包括：>、、、<、≠)表示大小关系的式子。
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
③不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
【注意】
（1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
②不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
③不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
（2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。
（二）不等式的基本性质
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac考点一遍过
考点1：不等式的相关概念
典例1：（2023上·浙江·八年级专题练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键，“由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式”．
【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4个．
故选：C．
【变式1】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）若□是不等式，则符号“□”不能是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式．
【详解】解：∵都是不等式，
∴选项B，C，D都不符合题意；
∵不是不等式，
∴选项A符合题意．
故选：A．
【变式2】（2023上·浙江·七年级统考阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式，
∴共个不等式．
故选：．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
【变式3】（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）下列式子：；；；；．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：不等式有；；，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键．
考点2：列不等式
典例2：（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式题，关键是理解“大于”用数学符号表示应为“>”．表示出x的2倍与 y的差，表示为，后用“> "与3连接即可．
【详解】解∶ “x的2倍与y的差大于3”可表示为．
故答案为∶ ．
【变式1】（2022下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）疫情期间全国“停课不停学”初中生郑兴同学网上听课每节课a分钟，每天六节课，每天上网课总时长小于240分钟，可列不等式 ．
【答案】6a<240
【分析】根据每天上网课总时长小于240分钟，用“<”连接即可．
【详解】解：由题意得
6a<2
故答案为：6a<2
【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别．
【变式2】（2022上·浙江嘉兴·八年级统考期末）根据数量关系“x的3倍小于4”，列不等式为 ．
【答案】
【分析】根据题意，表示出x的3倍，即可求解．
【详解】解：“x的3倍小于4”，可表示为
故答案为：
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
【变式3】（2022下·河南平顶山·八年级校考阶段练习）根据“a的3倍与2的差小于0”列出的不等式是： ．
【答案】3a﹣2＜0
【分析】关键描述语是：差小于0，应先算a的3倍，再算差．
【详解】根据题意，得3a﹣2＜
故答案为：3a﹣2＜
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
考点3：实际问题中的不等关系
典例3：（2023下·全国·八年级假期作业）某高钙牛奶的包装盒上注明“每内含钙量”，它的含义是指（ ）
A．每内含钙量为 B．每内含钙量不低于
C．每内含钙量高于 D．每内含钙量不超过
【答案】B
【解析】略
【变式1】（2022下·山西·八年级统考期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为m，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的意义即可解答．
【详解】解：设车的高度为m ，则“限高2m”的意义为x≤
故答案为C．
【点睛】本题考查了不等式的实际意义，掌握不等式在实际生活中的意义是解答本题的关键．
【变式2】（2022下·河南许昌·七年级统考期末）我市某一天的最高气温是，最低气温是零下，则当天我市气温变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的定义即可得．
【详解】最高气温是表示的是气温小于或等于，
最低气温是零下表示的是气温大于或等于，
则当天我市气温变化范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，掌握列不等式的方法是解题关键．
【变式3】（2022下·陕西商洛·七年级校考阶段练习）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.5℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.5℃”用不等式表示为（ ）
A．T＞37.5℃ B．T＜37.5℃ C．T≤37.5℃ D．T≥37.5℃
【答案】A
【分析】超过即大于，用不等式表示出来即可．
【详解】解：A、表示超过，选项符合题意；
B、表示低于，选项不符合题意；
C、表示不高于，选项不符合题意；
D、表示不低于，选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的定义，根据定义解题是关键．
考点4：不等式的解与解集
典例4：（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】A
【解析】略
【变式1】（2022下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
【变式2】（2022下·江西吉安·八年级校联考期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
【详解】解：
6x+15>8x+6
6x-8x>6-15
-2x>-9
x<4.5
因此答案选择B.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
【变式3】（2022下·安徽亳州·七年级统考阶段练习）下列解集中，包括2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式表示的解集范围进行判断即可．
【详解】解：A．表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意；
B．表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意；
C．表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意；
D．表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式解集的定义．
考点5：不等式解集的表示方法
典例5：（2023上·浙江温州·八年级统考期中）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，根据，则用数轴表示不等式的解集，即可作答．
【详解】解：因为
所以不等式在数轴上表示为：
故选：A
【变式1】（2023下·七年级课时练习）用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】略
【变式2】（2023下·广东茂名·八年级校联考阶段练习）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】在数轴上表示不等式的解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，即可判断得出答案．
【详解】解： 不等式在数轴上表示为：
故答案为：．
【点睛】根据数轴上表示不等式的解集的方法，掌握其方法，图形结合分析是解题的关键．
【变式3】（2023下·福建宁德·八年级统考期中）已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在数轴上找不等式的解集可直接得出结论．
【详解】这个不等式可以是：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据数轴得到不等式的解集是解答此题的关键．
考点6：不等式性质1的应用
典例6：（2023下·七年级课时练习）根据不等式的基本性质填空：
（1）已知，则 ；
（2）若，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】略
【变式1】（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）若，则 （填“＜”或“＞”）
【答案】
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵
∴
故答案是：．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式性质1是解题的关键．
【变式2】（2023下·广东河源·八年级统考期末）根据不等式的基本性质填空：已知，则 ．
【答案】＞
【分析】根据不等式的性质可知，即不等式两边都加或都减同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，可以得出答案．
【详解】 ，
不等式两边同时减去1，不等号方向不变，
即．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是本题的关键，本题是一道基础题．
【变式3】（2022上·八年级课时练习）选择适当的不等号填空：
（1）∵0 1，
∴a （不等式的基本性质1）．
（2）∵ 0，
∴ （不等式的基本性质1）．
【答案】
【分析】（1）根据不等式的基本性质1解答即可；
（2）根据不等式的基本性质1解答即可．
【详解】解：（1）∵，
∴（不等式的基本性质1）．
（2）∵，
∴（不等式的基本性质1）．
故答案为：；；；
【点睛】本题考查不等式的基本性质1，解题的关键是理解不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
考点7：不等式性质2、3的应用
典例7：（2022下·云南楚雄·八年级统考期末）如果，那么 填“>”、“<”或“=”
【答案】
【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；由依次运算即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意两边乘以同一个负数要改变不等号的方向．
【变式1】（2022下·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）如果，那么 ．（横线上填“>”或者“<”）
【答案】<
【分析】根据不等式性质判断即可：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘（或除）同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：<．
【点睛】本题考查不等式性质，熟记概念是关键．
【变式2】（2022下·上海·六年级校考期中）如果，则 （填“”或“”或“”）．
【答案】
【分析】不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．
【变式3】（2023下·七年级课时练习）设，c为常数，给出下列不等式：①；②；③；④．其中正确的有 个．
【答案】2
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【详解】解：①，．故①正确；
②若时，．故②错误；
③， ．故③正确；
④，，则，即．故④错误．
综上所述，正确的不等式是①③，共2个．
故答案为：
【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
考点8：不等式的解与方程的解
典例8：（2022下·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）不等式的最大整数解是方程的解，则 ．
【答案】
【分析】求出不等式的解集为，可得最大整数解，代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
则其最大整数解为，将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
【变式1】（2022下·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）已知是关于的方程的解，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】将x=4代入方程，求出b=-4k＞0，求出k＜0，把b=-4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵x=4是关于x的方程kx+b=0（k≠0，b＞0）的解，
∴4k+b=0， 即b=-4k＞0，
∴k＜0，
∵k（x-3）+b＞0，
∴kx-3k-4k＞0，
∴kx＞7k，
∴x＜7，
故答案为：x＜
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b=-4k和k＜0是解此题的关键．
【变式2】（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知是关于x的方程（m≠0，n＞0）的解， 则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】．
【分析】先根据是关于x的方程的解，可得： ，从而得到 ，然后可得到不等式，即可解答
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，即 ，
∵n＞0，
∴ ，
∴关于x的不等式可化为： ，
∵ ，
∴不等式两边同时除以 ，得：，
解得： ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，不等式的性质，解一元一次不等式，根据题意，得到 ， 之间的关系是解题的关键．
【变式3】（2023下·湖北荆州·七年级统考期末）已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】先把代入得，则不等式化为，然后在的情况下解不等式即可．
【详解】解：把代入得，则，
∴，
∴化为，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程与一元一次不等式，求出是解决本题的关键，有一定难度，注意细心解答．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）若，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式的基本性质：不等式两边同时加或减去同一个数字（或式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质进行分析判断即可．
【详解】解：A. 不等式的两边同时减去3，不等号方向不变，即，该选项成立，符合题意；
B. 不等式的两边同时加上3，不等号方向不变，即，该选项不成立，不符合题意；
C. 不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，该选项不成立，不符合题意；
D. 不等式的两边同时乘以，不等号方向不变，即，该选项不成立，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．
2．（2022下·四川雅安·八年级统考期末）都是实数，且．则下列不等式的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以-1，不等号的方向改变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如果，那么一定有，“□”中应填的符号是（）
A．< B．> C．= D．≥
【答案】A
【分析】根据不等式的性质即可得．
【详解】解：∵，
∴ (不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变)，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
4．（2023下·河北邯郸·七年级统考期末）已知，下列变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可得出结论．
【详解】解：A．∵，
∴，故该选项不符合题意；
B．，
∴，不能推出，故该选项不符合题意；
C．当时，由可推出，该选项不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质．不等式性质一：不等式两边同时加上可减去同一个数或整式，不等号不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．
5．（2022下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）下列变形中不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：，
，
选项不符合题意；
，
，
，
选项不符合题意；
，
，
选项不符合题意；
，
，
选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知a、b、c三点在数轴上的位置，如图所示，则下列式子：①a+b＞c+b；②﹣ac＜﹣bc；③ab＜bc；④﹣b+a＜﹣b+c．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，再利用不等式的性质来进行逐一判断．
【详解】解：∵a＞c，
∴a+b＞c+b，故①正确；
∵a＜b，﹣c＞0，
∴﹣ac＜﹣bc，故②正确；
∵a＞c，b＞0，
∴ab＞bc，故③错误；
∵a＞c，
∴﹣b+a＞﹣b+c，故④错误；
综上，正确的个数是2个；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质并进行变形对比．
7．（2022下·山东聊城·八年级统考期中）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若则 B．若，则
C．若则 D．若且则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：当时，若，则，故A错误；
若，则，故B正确；
当时，，故C错误；
若，则，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．
8．（2022下·山西太原·八年级统考期中）在不等式的两边同时除以-6，得到的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质3判断即可．
【详解】∵-6是负数，
∴不等式的两边同时除以-6，得到的不等式为，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质，灵活选择选择是解题的关键．
9．（2022上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，大小一定在0至1之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得a<-1或a<-2，由此可以判断每个选项是正确还是错误．
【详解】解：由绝对值的意义及已知条件可知|a|>1，∴A错误；
∵a<-1，∴a+1<0，∴B错误；
∵a<-2有可能成立，此时|a|>2，|a|-1>1，∴C错误；
由a<-1可知-a>1，因此，∴D正确．
故选D．
【点睛】本题考查有理数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的表示、绝对值、倒数及不等式的性质是解题关键．
10．（2022下·福建泉州·七年级校联考期中）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】符号表示不大于的最大整数，即为小于等于a的最大整数.
【详解】因为为小于等于a的最大整数，所以，
若＝－6，则的取值范围是，
故选B.
【点睛】本题考查了对不等关系的理解，解题的关键是理解符号的本质是小于或等于a的最大整数.
二、填空题
11．（2022上·浙江金华·八年级统考期末）用不等式表示：的3倍与1的和大于8； ．
【答案】.
【分析】关系式为：y的3倍，把相关数值代入即可.
【详解】解：根据题意，可列不等式：，
故答案为：.
【点睛】考查列一元一次不等式，根据关键词得到相应的关系式是解决本题的关键.
12．（2022上·四川绵阳·八年级开学考试）已知为任意有理数,则
【答案】>
【分析】根据m>n，先两边同乘-5，判断出-5m<-5n；再两边加上3a，判断出3a-5m<3a-5n；最后两边同乘以-1，判断出-(3a-5m)>-(3a-5n)，即可得出答案.
【详解】∵m>n
∴-5m<-5n
∴3a-5m<3a-5n
∴-(3a-5m)>-(3a-5n)
故答案为>
【点睛】本题是一道判断代数式大小的题目，考虑运用不等式的性质进行求解.
13．（2022下·甘肃武威·七年级阶段练习）若，则比较大小： ．
【答案】＞
【详解】【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变.
【详解】因为，3<7,,
所以，>．
故答案为>
【点睛】本题考核知识点：不等式性质.解题关键点：熟记不等式性质3.
14．（2023下·广东广州·七年级统考期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ．
【答案】/
【分析】根据材料，理解题意，按要求计算即可得到答案．
【详解】解： ，即，
，即，
，
规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照要求计算是解决问题的关键．
15．（2022下·八年级课时练习）k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是 ．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
【答案】﹣1＜k≤3
【详解】根据不大于意思是小于或等于以及大于的意思列出不等式得：
-1＜k≤3．
故答案是：-1＜k≤3．
【点睛】此题考查了不等式的定义，解题时要读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
16．（2022下·七年级统考课时练习）用“”或“”填空：
（1）如果，，那么a b；
（2）如果，，那么a b；
（3）如果，，那么a b；
（4）当，b 0时，或者，b 0时，有．
【答案】
【分析】（1）根据不等式的性质2进行分析；
（2）根据不等式的性质2进行分析；
（3）根据不等式的性质3进行分析；
（4）根据不等式的性质2和3进行分析；
【详解】解：（1）因为，，在不等式两边同时乘以b，不等号方向不变，
得a＞b，
故答案是：＞；
（2）因为，，在不等式两边同时乘以b，不等号方向不变，
得a＜b，
故答案是：＜；
（3）因为，，在不等式两边同时乘以b，不等号方向改变，
得a＞b，
故答案是：＞；
（4）当，b＞0时，a＞0，
在不等式b＞0两边同时乘以a，不等式方向不变，即；
当，b＜0时，
在不等式b＜0两边同时乘以a，不等式方向改变，即．
故答案是：＞；＜.
【点睛】本题考查了不等式的性质2和3：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
要特别注意性质（3），很容易出错.
三、解答题
17．（2022上·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（2）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（3）根据不等量关系，直接列出不等式即可；
（4）根据不等量关系，直接列出不等式即可．
【详解】（1）解 ：；
（2）解 ：；
（3）解 ：；
（4）解：．
【点睛】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
18．（2023下·全国·八年级假期作业）说出下列不等式的变形依据．
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则．
【答案】(1)根据不等式的性质，不等式的两边同时减去
(2)根据不等式的性质，不等式的两边同时除以
(3)不等式的性质，不等式的两边同除以
【分析】（1）根据不等式的性质变形；
（2）根据不等式的性质变形；
（3）不等式的性质变形．
【详解】（1）解：根据不等式的性质，不等式的两边同时减去．
（2）解：根据不等式的性质，不等式的两边同时除以．
（3）解：不等式的性质，不等式的两边同除以．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
19．（2023下·全国·八年级专题练习）已知x＜y，比较下列各对数的大小．
（1）8x-3和8y-3；
（2）和；
（3） x-2和y-1．
【答案】（1）8x-3＜8y-3；（2）；（3）x-2＜y-1
【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以一个正数，不等号不变号，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，即可得；
（2）根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以一个负数，不等号变号，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，即可得；
（3）根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变，即可得．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，而，
∴ ．
【点睛】题目主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的各个性质是解题关键．
20．（2022下·八年级统考课时练习）（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小．
________；________；________；________；________，……
由以上结果可以猜想与的大小关系是________．
（2）根据以上猜想，你能判断与的大小吗？
【答案】（1）< ， < ， >，> ，>，当时，当时，；（2）
【分析】（1）先分别计算出各数的结果，比较出大小，再总结规律即可；
（2）根据猜想可直接得出答案.
【详解】解：（1），，，，，…，
由以上结果可以猜想：当时，；当时，；
（2），
．
【点睛】此题属规律性题目，解答此类题目的关键是根据题中所给的条件找出规律，再根据此规律进行解答．
21．（2023下·全国·七年级专题练习）阅读下列文字，并解决问题：
不等式的性质与等式的性质有类似之处，也有不同之处：不等式的两边都乘（或除以）同一个数时，要关注所乘（或除以）的数是正数还是负数．若该数的符号不能确定，则需分类讨论．如，将关于的不等式化成“” 或“”的形式．
解：因为，所以有和两种可能．
当时，不等式的两边都除以正数，不等号的方向不变，得，即；
当时，不等式的两边都除以负数，不等号的方向改变，得，即．
请用类似的方法将关于的不等式化成“”或“”的形式．
【答案】当时，；当时，
【分析】根据不等式的性质解答即可．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵，
∴，
①当时，；
②当时，．
【点睛】本题主要考查不等式的性质和等式的性质，需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
22．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知都是实数，若．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用，消去，得到，然后利用不等式的性质变形即可求解．
【详解】证明：
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
23．（2022下·河南濮阳·八年级校联考期末）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则上面的规律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： _______；填“”，“”或“”
(2)已知，且，若，，试比较和的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小；
运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可．
【详解】（1）
，
，
，
（2），
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据．
24．（2022下·七年级统考课时练习）阅读下面题目的解法，判断是否正确，如果有错误，请改正过来．
已知，比较与的大小，并说明理由．
解：．理由如下：
，，．
【答案】解法错误．正确的解法：．理由见解析.
【分析】先在不等式的两边同时乘以-2，不等式方向改变；然后在不等式的两边同时加上3，不等式方向不变，即可解答.
【详解】解：解法错误．正确的结论是.
正确的解法如下：
，
在不等式的两边同时乘以-2，不等式方向改变，
，
在不等式的两边同时加上3，不等式方向不变，
．
【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，特别要注意性质3，很容易出错.不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．灵活运用不等式的性质进行变形是关键.
25．（2022下·江苏南通·七年级统考阶段练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
【答案】(1)＞
(2)
【分析】（1）两数作差，利用题中给的规律进行判断即可；
（2）根据题设得到，再将两式子作差求解即可作出判断．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴＞＋，
故答案为：＞；
（2）解：由题意可知：
，
，
，
，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了不等式的性质，整式的加减和实数的大小比较，本题主要是理解不等式的性质，其中（1）中判断出是关键；（2）中判断出是关键．
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专题01 不等式与不等式性质
考点类型
知识一遍过
（一）不等式及其解集
①不等式：用不等号(包括：>、、、<、≠)表示大小关系的式子。
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
③不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
不等式表示
数轴表示
【注意】
（1）不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
②不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
③不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
（2）用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点。
（二）不等式的基本性质
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac考点一遍过
考点1：不等式的相关概念
典例1：（2023上·浙江·八年级专题练习）在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）若□是不等式，则符号“□”不能是( )
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·浙江·七年级统考阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】（2023下·安徽宿州·八年级校考期中）下列式子：；；；；．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点2：列不等式
典例2：（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ．
【变式1】（2022下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）疫情期间全国“停课不停学”初中生郑兴同学网上听课每节课a分钟，每天六节课，每天上网课总时长小于240分钟，可列不等式 ．
【变式2】（2022上·浙江嘉兴·八年级统考期末）根据数量关系“x的3倍小于4”，列不等式为 ．
【变式3】（2022下·河南平顶山·八年级校考阶段练习）根据“a的3倍与2的差小于0”列出的不等式是： ．
考点3：实际问题中的不等关系
典例3：（2023下·全国·八年级假期作业）某高钙牛奶的包装盒上注明“每内含钙量”，它的含义是指（ ）
A．每内含钙量为 B．每内含钙量不低于
C．每内含钙量高于 D．每内含钙量不超过
【变式1】（2022下·山西·八年级统考期中）李明乘车驶入地下车库时，发现车库入口处有几个标志码（如图1），其中第一个标志（如图2）表示“限高2m”．若设车的高度为m，则以下几个不等式中对此标志解释准确的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·河南许昌·七年级统考期末）我市某一天的最高气温是，最低气温是零下，则当天我市气温变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022下·陕西商洛·七年级校考阶段练习）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.5℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.5℃”用不等式表示为（ ）
A．T＞37.5℃ B．T＜37.5℃ C．T≤37.5℃ D．T≥37.5℃
考点4：不等式的解与解集
典例4：（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【变式1】（2022下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【变式2】（2022下·江西吉安·八年级校联考期末）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022下·安徽亳州·七年级统考阶段练习）下列解集中，包括2的是（ ）
A． B． C． D．
考点5：不等式解集的表示方法
典例5：（2023上·浙江温州·八年级统考期中）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·广东茂名·八年级校联考阶段练习）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023下·福建宁德·八年级统考期中）已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考点6：不等式性质1的应用
典例6：（2023下·七年级课时练习）根据不等式的基本性质填空：
（1）已知，则 ；
（2）若，则 ．（填“”“”或“”）
【变式1】（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）若，则 （填“＜”或“＞”）
【变式2】（2023下·广东河源·八年级统考期末）根据不等式的基本性质填空：已知，则 ．
【变式3】（2022上·八年级课时练习）选择适当的不等号填空：
（1）∵0 1，
∴a （不等式的基本性质1）．
（2）∵ 0，
∴ （不等式的基本性质1）．
考点7：不等式性质2、3的应用
典例7：（2022下·云南楚雄·八年级统考期末）如果，那么 填“>”、“<”或“=”
【变式1】（2022下·上海长宁·六年级上海市延安初级中学校考期中）如果，那么 ．（横线上填“>”或者“<”）
【变式2】（2022下·上海·六年级校考期中）如果，则 （填“”或“”或“”）．
【变式3】（2023下·七年级课时练习）设，c为常数，给出下列不等式：①；②；③；④．其中正确的有 个．
考点8：不等式的解与方程的解
典例8：（2022下·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）不等式的最大整数解是方程的解，则 ．
【变式1】（2022下·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期中）已知是关于的方程的解，则关于x的不等式的解集是 ．
【变式2】（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知是关于x的方程（m≠0，n＞0）的解， 则关于x的不等式的解集是 ．
【变式3】（2023下·湖北荆州·七年级统考期末）已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是 ．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）若，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·四川雅安·八年级统考期末）都是实数，且．则下列不等式的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如果，那么一定有，“□”中应填的符号是（）
A．< B．> C．= D．≥
4．（2023下·河北邯郸·七年级统考期末）已知，下列变形一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）下列变形中不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
6．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知a、b、c三点在数轴上的位置，如图所示，则下列式子：①a+b＞c+b；②﹣ac＜﹣bc；③ab＜bc；④﹣b+a＜﹣b+c．其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2022下·山东聊城·八年级统考期中）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若则 B．若，则
C．若则 D．若且则
8．（2022下·山西太原·八年级统考期中）在不等式的两边同时除以-6，得到的不等式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022上·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，大小一定在0至1之间的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022下·福建泉州·七年级校联考期中）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022上·浙江金华·八年级统考期末）用不等式表示：的3倍与1的和大于8； ．
12．（2022上·四川绵阳·八年级开学考试）已知为任意有理数,则
13．（2022下·甘肃武威·七年级阶段练习）若，则比较大小： ．
14．（2023下·广东广州·七年级统考期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ．
15．（2022下·八年级课时练习）k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是 ．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
16．（2022下·七年级统考课时练习）用“”或“”填空：
（1）如果，，那么a b；
（2）如果，，那么a b；
（3）如果，，那么a b；
（4）当，b 0时，或者，b 0时，有．
三、解答题
17．（2022上·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
18．（2023下·全国·八年级假期作业）说出下列不等式的变形依据．
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则．
19．（2023下·全国·八年级专题练习）已知x＜y，比较下列各对数的大小．
（1）8x-3和8y-3；
（2）和；
（3） x-2和y-1．
20．（2022下·八年级统考课时练习）（1）通过计算比较下列各组数中两个数的大小．
________；________；________；________；________，……
由以上结果可以猜想与的大小关系是________．
（2）根据以上猜想，你能判断与的大小吗？
21．（2023下·全国·七年级专题练习）阅读下列文字，并解决问题：
不等式的性质与等式的性质有类似之处，也有不同之处：不等式的两边都乘（或除以）同一个数时，要关注所乘（或除以）的数是正数还是负数．若该数的符号不能确定，则需分类讨论．如，将关于的不等式化成“” 或“”的形式．
解：因为，所以有和两种可能．
当时，不等式的两边都除以正数，不等号的方向不变，得，即；
当时，不等式的两边都除以负数，不等号的方向改变，得，即．
请用类似的方法将关于的不等式化成“”或“”的形式．
22．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知都是实数，若．求证：．
23．（2022下·河南濮阳·八年级校联考期末）阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则上面的规律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： _______；填“”，“”或“”
(2)已知，且，若，，试比较和的大小．
24．（2022下·七年级统考课时练习）阅读下面题目的解法，判断是否正确，如果有错误，请改正过来．
已知，比较与的大小，并说明理由．
解：．理由如下：
，，．
25．（2022下·江苏南通·七年级统考阶段练习）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则，上面的规律，反过来也成立．课上，通过老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：
(1)比较大小： ___________＋； （填“＜”，“=”或“>"）
(2)已知，且，若，， 试比较A和B的大小.
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