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专题04 一元一次不等式与一次函数
考点类型
知识一遍过
（一）一次函数与一元一次不等式关系
一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。
考点一遍过
考点1：根据函数图像解不等式
典例1：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键．
【变式1】（2023下·广西南宁·八年级南宁三中校考阶段练习）如图，已知直线与相交于点，关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方，即不等式 的解集为，然后用数轴表示解集．
【详解】解：当时，，
所以关于的不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式2】（2022下·广东深圳·八年级校考期中）一次函数与的图象如图所示，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：观察函数图象得时，，
所以的解集是．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
【变式3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）一次函数的图像如图所示．则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图像与x轴的交点是，根据y随x的增大而减小，判定即可．
【详解】∵图像与x轴的交点是，且y随x的增大而减小，
∴，解得
∴不等式
，
，
又∵k＜0，
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了图像与x轴的交点，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
考点2：根据不等式的解集求交点
典例2：（2023下·北京朝阳·八年级统考期中）已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系得到直线y=-x+b与y=3x-3的交点的横坐标为2，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求出对应的纵坐标即可．
【详解】不等式的解集是，∴，
∴，
∴与的交点为．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【变式1】（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）一次函数，若，则，下列各点可能在一次函数的图象上的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据不等式及其解集得到一次函数大致的图象，然后根据图象即可判断结果．
【详解】解：根据不等式，则可得一次函数的图象大致为：
点在直线的上方，点在直线的下方，点在直线的下方，
可能在一次函数图象上的是．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式得到一次函数的图象是本题的关键．
【变式2】（2023上·江苏泰州·九年级校考期末）如果关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，那么一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象必经过点 （请填写这个点的坐标）．
【答案】（1，2）
【分析】根据题意得出＝1，从而求得b＝2﹣k，使一次函数y＝kx+b（k≠0）变形为y＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2，从而求得图象必经过点（1，2）．
【详解】解：∵关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，
∴k＜0，＝1，
∴b＝2﹣k，
∴一次函数y＝kx+b＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2，
∴图象必经过点（1，2），
故答案为（1，2）．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，求得b和k的关系式是解题的关键．
【变式3】（2023下·八年级课时练习）已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，交点的横坐标为3，代入直线解析式即可求解．
【详解】解：由题意可得，直线与的交点横坐标为3
将代入直线，得，即交点坐标为
故答案为
【点睛】此题考查了求解直线的交点坐标，理解一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
考点3：不等式与函数图像的多结论问题
典例3：（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，根据图象判断出a，b，c，d的正负，结合两直线交点的横坐标为4，逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得：，，，，两直线交点的横坐标为4，
，
对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确；
，，
函数经过第一、二、三象限，故②错误；
由图可得，当时，直线在直线的上方，
的解集为，
的解集是，故③正确；
两直线交点的横坐标为4，
，
，故④正确；
综上可知，正确的有①③④．
【变式1】（2023下·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有 ．（填上正确的序号）
【答案】①③
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，①正确；
一次函数经过一、二、三象限，所以，②错误；
由图象可得：不等式的解集是，③正确；
当时，，④错误；
故正确的有①③共2个，
故答案为：①③．
【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
【变式2】（2023上·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，它们的交点坐标为，则下列结论中正确的是 （填写序号）
①直线与x轴所夹锐角等于；
②；
③是等腰直角三角形；
④关于x的不等式的解集是．
【答案】①②③④
【分析】过点A作轴交于点，关键点的坐标可得，关键等边对等角可得，关键三角形内角和定理可得，即可判断①的结论正确；将代入即可求得，②的结论正确；根据一次函数与坐标轴的交点坐标可推得，根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理即可求得，，推得是等腰直角三角形，③的结论正确；根据两直线交点的坐标可求得不等式的解集是，④的结论正确．
【详解】解：过点A作轴交于点，如图：
∵点
∴，,
即，
∴，
又∵轴，
∴，
∴，
即直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确；
∵一次函数的图象经过点，
故将代入，得：，
整理得：，故②的结论正确；
∵一次函数与坐标轴分别交于点，点，
令，则，
∴；
令，则，
解得：，
∴；
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故③的结论正确；
由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，
∴关于的不等式的解集是，故④的结论正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，一次函数的交点与不等式解的关系等，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式3】（2023下·重庆黔江·八年级统考期末）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④⑤
【分析】由一次函数图像及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图像的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可．
【详解】由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：，所以①错误，
∴，故②正确，
观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确，
由当时一次函数图像上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确，
故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查了一次函数的图像及其性质，关键是利用数形结合的方法，把图像直观与代数精确计算综合运用，其中利用点的坐标代入直线方程解决等量关系判断尤为重要．
考点4：与不等式有关的费用问题
典例4：（2023下·广东揭阳·八年级统考期中）如图所示，，分别表示使用一种白炽灯和一种节能灯的费用（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间（小时）的函数图象，其中：的函数解析式为．假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．
（1）根据图象直接写出的函数关系式；
（2）小军认为节能灯一定比白炽灯省钱，你认为呢？
【答案】（1）；（2）小军认为节能灯一定比白炽灯省钱是不对的，理由见解析
【分析】（1）根据函数图像，设的解析式为：，将代入，待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数图像可知，先求得交点的横坐标，即使用时间相等时候，费用相等，据此判断何时节能灯和白炽灯哪一种省钱．
【详解】解：（1）根据函数图像，设的解析式为：
，将代入，
解得：
的函数解析式为．
（2）小军认为节能灯一定比白炽灯省钱是不对的，
理由：令，得，
由图象可知，当时，白炽灯省钱，
当时，两种等费用一样，
当时，节能灯省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一次函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键．
【变式1】（2023·河南·九年级专题练习）某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10000元；
（1）求两种净化器的价格各多少元？
（2）若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）每台A型净化器的价格为2000元，每台B型净化器的价格为2200元；（2）买台A型净化器30台，B型净化器为10台，最少费用为90000元．
【分析】（1）设每台A型空气净化器的销售利润为a元，每台B型空气净化器的销售利润为b元，根据给定条件“销售20台A型和15台B型空气净化器的利润为80000元，10台A型比5台B型空气净化器多花费10000元，可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买台A型净化器x台，B型净化器为台，总费用为y元，先求解的范围，再列出与的函数关系式，利用一函数的性质，可得答案．
【详解】解：（1）设每台A型净化器的价格为a元，每台B性净化器的价格为b元，由题意，的
，
解得：
每台A型净化器的价格为2000元，每台B型净化器的价格为2200元；
（2）设购买台A型净化器x台，B型净化器为（40﹣x）台，总费用为y元，
由题意，得
解得x≤30，
y＝（2000+200）x+（2200+200）（40﹣x）
化简，得
y＝﹣200x+96000
∵﹣200＜0，
y随x的增大而减小，
当x＝30时，y取最小值，y＝﹣200×30+96000＝90000，
40﹣x＝10，
买台A型净化器30台，B型净化器为10台，最少费用为90000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，利用一次函数的性质＜0，y随x的增大而减小是解题关键．
【变式2】（2023上·福建三明·八年级统考期中）某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种用户每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费元；乙种用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为和元．
(1)直接写出、与x之间的函数关系式（自变量取的全体实数）；
(2)按以下所提示的列表，在给定的同一坐标系中画出函数、的图象；
x 0 50 x 0 50
(3)若你每个月累计通话时间通常在分钟，则选用哪种通信业务更优惠？
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)每个月累计通话时间在分钟时，选用甲种通信业务更优惠
【分析】（1）甲的费用等于月租费加上通话费，乙的费用等于通话费用，再列函数关系即可；
（2）先列表，再描点连线即可；
（3）由函数图象可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，；
（2）列表：
x 0 50 x 0 50
15 30 0 30
描点并连线：
．
（3）由图象可知，每个月累计通话时间在分钟时，选用甲种通信业务更优惠．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，利用描点法画一次函数的解析式，利用函数图象解决实际问题，熟练的利用描点法画函数图象是解本题的关键．
【变式3】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：
方案A：按流量计费，0.25元/兆；
方案B：50元流量套餐包月，包含500兆流量，如果超过500兆，超过部分另外计费（见图象）；
方案C：120元包月，无限制使用．
用x表示每月上网流量（单位：兆），y表示每月的流量费用（单位：元），方案B和方案C对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：
(1)写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；
(2)求出方案B的函数解析式；
(3)选取哪种方案能节省上网费用？
【答案】(1)，图象见解析
(2)
(3)，选A方案；当x=200时，选A、B方案，时，选B方案，当x=850选B、C方案；时，选C方案．
【分析】（1）根据按流量计费，0.25元/兆，列出函数关系式，并画出函数图象即可；
（2）根据函数图像，待定系数法求解析式即可求解．
（3）根据一次函数交点，结合函数图象，判断不等式的解集即可求解．
【详解】（1）根据题意可知，，图象如图，
（2）当时，，当时，设方案的解析式为
代入
解得
（3）由
解得
根据函数图象可知，当时，选取方案节省上网费用；
当，选取B方案节省上网费用，
当
解得
即，选取方案节省上网费用，
当时，选取方案节省上网费用
综上所述：，选A方案；当x=200时，选A、B方案，时，选B方案，当x=850选B、C方案；时，选C方案．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键．
考点5：函数图像与不等式应用
典例5：（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)如表是x与y的几组对应值，m的值为 ；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 2 m 0 -1 -2 -1 0 1
(2)在如图平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为-2； ②当时，y随x的增大而增大；
③函数图象关于直线对称．小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
(4)已知直线 与函数的图象有两个交点，直接写出方程组的解为 ．
(5)请直接写出不等式的解集为 ．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)①②③
(4)，
(5)
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）根据（1）中表格中的数据描点，然后连接即可；
（3）根据（2）中的图象求解即可；
（4）根据题意分两种情况讨论，分别解方程组求解即可；
（5）在同一直角坐标系中画出两个函数图象，结合（4）的结论即可．
【详解】（1）当时，，
故答案为：
（2）如图所示，
（3）①函数有最小值为-2，故正确；
②当时，y随x的增大而增大，故正确；
③函数图象关于直线对称，故正确；
故答案为：①②③．
（4），
当时，即时，，
当时，即时，，
，解得，
，解得．
综上所述，方程组的解为，．
（5）如图，在同一直角坐标系中画出函数和的草图，观察图象并结合（4）中的结论可得当时，不等式成立，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，描点法画函数图象，从函数的图象获取信息，一次函数与二元一次方程的关系，一次函数与一元一次不等式的关系等，能熟记一次函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键．
【变式1】（2023上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小明同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究．下面是小明同学的探究过程，请你补充完成
(1)列表
… 0 1 2 3 4 5 6 …
… 2 1 0 0 1 3 …
则 ； ；
(2)根据（1）中表格在下面直角坐标系中描点并画出该函数图像
(3)观察图像，当时，的取值范围是
(4)若关于的方程，在的范围内，有且只有1个实数解，则满足的条件为 ．
【答案】(1)3，，2
(2)见解析
(3)或
(4)或
【分析】本题考查了作函数的图像，数形结合求不等式的解集等知识．熟练掌握函数图像的作法是解题的关键．
（1）根据，，，计算求解即可；
（2）描点，然后连线即可；
（3）数形结合求解即可；
（4）数形结合求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，，
故答案为：3，，2；
（2）解：描点，作图如图1：
（3）解：如图2，
由图像可知，当时，的取值范围是或，
故答案为：或；
（4）解：如图3，
由题意知，当，经过时，方程，在的范围内，有且只有1个实数解，
∴，
解得，，
当，经过时，方程，在的范围内，有个实数解，
∴，
解得，，
∴当时，方程，在的范围内，有且只有1个实数解；
综上所述，或，
故答案为：或．
【变式2】（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 m 1 n 1 2 3 …
(1)列表，请直接写出表中m和n的值；
(2)描点，连线．在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)在所给的平面直角坐标系中，过和两点画出直线，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)见详解
(3)
【分析】（1）把，分别代入到中求出对应的y的值，即可求解；
（2）描点，连线画出对应的函数图象，即可求解；
（3）根据上方的函数图象对应的函数值较大，由图象即可求解．
【详解】（1）解∶ 当时，
，
；
当时，
，
；
（2）解：函数图象如下：
（3）解：如图
由图象得不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，画一次函数图象，求一次函数的函数值，利用图象解不等式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【变式3】（2023上·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
… 0 1 2 3 4 5 6 …
… 5 1 1 3 …
(1)表格中：___________，___________；
(2)在直角坐标系中画出该函数图象；
(3)观察图象，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围是___________．
【答案】(1)3，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）把分别代入中，即可求出m和n的值；
（2）根据表格中的数据描点，再连线即可；
（3）设，则是平行于x轴的直线，求出和的图象有两个交点时a的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
故答案为：3，；
（2）解：如图所示：
（3）解：设，则是平行于x轴的直线，
由图可知，当时，和的图象有两个交点，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标、分段函数的图象，准确画出函数的图象并灵活运用函数图象得到函数的性质成为解答本题的关键．
考点6：一次函数与不等式综合
典例6：（2022下·贵州安顺·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点
(1)求直线的表达式；
(2)直线与y轴交于点M，求的面积．
(3)对于不等式，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)直线：
(2)的面积
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点M的坐标，进一步即可求出的面积；
（3）根据图象即可确定x的取值范围；
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得，
将点、点坐标分别代入直线，
得，
解得，
直线：；
（2）解：当时，，
点，
，
点B坐标为，
的面积；
（3）解：根据图象可知，
对于不等式，x的取值范围是；
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，三角形的面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【变式1】（2023下·河南郑州·八年级校考期中）问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行探究．下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：
（I）在函数中，自变量x可以是任意实数；
（Ⅱ）如下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 3 5 3 1 …
（Ⅲ）如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．
(1)请你根据描出的点，画出该函数的图象；
(2)若为该函数图象上不同的两点，则 ；
(3)观察函数的图象，写出该函数的最大值 ．
(4)请直接写出，当，自变量x的取值范围？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)5
(4)或
【分析】（1）根据描出的点直接画出图象即可；
（2）将代入函数解析式求出，再代入函数解析式即可求出m；
（3）根据函数图象的最高点解答即可；
（4）先求出与时对应的x的值，再结合函数图象解答即可．
【详解】（1）在平面直角坐标系中，画出函数图象如图所示：
（2）将代入函数解析式得，
将代入函数解析式得：，
解得：（6舍去），
∴，
故答案为：；
（3）由图知，函数的最大值为5；
故答案为：5；
（4）当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴当时，自变量x的取值范围是：或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
【变式2】（2023上·湖北·九年级校联考开学考试）根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，请补充完整下面的探究过程：
(1)下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 0 1 m …
① ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则 ；
(2)在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象：
①写出该函数图象的两点性质；
②在同一个平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出当时，x的取值范围．
【答案】(1)①2；②
(2)图见解析；①该函数的最小值为；该函数图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大；或当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；②图见解析，或
【详解】（1）解：①把， 代入，得
解得∶m＝2
②把代入，得
解得∶ ，
∵，为该函数图象上不同的两点，
∴∴
（2）解∶该函数的图象如图，
①该函数图象的两点性质：（i）该函数的最小值为－1；（ii）该函数图象关于y轴对称(答案不唯一)；
②如图所示，
由图象可知，x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了画一次函数与分段函数图象，函数图象性质．根据分段函数的图象和性质进行求解是解题的关键．
【变式3】（2023下·吉林长春·八年级校联考期中）定义：对于关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“a变换函数”（其中a为常数）．
例如：对于关于x的一次函数的“5变换函数”为
(1)一次函数的“0变换函数”为y＝ ．
(2)在网格中补全一次函数的“2变换函数”图象，并完成下列问题：
①对于一次函数的“2变换函数”，当时，求y的值；当时，求x的值；
②对于一次函数的“2变换函数”，当时，y的取值范围是 ．
(3)当一次函数的“a变换函数”与直线y＝2有一个交点时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)图见解析，①或；②
(3)或
【分析】（1）由定义写出函数解析式；
（2）按照列表一描点一连线的顺序画出图象；将代入对应的函数解析式中求出y，分
类将代入解析式求出；
②分类讨论函数的性质，求出y的取值范围；
（3）结合函数图象上时的点的横坐标，推理出a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：一次函数的“0变换函数”为；
（2）解：图象如图所示，
①∵的“2变换函数”为：，
∴当时，，
当时，或，
解得：或．
②当时，y随x的增大而减小，
∴，
当时，，y随x的增大而增大，
∴，
综上所述：．
（3）解：由图象可知，时，或，
∴当一次函数的“a变换函数”与直线有一个交点时，
∴或 ．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征.解题的关键是理解定义的基础上准确画出函数的图象．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·广东揭阳·八年级统考期中）如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察函数图象先得到关于x的不等式kx 3m＞0的解集是x＞ 4，故可求解．
【详解】解：由图象可得：当x＞ 4时，kx 3m＞0，
所以关于x的不等式kx 3m＞0的解集是x＞ 4，
即kx＞3m的解集为x＞ 4，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（2023下·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，一次函数的图像经过点和点，一次函数的图像过点A，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像知正比例函数和一次函数的图像的交点，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵由图像可知：正比例函数和一次函数的图像的交点是，
∴不等式的解集是，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图像的关系是解答此题的关键．
3．（2022下·山东济宁·八年级统考期末）将直线向下平移4个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（ ）
A．图象经过一、二、四象限 B．当时，
C．图象与轴交于 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为2
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出平移后的解析式，然后根据一次函数的性质以及三角形的面积公式判断即可．
【详解】解：将直线向下平移4个单位长度后得到直线为，
所以图象经过二、三、四象限，故A不符合题意；
当时， ，故B不符合题意；
图象与x轴交于，故C符合题意；
令 则，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为故D不符合题意；
故选C
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握变换规律是解题关键．
4．（2023下·全国·八年级假期作业）已知一次函数（，是常数，且），与的部分对应值如下表所示，那么不等式的解集是（ ）
0 1 2 3
4 3 2 1 0
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】略
5．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数图象，写出在x轴下方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线下方；
当时，直线在x轴下方，
∴当时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
6．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合题意，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由图像可得经过二、三、四象限，
∴，，①正确
由图象可得：经过一、三、四象限，
∴，
∴，②正确；
由图象可得，当时，，③正确；
由题意可得，和经过点
则，
又∵，
解得，
则：，
将代入，，解得，
即，，
，④错误
正确的个数为3
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数的几何应用，图象与系数的关系，一次函数交点问题等，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．
7．（2022下·山西忻州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与直线交于．直线，还经过点．则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象知正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点，即可得出不等式2x＜kx+b的解集，根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标即可得出不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，即可得出答案．
【详解】由图象可知：正比例函数y=2x和一次函数y=kx+b的图象的交点是A（-1，-2），
∴不等式2x＜kx+b的解集是x＜-1，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是B（-2，0），
∴不等式kx+b＜0的解集是x＞-2，
∴不等式2x＜kx+b＜0的解集是-2＜x＜-1，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
8．（2022上·安徽池州·八年级统考期末）如图，观察图像，可以得出不等式组的解集是（ ）
A． B． C．0＜x＜2 D．
【答案】D
【分析】根据函数图像可得直线，与轴的交点坐标分别为，结合函数图像即可求解．
【详解】解：∵直线，与轴的交点坐标分别为，
∴不等式组，即的解集为．
故选D．
【点睛】本题考查了根据函数图像解一元一次不等式组，数形结合是解题的关键．
9．（2022下·福建漳州·八年级统考期中）如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值小
D．关于，的方程组的解是
【答案】B
【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，
∴关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；
∵由图可知，直线在直线上方时，都在点的左侧，
∴关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
∵当x＜0时，直线在直线上方，
∴当x＜0时，函数的值比函数的值小，选项C判断正确，不符合题意；
∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，
∴关于，的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10．（2022上·福建漳州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．
【详解】由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵①时， ，两直线平行时，始终有 ，
∴ ．
②当 时，设经过点 的直线为 ，有
，
解得：
∴
∵一次函数 的图象过定点 ，
不论 取何值，始终有 ，
∴
∴综上解得： 或 ．
即： 且
故选：D
【点睛】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题
11．（2022·内蒙古·统考一模）一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x>0时,y的取值范围为 .
【答案】y>-4
【分析】当x=0时，y=-4，且图象随x的增大而增大．
【详解】∵一次函数的图象与y轴的交点为(0,-4),且y随x的增大而增大,
∴当x>0时,y>-4.
故答案为:y>-4.
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
12．（2022·山东烟台·统考一模）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
【答案】；
【分析】函数和的图象交于点，不等式的解集，就要看函数在什么范围的图象对应的点在函数的图象上面．
【详解】从图象得到，当时，函数的图象对应的点在函数的图象上面．
∴不等式的解集为．
故答案为：x> 2
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合应用．
13．（2022下·河北保定·八年级统考期末）如图，直线l2的解析式为y＝kx＋b，与y轴交于点A（0，6），直线l1的解析式为y＝2x，两直线相交于点P（m，4）．
（1）m的值是 ；
（2）直线l2的解析式为 ；
（3）不等式2x＜kx＋b的解集是 ．
【答案】 2； y=-x＋6； x<2；
【分析】(1)把点P的坐标代入直线l1的解析式求出m的值，即可得解；
(2)根据点P、A的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(3)根据l2的图象在l1的图像的上方解答即可．
【详解】解：(1) ∵点P在直线l1：y=2x上，
∴4=2m，解得：m=2，
(2)将点A(0，6)和点P(2，4)代入l2的解析式为y＝kx＋b中得到：，
解得：k=-1，b=6，
∴直线l2的解析式为：y=-x＋6，
(3)∵2x＜kx＋b，
∴l2的图象在l1的图像的上方，
由图像可知，不等式2x＜kx＋b的解集是：x<2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式与一次函数的关系，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
14．（2022下·吉林松原·八年级统考期末）函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】x＞2
【分析】观察函数图像得到即可．
【详解】解：由图像可知函数与x轴的交点为（2，0），则函数与x轴的交点为（2，0），且y随x的增大而减小，
∴当时，，
∴关于的不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．（2022下·山西晋城·八年级校考期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出关于x的不等式的解集．
【详解】解：观察函数图象可知：当x<-2时，一次函数y1=-2x+m的图象在y2=ax+6的图象的上方，
∴关于x的不等式的解集是x<-2．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
16．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图所示，直线（记为）与直线（记为）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先把点P代入直线进行求解a的值，然后再根据图象即可求解．
【详解】解：∵直线（记为）与直线（记为）相交于点，
∴，
∴，即，
由可知，则有：
直线的图象要在直线的上方，由此可得该不等式的解集为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
三、解答题
17．（2023下·广东深圳·八年级统考阶段练习）已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象和点A、B的坐标即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可得：
，解得，
所以点A坐标为．
（2）解：当时，，即，则B点坐标为；
当时，，即，则C点坐标为；
，
的面积为：．
（3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键．
18．（2022下·八年级课时练习）如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？
【答案】当销售量超过时，生产该产品才能赢利
【分析】生产该产品赢利，销售收入应大于销售成本，即的函数图象应高于的函数图象，看在交点的哪侧即可．
【详解】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用，
在交点的右侧，相同的值，的值，那么表示开始赢利．
∴当时，．
答：该产品的销售量超过4吨时，生产该产品才能赢利．
【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题；理解赢利的意义是解决本题的关键；解决此类问题，应从交点入手思考．
19．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于点P．
(1)求点P的坐标：
(2)根据图象，求出当时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立两直线解析式求出x、y的值即可得到答案；
（2）找到直线的函数图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：联立，解得，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象上方时，，
∴当时，．
【点睛】本题主要考查了求两直线的交点坐标，一次函数与不等式之间的关系等等，正确求出两直线的交点坐标是解题的关键．
20．（2022下·上海·八年级专题练习）如图已知函数和的图像交于点P（－2，－5），根据图像，求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【详解】解：函数，的图象交于点，
则根据图象可得不等式的解集是，
答：不等式的解集为．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
21．（2022下·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）已知一次函数y1＝﹣x+m（其中m为常数）的图象和一次函数y＝x+的图象相交于点（3，n），对该函数y1及其图象进行如下探究：
（1）解析式探究：根据给定的条件，求出该函数y1的解析式；
（2）图象探究：在给定的平面直角建立坐标系中画出y1的函数图象；
（3）解决问题：已知直线y2＝kx+k（k＞0）如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣4＜y2≤y1的解集．
【答案】（1）y1＝﹣x+；（2）如图所示，见解析；（3）﹣4＜x≤2．
【分析】（1）由一次函数的图象过点，求出，把点代入，求出，即可得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，求出时，；时，；再过点、画直线，即可得到函数的图象：
（3）根据图象利用数形结合求解即可．
【详解】解：（1）一次函数的图象过点，
，
把点代入，
得，解得，
函数的解析式为；
（2），
时，；时，；
过点、画直线，得到函数的图象，如下图所示：
（3）由图象可知，直线过点，且随的增大而增大，
直线与相交于点，
的解集是．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质等知识．
22．（2022下·北京海淀·八年级统考期中）问题：探究函数的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量可以是任意实数．
(2)下表是与的几组对应值．
①__________．
②若，为该函数图象上不同的两点，则__________．
(3)如下图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象．
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为_________．
②已知直线与函数的图象交于、两点，当时的取值范围是__________．
【答案】(1)任意实数
(2)①；②；
(3)①；②
【分析】（1）根据题目中的函数解析式即可求得自变量的取值；
（2）①把代入解析式计算即可得到m的值；
②将代入解析式中即可解得n的值；
（3）根据表中所给数据，在坐标系中通过“描点”、“连线”画出函数的图象，根据所画图象即可得到：①该函数的最小值为-1；②根据绝对值的意义：当时，函数可化为：；当时，函数可化为；把新得到的两个解析式分别和组合得到两个方程组，解方程组即可得到两直线的交点坐标，从而可求得所求的x的取值范围．
【详解】（1）解：∵函数的解析式是整式，
∴自变量可以是任意实数；
（2）解：①∵在, 当时，，
∴；
故答案为：；
②由点在函数的图象上，
∴，
解得：，
又∵点和点是函数图象上两个不同的点，
∴；
故答案为：；
（3）解：根据表中所给数据画出函数图象，如下图所示：
①根据图像可判断函数最小值为；
故答案为：-1；
②当时，函数可化为： ；当时，函数可化为：，
由：，解得；
∴，
由：，解得，
∴，
∴由函数图象可知，
当时，．
【点睛】本题考查一次函数的图象，以及一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系，解题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
23．（2022上·广西贺州·八年级统考期中）如图，直线y＝kx＋1（k≠0）与两坐标轴分别交于点A、B．直线y＝－2x＋4与y轴交于点C，与直线y＝kx＋1交于点D．△ACD的面积为．
(1)求k的值；
(2)直接写出不等式x＋1＜－2x＋4的解集；
(3)点P在x轴上，如果△DBP的面积为4，点P的坐标．
【答案】(1)k＝1
(2)x＜1
(3)P点坐标为（－5，0）或（3，0）
【分析】（1）根据题意求得的坐标，设D点的坐标为（t，－2t＋4），根据△ACD的面积为，求得点的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据函数图象以及D点的横坐标即可求解；
（3）先求得B的坐标，设P（m，0），根据三角形的面积为4，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝kx＋1＝1，则A（0，1），
当x＝0时，y＝－2x＋4＝4，则C（0，4），
设D点的坐标为（t，－2t＋4），
∵△ACD的面积为，
∴×（4－1）×t＝，解得t＝1，
∴D（1，2），
把D（1，2）代入y＝kx＋1得k＋1＝2，
∴k＝1；
（2）由D（1，2），
根据图象可知：不等式x＋1＜－2x＋4的解集为x＜1；
（3）当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，则B（－1，0），
设P（m，0），
∵△DBP的面积为4，
∴×|m＋1|×2＝4，解得m＝3或－5．
∴P点坐标为（－5，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，直线围成的三角形的面积，根据交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
24．（2022下·重庆綦江·八年级统考阶段练习）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在y=a|x|+b中，下表是y与x的几组对应值．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 8 m 4 2 n 6 8 …
（1）求这个函数的表达式；
（2）m= ，n= ；
（3）在给出的平面直角坐标系xoy中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象可得：
①该函数的最小值为；
②写出该函数的另一条性质；
（4）已知直线y1=x+4与函数y=a|x|+b的图象交于两点，则当y1>y时，x的取值范围为．
【答案】（1）y=2|x|+2；（2）6，4；（3）①2；②当x>0时，y随x的增大而增大；（4）【分析】(1)观察表格，函数图象经过点（-1，4），（0，2），将这两点的坐标分别代入y=a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；
(2)把x=-2代入（1）中所求的解析式，即可求出m，将x=1代入（1）中所求的解析式，即可求出n；
(3)根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象．
①函数图象的最低点的纵坐标即为该函数的最小值；
②根据图象即可写出该函数的另一条性质；
(4)在同一平面直角坐标系中画出直线y1=x+4与函数y=a|x|+b的图象，找出直线y1=x+4落在y=a|x|+b的图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：(1)观察表格，函数图象经过点（-1，4），（0，2），
将（-1，4）和点（0，2）代入y=a|x|+b中，
，
解得b=2，a=2，
∴这个函数的表达式是y=2|x|+2,
故答案为：y=2|x|+2；
(2) ∵y=2|x|+2，
∴当x=-2时，m=2×|-2|+2=6，
当x=1时，n=2×|1|+2=4．
故答案为：6，4；
(3)该函数图像如下所示：
①根据图象可知，该函数的最小值为2．
故答案为：2；
②当x>0时，y随x的增大而增大；
(4) 在同一平面直角坐标系中画出直线y1=x+4与函数y=2|x|+2的图象，如下图所示：
把y=x+4代入y=-2x+2，得x+4=-2x+2，解得x=，
把y=x+4代入y=2x+2，得x+4=2x+2，解得x=2，
根据图象可知，当＜x＜2时，直线y1=x+4落在y=a|x|+b的图象上方，
所以当y1＞y时，x的取值范围是＜x＜2．
故答案为：【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．
25．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象→根据图象研究函数的性质→运用函数的性质解决问题”的学习过程．结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数．
（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；
（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有________（填序号）；
①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
②当时，此函数有最大值为4；
③此函数的图象关于轴对称．
（3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集为________．
【答案】（1）作图见解析；（2）①②；（3）
【分析】（1）利用描点作图的方法，先取值，再作图；
（2）观察图象即可求解；
（3）画出函数的图象，可知两图象交点的横坐标为3和﹣3，即可求解不等式．
【详解】解：（1）列表如下：
x 0 2
y 4 2
作图如下：
；
（2）观察图象可知：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，此函数有最大值为4；故①②正确，但是此函数的图象不关于轴对称，故③错误．
（3）画出图象如图：
，
可知两图象交点的横坐标为3和﹣3，
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查函数图象与性质，根据题意画出图象是解题的关键．
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专题04 一元一次不等式与一次函数
考点类型
知识一遍过
（一）一次函数与一元一次不等式关系
一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。
考点一遍过
考点1：根据函数图像解不等式
典例1：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·广西南宁·八年级南宁三中校考阶段练习）如图，已知直线与相交于点，关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·广东深圳·八年级校考期中）一次函数与的图象如图所示，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）一次函数的图像如图所示．则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考点2：根据不等式的解集求交点
典例2：（2023下·北京朝阳·八年级统考期中）已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是 ．
【变式1】（2023下·福建泉州·八年级校联考期末）一次函数，若，则，下列各点可能在一次函数的图象上的是( )
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·江苏泰州·九年级校考期末）如果关于x的不等式kx+b＜2的解集是x＞1，那么一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象必经过点 （请填写这个点的坐标）．
【变式3】（2023下·八年级课时练习）已知直线和，当时，；当时，则直线与的交点坐标为 ．
考点3：不等式与函数图像的多结论问题
典例3：（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ．
【变式1】（2023下·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有 ．（填上正确的序号）
【变式2】（2023上·北京·九年级北京市八一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，它们的交点坐标为，则下列结论中正确的是 （填写序号）
①直线与x轴所夹锐角等于；
②；
③是等腰直角三角形；
④关于x的不等式的解集是．
【变式3】（2023下·重庆黔江·八年级统考期末）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．
考点4：与不等式有关的费用问题
典例4：（2023下·广东揭阳·八年级统考期中）如图所示，，分别表示使用一种白炽灯和一种节能灯的费用（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间（小时）的函数图象，其中：的函数解析式为．假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．
（1）根据图象直接写出的函数关系式；
（2）小军认为节能灯一定比白炽灯省钱，你认为呢？
【变式1】（2023·河南·九年级专题练习）某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10000元；
（1）求两种净化器的价格各多少元？
（2）若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【变式2】（2023上·福建三明·八年级统考期中）某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种用户每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费元；乙种用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为和元．
(1)直接写出、与x之间的函数关系式（自变量取的全体实数）；
(2)按以下所提示的列表，在给定的同一坐标系中画出函数、的图象；
x 0 50 x 0 50
(3)若你每个月累计通话时间通常在分钟，则选用哪种通信业务更优惠？
【变式3】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）通讯运营商的手机上网流量资费标准推出了三种优惠方案：
方案A：按流量计费，0.25元/兆；
方案B：50元流量套餐包月，包含500兆流量，如果超过500兆，超过部分另外计费（见图象）；
方案C：120元包月，无限制使用．
用x表示每月上网流量（单位：兆），y表示每月的流量费用（单位：元），方案B和方案C对应的y关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：
(1)写出方案A的函数解析式，并在图中画出其图象；
(2)求出方案B的函数解析式；
(3)选取哪种方案能节省上网费用？
考点5：函数图像与不等式应用
典例5：（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)如表是x与y的几组对应值，m的值为 ；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 2 m 0 -1 -2 -1 0 1
(2)在如图平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为-2； ②当时，y随x的增大而增大；
③函数图象关于直线对称．小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
(4)已知直线 与函数的图象有两个交点，直接写出方程组的解为 ．
(5)请直接写出不等式的解集为 ．
【变式1】（2023上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小明同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究．下面是小明同学的探究过程，请你补充完成
(1)列表
… 0 1 2 3 4 5 6 …
… 2 1 0 0 1 3 …
则 ； ；
(2)根据（1）中表格在下面直角坐标系中描点并画出该函数图像
(3)观察图像，当时，的取值范围是
(4)若关于的方程，在的范围内，有且只有1个实数解，则满足的条件为 ．
【变式2】（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 m 1 n 1 2 3 …
(1)列表，请直接写出表中m和n的值；
(2)描点，连线．在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)在所给的平面直角坐标系中，过和两点画出直线，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【变式3】（2023上·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
… 0 1 2 3 4 5 6 …
… 5 1 1 3 …
(1)表格中：___________，___________；
(2)在直角坐标系中画出该函数图象；
(3)观察图象，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围是___________．
考点6：一次函数与不等式综合
典例6：（2022下·贵州安顺·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点
(1)求直线的表达式；
(2)直线与y轴交于点M，求的面积．
(3)对于不等式，直接写出x的取值范围．
【变式1】（2023下·河南郑州·八年级校考期中）问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行探究．下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：
（I）在函数中，自变量x可以是任意实数；
（Ⅱ）如下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 3 5 3 1 …
（Ⅲ）如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．
(1)请你根据描出的点，画出该函数的图象；
(2)若为该函数图象上不同的两点，则 ；
(3)观察函数的图象，写出该函数的最大值 ．
(4)请直接写出，当，自变量x的取值范围？
【变式2】（2023上·湖北·九年级校联考开学考试）根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，请补充完整下面的探究过程：
(1)下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 0 1 m …
① ；
②若，为该函数图象上不同的两点，则 ；
(2)在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象：
①写出该函数图象的两点性质；
②在同一个平面直角坐标系中画出的图象，并直接写出当时，x的取值范围．
【变式3】（2023下·吉林长春·八年级校联考期中）定义：对于关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“a变换函数”（其中a为常数）．
例如：对于关于x的一次函数的“5变换函数”为
(1)一次函数的“0变换函数”为y＝ ．
(2)在网格中补全一次函数的“2变换函数”图象，并完成下列问题：
①对于一次函数的“2变换函数”，当时，求y的值；当时，求x的值；
②对于一次函数的“2变换函数”，当时，y的取值范围是 ．
(3)当一次函数的“a变换函数”与直线y＝2有一个交点时，直接写出a的取值范围．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022下·广东揭阳·八年级统考期中）如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，一次函数的图像经过点和点，一次函数的图像过点A，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·山东济宁·八年级统考期末）将直线向下平移4个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（ ）
A．图象经过一、二、四象限 B．当时，
C．图象与轴交于 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为2
4．（2023下·全国·八年级假期作业）已知一次函数（，是常数，且），与的部分对应值如下表所示，那么不等式的解集是（ ）
0 1 2 3
4 3 2 1 0
A． B． C． D．
5．（2022上·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·广东梅州·八年级校考阶段练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下探究：①；②；③当时，；④若，，则，其中正确结论的个数共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2022下·山西忻州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像与直线交于．直线，还经过点．则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·安徽池州·八年级统考期末）如图，观察图像，可以得出不等式组的解集是（ ）
A． B． C．0＜x＜2 D．
9．（2022下·福建漳州·八年级统考期中）如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A．关于的方程的解是
B．关于的不等式的解集是
C．当时，函数的值比函数的值小
D．关于，的方程组的解是
10．（2022上·福建漳州·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
二、填空题
11．（2022·内蒙古·统考一模）一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x>0时,y的取值范围为 .
12．（2022·山东烟台·统考一模）如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
13．（2022下·河北保定·八年级统考期末）如图，直线l2的解析式为y＝kx＋b，与y轴交于点A（0，6），直线l1的解析式为y＝2x，两直线相交于点P（m，4）．
（1）m的值是 ；
（2）直线l2的解析式为 ；
（3）不等式2x＜kx＋b的解集是 ．
14．（2022下·吉林松原·八年级统考期末）函数的图像如图所示，则关于x的不等式的解集是 ．
15．（2022下·山西晋城·八年级校考期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
16．（2022下·福建三明·八年级统考期中）如图所示，直线（记为）与直线（记为）相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
三、解答题
17．（2023下·广东深圳·八年级统考阶段练习）已知：如图一次函数与的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积．
(3)结合图象，直接写出时x的取值范围．
18．（2022下·八年级课时练习）如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？
19．（2023下·福建福州·八年级统考期末）如图，直线：与直线：相交于点P．
(1)求点P的坐标：
(2)根据图象，求出当时，x的取值范围．
20．（2022下·上海·八年级专题练习）如图已知函数和的图像交于点P（－2，－5），根据图像，求不等式的解集．
21．（2022下·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）已知一次函数y1＝﹣x+m（其中m为常数）的图象和一次函数y＝x+的图象相交于点（3，n），对该函数y1及其图象进行如下探究：
（1）解析式探究：根据给定的条件，求出该函数y1的解析式；
（2）图象探究：在给定的平面直角建立坐标系中画出y1的函数图象；
（3）解决问题：已知直线y2＝kx+k（k＞0）如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣4＜y2≤y1的解集．
22．（2022下·北京海淀·八年级统考期中）问题：探究函数的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在函数中，自变量可以是任意实数．
(2)下表是与的几组对应值．
①__________．
②若，为该函数图象上不同的两点，则__________．
(3)如下图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象．
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为_________．
②已知直线与函数的图象交于、两点，当时的取值范围是__________．
23．（2022上·广西贺州·八年级统考期中）如图，直线y＝kx＋1（k≠0）与两坐标轴分别交于点A、B．直线y＝－2x＋4与y轴交于点C，与直线y＝kx＋1交于点D．△ACD的面积为．
(1)求k的值；
(2)直接写出不等式x＋1＜－2x＋4的解集；
(3)点P在x轴上，如果△DBP的面积为4，点P的坐标．
24．（2022下·重庆綦江·八年级统考阶段练习）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在y=a|x|+b中，下表是y与x的几组对应值．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 8 m 4 2 n 6 8 …
（1）求这个函数的表达式；
（2）m= ，n= ；
（3）在给出的平面直角坐标系xoy中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象可得：
①该函数的最小值为；
②写出该函数的另一条性质；
（4）已知直线y1=x+4与函数y=a|x|+b的图象交于两点，则当y1>y时，x的取值范围为．
25．（2022·陕西西安·校考模拟预测）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象→根据图象研究函数的性质→运用函数的性质解决问题”的学习过程．结合上面的学习过程，解决下面的问题：对于函数．
（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；
（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有________（填序号）；
①当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
②当时，此函数有最大值为4；
③此函数的图象关于轴对称．
（3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集为________．
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