中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 一元一次不等式
考点类型
知识一遍过
（一）一元一次不等式概念
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
（二）解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
（三）解方程与解不等式的区别
一元一次方程 一元一次不等式
解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解
考点一遍过
考点1：一元一次不等式的概念
典例1：（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（2023下·上海宝山·六年级统考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元一次不等式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
考点2：解一元一次不等式
典例2：（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2】（2023下·北京东城·七年级北京市文汇中学校考期末）解不等式，并求出它的正整数解．
【变式3】（2023上·浙江湖州·八年级长兴县古城中学校联考阶段练习）已知关于的方程组，若此方程组的解满足，求的取值范围．
考点3：方程组与不等式综合
典例3：（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）若关于x、y的方程组有整数解，且关于z的一元一次不等式有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【变式1】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围为 ．
【变式2】（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于、的方程组的解、满足，那么的取值范围是 ．
【变式3】（2023下·江西吉安·八年级校联考期中）已知关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ．
考点4：不等式的整数解问题
典例4：（2023下·七年级课时练习）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数.
(1)的取值范围是______；
(2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为？
【变式1】（2023下·河北石家庄·九年级校考开学考试）整式的值为M．
(1)当时，求M的值；
(2)若M的取值范围如图所示，求x的最大整数值．
【变式2】（2023下·吉林长春·七年级校联考期中）已知关于x、y的二元一次方程组
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)若方程组的解满足，求满足条件的整数的最小值．
【变式3】（2023下·吉林长春·七年级校联考期中）已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求的值．
【变式4】（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若方程组的解满足，求满足条件的正整数m的值．
考点5：一元一次不等式解集应用
典例5：（2022下·广东汕头·七年级统考期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【变式1】（2022·江苏南通·统考二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2022下·八年级统考课时练习）若，，则的最大值是（ ）
A．21 B．2 C．12 D．126
【变式3】（2022下·山东德州·七年级统考期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点6：不等式与几何综合
典例6：（2023上·河南许昌·八年级统考期中）一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022下·河北石家庄·七年级统考期末）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2】（2023上·河北保定·八年级统考期末）如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·湖南益阳·八年级校联考期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点7：含绝对值不等式的问题
典例7：（2022上·广东梅州·九年级校考开学考试）不等式的解集是 ．
【变式1】（2022下·浙江·七年级期中）能够使不等式成立的x的取值范围 ．
【变式2】（2022下·浙江宁波·七年级校考期末）已知不等式的解是，则a＝ ．
【变式3】（2022上·黑龙江大庆·九年级统考期末）当x 时，|x﹣2|＝2﹣x．
考点8：一元一次不等式的应用——销售问题
典例8：（2023下·河北保定·八年级统考期末）电动平衡车运动灵活，转向稳定，纯电力驱动，零排放，环保无污染，是新型的短途出行工具．某网络销售平台销售A，B两种纯电动平衡车共60台，两种平衡车的进价和售价如下表．
进价 售价
A型 1400 2000
B型 2100 2400
设该网络平台购进A型平衡车x台，这60台平衡车可获总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若A型平衡车的购进数量不超过B型平衡车购进数量的3倍，应如何安排进货，才能使售完这批平衡车后获利最大，并求出最大利润．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）双十一购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A B
进价（万元/套）
售价（万元/套） 2
A产品按原售价打8折出售，B产品按原售价打折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍，若使得促销获利不少于万元，则B产品至少购进几件？
【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌、两款羽绒服来销售，若购买3件，4件，需支付2400元，若购买2件，2件，则需支付1400元．
(1)求、两款羽绒服在网上的售价分别是多少元
(2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）应用题：哈尔滨经纬手机卖场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示，手机卖场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部售出后可获利润共万元．
甲 乙
进价（元/部） 4000 2500
售价（元/部） 4300 3000
(1)经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
(2)通过市场调研，手机卖场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，天耀手机卖场怎样进货，才能在手机全部售出后获得最大的利润？并求出最大利润．
考点9：一元一次不等式的应用——分配问题
典例9：（2022上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）近期各校都在开展艺术节活动，使得演出服需求量大增．
(1)一套演出服由一件外套和两个道具构成，工人师傅每人每天平均生产外套12件或道具18个．车间临时派7个工人师傅赶工，为了使每天的产品刚好配套．应该分配多少工人生产外套，多少工人生产道具？
(2)704班需要演出服16套，如果租赁这批演出服小时（为正整数），有两种付费方式：方式一：当时，每套演出服收取租金50元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时30元收费；方式二：当时，每套演出服收取租金60元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时20元收费．
请你帮704班谋划一下，如果根据租赁时间选择省钱的租赁方式？
【变式1】（2022下·陕西商洛·七年级统考期末）自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年3月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数），下表是甲，乙两位职工今年4月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（件） 120 160
月工资 6000 6400
(1)求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
(2)若职工丙今年5月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
【变式2】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治，现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得；
②小华同学：设整治任务完成后，m表示____，n表示___；
则可列方程组为，请你补全小明、小华两位同学的解题思路；
(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程；
(3)若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？
【变式3】（2022上·安徽滁州·八年级校考期中）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表：
A型利润 B型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W(元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·陕西汉中·八年级统考期中）已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）不等式的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·七年级单元测试）如果是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·广西梧州·七年级统考期末）把不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023下·七年级课时练习）下列不等式中是一元一次不等式的是( )．
A．2(1＋y)＋y＞4y＋2 B．x2－2≥1
C． D．x＋10
6．（2023·江苏宿迁·宿豫中学校考二模）已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞4，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜4 C．m＞5 D．m＞6
7．（2023下·海南海口·七年级校考阶段练习）某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2 天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路（ ）
A．0.6 km B．0.8 km C．0.9 km D．1 km
8．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）等腰三角形的周长为16cm且三边均为整数，底边可能的取值有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023下·山西晋中·八年级统考期中）亮亮准备用自己今年的零花钱买一台价值300元的英语学习机.现在他已存有45元,如果从现在起每月节省30元,设x个月后他存够了所需钱数,则x应满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题
11．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期末）若，且，则的取值范围为 ．
12．（2023下·山西长治·七年级长治市第六中学校校考期末）已知是等腰三角形，它的底边长为，则它的腰长的取值范围是 ．
13．（2023上·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考阶段练习）如果将长度为7、和15的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 ．
14．（2023下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）不等式5x﹣1＞2x+5的解集为 ．
15．（2023·内蒙古通辽·七年级校联考期末）某超市为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购 件．
16．（2023·全国·七年级假期作业）若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为 ．
三、解答题
17．（2023下·四川泸州·七年级统考期末）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
18．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）解下列不等式，并把他们的解表示在数轴上．
（1）4x-3≤5(x-1)
（2）＋1＞x
19．（2023下·江苏·七年级阶段练习）（1）解方程组（用加减消元法）：’
（2）解不等式组,并将它们的解集在数轴上表示出来.
20．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）“五月杨梅已满林，初疑一颗值千金．”每年公历月是人们品味杨梅鲜酸的美好季节，某水果店经销甲乙两地杨梅，两次购进杨梅的情况如下表所示：
进货批次 甲地杨梅质量 （单位：千克） 乙地杨梅质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元）
第一次
第二次
(1)求甲乙两地的杨梅进价；
(2)销售完前两次购进的杨梅后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲乙两地杨梅共千克，且投入的资金不超过元．将其中的千克甲地杨梅和千克乙地杨梅按进价品尝销售，剩余的甲地杨梅以每千克元、乙地杨梅以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克杨梅全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．
21．（2023下·七年级课时练习）已知：．
（1）当时，求的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
22．（2023下·江苏盐城·七年级阶段练习）关于x，y的方程组 的解满足x+y＞．
（1）求k的取值范围；
（2）化简|5k+1|﹣|4﹣5k|．
23．（2023上·浙江·七年级期末）野生动物园出售的一次性使用门票，每张180元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年卡”的售票活动（从购买日起，可供持有者使用一年）．年卡分两类：
类年卡每张1800元，持卡者每次进入公园无需再购买门票；
类年卡每张900元，持卡者进入公园时需再购买每次80元的门票．
（1）某游客中一年进入该公园共有次，如果不购买年票，则一年的费用为_______元；
如果购买类年票，则一年的费用为_________元：如果购买类年票，则一年的费用为_____元；（用含的代数式表示）
（2）假如某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由．
（3）某游客一年中进入该公园次，他选择购买哪一类年卡合算？请你帮助他决策，并说明你的理由．
24．（2023·湖南邵阳·校联考二模）为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购买8件A种纪念品，3件B种纪念品，需要950元；；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店购买A种纪念品的数量比B种纪念品的2倍少10件，且购买B种纪念品不少于34件，考虑市场需求和资金周转，计划投入资金不超过8000元，那么该商店有多少种进货方案？
25．（2023下·山东潍坊·八年级统考期中）某超市销售每台进价分别为180元和165元的甲、乙两种型号的小型电器，下表是近两周的销售情况．
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 2台 3台 1440元
第二周 4台 5台 2600元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求甲、乙两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7100元的金额再采购这两种型号的电器共40台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台电器能否实现利润超过4750元的目标？若能，有哪几种采购方案？请通过计算说明；若不能，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 一元一次不等式
考点类型
知识一遍过
（一）一元一次不等式概念
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
（二）解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
（三）解方程与解不等式的区别
一元一次方程 一元一次不等式
解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解
考点一遍过
考点1：一元一次不等式的概念
典例1：（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．
【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
③是一元一次不等式，符合题意；
④不是不等式，不符合题意；
⑤是一元一次不等式，符合题意；
∴一元一次不等式一共有2个，
故选：A．
【变式1】（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义进行判断即可得到答案．此题考查了一元一次不等式，不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，这样的不等式叫做一元一次不等式．熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有③；⑤．共2个，
故选：A
【变式2】（2023下·上海宝山·六年级统考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：（1），是一元一次不等式；
（2），含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3），是一元一次不等式；
（4），未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
一元一次不等式共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．
【变式3】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元一次不等式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义进行逐一判断即可：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：①，不含有未知数，不是一元一次不等式；
②是一元一次不等式；
③，未知数的次数不是1，不是一元一次不等式；
④是一元一次不等式；
⑤不是整式，不是一元一次不等式；
⑥，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
∴一元一次不等式一共有2个，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知定义是解本题的关键．
考点2：解一元一次不等式
典例2：（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)．
(2)．
【详解】（1）去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）去分母，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）解不等式，并将其解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）去括号，得．移项，得．
合并同类项，得．其解集在数轴上表示为
（2）去分母，得．去括号，得．
移项，得．合并同类项，得．
系数化为1，得．其解集在数轴上表示为
（3）去括号，得．移项及合并同类项，得．
系数化为1，得．其解集在数轴上表示为
【变式2】（2023下·北京东城·七年级北京市文汇中学校考期末）解不等式，并求出它的正整数解．
【答案】，不等式的正整数解是，，
【分析】先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1，写出不等式的正整数解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
两边都除以 ，得：，
因为小于或等于 的正整数有 ，，，
所以不等式的正整数解是 ，，．
【点睛】本题主要考查了解不等式，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算．
【变式3】（2023上·浙江湖州·八年级长兴县古城中学校联考阶段练习）已知关于的方程组，若此方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先求出，再根据即可求出．
【详解】解：，
①+②得，，
，
，
，
．
考点3：方程组与不等式综合
典例3：（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）若关于x、y的方程组有整数解，且关于z的一元一次不等式有负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，先解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求得a的值，再根据一元一次不等式的解的情况得到a的取值范围，然后取公共a值即可．解答关键是正确求得a的取值范围进而求得a值．
【详解】解：解方程组，
得：，则，
将代入②中，得，则，
∴方程组的解为，
∵该方程组有整数解，
∴为或，
当即，符合题意；
当即，符合题意；
当即，符合题意；
当即，符合题意；
∵关于z的一元一次不等式即有负整数解，
∴，则，
综上，或，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
【变式1】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】把看做已知数表示出方程组的解，再代入已知不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
，
，
解得：，
a的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题关键．
【变式2】（2023下·福建泉州·七年级校考期中）关于、的方程组的解、满足，那么的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】先根据，得，再结合已知条件可得，解不等式即可．
【详解】，
，得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
【变式3】（2023下·江西吉安·八年级校联考期中）已知关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】运用等式的基本性质，，得，求解得答案．
【详解】解：
，得
∴
∴ ．
故答案为：.
【点睛】本题考查等式的基本性质，一元一次不等式的求解；理解等式的基本性质是解题的关键．
考点4：不等式的整数解问题
典例4：（2023下·七年级课时练习）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数.
(1)的取值范围是______；
(2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）∵的解为，
∴.∴.
又∵，
∴.
∴符合题意的整数的值为.
【变式1】（2023下·河北石家庄·九年级校考开学考试）整式的值为M．
(1)当时，求M的值；
(2)若M的取值范围如图所示，求x的最大整数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，合并同类项，再把字母的值代入化简结果计算即可；
（2）由题意得到，根据（1）得到，解不等式，即可得到x的最大整数值．
【详解】（1）解：
当时，
原式
即M的值为；
（2）解：数轴可知M的取值范围为，
由（1）可知，即，
解得，
∴x的最大整数值为．
【点睛】此题考查整式加减中的化简求值、求一元一次不等式的整数解等知识，熟练掌握整式加减的法则和一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式2】（2023下·吉林长春·七年级校联考期中）已知关于x、y的二元一次方程组
(1)若方程组的解满足，求的值．
(2)若方程组的解满足，求满足条件的整数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由①②得，即可得到，则由题意得到，解方程即可得到m的值；
（2）由②①得，则，根据得得到，解不等式得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：
①+②得，，
整理得，
由题知，
∴，
解得．
（2）∵
②-①得，，
整理得，
由题知，
∴，
解得，
∴整数的最小值为
【点睛】此题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的整数解等知识，熟练掌握加减法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式3】（2023下·吉林长春·七年级校联考期中）已知不等式的最小整数解为关于的方程的解，求的值．
【答案】5
【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程方程，从而可以得到m的值．
【详解】解：
∴不等式的最小整数解为，
把代入得，
解得，
∴的值为
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．
【变式4】（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若方程组的解满足，求满足条件的正整数m的值．
【答案】
【分析】用含m的式子表示x，y，利用得到不等式求出m的解集，写出整数解．
【详解】解：解方程组得：，
∵
∴
解得，
∴正整数m的值为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
考点5：一元一次不等式解集应用
典例5：（2022下·广东汕头·七年级统考期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式1】（2022·江苏南通·统考二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,
∴．
整数a的最小值是
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
【变式2】（2022下·八年级统考课时练习）若，，则的最大值是（ ）
A．21 B．2 C．12 D．126
【答案】D
【分析】要想使最大，则应该尽量使分子b最大，而分母a最小，代入b的最大值和a的最小值求值即可．
【详解】要想使最大，则应该尽量使分子b最大，而分母a最小，
∵，
∴的最大值是
故选：D．
【点睛】本题主要考查分数的最大值，掌握分子越大，分母越小，分数值越大是解题的关键．
【变式3】（2022下·山东德州·七年级统考期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案．
【详解】解：∵解方程组，
得，
∴①x与y互为相反数，则x=-y，
m+2=2m
m=2，故①正确；
②，
则m+2-2m=2-m
m＜，则m的最大整数值为3，故②错误．
③x=y，
则m+2=-2m
m=，故③错误；
故选：B．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键．
考点6：不等式与几何综合
典例6：（2023上·河南许昌·八年级统考期中）一根细铁丝长，小明想把它折成一个三角形，则他折成的三角形的最长的边有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形三边长是、、，由三角形三边关系定理得到，则，得到，即可得到答案．解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边．也考查了一元一次不等式的应用．
【详解】解：设三角形三边长是、、，
∴，
∵三角形周长是，
∴，
∴，
∴三角形的最长的边有可能是．
故选：A．
【变式1】（2022下·河北石家庄·七年级统考期末）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】解：由三角形内角和可得：，
∵，
∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有；
当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．
【变式2】（2023上·河北保定·八年级统考期末）如图，等边中，P是边上的一个动点（不与点A，B重合），则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接．根据等边三角形的性质可知，根据三角形外角的性质可知，得出的取值范围，即可求解．
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，，
，
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是求出的取值范围．
【变式3】（2023上·湖南益阳·八年级校联考期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得．
【详解】根据题意和图形可得，
解得：，
故选：D
【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式．
考点7：含绝对值不等式的问题
典例7：（2022上·广东梅州·九年级校考开学考试）不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答．
【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于，
不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【变式1】（2022下·浙江·七年级期中）能够使不等式成立的x的取值范围 ．
【答案】x＜-1
【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围．
【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0，
于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0；
当x＜0时，|x|-x=-2x＞0，
x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1，
所以x的取值范围是x＜-
故答案为：x＜-
【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度．
【变式2】（2022下·浙江宁波·七年级校考期末）已知不等式的解是，则a＝ ．
【答案】
【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可．
【详解】∵
∴，即，
∴
∴或
∴或
∵不等式的解是，
∴应舍去，
∴，解得，
经检验，是方程的解．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解．
【变式3】（2022上·黑龙江大庆·九年级统考期末）当x 时，|x﹣2|＝2﹣x．
【答案】≤2
【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.
【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.
故答案为：≤2.
【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.
考点8：一元一次不等式的应用——销售问题
典例8：（2023下·河北保定·八年级统考期末）电动平衡车运动灵活，转向稳定，纯电力驱动，零排放，环保无污染，是新型的短途出行工具．某网络销售平台销售A，B两种纯电动平衡车共60台，两种平衡车的进价和售价如下表．
进价 售价
A型 1400 2000
B型 2100 2400
设该网络平台购进A型平衡车x台，这60台平衡车可获总利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若A型平衡车的购进数量不超过B型平衡车购进数量的3倍，应如何安排进货，才能使售完这批平衡车后获利最大，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，根据总利润A型平衡车获得的利润B型平衡车获得的利润，即可求出与之间的函数关系式；
（2）根据A型平衡车的进货数量不超过B型平衡车进货数量的3倍，列出不等式，求出的范围，再利用一次函数的性质，即可求得最大利润．
【详解】（1）解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，
由题意得：
，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，
由题意得，，
解得，，
由（1）知，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，，
此时，
∴购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元．
【变式1】（2023上·浙江温州·八年级校考期中）双十一购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A B
进价（万元/套）
售价（万元/套） 2
A产品按原售价打8折出售，B产品按原售价打折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍，若使得促销获利不少于万元，则B产品至少购进几件？
【答案】B产品至少购进件．
【分析】设B产品购进x件，则A产品购进件，根据促销获利不少于万元列出不等式，解不等式即可得到答案．此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设B产品购进x件，则A产品购进件，
则，
解得，
∵x为整数，
∴x取，
∴B产品至少购进件．
【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌、两款羽绒服来销售，若购买3件，4件，需支付2400元，若购买2件，2件，则需支付1400元．
(1)求、两款羽绒服在网上的售价分别是多少元
(2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？
【答案】(1)款羽绒服在网上的售价是400元， 款羽绒服在网上的售价是300元
(2)个体户让利销售的羽绒服最多是5件
【分析】（1）设款羽绒服在网上的售价是元， 款羽绒服在网上的售价是元，根据题意列方程组并求解即可；
（2）设个体户让利销售的羽绒服是件，则让利销售前共销售件，根据总获利不低于3800元，列出不等式，求出最大整数解即可．
【详解】（1）解：设款羽绒服在网上的售价是元， 款羽绒服在网上的售价是元，
根据题意，可得，
解得，
答：款羽绒服在网上的售价是400元， 款羽绒服在网上的售价是300元；
（2）设个体户让利销售的羽绒服是件，则让利销售前共销售件，
根据题意，可得，
解得 ，
所以，的最大整数解为5，
答：个体户让利销售的羽绒服最多是5件．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）应用题：哈尔滨经纬手机卖场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示，手机卖场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部售出后可获利润共万元．
甲 乙
进价（元/部） 4000 2500
售价（元/部） 4300 3000
(1)经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
(2)通过市场调研，手机卖场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，天耀手机卖场怎样进货，才能在手机全部售出后获得最大的利润？并求出最大利润．
【答案】(1)经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各20，30部；
(2)当经纬手机卖场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部售出后获利最大，最大利润为万元；
【分析】（1）设经纬手机卖场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据题意列方程即可求解；
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加部，根据购进这两种手机的总资金不超过16万元，可求出a的取值范围，设手机全部售出后获得的利润为W万元，根据题意即可求解．
【详解】（1）解：设经纬手机卖场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，
根据题意，得，解得，
答：经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各20，30部；
（2）解：设甲种手机减少a部，则乙种手机增加部，
根据题意，得，
解得：；
设手机全部售出后获得的利润为W万元，根据题意，得
，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∴当时，W有最大值，，
答：当经纬手机卖场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部售出后获利最大，最大利润为万元；
【点睛】本题考查二元一次方程的应用和不等式的应用，正确理清题意是关键．
考点9：一元一次不等式的应用——分配问题
典例9：（2022上·湖北武汉·七年级校考阶段练习）近期各校都在开展艺术节活动，使得演出服需求量大增．
(1)一套演出服由一件外套和两个道具构成，工人师傅每人每天平均生产外套12件或道具18个．车间临时派7个工人师傅赶工，为了使每天的产品刚好配套．应该分配多少工人生产外套，多少工人生产道具？
(2)704班需要演出服16套，如果租赁这批演出服小时（为正整数），有两种付费方式：方式一：当时，每套演出服收取租金50元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时30元收费；方式二：当时，每套演出服收取租金60元；当时，超时部分这批演出服整体按每小时20元收费．
请你帮704班谋划一下，如果根据租赁时间选择省钱的租赁方式？
【答案】(1)分配3个工人生产外套，4个工人生产道具
(2)当时，选方式一；时，方式一和方式二一样；时，选方式二
【分析】（1）设分配个工人生产外套，则个工人生产道具，根据生产道具的总数量是生产外套总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
（2）分，，，四种情况考虑，当时，选择方案一所需租金为元；选择方案二所需租金为960元，由，可得出当时，选择方式一更省钱；当时，选择方案一所需租金为元，选择方案二所需租金为960元，由，得出选择方式一更省钱；当时，选择方案一所需租金为元，选择方案二所需租金为元，综上所述，即可得出结论．
【详解】（1）解：设分配个工人生产外套，则个工人生产道具，
由题意可得，
解得：，
∴，
答：分配3个工人生产外套，4个工人生产道具．
（2）解：方式一：当时，元；
当时，元；
方式二：当时，元；
当时，元；
令，解得：；
令，解得：；
∴当时，，选择方式一更省钱；
∵当时，元；
∴当时，选择方式一更省钱；
∵当时，，；
∴当时，选择方式一和方式二均可，价钱一样；
∴当时，选择方式一更省钱，当时，选方式二更省钱；
综上：当时，选方式一；时，方式一和方式二一样；时，选方式二．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）分，，三种情况，找出省钱的租赁方式．
【变式1】（2022下·陕西商洛·七年级统考期末）自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年3月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数），下表是甲，乙两位职工今年4月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（件） 120 160
月工资 6000 6400
(1)求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
(2)若职工丙今年5月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
【答案】(1)4800元，10元
(2)220件
【分析】（1）设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，利用调整后月工资=基本保障工资+销售每件的奖励金额销售的件数，结合甲、乙两位职工今年2月份的月销售数量及月工资，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设丙该月应销售m件产品，利用调整后月工资=基本保障工资+销售每件的奖励金额销售的件数，结合职工丙今年3月份的工资不低于7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，
依题意得：，
解得：
答：工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为4800元，销售每件产品的奖励金额为10元．
（2）设丙该月应销售m件产品，
依题意得：，
解得：
答：丙该月至少应销售220件产品．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式2】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治，现有一段长390米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治18米，乙工程队每天整治24米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得；
②小华同学：设整治任务完成后，m表示____，n表示___；
则可列方程组为，请你补全小明、小华两位同学的解题思路；
(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程；
(3)若要使工程总时间少于20天，应怎样分配甲乙两队的工程量？
【答案】(1)①；② 甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
(2)见解析
(3)甲工程队整治河道少于米，或乙工程队整治河道大于米
【分析】（1）①小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；
②小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
（3）根据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）①
故答案为：；
② 表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）选择①
解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
解得
经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
选择②
解：设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天． 则
解得
经检验，符合题意
甲整治的河道长度：米 ；乙整治的河道长度：米
答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
（3）解：设甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意得出，
解得：，
∴甲工程队整治河道少于米，或乙工程队整治河道大于米
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
【变式3】（2022上·安徽滁州·八年级校考期中）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表：
A型利润 B型利润
甲店 200 170
乙店 160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W(元)，求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来
【答案】（1）W=20x+16800（10≤x≤40）；（2）有三种分配方案，分别是：方案一：甲店A型产品38件，B型产品32件，乙店A型产品2件，B型产品28件；方案二：甲店A型产品39件，B型产品31件，乙店A型产品1件，B型产品29件；方案三：甲店A型产品40件，B型产品30件，乙店A型产品0件，B型产品30件．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）根据公司要求总利润不低于17560元，可以得到x的取值范围，然后根据x为整数，即可得到有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来．
【详解】解：由题意可得，
W=200x+170（70x）+160（40x）+150（x10）=20x+16800，
x的取值范围为：10≤x≤40，
∴W关于x的函数关系式是W=20x+16800（10≤x≤40）；
（2）∵公司要求总利润不低于17560元，
∴20x+16800≥17560，
解得：x≥38，
∵10≤x≤40，
∴38≤x≤40，
∵x为整数，
∴x的取值为38，39，40，
即共有三种方法，
方案一：甲店A型产品38件，B型产品32件，乙店A型产品2件，B型产品28件；
方案二：甲店A型产品39件，B型产品31件，乙店A型产品1件，B型产品29件；
方案三：甲店A型产品40件，B型产品30件，乙店A型产品0件，B型产品30件．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·陕西汉中·八年级统考期中）已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据不等式的解集是x＜5，即可得到一个关于a的方程，从而求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵解集是，
∴，
∴a=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解集，正确解关于x的不等式是关键．
2．（2023上·浙江湖州·八年级统考期末）不等式的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据求不等式的解法解出x的取值范围，并找出在数轴上的表示方法即可．
【详解】解不等式，得，
故答案选C．
【点睛】本题考查求一元一次不等式得解集，正确求出不等式的解集是解题的关键．
3．（2023下·七年级单元测试）如果是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式，可得的指数等于，可求得的值，进而代入求得相应解集即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴，
解得：，
变为：，
解得：
故选：A
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的定义以及一元一次不等式的解法，关键要注意不等式的两边都除以一个负数，不等号的方向改变．
4．（2023下·广西梧州·七年级统考期末）把不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先解不等式，再在数轴上表示其解集．
【详解】解：，解不等式得到：，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示如图： ，
故选：B．
【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示，关键是要掌握解不等式，先将不等式的解集求出来，再在数轴上表示解集．
5．（2023下·七年级课时练习）下列不等式中是一元一次不等式的是( )．
A．2(1＋y)＋y＞4y＋2 B．x2－2≥1
C． D．x＋10
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义作答．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式．
【详解】解：A、是一元一次不等式；
B、未知数的次数是2，不符合定义；
C、分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式；
D、是代数式没有不等关系；
故选A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，掌握其特征是解决此题的关键
6．（2023·江苏宿迁·宿豫中学校考二模）已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞4，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜4 C．m＞5 D．m＞6
【答案】D
【分析】用加减消元法求出二元一次方程组的解，再将x，y的值代入不等式中计算即可得．
【详解】解：，
①+②得：，
即，
①-②×3得：，
即，
根据得：，
去分母得：，
解得：，
故选D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解不等式，解题的关键是掌握这些知识点并正确计算．
7．（2023下·海南海口·七年级校考阶段练习）某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2 天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路（ ）
A．0.6 km B．0.8 km C．0.9 km D．1 km
【答案】B
【分析】设以后几天内平均每天要修路xkm，根据题意可以列出不等式，1.2+（10-2-2）x≥6，解不等式即可．
【详解】解：设以后几天内平均每天要修路xkm，
1.2+（10-2-2）x≥6
解得，x≥0.8
即以后几天内平均每天至少要修路0.8km.
故选B.
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用—工程问题，解题的关键是明确工程问题的数量关系“工作量=工作效率×工作时间”，根据等量关系列出不等式．
8．（2023下·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）等腰三角形的周长为16cm且三边均为整数，底边可能的取值有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设底边为xcm，根据题意得腰为整数，且x＜8，可得出底边的取值．
【详解】设底边为xcm，根据题意得腰为整数，
∵能构成三角形，
∴x＜16﹣x，x＜8
∴x可取2，4，6．
故选：C．
【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用不等式解决实际问题，设边长时很重要，设腰长的话需要讨论范围，故设底边较好，根据三边关系就可以解答.
9．（2023下·山西晋中·八年级统考期中）亮亮准备用自己今年的零花钱买一台价值300元的英语学习机.现在他已存有45元,如果从现在起每月节省30元,设x个月后他存够了所需钱数,则x应满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题中的不等关系：现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．
【详解】解：个月可以节省元，根据题意，得
．
故选：B
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
10．（2023·江苏无锡·统考中考真题）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】根据15名工人前期的工作量+12名工人后期的工作量<2160，列出不等式进行解答即可.
【详解】设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，
则有15am=2160，
得到am=144，
由题意得15ax+12(a+2)(m-x)<2160，
即：ax+4am+8m-8x<720，
∵am=144，
∴将其代入得：ax+576+8m-8x<720，
即：ax+8m-8x<144，
∴ax+8m-8x
∴8(m-x)∵m>x，
∴m-x>0，
∴a>8，
∴a至少为9，
故选B.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，有一定的难度，解题的关键在于灵活掌握设而不求的解题技巧.
二、填空题
11．（2023下·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期末）若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先用x表示y，结合，即可得到x的取值范围；
【详解】解：由得：，
又，
，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的求法，能正确的利用不等式基本性质进行变形是解答此题的关键．
12．（2023下·山西长治·七年级长治市第六中学校校考期末）已知是等腰三角形，它的底边长为，则它的腰长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】根据题意，是等腰三角形，它的底边长为，腰长为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．（2023上·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考阶段练习）如果将长度为7、和15的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据三角形边的性质即可得出答案．
【详解】解：根据三角形的三边的关系可得，
、，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形边的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解决本题的关键是掌握求解一元一次不等式的方法．
14．（2023下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）不等式5x﹣1＞2x+5的解集为 ．
【答案】x＞2
【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案．
【详解】5x﹣1＞2x+5，
移项得：5x﹣2x＞5+1，
合并同类项得：3x＞6，
系数化为1得：x＞2，
故不等式的解集为：x＞2，
故答案为x＞2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤．
15．（2023·内蒙古通辽·七年级校联考期末）某超市为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购 件．
【答案】11
【分析】购买5件需要15元，27元超过15元，则购买件数超过5件，设可以购买x件这样的商品，根据：5件按原价付款数+超过5件的总钱数≤30，列出不等式求解即可得．
【详解】设可以购买x（x为整数）件这样的商品．
3×5+（x-5）×3×0.8≤30，
解得x≤11.25，
则最多可以购买该商品的件数是11，
故答案是：11．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式，注意x只能为整数．
16．（2023·全国·七年级假期作业）若不等式，两边同除以，得，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由不等式的基本性质知m-6＜0，据此可得答案．
【详解】解：若不等式，两边同除以，得，
则，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
三、解答题
17．（2023下·四川泸州·七年级统考期末）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】按照解一元一次不等式的步骤求不等式的解集，把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
解集在数轴上表示出来如下：
【点睛】此题考查了一元一次不等式的解法和在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
18．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）解下列不等式，并把他们的解表示在数轴上．
（1）4x-3≤5(x-1)
（2）＋1＞x
【答案】（1）x≥2，见解析；（2）x＜1，见解析
【分析】（1）先去括号，然后移项，合并同类项，把系数化1，最后把解集在数轴上表示出来即可．
（2）去分母，去括号，然后移项，合并同类项，把系数化1，最后把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1）去括号得：4x-3≤5x-5
移项：4x-5x≤-5+3
整理：-x≤-2
把系数化1得：x≥2
在数轴上表示如下：
（2）去分母得：x－1＋2＞2x
整理：x＜1
在数轴上表示如下：
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的求解方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法，熟练掌握是解题关键．
19．（2023下·江苏·七年级阶段练习）（1）解方程组（用加减消元法）：’
（2）解不等式组,并将它们的解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）;（2）
【分析】（1）①+②×5，即可消去x，然后将x代入①即可求出y；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）∵解方程组：
①+②×5解得x=1，
把x=1代入x=1解得y=1，
∴方程的解为
（2）
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4.
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程和能求出不等式组的解集是解此题的关键．
20．（2023下·福建龙岩·八年级统考期末）“五月杨梅已满林，初疑一颗值千金．”每年公历月是人们品味杨梅鲜酸的美好季节，某水果店经销甲乙两地杨梅，两次购进杨梅的情况如下表所示：
进货批次 甲地杨梅质量 （单位：千克） 乙地杨梅质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元）
第一次
第二次
(1)求甲乙两地的杨梅进价；
(2)销售完前两次购进的杨梅后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲乙两地杨梅共千克，且投入的资金不超过元．将其中的千克甲地杨梅和千克乙地杨梅按进价品尝销售，剩余的甲地杨梅以每千克元、乙地杨梅以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克杨梅全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．
【答案】(1)甲乙两地的杨梅进价分别为元/千克，元/千克．
(2)
【分析】（1）可设甲乙两地的杨梅进价分别为元/千克，元/千克，根据总费用的等量关系，可列关于和的二元一次方程组，求解即可得到答案．
（2）可设第三次购进甲地杨梅千克，根据投入的资金不超过元，可列关于的一元一次不等式，求得的取值范围；写出关于的函数，根据函数图象特点，的取值范围，最大利润不低于元，可得关于的一元一次不等式，求解即可得到答案．
【详解】（1）设甲乙两地的杨梅进价分别为元/千克，元/千克．
根据题意，得：
，
解得：
，
经检验，方程组的解符合题意．
答：甲乙两地的杨梅进价分别为元/千克，元/千克．
（2）设第三次购进甲地杨梅千克，则购进乙地杨梅千克．
根据题意，得：
．
解得：
．
根据题意，得：
．
化简，得：
．
∵随的增大而减小，
∴当时，有最大值，即．
根据题意，得：
．
解得：
．
所以，正整数的最大值为．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题，以及一次函数的应用．牢记列二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题的方法，以及一次函数图象特点是解题的关键．
21．（2023下·七年级课时练习）已知：．
（1）当时，求的取值范围；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】根据任何数的绝对值与偶次方都是非负数，两个非负数的和是0，则这两个数都是0，即可得到关于、的方程组，求解代入即可得到一个关于的不等式，从而即可得出答案．
【详解】解：
解得：
（1）当时，即
解得：
的取值范围为；
（2）当时，即
解得：
的取值范围为．
【点睛】本题考查了非负数的性质及解一元一次不等式，根据题意列出方程组是解题的关键．
22．（2023下·江苏盐城·七年级阶段练习）关于x，y的方程组 的解满足x+y＞．
（1）求k的取值范围；
（2）化简|5k+1|﹣|4﹣5k|．
【答案】(1) ;(2)5
【分析】（1）方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式即可求出k的范围；
（2）根据k的范围确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义，去括号合并即可得到结果．
【详解】（1），
①+②得：3（x+y）=k+1，即x+y=，
代入已知不等式得：，
去分母得：5k+5＞9，即；
（2）∵，
∴5k+1＞0，4﹣5k＜0，
则原式=5k+1+4﹣5k=5．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2023上·浙江·七年级期末）野生动物园出售的一次性使用门票，每张180元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年卡”的售票活动（从购买日起，可供持有者使用一年）．年卡分两类：
类年卡每张1800元，持卡者每次进入公园无需再购买门票；
类年卡每张900元，持卡者进入公园时需再购买每次80元的门票．
（1）某游客中一年进入该公园共有次，如果不购买年票，则一年的费用为_______元；
如果购买类年票，则一年的费用为_________元：如果购买类年票，则一年的费用为_____元；（用含的代数式表示）
（2）假如某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由．
（3）某游客一年中进入该公园次，他选择购买哪一类年卡合算？请你帮助他决策，并说明你的理由．
【答案】（1）180n、1800、900+80n；（2）购买A类年票比较优惠；（3）当n≤11时，购买B类年票比较合算；当n＞11时，购买A类年票比较合算．
【分析】（1）根据每张180元，一年进入动物园共有n次，即可求出不购买年票一年的费用；
根据A类年票每张1800元，持票者每次进入动物园无需再购买门票可直接得出一年的费用；根据B类年票每张900元，持票者进入动物园时需再购买每次80元的门票，可得出一年的费用为（900+80n）元．
（2）分别计算出一年进入动物园共有12次时，每种购买方式的费用，即可得出最优惠的购买方式．
（3）列不等式900+80n＞1800，根据解集回答即可．
【详解】解：（1）如果不购买年票，则一年的费用为180n元；
如果购买A类年票，则一年的费用为1800元；
如果购买B类年票，则一年的费用为（900+80n）元；
故答案为：180n、1800、900+80n；
（2）假如某游客一年进入动物园共有12次，
则不购买年票的费用为180×12=2160（元），
购买A类年票的费用为1800元，
购买B类年票的费用为900+80×12=1860（元）；
则购买A类年票比较优惠；
（3）900+80n＞1800，
解得：n＞=11.25，
当n≤11时，购买B类年票比较合算；
当n＞11时，购买A类年票比较合算．
【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出代数式．
24．（2023·湖南邵阳·校联考二模）为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购买8件A种纪念品，3件B种纪念品，需要950元；；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店购买A种纪念品的数量比B种纪念品的2倍少10件，且购买B种纪念品不少于34件，考虑市场需求和资金周转，计划投入资金不超过8000元，那么该商店有多少种进货方案？
【答案】(1)A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元
(2)有三种方案：可购进A种纪念品58件，B种纪念品34件；可购进A种纪念品60件，B种纪念品35件；可购进A种纪念品62件，B种纪念品36件
【分析】（1）设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设商店可购进B纪念品a件，根据题意列出一元一次不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，由题意，得：
，
解得：．
答：A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）设商店可购进B纪念品a件，则购进A纪念品件，
由题意得，
解得：．
∵购买B种纪念品不少于34件，
∴．
有三种方案：可购进A种纪念品58件，B种纪念品34件；
可购进A种纪念品60件，B种纪念品35件；
可购进A种纪念品62件，B种纪念品36件．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．解题的关键是正确的列出方程和不等式．
25．（2023下·山东潍坊·八年级统考期中）某超市销售每台进价分别为180元和165元的甲、乙两种型号的小型电器，下表是近两周的销售情况．
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 2台 3台 1440元
第二周 4台 5台 2600元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
(1)求甲、乙两种型号的电器的销售单价；
(2)若超市准备用不多于7100元的金额再采购这两种型号的电器共40台，求甲种型号的电器最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台电器能否实现利润超过4750元的目标？若能，有哪几种采购方案？请通过计算说明；若不能，请说明理由．
【答案】(1)甲、乙两种型号电器的销售单价分别为300元、280元
(2)33台
(3)能实现，有三种采购方案，①甲型电器31台，乙型电器9台；②甲型电器32台，乙型电器8台；③甲型电器33台，乙型电器7台
【分析】（1）设甲、乙两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，根据“2台甲型号3台乙型号的电器收入1440元，4台甲型号5台乙型号的电器收入2600元”列方程组求解即可；
（2）设采购甲种型号电器a台，则采购乙种型号电器（40-a）台，根据金额不多于7100元，列不等式求解即可；
（3）设利润恰好为为4750元，再列方程求出a的值，然后再判断并写出采购方案即可．
【详解】（1）解：（1）设甲、乙两种型号电器的销售单价分别为元、元，
依题意得：，解得：．
答：甲、乙两种型号电器的销售单价分别为300元、280元．
（2）解：设采购甲种型号电器台，则采购乙种型号电器台．
依题意得：，解得：．
答：甲种型号的电器最多能采购33台．
（3）解：根据题意得：，解得：，
∵．且应为整数，
∴可以取31，32，33．
∴超市实现利润超过4750元的目标，有三种采购方案：
①甲型电器31台，乙型电器9台；
②甲型电器32台，乙型电器8台；
③甲型电器33台，乙型电器7台．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系和不等关系、列方程组和不等式是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)