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专题03 一元一次不等式组
考点类型
知识一遍过
（一）一元一次不等式组
①一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
③解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
（二）不等式组的实际应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .
考点一遍过
考点1：一元一次不等式组的概念
典例1：（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（2022上·八年级课时练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023下·七年级课时练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式3】（2023下·七年级统考课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：一元一次不等式组的解集
典例2：（2023下·七年级课时练习）若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022下·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·山东滨州·校联考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点3：解一元一次不等式组
典例3：（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有非负整数解．
【变式1】（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来
【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）解不等式：
(1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来
(2)解不等式组
【变式3】（2023下·七年级课时练习）解不等式组：
(1)
(2)
考点4：不等式组的实际应用
典例4：（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗需要元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗需要元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
(2)经市绿化部门研究，决定用不超过元的费用购买甲、乙两种树苗共棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？（利用函数的性质说明）
【变式1】（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）应用题：某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
种产品 种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
(1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
【变式2】（2023上·浙江金华·八年级统考期中）某旅游景点的一个商场为了抓住旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元．
(1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过55件，则该商场共有几种进货方案？
(3)若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级校联考阶段练习）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买3套A型和5套B型课桌凳共需1640元．
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费．
考点5：利用不等式组求字母取值
典例5：（2023下·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期中）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·福建漳州·八年级校考期中）如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022下·陕西渭南·八年级统考期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点6：利用不等式组求代数式的值
典例6：（2022下·贵州毕节·八年级统考期末）若不等式组的解集为，则代数式的值为 ．
【变式1】（2023上·四川德阳·八年级德阳五中校考阶段练习）若不等式组的解集是﹣2＜x＜1，则代数式9+3a﹣6b的值是 ．
【变式2】（2022下·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）如果不等式组的整数解只有4，且a、b均为整数，则代数式的最大值是 ．
【变式3】（2022下·四川资阳·七年级校考阶段练习）已知整数x满足不等式3x﹣4≤6x﹣2和，且满足方程3（x+a）+2﹣5a＝0，代数式的值为 ．
考点7：不等式组解集的应用
典例7：（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是 ．
【变式1】（2023上·重庆江北·八年级重庆市两江育才中学校校考期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为 ．
【变式2】（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 ．
【变式3】（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 ．
考点8：不等式组与方程组综合
典例8：（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ．
（2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ．
【变式1】（2023下·河南周口·七年级校联考期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【变式2】（2023下·河南周口·七年级统考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【变式3】（2023下·上海浦东新·六年级统考期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ．
考点9：不等式组与新定义问题
典例9：（2023上·安徽·八年级校联考期中）对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点的纵变点是．若点满足，P的纵变点为，且，则a的取值范围是 ．
【变式1】（2023下·江苏南通·七年级统考期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为 ．
【变式2】（2023下·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）定义一种新运算：，若不等式组中的x恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ．
【变式3】（2023下·安徽·七年级统考期末）对x，y定义一种新的运算，规定例如
（1） ；
（2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ．
考点10：解特殊不等式组
典例10：（2022下·陕西安康·七年级统考期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【变式1】（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考期中）阅读下列材料：
解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法：
解：∵，又∵，∴，
又，∴．…①
同理得：．…②
由①+②得，∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知，且求的取值范围；
【变式2】（2023下·福建三明·八年级统考期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式
①
②
【变式3】（2023下·辽宁锦州·八年级统考期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知关于的不等式组有且只有1个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022下·河南南阳·七年级统考期中）利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·湖北武汉·八年级统考期中）已知点P（a+1，2a-3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东中山·统考一模）不等式组次的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C． D．
7．（2023下·山东威海·七年级统考期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022下·重庆·七年级统考期末）若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东泰安·统考一模）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山东日照·校考一模）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·江苏宿迁·统考二模）不等式组的解集是 ．
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）不等式组的解集是 ．
13．（2022·河南商丘·统考三模）不等式组的整数解的和为 ．
14．（2022·福建龙岩·统考一模）非负数满足，设的最大值为，最小值为，则 ．
15．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）若以关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在第一象限，则m的取值范围是 ．
16．（2022下·山东菏泽·八年级统考期中）关于x的不等式组无解，则化简|3﹣a|+|a﹣2|的结果为 ．
三、解答题
17．（2022下·陕西商洛·七年级统考期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来
18．（2022下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，求的取值范围．
19．（2022·浙江金华·浙江省义乌市后宅中学校考二模）先化简，再求值：﹣3x2﹣[（4x3﹣5x）÷2x]，其中x是不等式组的整数解．
20．（2022下·湖北武汉·七年级校考期末）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）解不等式
（2）解不等式组
21．（2022·全国·统考一模）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，求m的取值范围．
22．（2022上·浙江·八年级开学考试）已知方程的解x为正数，y为非负数，
（1）求a的取值范围，并表示在数轴上；
（2）化简．
23．（2022上·浙江金华·八年级校考期中）受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？
24．（2022下·河南平顶山·八年级统考期末）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知两种原料的维生素C的含量以及购买这两种原料的价格如下表所示：
原料 甲 乙
维生素C的含量（单位／kg） 600 100
原料价格（元／kg） 8 4
现配制这种饮料10kg，所需乙种原料的质量为．
(1)当配制成的饮料，维生素C的含量不少于4200单位，求配制这种饮料需乙种原料的质量范围；
(2)在（1）的条件下，为了称量方便，所需甲、乙两种原料的质量均为整数，请你判断配制这种饮料共有几种方案，并计算哪种方案所需费用较少．
25．（2022上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系中任一点，规定以下三种“变换”：
①，，．如：，，；
②，，．如：，，；
③，，．如：，，；
例如：，，，
请回答下列问题：
(1)化简： （填写坐标）；
(2)通过以上“对称”变换得到的坐标叫做“对称”坐标，规定坐标可以进行如下运算：
，
①计算：（结果用坐标表示）
②“对称”坐标在第四象限，满足： ，当时，且．求满足条件的正整数的值．
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专题03 一元一次不等式组
考点类型
知识一遍过
（一）一元一次不等式组
①一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
③解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
（二）不等式组的实际应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .
考点一遍过
考点1：一元一次不等式组的概念
典例1：（2023上·浙江·八年级专题练习）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
【变式1】（2022上·八年级课时练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
【变式2】（2023下·七年级课时练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
【变式3】（2023下·七年级统考课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．
【详解】①是一元一次不等式组，故①正确；
②是一元一次不等式组，故②正确；
③是一元二次不等式组，故③错误；
④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误；
⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；
⑥是一元一次不等式组，故⑥正确.
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
考点2：一元一次不等式组的解集
典例2：（2023下·七年级课时练习）若一个关于的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得， ，
由②得，，
故原不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【变式2】（2022下·广东佛山·八年级校考阶段练习）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求解不等式组中两个不等式，由“同小取较小”确定解集，在数轴上表示．
【详解】解：由原不等式组得，，解集为，
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的求解；理解解集的确定规则是解题的关键．
【变式3】（2023·山东滨州·校联考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．
【详解】，
解不等式，得：；
解不等式，得：；
即不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．
考点3：解一元一次不等式组
典例3：（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来，写出它的所有非负整数解．
【答案】，数轴见详解，0，1
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，进而即可解决问题．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，数轴表示如下：
故非负整数解有0，1两个．
【变式1】（2023上·湖南郴州·八年级校考阶段练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为
数轴表示如下：
【变式2】（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）解不等式：
(1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来
(2)解不等式组
【答案】(1)，数轴见解析
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组．
（1）先求出不等式的解集，然后在数轴上表示其解集即可；
（2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴不等式的解集为：，
数轴表示如下所示：
；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【变式3】（2023下·七年级课时练习）解不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解不等式①，得．解不等式②，得．这个不等式组的解集是．
（2）解不等式①，得．解不等式②，得．
这个不等式组的解集为．
考点4：不等式组的实际应用
典例4：（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗需要元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗需要元．
(1)求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
(2)经市绿化部门研究，决定用不超过元的费用购买甲、乙两种树苗共棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？（利用函数的性质说明）
【答案】(1)购买的甲、乙两种树苗每棵各需要、元
(2)甲种树苗数量的取值范围为大于等于，小于等于
(3)购买甲种树苗数量棵，乙种树苗数量棵
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列等式、不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设购买的甲、乙两种树苗每棵各需要元，依题意得，，计算求解即可；
（2）设甲种树苗数量为棵，则乙种树苗数量为棵，依题意得，，计算求解即可；
（3）设购买的总费用为，依题意得，，然后根据一次函数的性质，求解作答即可．
【详解】（1）解：设购买的甲、乙两种树苗每棵各需要元，
依题意得，，
解得，，
∴购买的甲、乙两种树苗每棵各需要、元；
（2）解：设甲种树苗数量为棵，则乙种树苗数量为棵，
依题意得，，
解得，，
∴甲种树苗数量的取值范围为大于等于，小于等于棵；
（3）解：设购买的总费用为，
依题意得，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，
∴，
∴当购买甲种树苗数量棵，乙种树苗数量棵时，购买树苗的总费用最低．
【变式1】（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）应用题：某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
种产品 种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
(1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
【答案】(1)生产产品8件，生产产品2件；
(2)生产A产品2、3、4、5、6、7件，共6种方案
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．
（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论；
（2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案．
【详解】（1）解：设A产品生产件，则产品件，依题意得：
解得：，
∴（件）
答：生产产品8件，生产产品2件；
（2）解：设生产A产品a件，则B产品件，依题意得：
，
解得：，
又∵为整数，
∴、3、4、5、6、7共6种方案，
答：生产A产品2、3、4、5、6、7件，共6种方案．
【变式2】（2023上·浙江金华·八年级统考期中）某旅游景点的一个商场为了抓住旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元．
(1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过55件，则该商场共有几种进货方案？
(3)若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲乙两种纪念品每件各需80元和40元
(2)共有6种进货方案
(3)购进甲种纪念品55件，购进乙种纪念品45件利润最大，最大利润为2190元
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．
（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，根据购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元：购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则乙种纪念品件，根据题意，列出不等式组进行求解即可；
（3）根据甲的利润高于乙的利润，得到甲的数量越多，利润越大，列式计算即可．
读懂题意，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键．
【详解】（1）解：设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，
依题意得：，
解得，
答：购进甲乙两种纪念品每件各需80元和40元．
（2）设购进甲种纪念品m件，则乙种纪念品件，
依题意得：，
解得，
∵m只能取正整数，
∴50，51，52，53，54，55，
所以共有6种进货方案；
（3）因为甲种纪念品获利最高，
所以甲种纪念品的数量越多总利润越高，
因此选择购进甲种纪念品55件，乙种纪念品45件利润最高，
总利润（元）．
答：购进甲种纪念品55件，购进乙种纪念品45件利润最大，最大利润为2190元．
【变式3】（2023上·浙江温州·八年级校联考阶段练习）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买3套A型和5套B型课桌凳共需1640元．
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费．
【答案】(1)购买A型需180元/套，B型需220元/套
(2)共有3套购买方案；当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是能找准等量关系，
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组并求解即可．
【详解】（1）设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套
则，
解得
答：购买A型需180元/套，B型需220元/套．
（2）设购买A型x套，B型套．
则，
解得
∴
又∵x是整数，
∴，79，
当时，费用为元；
当时，费用为40840元；
当时，费用为40800元；
答：共有3套购买方案；当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元．
考点5：利用不等式组求字母取值
典例5：（2023下·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期中）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
【详解】解：不等式组有解，
，
故选：D．
【变式1】（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集．首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有5个，即可得到一个关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于的不等式组的整数解共有5个，即3，2，1，0，，
∴，即．
故选：C．
【变式2】（2022下·福建漳州·八年级校考期中）如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组中①的解集，再根据②中及不等式组的解集为，利用同大取较大原则得出的取值范围．
【详解】解：，
由①得：，
，不等式组的解集为，
根据同大取较大原则，．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求的范围．
【变式3】（2022下·陕西渭南·八年级统考期末）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：解不等式得，；
解不等式得，；
原不等式组有4个整数解，
，
解得，
故选：
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
考点6：利用不等式组求代数式的值
典例6：（2022下·贵州毕节·八年级统考期末）若不等式组的解集为，则代数式的值为 ．
【答案】/0.25
【分析】先解一元一次不等式组，可得b＜x＜1＋a，从而可得b＝ 1，1＋a＝2，求出a，b的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：x＜1＋a，
解不等式②得：x＞b，
∴不等式组的解集为：b＜x＜1＋a，
∵不等式组的解集为 1＜x＜2，
∴b＝ 1，1＋a＝2，
∴b＝ 1，a＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，负整数指数幂，求出不等式组的解集得到a，b的值是解题的关键．
【变式1】（2023上·四川德阳·八年级德阳五中校考阶段练习）若不等式组的解集是﹣2＜x＜1，则代数式9+3a﹣6b的值是 ．
【答案】12
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据已知解集与求出的解集是同一个解集，列式求出3a﹣6b＝3，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
解不等式①得，x＞4b﹣2a，
解不等式②得，x＜1，
∵不等式组的解集是﹣2＜x＜1，
∴4b﹣2a＝﹣2，
∴a﹣2b＝1，
∴3a﹣6b＝3，
∴9+3a﹣6b＝9+3＝
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，和求代数式的值，熟练掌握解不等式组的基本步骤和整体代入思想解答是解题的关键．
【变式2】（2022下·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）如果不等式组的整数解只有4，且a、b均为整数，则代数式的最大值是 ．
【答案】63
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解只有4，确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】不等式组整理得：，
解得：≤x＜，
∵不等式组的整数解只有4，
∴3＜≤4，4＜≤5，
解得：9＜a≤12，8＜b≤10，
∵a，b均为整数，
∴a=10，11，12，b=9，10，
当a=12，b=9时，a2-b2最大，最大值为144-81=
故答案为：
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
【变式3】（2022下·四川资阳·七年级校考阶段练习）已知整数x满足不等式3x﹣4≤6x﹣2和，且满足方程3（x+a）+2﹣5a＝0，代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后确定出整数x的值，代入方程求出a的值，然后代入代数式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵x为整数，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
考点7：不等式组解集的应用
典例7：（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是 ．
【答案】/．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可，能根据不等式组的解集和已知得出关于的不等式组是解此题的关键，注意理解解集中每一个值均不在的范围内的意义．
【详解】解：，
解不等式得：
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围内，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【变式1】（2023上·重庆江北·八年级重庆市两江育才中学校校考期中）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组；先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
由题意得，
解关于的方程得，，
由题意得，，
解得，
的取值范围为：，且为整数，
的取值为，，，，，，，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
为整数，且为整数，
符合条件的整数为，，，，
，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
【变式2】（2023上·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 ．
【答案】
【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；解关于y的方程，根据有正整数解，得到m的取值范围，最后求出所有符合条件的整数求和即可．
【详解】解不等式，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为
∴，
方程去括号得：
解得：，
∵关于y的方程有正整数解，
∴，
解得，
综上所述，
由有正整数解可得或或，
∴所有满足条件的m的整数值之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握一元一次方程方程的解法、一元一次不等式组的解法，对一元一次方程方程有正整数解的运用是解题的关键．
【变式3】（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 ．
【答案】5
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得a的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有非负整数解，即可求出a的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
由方程可得，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴或或或或，
∴符合条件的所有整数a的个数为5，
故答案为：
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
考点8：不等式组与方程组综合
典例8：（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ．
（2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式．
（1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围
(2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解．
【详解】解：（1）
①+②，得
，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由解得
，
∵均为正整数，且，
∴当时，；
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不符合题意，都舍去，
由上可得，该方程组的解为．
故答案为：．
【变式1】（2023下·河南周口·七年级校联考期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出的范围，即可求解．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，解得
解不等式组得：
∵关于的不等式组无解
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
【变式2】（2023下·河南周口·七年级统考阶段练习）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】或或
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
或或，
或或，
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
所有满足条件的整数的值为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．
【变式3】（2023下·上海浦东新·六年级统考期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ．
【答案】
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
，
，
，
不等式组至少有4个整数解，
，
解得：，
解方程组，
得：，
，
将代入②得：，
方程组的解为：，
关于的方程组的解为正整数，
或，
或，
所有满足条件的整数的和是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．
考点9：不等式组与新定义问题
典例9：（2023上·安徽·八年级校联考期中）对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点的纵变点是．若点满足，P的纵变点为，且，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变．根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可．
【详解】，
①当时，，
，
解得：；
②当时，，
，
无解，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
【变式1】（2023下·江苏南通·七年级统考期末）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程，若方程，都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出，根据，均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得．
【详解】解：解方程，得：，
解方程，得：，
由，得：，
由，得：，
∵，均是不等式组的解，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是新定义问题，涉及解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2】（2023下·湖北武汉·七年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）定义一种新运算：，若不等式组中的x恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先进行变形得出不等式组，求出不等式组的解集，根据题意得出答案即可．
【详解】解：由题意得：，解得，
∵恰好有4个整数解，
∴整数解为：2，3，4，5，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
【变式3】（2023下·安徽·七年级统考期末）对x，y定义一种新的运算，规定例如
（1） ；
（2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】 1 /
【分析】（1）根据定义的新运算，列出等式，求出即可；
（2）根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数的取值范围．
【详解】（1）∵
∴
故答案为：1；
（2）由题意得，
解得，
∵原不等式组有2个整数解，
∴，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
考点10：解特殊不等式组
典例10：（2022下·陕西安康·七年级统考期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
（2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得：
①或②，
解不等式组①，无解；解不等式组②，
的解集为
（2）由两数相除，同号为正，得：
①或②，
解不等式组①，；解不等式组②，
不等式的解集为或
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
【变式1】（2023下·四川遂宁·七年级射洪中学校考期中）阅读下列材料：
解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法：
解：∵，又∵，∴，
又，∴．…①
同理得：．…②
由①+②得，∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知，且求的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解；
（2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围．
【详解】（1）解：
由得：
解得：
将代入得：
∴方程组的解为：
∵方程组的解都为正数
∴
解得：
（2）解：∵，且
∴，
∵
∴
∵，且
∴，
∵
∴
【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键．
【变式2】（2023下·福建三明·八年级统考期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式
①
②
【答案】（3）①或；②
【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；
②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．
【详解】解：（3）①，
∴当时，解得：；
当时，解得：；
∴原不等式的解集为或；
②
∴当时，解得：；
当时，不等式组无解；
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解．
【变式3】（2023下·辽宁锦州·八年级统考期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值．
【答案】1和2
【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解．
【详解】方法一：
解：，
得，，
∵，
∴，
解得：，
得，，
∵，
∴，
解得：，
∴，则满足条件的m的整数值为1和2；
方法二：
，
解得：，
把代入得：，
解得：
∴满足条件的m的整数值为1和
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知关于的不等式组有且只有1个负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组有且只有1个负整数解，即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组只有一个负整数解，
∴负整数解一定是，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
2．（2022下·河南南阳·七年级统考期中）利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式组，求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2023下·山东聊城·八年级统考期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集是，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
4．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，求出解集的公共部分，确定出不等式组的解集即可．
【详解】解：不等式组，
由①得：x≥-3；由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为-3≤x＜2，
故选D．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，求出不等式组的解集是解本题的关键．
5．（2022上·湖北武汉·八年级统考期中）已知点P（a+1，2a-3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．
【详解】解：点P（a＋1，2a 3）关于x轴对称的点为（a＋1， 2a＋3）在第二象限，
故 ，
解得：a＜ 1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质和解一元一次不等式组，正确记忆横纵坐标符号是解题关键．
6．（2022·广东中山·统考一模）不等式组次的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
【详解】解：
解①得x＞1，
解②得x≥3，
∴不等式组的解集x≥3.
故答案为A.
【点睛】此题考查不等式组的解集，解题关键在于分别将不等式求出解，再用数轴表示出来
7．（2023下·山东威海·七年级统考期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据题意即可求出的取值范围．
【详解】由，
解不等式得：；
解不等式得：；
∵无解，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，解题的关键是得出关于的不等式．
8．（2022下·重庆·七年级统考期末）若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出满足题意的整数m的值，求出之和即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
解得：-2＜x≤，
∵不等式组恰有2个整数解，即-1，0，
∴0≤＜1，
解得：-4≤m＜1，即整数m=-4，-3，-2，-1，0，
解方程组得：，
∵x，y为整数，
∴m+3=±1或±2或±4，
解得：m=-4或-2或-1，
则m值的和为-4-2-1=-7．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
9．（2022·山东泰安·统考一模）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到个关于a的不等式组求得a的范围．
【详解】
解不等式①得
解不等式②得
∵不等式组恰好有两个整数解，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查不等式组解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应道循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．（2022·山东日照·校考一模）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解的不等式组，然后根据整数解的个数确定的不等式组，解出取值范围即可．
【详解】解：不等式组，
解得：，
不等式组只有个整数解，即解只能是，，，，，
的取值范围是：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于的不等式组．
二、填空题
11．（2022·江苏宿迁·统考二模）不等式组的解集是 ．
【答案】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
故不等式组的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查求不等式组的解集、正确计算是关键
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）不等式组的解集是 ．
【答案】/
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集
【详解】，
解①得，，
解②得，
∴不等式组的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
13．（2022·河南商丘·统考三模）不等式组的整数解的和为 ．
【答案】0
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解及和即可．
【详解】解： ，
解①得：x≤1，
解②得：x＞﹣2，
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤1．
则不等式组的整数解是：﹣1，0，1，
﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
14．（2022·福建龙岩·统考一模）非负数满足，设的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】
【分析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=9和c﹣a=3推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=9和c﹣a=3把y=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
【详解】∵a，b，c为非负数，
∴y=a+b+c≥0．
又∵c﹣a=3，
∴c=a+3，
∴c≥3．
∵a+b=9，
∴y=a+b+c=9+c．
又∵c≥3，
∴c=3时y最小，
即y最小=12，
即n=12．
∵a+b=9
∴a≤9，
∴y=a+b+c=9+c=9+a+3=12+a，
∴a=9时y最大，
即y最大=21，
即m=21，
∴m﹣n=21﹣12=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出y的最大值及最小值，难度较大．
15．（2022下·山东烟台·七年级统考期中）若以关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在第一象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解方程组求得、的值，再利用平面直角坐标系象限内坐标的特点判定点的位置．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为坐标的点在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．求得方程组的解和记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
16．（2022下·山东菏泽·八年级统考期中）关于x的不等式组无解，则化简|3﹣a|+|a﹣2|的结果为 ．
【答案】2a﹣5．
【分析】根据不等式组无解，确定a的取值范围，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号，进行化简即可．
【详解】解：由“大大小小解不了”，得a﹣3≥15﹣3a，解得实数a的取值范围是a≥，
则|3﹣a|+|a﹣2|＝a﹣3+a﹣2＝2a﹣5．
故答案为：2a﹣5．
【点睛】本题考查了不等式组无解的问题，解题的关键是熟知“大大小小解不了”求出a的取值范围．
三、解答题
17．（2022下·陕西商洛·七年级统考期末）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来
【答案】，数轴上表示见解析
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】
解不等式①得：；
解不等式②得：；
在数轴上表示如图所示：
所以不等式组的解集为．
【点睛】考查了解一元一次不等式组，求解出两个不等式的解集，按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
18．（2022下·黑龙江双鸭山·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据第二象限点的符号特征（-，+），可列出关于m的不等式组，求解即可.
【详解】解：根据题意，列不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了象限点及一元一次不等式组，由象限点的符号列出不等式组是解题的关键.
19．（2022·浙江金华·浙江省义乌市后宅中学校考二模）先化简，再求值：﹣3x2﹣[（4x3﹣5x）÷2x]，其中x是不等式组的整数解．
【答案】，
【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得其整数解，代入计算可得．
【详解】解：原式
，
解不等式组得：，
则不等式组的整数解为，
所以原式．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值和解一元一次不等式，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
20．（2022下·湖北武汉·七年级校考期末）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1）解不等式
（2）解不等式组
【答案】（1）x＞3，数轴表示见解析；（2）1≤x＜2，数轴表示见解析
【分析】（1）去括号，移项合并，求出解集，在数轴上表示；
（2）分别求出两个不等式的解集，再合并，最后在数轴上表示．
【详解】解：（1）
去括号得：3x+6-7＜4x-4，
移项合并得：x＞3，
数轴表示如下：
（2）
∵解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：1≤x＜2，
数轴表示如下：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是掌握解法以及数轴表示解集的方法．
21．（2022·全国·统考一模）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，求m的取值范围．
【答案】m＞﹣2
【分析】两方程相加可得x+y＝m+2，根据题意得出关于m的方程，解之可得．
【详解】解：将两个方程相加即可得2x+2y＝2m+4，
则x+y＝m+2，
根据题意，得：m+2＞0，
解得m＞﹣2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．（2022上·浙江·八年级开学考试）已知方程的解x为正数，y为非负数，
（1）求a的取值范围，并表示在数轴上；
（2）化简．
【答案】（1）-2≤a＜3，数轴表示见解析；（2）1
【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据（1）中结果，结合绝对值性质去绝对值符号，再合并同类项可得．
【详解】解：（1）解方程组，
得：，
∵方程的解x为正数，y为非负数，
∴，
解得：-2≤a＜3，
数轴表示如下：
（2）∵-2≤a＜3，
∴
=
=1
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组、代数式的化简求值，先把a当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于a的不等式组求出a的取值范围是解答此题的关键．
23．（2022上·浙江金华·八年级校考期中）受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？
【答案】(1)2，8
(2)共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个；购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少．
【分析】（1）设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，根据1个型口罩和2个型口罩共需18元；2个型口罩和1个型口罩共需12元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，根据其中型口罩数量不少于64个，且不多于型口罩的2倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，设购进总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设一个型口罩的进价为元，一个型口罩的进价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：一个型口罩的进价为2元，一个型口罩的进价为8元．
（2）设型口罩购进个，则型口罩购进个，
依题意，得：，
解得：，
为整数，
可以取64，65，66，
共有3种购买方案，方案1：购进型口罩64个，型口罩36个；方案2：购进型口罩65个，型口罩35个；方案3：购进型口罩66个，型口罩34个．
设购进总费用为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，
购进型口罩66个，型口罩34个时购进费用最少．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（2022下·河南平顶山·八年级统考期末）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知两种原料的维生素C的含量以及购买这两种原料的价格如下表所示：
原料 甲 乙
维生素C的含量（单位／kg） 600 100
原料价格（元／kg） 8 4
现配制这种饮料10kg，所需乙种原料的质量为．
(1)当配制成的饮料，维生素C的含量不少于4200单位，求配制这种饮料需乙种原料的质量范围；
(2)在（1）的条件下，为了称量方便，所需甲、乙两种原料的质量均为整数，请你判断配制这种饮料共有几种方案，并计算哪种方案所需费用较少．
【答案】(1)配制这种饮料需乙种原料的质量范围是
(2)配制这种饮料有三种方案．第一种方案：需甲原料9 kg，乙原料1 kg；第二种方案：需甲原料8 kg，乙原料2 kg；第三种方案：需甲原料7 kg，乙原料3 kg．用甲原料7 kg，乙原料3 kg配制这种饮料所需费用较少
【分析】（1）乙种原料的质量为，则甲种原料的质量为，根据题中不等关系列出不等式，解之即可；
（2）由（1）可得有三种方案，分别计算即可得到费用最少的方案．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
又∵，结合生活实际得：
答：配制这种饮料需乙种原料的质量范围是．
（2）由（1）可知，0故配制这种饮料有三种方案．
第一种方案：需甲原料9 kg，乙原料1 kg；
第二种方案：需甲原料8 kg，乙原料2 kg；
第三种方案：需甲原料7 kg，乙原料3 kg．
按第一种方案，所需费用为：（元）
按第二种方案，所需费用为：（元）
按第三种方案，所需费用为：（元）
故用甲原料7 kg，乙原料3 kg配制这种饮料所需费用较少．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，找到题中不等关系列出不等式是解题关键．
25．（2022上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系中任一点，规定以下三种“变换”：
①，，．如：，，；
②，，．如：，，；
③，，．如：，，；
例如：，，，
请回答下列问题：
(1)化简： （填写坐标）；
(2)通过以上“对称”变换得到的坐标叫做“对称”坐标，规定坐标可以进行如下运算：
，
①计算：（结果用坐标表示）
②“对称”坐标在第四象限，满足： ，当时，且．求满足条件的正整数的值．
【答案】(1)
(2)① ；②满足条件的正整数k的值为1
【分析】(1)根据题意，按顺序先算括号里面的即可得出答案；
(2)先将等式化简，得到关于x和y的等式，在根据点P所在的象限，得到不等式组解出k的取值范围，在根据题意，选取符合条件的正整数k即可．
【详解】（1）C（5，-3）=（-5，3），
A(-5，3)=(5，3)，
∴
（2）①
②由题左边
右边
则
∴且
得
∵在第四象限
∴，
∴得
∵为正整数
∴为1
【点睛】本题主要考查了新定义的点的坐标变化和一元一次不等式组，仔细读题，理解题目所描述的点的变化规则是解题的关键．
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