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专题01 平行四边形的性质
考点类型
知识一遍过
（一）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
考点一遍过
考点1：平行四边形的定义及表示
典例1：（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】A，由，可知一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形，不合题意；
B，三条边相等的四边形不一定是平行四边形，不合题意；
C，由可得上下两条边平行，该四边形中一组对边平行且相等，一定是平行四边形，符合题意；
D，由可得上下两条边平行，不确定边长是否相等，不一定是平行四边形，不合题意；
故选C．
【变式1】（2023·河北保定·统考模拟预测）图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由第四个图形中的两组内错角分别相等，得到的只有一组对边平行，故不能判断该四边形是平行四边形，其他三个图形均可判断为平行四边形．
【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴第1个图是平行四边形，
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴第2个图是平行四边形，
∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴第3个图是平行四边形；
第4个图只能得到一组对边平行，
∴第4个图不一定是平行四边形；
∴一定为平行四边形的有3个；
故选C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．
【变式2】（2022下·江西赣州·八年级校考期末）如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形含特殊平行四边形，则不同的拼法有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案．
【详解】解：如图所示就是种平行四边形，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键．
【变式3】（2023·河北保定·统考二模）小明为了计算的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的高的定义进行判断即可．
【详解】解：从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高，
由图可知，并不垂直于点的对边，
不能表示的高，
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的高的定义，熟练掌握从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高是解答本题的关键．
考点2：平行四边形的性质——求角
典例2：（2024上·云南昆明·九年级云南省昆明市第五中学校考期末）如图，已知中，于点，以点为中心，取旋转角等，把顺时针旋转，得到，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，根据旋转的性质可得由平行四边形的对角相等可得根据平行四边形对边平行，结合平行线的性质可得进而求得 的度数，根据,结合三角形内角和定理可求得的度数，即的度数，接下来根据角度之间的和差关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【详解】解：是由旋转得到的，
∵四边形为平行四边形，
∴.
∵
∴
∴
，，
故选：．
【变式1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟悉这些知识点是解题的关键，由平行四边形的性质和已知条件可以得到是等腰三角形，再根据三线合一得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
∴，；
∵；
∴；
∴；
∴是等腰三角形；
∵点E是OC的中点；
∴；
∴是直角三角形；
∵点G是AB的中点；
∴，；
∴；
∴；
∵；
∴；
故选：D．
【变式2】（2023上·山西吕梁·九年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得，，再由平行四边形的性质可得，得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解此题的关键．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：C．
【变式3】（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）如图，与的周长相等，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长交于点G，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，进而求出，再根据与的周长相等，推出，最后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵与中，，，
∴由平行四边形的性质可得，，．
如图，延长交于点G，
∵中，中，
∴，，
∴，
∵与的周长相等，且有公共边，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，求出的度数、证明是等腰三角形是解题的关键．
考点3：平行四边形的性质——求线段
典例3：（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，．平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A．10 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
【变式1】（2023上·四川成都·九年级统考期中）如图所示，在中，垂直平分于E，其中，则的对角线的长为（ ）．
A．8 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】如图，作的延长线于，则，，，由垂直平分线的性质可知，，由勾股定理得，，则，同理，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作的延长线于，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵垂直平分于E，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
同理，，，
∴，
由勾股定理得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，若，则的长（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得 ，所以，而，则，所以6，即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
平分，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，证明是解题的关键．
【变式3】（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明为直角三角形是解题的关键．
考点4：平行四边形的性质——求面积
典例4：（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：C．
【变式1】（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）已知平行四边形，点E为边上任意一点，连结并延长，与的延长线相交于点H，连结，，要算出的面积，则只需知道（ ）的面积．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，三角形的面积．熟练掌握同底等高的两三角形面积相等是解题的关键．
连接，根据平行四边形性质得，，根据平行线间的距离相等和同底等高的两三角形面积相等，得到，，从而得出即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴，，
∴与的边的高相等， 与的边的高相等，
∴，，
∴
即
∴，
∴要算出的面积，则只需知道的面积．
故选：C．
【变式2】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，则四边形的面积是（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C作交延长线于F，根据平行四边形的性质得到，，求出，从而利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，由作图方法可知是的角平分线，从而证明得到，则，再根据梯形面积公式进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作交延长线于F，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由作图方法可知是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3】（2023下·海南儋州·八年级儋州市第一中学校考期中）如图，在平行四边形中，，若，，则平行四边形的面积等于（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】根据四边形是平行四边形得到，，再根据勾股定理可求，从而可求平行四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴由勾股定理可得，
∴平行四边形的面积为，
故选：C
【点睛】本题考查了勾股定理以及平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
考点5：平行四边形的性质——折叠问题
典例5：（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：根据折叠可知，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，求出．
【变式1】（2023下·河南信阳·八年级统考期中）如图，在中，，现将沿折叠，使点与点A重合，点与点落在点处，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据折叠找到对应相等的角然后根据三角形内角和可算出，进而得出，再根据平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：由折叠性质可得：
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后些角是对应相等的．
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，，再根据是等边三角形．即可算出周长．
【详解】由折叠可知，
由折叠可得，
是等边三角形
故
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称图形的性质，以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变化．
【变式3】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出，进而可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
考点6：平行四边形的性质——坐标系
典例6：（2023下·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）在平行四边形中，对角线与相交于点，以点为坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形是中心对称图形的特点可知，点关于原点对称，即可获得答案．
【详解】解：∵的对角线与相交于坐标原点，
∴点关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形以及中心对称的性质，解题关键是根据平行四边形的性质得到点关于原点对称．
【变式1】（2023下·湖北恩施·八年级统考期中）平行四边形的顶点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，作出图形，利用点的平移性质求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，
将平移到的过程是：向右平移1个单位长度、向上平移2个单位，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查点的平移，熟记平行四边形性质及点的平移法则是解决问题的关键．
【变式2】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，点坐标为，点坐标为，将沿轴方向向右平移得到，且四边形面积为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，进而有根据四边形面积为，求得的长，即可求得的坐标．
【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴，
∵将沿轴方向向右平移得到，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，和的纵坐标相同，
∵点坐标为，且四边形面积为，
∴，
∴，
∴点坐标为，，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
【变式3】（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过作于，由，，，可得，，则，，由勾股定理得，即，解得，即，进而可得B的坐标．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，解得，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考点7：平行四边形的性质——证明题
典例7：（2024下·八年级单元测试）如图所示，在中，E、F是对角线上的两点，且，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质，利用证明，即可推出；
（2）由推出，利用邻补角的性质以及平行线的判定定理即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
又，
∴．
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
∴．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
【变式2】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质：
（1）先根据平行四边形的性质得出，，再根据证明即可；
（2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，再根据推出，进而求出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
由（1）知，
，
，
，
即的周长为
【变式3】（2023下·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）如图，在中，点N、M分别在边、上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，然后利用即可证出，从而证出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质,掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
考点8：平行四边形的性质综合——最值
典例8：（2023下·吉林·八年级校联考期末）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第51页第14题．
如图，的对角线和相交于点，过点且与边、分别相交于点和点．求证：；
【结论应用】若，，，则四边形的面积为______，的最小值为______
【答案】【教材原题改编】见解析；【结论应用】6；2.4
【分析】教材原题改编：根据平行四边形的性质可知，，然后可证，进而问题可求证；
结论应用：由勾股定理可得，然后根据平行四边形的性质可进行求解．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
结论应用：
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
当时，的值最小，最小值即为点D到的距离，
∴；
故答案为6；2.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
【变式1】（2023下·浙江·八年级期中）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将 沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，交延长线于，根据平行四边形的性质得出， ，根据含度角的直角三角形的性质得出 ，进而求得四边形的面积；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点，根据轴对称的性质，以及两点直线线段最短可得到，当折线与线段重合时，线段的长度最短，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：过点作，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，， ，
，
，
四边形的面积 ；
故答案为：；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点；
四边形为平行四边形，
，，
点为的中点，，
，，
， ，
，
由勾股定理得：，
，
由翻折变换的性质得：，
，
，当折线与线段重合时，线段的长度最短，
此时 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称求线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式2】（2022下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，．将这个平行四边形向左平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平行四边形，点A，B，C，O的对应点分别是点，，，．
(1)画出平移后的平行四边形，并写出，的坐标；
(2)直接写出平行四边形的面积 ；
(3)若点N是x轴上的一个动点，直接写出线段的最小值： ，数学依据是： ．
【答案】(1)见解析，，
(2)6
(3)3；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；
（2）利用平行四边形的面积公式计算即可；
（3）根据直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，可知当轴时，线段取最小值，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求．
点，．
（2）解：平行四边形的面积为．
故答案为：6；
（3）解：∵点，点N在x轴上，
∴当轴时，线段取最小值，最小值为3，
数学依据为：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短．
故答案为：3；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换、平行四边形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
考点9：平行四边形的性质综合——动点
典例9：（2023上·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．
(1)设的面积为，求与之间的关系式；
(2)当为何值时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
(3)分别求出当为何值时，①；②．
【答案】(1)
(2)当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形
(3)①当或时，；②当时，
【分析】本题考查了平行四边形的性质，列函数关系式，勾股定理；
（1）根据题意设，得出，过点作于，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当四边形是平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可求解；
（3）①分当点与点重合时与不重合时两种情况讨论，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
②根据勾股定理表示出，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）在直角梯形中，，
设，则，
过点作于，
则四边形是矩形，，
∴
故答案为：．
（2）I：当四边形是平行四边形时，，
∴解得：，
∴当时，四边形是平行四边形．
II：当四边形为平行四边形时，．
∴，
∴
综上所述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）∵，
①I：当点与点重合时，，此时，．
II：当点与点不重合时，
当时，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴当或时，．
②当时，
∴解得：
∴当时，
【变式1】（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图：平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．点C为y轴上一点，且．
(1)求点C的坐标；
(2)点P为x轴上一个动点，点Q为直线上一个动点，如果以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求P点坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出A、B的坐标，再根据，利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）分当四边形是平行四边形时，当四边形是平行四边形时，两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：如图所示，当四边形是平行四边形时，
则且，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当四边形是平行四边形时，
设，
∵平行四边形两条对角线中点坐标相同，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的性质等等，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
【变式2】（2023下·山东济南·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1) ______ ， ______ 分别用含有的式子表示；
(2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出的值；
(3)当点、与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)当的值为或或时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形
【分析】（1）根据“动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动”即可求解；
（2）设点到的距离为，根据“四边形的面积与四边形面积相等” 即可求解；
（3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
，，
故答案为：，
（2）解：设点到的距离为，
四边形的面积与四边形面积相等，
，
；
（3）解：若四边形是平行四边形，
则，
，
；
若四边形是平行四边形，
则，
，
；
若四边形是平行四边形，
则，
，
不合题意舍去；
若四边形是平行四边形，
则，
，
；
综上所述：当的值为或或时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、梯形面积公式以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
【变式3】（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1）时，四边形变为平行四边形；（2）时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形
【分析】（1）四边形为平行四边形时，则，列出方程即可求出答案．
（2）由题意知，，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，列出方程即可求出答案．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，则，
，解得，
时，四边形变为平行四边形；
（2）由题意知，，
，
当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，
当时，，
解得舍去；
当时．，
，解得；
综上所述：时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握动点的运动轨迹是解题的关键．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·河南新乡·八年级统考期末）关于平行四边形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．是轴对称图形
【答案】D
【分析】平行四边形的性质：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．
【详解】由平行四边形的性质可得：
、、符合题意，不符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟记相关结论即可．
2．（2023下·广东惠州·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是( )
A．AB∥CD B．OA=OC C．∠ABC+∠BCD＝180° D．AB=BC
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质分析即可．
【详解】解：由平行四边形的性质可知：
平行四边形对边平行，故A一定成立，不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分；故B一定成立，不符合题意；
平行四边形对边平行，所以邻角互补，故C一定成立，不符合题意；
平行四边形的邻边不一定相等，只有为菱形或正方形时才相等，故D不一定成立，符合题意.
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
3．（2022下·江苏常州·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6，则△BOC的周长是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．23
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴，
∴△BOC的周长是OB+CO+BC=3+5+7=15．
故选：A
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）在 ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠D的度数为（ ）
A．120° B．105° C．100° D．75°
【答案】D
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】解：画出图形如下所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠D＝∠B．
又∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝105°，∠B＝75°，
∴∠D＝∠B＝75°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分．
5．（2023下·江苏淮安·八年级校考期中）如图，中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】由题意得AM=MN，BN=AB=CD，根据的周长为，的周长为，可得DM+MN+DN=7，CN+BC+BN=13，将这两个等式进行加减可得(CD-DN)的值，即NC的长．
【详解】解：根据折叠的性质知，AM=MN，BN=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，
∵的周长为，的周长为，
∴DM+MN+DN=7，CN+BC+BN=13，
∴DN+AD=7，AB+BC+CD-DN=13，
∴DN+AD+AB+BC+CD-DN =AD+AB+BC+CD=2(AB+BC)=20，
∴AB+BC=10，
∴CD-DN=3，
∴NC=3．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质等知识．熟记各个性质是解题的关键．
6．（2022下·广东广州·八年级校联考期中）平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．
【详解】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断：
A．三条线段为2cm，3cm，10cm，
根据三角形的三边关系可知：
∵2+3＜10，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B．三条线段为10cm，10cm，15cm，
∵10+10＞15，
∴ 能构成三角形，符合题意；
C．三条线段为3cm，4cm，10cm，
∵3+4＜10，
∴ 不能构成三角形，不符合题意；
D．三条线段为4cm，6cm，10cm，
∵ 4+6＝10，
∴ 不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】主要考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，要掌握平行四边形的构造，一边与两条对角线的一半构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断．
7．（2022下·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）如图，与的周长相等，且，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【分析】由 ABCD与 DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝110°，即可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形DCFE都是平行四边形，
∴，
∵与的周长相等，
∴AB+AD+BC+CD=CD+DE+CF+EF，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠BAD＝60°，∠F＝110°，
∴∠ADC＝180°-∠BAD=120°，∠CDE=∠F＝110°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，
∴∠DAE＝（180°﹣130°）÷2＝25°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．
8．（2023下·浙江·八年级期中）在平行四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．（2023上·八年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用垂直平分线的作法得MN垂直平分AC，则EA=EC，利用等线段代换得到△CDE的周长=AD+CD，,然后根据平行四边形的性质可确定周长的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，CD=AB=6，
∵由作法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴CE+DE＝AE+DE=AD，
∴△CDE的周长=CE+DE+CD=AD+CD=4+6=10．
故选B．
【点睛】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）的方法．
10．（2023下·江苏南通·八年级校考期中）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为 （ ）
A．4cm B．3cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【详解】分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE=2cm，即可求得AB=4cm．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴AB=2OE=2×2=4（cm）．
故选A．
点睛：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
二、填空题
11．（2023下·江苏淮安·八年级校考阶段练习）在中，若，则 ； ； ．
【答案】 /100度 /80度 /100度
【分析】由平行四边形的性质得，，则，即可得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
12．（2023·北京昌平·二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则= ．
【答案】4
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，通过证明△AEO∽△CBO，利用相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是线段AD的中点，
∴AE=AD=BC，
∵AD∥BC，
∴△AEO∽△CBO，
∴
∴S△BOC=4×1=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是本题的关键．
13．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是 ．
【答案】30
【分析】根据角平分线得到，得出，再根据平行四边形对边相等的性质求出CD的长，最后计算周长即可．
【详解】解： 平分
又在平行四边形中，
，
故平行四边形的周长是．
故答案为：30．
【点睛】此题考查了平行四边形及角平分线的性质，解题的关键是根据等角得到等腰三角形求得平行四边形的边长．
14．（2023下·湖南邵阳·八年级校联考期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为 ．
【答案】3
【分析】由平行四边形的性质得出BC=AD=6，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵E为BC的中点，AC⊥AB，
∴AE=BC=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．
15．（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，E 为 DC 边的中点，如果 ABCD 的周长为 24， 且，则 OE 的长为 ．
【答案】4
【分析】直接利用三角形中位线的性质，证明EO＝AB，然后根据平行四边形的性质列方程得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，BO＝DO，
又∵E为DC边的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO＝BC，
∴EO＝AB
∵ ABCD的周长为24，
∴设AB＝x，则BC＝2x，
则2（x＋2x）＝24，
解得：x＝4，
故EO＝4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质等，正确得出EO是△DBC的中位线是解题关键．
16．（2023下·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为 ；平行四边形ABCD的面积为 ．
【答案】 28
【分析】在中求出，再在中求出，利用平行四边形的面积公式即可解决问题；
【详解】解：，
，
在中，，，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在中，，
．
故答案为，28．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（2023下·八年级课时练习）如图，在□中，、的平分线分别交对边于点、，交四边形的对角线于点、．求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】先根据平行四边形的性质，利用ASA判定△ADH≌△CBG；再根据全等三角形的对应边相等，从而得到AH=CG，则AH+HG=CG+HG，即．
【详解】证明：∵平行四边形,
∴,AD∥CB，∠ADC=∠CBA
∵、分别为角平分线，
∴ , ，
在 △ADH和△CBG中
∴
∴．
∴AH+HG=CG+HG，即．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
18．（2023下·八年级课时练习）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
求证：
若，求的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）12
【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
【详解】证明：分别平分和
，
平分
同理可证
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理的逆定理解答．
19．（2023下·八年级课时练习） ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF．
【答案】见解析
【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质得出AO=CO，OE=OF，即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形DEBF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∴OA-OE=OC-OF，
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了平行四边的性质．熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
20．（2023·山东济南·统考一模）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得出．，则，根据，得出，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形
．
，
，
，
在与中，
，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（2022下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，
(1)仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F；
(2)在（1）的条件下，求证：EF=BC．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）连接AC、BD，两者交于点G，连接EG并延长交CD与点F，即可．
（2）证明四边形ADFE是平行四边形即可．
【详解】（1）作图如下：
点F即为所求，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，CD=AB，对角线交点G平分对角线AC、BD，
∴点G为AC、BD的中点，
∵E点为AB中点，
∴EG为△ABD的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE=DF，
∵E点为AB中点，
∴，
∴，即有，
∴F点为DC中点，
即F点满足要求．
（2）证明：在（1）中已证明有：四边形ADFE是平行四边形，
∴AD=EF，
∵AD=BC，
∴EF=BC，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了基本作图，平行四边形的判定与性质、中位线的判定与性质等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．注意作图只能用无刻度直尺，并非尺规作图．
22．（2022下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，且，进而证明四边形是平行四边形；
（2）过作于点，利用含角的直角三角形的性质求出，结合勾股定理求，．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
又 ，
，
又 ，
四边形是平行四边形．
（2）解：过作于，如图所示．
四边形是平行四边形，
，，
，
在中， ，，
，
，
．
，
．
在中，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，平行线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．（2023下·河南新乡·八年级统考期中）如图，中，对角线与相交于点是过点的任一直线交于点交于点．猜想:和的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析．
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而可证明，进而即可得到结论．
【详解】，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
，，
，
又，
（ASA），
．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质定理以及三角形的判定和性质定理，掌握平行四边形的对角线互相平分，ASA证三角形全等，是解题的关键．
24．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，BE=6，求DF的长度．
【答案】6．
【分析】证△ABE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴DF=BE=6．
【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教第78页的部分内容：
例如图，的对角线和相交于点过点且与边分别相交于点和点．求证：． 分析要证明，只要证明它们所在的两个三角形全等即可． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对角线互相平分）， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴．
【方法运用】如图，平行四边形的对角线和相交于点过点且与分别相交于点， ，的周长为，求的值；
【拓展提升】如图，平行四边形的对角线和相交于点过点且与的延长线分别相交于点，连结点，若，的面积为1，则四边形的面积为________；
【拓展应用】如图，若四边形是平行四边形，过点作直线分别交边于，过点作直线分别交边于，且，若，则________．
【答案】【方法运用】；
【拓展提升】；
【拓展提升】．
【分析】（）利用平行四边形的性质得出，，则有，证明即可；
（）利用平行四边形的性质及即可求解；
（）过作，，利用等面积法即可；
此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【方法运用】∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长
，
，
∴；
【拓展提升】∵，
∴，
又∵，
同【方法运用】得：，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：；
【拓展应用】∵，，
∴，
又∵ ，
，
∴而，过作，，
∴
∴，
∴，
由， ，
∴，
故答案为：．
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专题01 平行四边形的性质
考点类型
知识一遍过
（一）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
考点一遍过
考点1：平行四边形的定义及表示
典例1：（2024上·山东潍坊·八年级统考期末）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河北保定·统考模拟预测）图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2022下·江西赣州·八年级校考期末）如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形含特殊平行四边形，则不同的拼法有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式3】（2023·河北保定·统考二模）小明为了计算的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示的高的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：平行四边形的性质——求角
典例2：（2024上·云南昆明·九年级云南省昆明市第五中学校考期末）如图，已知中，于点，以点为中心，取旋转角等，把顺时针旋转，得到，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，点E、点G分别是OC、AB的中点，连接BE、GE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·山西吕梁·九年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，四边形是平行四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校联考期中）如图，与的周长相等，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点3：平行四边形的性质——求线段
典例3：（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，，．平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A．10 B．6 C． D．
【变式1】（2023上·四川成都·九年级统考期中）如图所示，在中，垂直平分于E，其中，则的对角线的长为（ ）．
A．8 B．6 C． D．
【变式2】（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，若，则的长（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2023下·山东青岛·八年级统考期末）如图，平行四边形中，对角线，相交于，过点作交于点，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
考点4：平行四边形的性质——求面积
典例4：（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【变式1】（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）已知平行四边形，点E为边上任意一点，连结并延长，与的延长线相交于点H，连结，，要算出的面积，则只需知道（ ）的面积．
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，则四边形的面积是（ ）
A．6 B．12 C． D．
【变式3】（2023下·海南儋州·八年级儋州市第一中学校考期中）如图，在平行四边形中，，若，，则平行四边形的面积等于（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
考点5：平行四边形的性质——折叠问题
典例5：（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·河南信阳·八年级统考期中）如图，在中，，现将沿折叠，使点与点A重合，点与点落在点处，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（ ）
A．18 B．15 C．12 D．9
【变式3】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点6：平行四边形的性质——坐标系
典例6：（2023下·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）在平行四边形中，对角线与相交于点，以点为坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·湖北恩施·八年级统考期中）平行四边形的顶点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，点坐标为，点坐标为，将沿轴方向向右平移得到，且四边形面积为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·陕西榆林·八年级统考期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点7：平行四边形的性质——证明题
典例7：（2024下·八年级单元测试）如图所示，在中，E、F是对角线上的两点，且，求证：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【变式2】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【变式3】（2023下·广东惠州·八年级惠州市惠阳区第一中学校考期中）如图，在中，点N、M分别在边、上，．求证：．
考点8：平行四边形的性质综合——最值
典例8：（2023下·吉林·八年级校联考期末）【教材原题改编】改编自人教版八年级下册数学教材第51页第14题．
如图，的对角线和相交于点，过点且与边、分别相交于点和点．求证：；
【结论应用】若，，，则四边形的面积为______，的最小值为______
【变式1】（2023下·浙江·八年级期中）如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将 沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
【变式2】（2022下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，．将这个平行四边形向左平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平行四边形，点A，B，C，O的对应点分别是点，，，．
(1)画出平移后的平行四边形，并写出，的坐标；
(2)直接写出平行四边形的面积 ；
(3)若点N是x轴上的一个动点，直接写出线段的最小值： ，数学依据是： ．
考点9：平行四边形的性质综合——动点
典例9：（2023上·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）如图所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．
(1)设的面积为，求与之间的关系式；
(2)当为何值时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
(3)分别求出当为何值时，①；②．
【变式1】（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图：平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．点C为y轴上一点，且．
(1)求点C的坐标；
(2)点P为x轴上一个动点，点Q为直线上一个动点，如果以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求P点坐标．
【变式2】（2023下·山东济南·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1) ______ ， ______ 分别用含有的式子表示；
(2)当四边形的面积与四边形面积相等时，求出的值；
(3)当点、与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．
【变式3】（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023下·河南新乡·八年级统考期末）关于平行四边形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．是轴对称图形
2．（2023下·广东惠州·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是( )
A．AB∥CD B．OA=OC C．∠ABC+∠BCD＝180° D．AB=BC
3．（2022下·江苏常州·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，BC＝7，BD＝10，AC＝6，则△BOC的周长是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．23
4．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）在 ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠D的度数为（ ）
A．120° B．105° C．100° D．75°
5．（2023下·江苏淮安·八年级校考期中）如图，中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（2022下·广东广州·八年级校联考期中）平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
7．（2022下·浙江杭州·八年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）如图，与的周长相等，且，，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2023下·浙江·八年级期中）在平行四边形中，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·八年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
10．（2023下·江苏南通·八年级校考期中）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为 （ ）
A．4cm B．3cm C．6cm D．8cm
二、填空题
11．（2023下·江苏淮安·八年级校考阶段练习）在中，若，则 ； ； ．
12．（2023·北京昌平·二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则= ．
13．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是 ．
14．（2023下·湖南邵阳·八年级校联考期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为 ．
15．（2023下·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，E 为 DC 边的中点，如果 ABCD 的周长为 24， 且，则 OE 的长为 ．
16．（2023下·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE⊥BC于点E，AE＝4，则AC的长为 ；平行四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题
17．（2023下·八年级课时练习）如图，在□中，、的平分线分别交对边于点、，交四边形的对角线于点、．求证：．
18．（2023下·八年级课时练习）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；
求证：
若，求的周长．
19．（2023下·八年级课时练习） ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF．
20．（2023·山东济南·统考一模）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．
21．（2022下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，
(1)仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F；
(2)在（1）的条件下，求证：EF=BC．
22．（2022下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
23．（2023下·河南新乡·八年级统考期中）如图，中，对角线与相交于点是过点的任一直线交于点交于点．猜想:和的数量关系，并说明理由．
24．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，BE=6，求DF的长度．
25．（2023上·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教第78页的部分内容：
例如图，的对角线和相交于点过点且与边分别相交于点和点．求证：． 分析要证明，只要证明它们所在的两个三角形全等即可． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴（平行四边形的对角线互相平分）， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴．
【方法运用】如图，平行四边形的对角线和相交于点过点且与分别相交于点， ，的周长为，求的值；
【拓展提升】如图，平行四边形的对角线和相交于点过点且与的延长线分别相交于点，连结点，若，的面积为1，则四边形的面积为________；
【拓展应用】如图，若四边形是平行四边形，过点作直线分别交边于，过点作直线分别交边于，且，若，则________．
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