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专题03 多边形及其内角和
考点类型
知识一遍过
（一）多边形相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
（二）多边形内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（三）正多边形的相关计算
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
考点一遍过
考点1：多边形的概念
典例1：（2023·全国·八年级课堂例题）下列说法中，正确的个数是（ ）
①等腰三角形是正多边形；
②等边三角形是正多边形；
③长方形是正多边形；
④正方形是正多边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】（2023上·湖北武汉·七年级统考开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
B．
C． D．
【变式3】（2023上·全国·八年级专题练习）下列图形中，属于多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：多边形的对角线条数
典例2：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）过n边形的其中－个顶点有5条对角线，则n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式1】（2024上·重庆南岸·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是（ ）
A．88 B．80 C．44 D．40
【变式2】（2023上·全国·七年级专题练习）已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【变式3】（2024上·陕西西安·七年级统考期末）过七边形的一个顶点共有条对角线，将这个七边形分成个三角形，则，的值分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．3，4 D．4，3
考点3：多边形与三角形个数
典例3：（2024上·四川绵阳·九年级统考期末）从十二边形的一个顶点引对角线，可把这个多边形分成（ ）个三角形．
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式1】（2024上·山东济南·七年级统考期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式2】（2024上·陕西渭南·七年级期末）过六边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成a个三角形．则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（2024上·河北保定·七年级校联考期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点4：多边形内角和问题
典例4：（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·河南商丘·八年级校考期中）若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，该多边形的一个外角是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·山东济宁·八年级统考期末）已知中，，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，的值等于（ ）
A．360° B．450° C．540° D．720°
考点5：多边形截角问题
典例5：（2023上·甘肃平凉·八年级校联考期中）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【变式1】（2023上·四川德阳·八年级统考阶段练习）把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10
【变式2】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）一天妈妈给小新出了一道智力题考他．将一个多边形截去一个角后，得到这个多边形的内角和将会（ ）
A．不变 B．增加 C．减少 D．无法确定
【变式3】（2022上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10
考点6：正多边形内角和问题
典例6：（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级统考期中）正五边形和等边如图摆放，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·河北邢台·八年级校考期中）如图是用正n边形地砖铺设小路的局部示意图，若用4块正n边形地砖围成的中间区域是一个小正方形，则n的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
考点7：正多边形外角问题
典例7：（2024上·四川凉山·八年级统考期末）如果一个正多边形的每个外角是，则这个正多边形的对角线共有（ ）条．
A．8 B．9 C． D．
【变式1】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（ ）
A．360米 B．480米 C．540米 D．600米
【变式2】（2023下·北京通州·八年级潞河中学校考阶段练习）如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点8：多（少）算一个角的问题
典例8：（2023上·河北保定·八年级涿州市实验中学校考阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式1】（2023下·四川达州·八年级统考期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（ ）
A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
【变式3】（2023上·云南·八年级校考阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或9 C．8或9 D．7或8或9
考点9：多边形外角和实际应用
典例9：（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）小张在操场从原地右转前行至十米的地方，再右转前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了（ ）
A．80米 B．90米 C．100米 D．120米
【变式1】（2022上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图是科技馆为某机器人编制的程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．不能确定
【变式2】（2023·河南开封·统考一模）小明同学为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．24米 B．20米 C．15米 D．不能确定
【变式3】（2024上·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点10：多边形内角和与外角和综合
典例10：（2023上·河北张家口·八年级统考期中）和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
(2)设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
【变式1】（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数；
（2）如图，已知中，，为边上一点（不与，重合），点为边上一点，，．
①求的度数；
②若，求的度数．
【变式2】（2023下·河北保定·八年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．
(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．
(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多
(1)求这个多边形的边数．
(2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和．
(3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
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专题03 多边形及其内角和
考点类型
知识一遍过
（一）多边形相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
（二）多边形内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（三）正多边形的相关计算
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
考点一遍过
考点1：多边形的概念
典例1：（2023·全国·八年级课堂例题）下列说法中，正确的个数是（ ）
①等腰三角形是正多边形；
②等边三角形是正多边形；
③长方形是正多边形；
④正方形是正多边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意，
等边三角形是正多边形，故②符合题意，
长方形不是正多边形，故③错误不符合题意，
正方形是正多边形，故④符合题意，
故选：B．
【变式1】（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：C．
【变式2】（2023上·湖北武汉·七年级统考开学考试）用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的分类，四边形的分类，进行判定作答即可．
【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A正确，故不符合要求；
四边形包括平行四边形、梯形，B正确，故不符合要求；
三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，C正确，故不符合要求；
平行四边形包括长方形，正方形是特殊的长方形，D错误，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的分类，四边形的分类．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3】（2023上·全国·八年级专题练习）下列图形中，属于多边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形的定义，即可求解．
【详解】解：A、不属于多边形，故本选项不符合题意；
B、不属于多边形，故本选项不符合题意；
C、属于多边形，故本选项符合题意；
D、不属于多边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．
考点2：多边形的对角线条数
典例2：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）过n边形的其中－个顶点有5条对角线，则n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】此题考查多边形的对角线，n边形中，过一个顶点的所有对角线有条，根据这一点即可解答．
【详解】根据题意有：，
∴，
故选：D．
【变式1】（2024上·重庆南岸·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是（ ）
A．88 B．80 C．44 D．40
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，．掌握n边形从一个顶点出发有条对角线和其对角线总数为是解题关键．根据一个多边形从一个顶点出发有8条对角线，可求出该多边形的边数为11，再根据n边形对角线的总数为即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴，
解得：，
∴总的对角线的条数为：（条）．
故选：C．
【变式2】（2023上·全国·七年级专题练习）已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍列方程，解方程并舍去不合题意的解即可，此题考查了一元二次方程的应用和多边形的相关知识，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数是n．
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
则多边形的边数是
故选：B．
【变式3】（2024上·陕西西安·七年级统考期末）过七边形的一个顶点共有条对角线，将这个七边形分成个三角形，则，的值分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．3，4 D．4，3
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的多角线条数问题、多边形的对角线分成的三角形的个数问题，根据过边形的一个顶点共有条对角线，可分成个三角形，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：过边形的一个顶点共有条对角线，可分成个三角形，
过七边形的一个顶点共有条对角线，将这个七边形分成个三角形，
，的值分别为4，5，
故选：A．
考点3：多边形与三角形个数
典例3：（2024上·四川绵阳·九年级统考期末）从十二边形的一个顶点引对角线，可把这个多边形分成（ ）个三角形．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题侧重考查多边形的对角线的条数的问题．根据边形有条对角线，接下来，根据所得对角线的条数，本题即可解答．
【详解】解：∵从一个顶点可以引条对角线，
∴将边形分为个三角形，
∴，
∴从十二边形的一个顶点出发的对角线把该多边形分成10个三角形．
故选：A．
【变式1】（2024上·山东济南·七年级统考期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的对角线分三角形的额数问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，据此求解即可，解题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：，
∴，
故选：C．
【变式2】（2024上·陕西渭南·七年级期末）过六边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成a个三角形．则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为．
从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，据此解答即可．
【详解】解：过六边形的一个顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．
故选B．
【变式3】（2024上·河北保定·七年级校联考期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键．利用规律从而可求出答案．
【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将六边形分成4个三角形．
∴，，
则，
故选C．
考点4：多边形内角和问题
典例4：（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，四边形内角和为，根据三角形外角的性质，将各角转化为四边形的内角和求解．
【详解】解：如图，
，，
，
，
故选：C．
【变式1】（2023上·河南商丘·八年级校考期中）若一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，该多边形的一个外角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了多边形内角与外角，正多边形定义，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．同时考查了正多边形内角与外角的关系: 正多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出正多边形的一个外角．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得： ，解得，
多边形的每个内角都相等，
这是一个正九边形，
这个正多边形的一个外角是，即这个正多边形的一个外角等于，
故选：D．
【变式2】（2023上·山东济宁·八年级统考期末）已知中，，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形以及四边形的内角和，熟知三角形以及四边形的内角和是解题的关键．先由三角形的内角和为求出，再根据四边形的内角和为得到答案．
【详解】解： ，，
，
四边形的内角和为，
。
故选A．
【变式3】（2022上·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，的值等于（ ）
A．360° B．450° C．540° D．720°
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到，，从而有，，然后利用三角形的内角和求的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
故选：C．
考点5：多边形截角问题
典例5：（2023上·甘肃平凉·八年级校联考期中）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想．
【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得，
∴ 即得到的多边形是边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形；
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
过多边形的一个顶点，则原来的是边形；
不过多边形的顶点，则原来的是边形，
∴原来多边形的边数可能是或或，
故选：．
【变式1】（2023上·四川德阳·八年级统考阶段练习）把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10
【答案】D
【分析】设这个多边形原来的边数为n，然后根据多边形的内角和公式进行分类讨论即可①当剪掉一个角后多一个角时，②当剪掉一个角后角的数量不变时，③当剪掉一个角后少一个角时．
【详解】解：设这个多边形原来的边数为n，
①当剪掉一个角后多一个角时，此时有条边，
，
解得：，
②当剪掉一个角后角的数量不变时，此时有n条边，
，
解得：，
③当剪掉一个角后少一个角时，此时有条边，
，
解得：，
综上：这个多边形原来的边数为8或9或
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，以及多边形截取一个角可能多一个角，少一个角，角的数量不变 ．
【变式2】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）一天妈妈给小新出了一道智力题考他．将一个多边形截去一个角后，得到这个多边形的内角和将会（ ）
A．不变 B．增加 C．减少 D．无法确定
【答案】D
【分析】分三种情况讨论，即可得到答案．
【详解】解∶设该多边形为边形，则该多边形的内角和为，
∵边形截去一个角后，得到这个多边形可能为边形或边形或边形，
∴新多边形的内角和为或或
∴新多边形的内角和将不变或增加或减少．
故选∶ D．
【点睛】本题考查多边形的内角和公式，解题的关键是分情况讨论．
【变式3】（2022上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10
【答案】A
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
考点6：正多边形内角和问题
典例6：（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的特点、多边形内角和公式、等腰三角形的性质，根据正多边形特点算出正六边形和正五边形的一个内角，推出，再利用等腰三角形的性质，即可得出．
【详解】解：由题知，，
，
由多边形内角和公式可知正六边形的一个内角为，
正五边形的一个内角为，
，
．
故选：B．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级统考期中）以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质应用，熟练掌握多边形内角和及外角和的计算方法是解题的关键，连接，根据正六边形的外角为，可得，，再根据，可得，进而得到正六边形至少旋转的度数．
【详解】解：连接，
∵正六边形的每个外角，
∴正六边形的每个内角，
∴，，
∵
∴
∴
∴正六边形至少旋转的度数为
故选：B．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级统考期中）正五边形和等边如图摆放，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，根据多边形内角和公式可求出的度数，根据正五边形的性质可得，根据等边三角形的性质可得，，可得，根据角的和差关系可得出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，根据角的和差关系即可得答案，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，，
∵等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
故选：．
【变式3】（2022上·河北邢台·八年级校考期中）如图是用正n边形地砖铺设小路的局部示意图，若用4块正n边形地砖围成的中间区域是一个小正方形，则n的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先求出正边形的每个内角的度数，从而可得这个正边形的每个外角的度数，再根据多边形的外角和等于求解即可得．
【详解】解：这个正边形的每个内角的度数为，
所以这个正边形的每个外角的度数为，
所以，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．
考点7：正多边形外角问题
典例7：（2024上·四川凉山·八年级统考期末）如果一个正多边形的每个外角是，则这个正多边形的对角线共有（ ）条．
A．8 B．9 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形内角与外角．解题的关键在于掌握正多边形的外角和为，并且正多边形的每一个外角都相等．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=，进而求得多边形的对角线条数．
【详解】解：这个正多边形的边数：，
则对角线的条数是：，
故选：B．
【变式1】（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（ ）
A．360米 B．480米 C．540米 D．600米
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形外角和的应用，解题的关键是理解得到小明所走的图形是多边形，正多边形外角和是．
【详解】解：由题意可得，图形是一个正多边形，
每次前进40米后向右转，
，即图形是正12多边形，
（米），
他第一次回到出发点O时一共走480米，
故选：B．
【变式2】（2023下·北京通州·八年级潞河中学校考阶段练习）如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，求出，根据多边形是正多边形，求出多边形的一个外角的度数，即可求出多边形一个内角的度数．
【详解】设这个多边形是n边形，
∵多边形的内角和为，
∴，
解得：，
∵这个多边形的每一个外角都相等，
∴这个多边形是正多边形，
∴多边形的外角为：，
∴多边形的一个内角为：．
故选：C
【点睛】本题考查正多边形的内角和与多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
【变式3】（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，
∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=101°-60°=41°
∵光线是平行的，
∴=∠ABD=，
故选A
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．
考点8：多（少）算一个角的问题
典例8：（2023上·河北保定·八年级涿州市实验中学校考阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可．
【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得
，
解得：，
为正整数，
当时，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键．
【变式1】（2023下·四川达州·八年级统考期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（ ）
A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形
【答案】B
【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，
则：（n-2） 180+x=1960，
∴x=2320-180n．
∵0°＜x＜180°，
∴0＜2320-180n＜180，
解得
∵n为正整数，
∴n=
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
【变式2】（2023上·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
【答案】B
【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．
【详解】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2为正整数，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故选B
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
【变式3】（2023上·云南·八年级校考阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或9 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D
【分析】求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．
则（n-2） 180°=1080°，
解得：n=8，
∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
∴原多边形的边数可能为7或8或9，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．
考点9：多边形外角和实际应用
典例9：（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）小张在操场从原地右转前行至十米的地方，再右转前行十米处，继续此规则前行，问小张第一次回到原地时，共走了（ ）
A．80米 B．90米 C．100米 D．120米
【答案】D
【分析】根据每次右转前进10米，推出回到原地他所走的路经是一个正多边形．而这个就是多边形的一个外角．根据外角和定理可以确定多边形的边数．
【详解】∵每次右转前行10米，周而复始．
∴当他回到原地时所走的路经是一个正多边形．
∵正多边形外角和为，
∴多边形的边数为：，
∴所走路经是一个正十二边形．12边之和为：（米）．
故选：D．
【点睛】此题考查多边形的外角和公式，利用多边形的外角和求多边形的边数，熟记多边形的外角和是解题的关键．
【变式1】（2022上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图是科技馆为某机器人编制的程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．不能确定
【答案】C
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
每一次都是左转，
多边形的边数，
周长米．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
【变式2】（2023·河南开封·统考一模）小明同学为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．24米 B．20米 C．15米 D．不能确定
【答案】A
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
每一次都是右转，
多边形的边数，
周长米；
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
【变式3】（2024上·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解．
【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得．
故选：B．
考点10：多边形内角和与外角和综合
典例10：（2023上·河北张家口·八年级统考期中）和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
(2)设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题；
（1）根据多边形的外角和始终为，即可求解；
（2）根据多边形内角和定理列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确；
理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关；
（2）①，
解得，
即的值为；
②，
整理得，
解得．
∴无论取何值，的值始终不变．
【变式1】（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数；
（2）如图，已知中，，为边上一点（不与，重合），点为边上一点，，．
①求的度数；
②若，求的度数．
【答案】（1）这个多边形的变数为七边形；（2）①；②
【分析】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；
（1）设这个多边形有条边，再根据“多边形的内角和比它的外角和的3倍少”再建立方程求解即可；
（2）①先求解，再结合可得答案；②先证明，求解，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：（1）解：设这个多边形有条边，依题意得
答：这个多边形的变数为七边形．
（2）① ，
，
，
，
．
② ，，
，
，
，
，
．
【变式2】（2023下·河北保定·八年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．
(1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______．
(2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：．
(3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______．
【答案】(1)，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）．
（1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案；
（2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论；
（3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∵，，
∴
故答案为：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵n边形的某一个外角的度数是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，
∴，
整理得：，
故答案为：．
【变式3】（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多
(1)求这个多边形的边数．
(2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和．
(3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
【答案】(1)7
(2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是
(3)每个内角比相邻的外角大，大．
【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可；
（2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是；
（3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得，
，
解得，
答：这个多边形的边数是
（2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是．
（3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是，
则，
∴每个内角比相邻的外角大，大．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键．
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